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前言
今年學測於112年1月13日登場,1月15日落幕。今年數A的難度適中,有不少基本題(1、2、4、13、14),也有能鑑別考生的偏難題(16、17)。相較於111年第一屆的震撼教育,這一份試題算是回歸正軌,更為符合學測評量的精神。
試題取材融入生活情境與素養導向(3、7、13),題意簡潔流暢不難理解,文字量適中,考生不必在閱讀題目上耗費太多時間,可將更多專注力放在數學思考上面。
這一篇文章,我將以這份考題為中心,分享以下內容:
- 單元比重分析
- 題型及試題內容分析(文字+影片解說)
- 高中數學學習方法分享
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題型及試題內容分析
第1題 指數運算與計算機的使用:基礎題
因應108課綱架構,今年與去年一樣,都出了一題非常基本的計算機問題。
依照題意:$$\sqrt{\sqrt{\sqrt{N}}}=2$$
將等式兩邊8次方可得 $$N=2^8$$
因此答案選(4)
第2題 直線與圓:基礎題
這一題也非常基本,由觀察可知 $$\angle{COD}=\angle{OED}=\theta$$
在\(\Delta OCD\)中,$$tan{\theta}=\frac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=\overline{CD}$$
因此,答案選(5)
第3題 迴歸直線:基礎題
首先,我們觀察到,這些數據的分佈情形,會接近一條直線,如下圖所示:
藍色直線的斜率為 \(\frac{1}{2}\),因此此直線為 $$y=\frac{1}{2}x$$
將橫座標 \(s\) 及 縱座標 \(logt\) 代入可得等式 $$logt=\frac{1}{2} s$$
等號兩邊乘以2後,將對數式改為指數式可得等式 $$t^2=10^s$$
因此答案選(4)
第4題 排列組合:分組分堆問題
首先我們思考一下,按照這個順序,表示第5個數應該是最大的數 9。
那麼我們只需從剩下的8個數選4個放在9的左側,剩下4個數放在9的右側即可。
要注意的是,選出來的4個數,只有一個順序,就是遞增或遞減,因此我們不需再去排列。
$$C^8_4\times C^4_4=\frac{8!}{4!\times4!}$$
因此答案選(1)
第5題 三階行列式的幾何意義:好題!
三階行列式所代表的幾何意義是什麼呢?
答案是,三個空間向量所張出的平行六面體體積!
假設有三個向量 \(\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{u}\),
則由這三個向量所張出來的平行六面體體積為
$$|(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR})\cdot\overrightarrow{u}|$$
這五個選項的向量 \(\overrightarrow{u}\) 分別為 \((-1,1,1)、(1,-1,1)、(1,1,-1)、(-1,-1,1)、(-1,-1,-1)\)。那麼我們就要去計算 \(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\)=?
因為\(P, Q, R\) 三點在平面 \(2x-3y+5z=\sqrt{7}\) 上,因此 $$\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} // (2, -3, 5)$$
接下來我們逐個選項計算,看哪一個值最大即可。由於只是比大小,因此我們不用計算出切確的答案,每一個選項皆差個倍數可以不用寫出來。
選項(1):$$(2, -3, 5)\cdot (-1, 1, 1)=0$$
選項(2):$$(2, -3, 5)\cdot (1, -1, 1)=10$$
選項(3):$$(2, -3, 5)\cdot (1, 1, -1)=6$$
選項(4):$$(2, -3, 5)\cdot (-1, -1, 1)=6$$
選項(5):$$(2, -3, 5)\cdot (-1, -1, -1)=4$$
因此答案選(2)
第6題 空間向量與期望值混合題
期望值的計算方式:機率 \(\times\) 數值
我們可以先畫出此正立方體,並且將其座標化:
接著,我們可以就其內積的值進行分類
$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$$ 此時 \((P, Q)= (A, E)、(A, F)、(A, G)、(B, G)、(D, E)、(E, G)\)
$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=2$$ 此時 \((P, Q)=(B, C)、(C, D)、(C, F)\)
$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=1$$ 這個情形是最多的,我們可以用扣的:\(C^7_2-6-3=12\)
有了以上分類後,計算期望值就很簡單了:
$$E=\frac{12}{21}\times 1 + \frac{3}{21}\times 2 = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}$$
因此答案選(3)
第7題 素養題
進入多選題,我們逐個選項來分析:
選項(1):錯誤;應修正為 甲工作滿9個月後,第10個月的月薪比第1個月的月薪增加600元。
選項(2):錯誤;工作滿一年後:
- 甲加薪了4次,月薪應增加了800元
- 乙加薪了1次,月薪應增加了1000元
因此乙的月薪應該比甲的月薪高才對。
選項(3):正確;工作滿18個月後:
- 甲加薪了6次,月薪增加了1200元
- 乙加薪了1次,月薪增加了1000元
沒錯,此時甲的月薪高於乙的月薪。
選項(4):錯誤;設甲、乙兩人入職薪水皆為 \(x\) 元。工作滿18個月時,
甲總共領到的薪水為 $$3x+3(x+200)+3(x+400)+3(x+600)+3(x+800)+3(x+1000)=18x+9000$$乙總共領到的薪水為 $$12x+6(x+1000)=18x+6000$$
因此甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水多才對!
選項(5):正確;我們先來看看第3年甲、乙兩人的月薪是多少
甲:\(x+1600\)(1~3月)、\(x+1800\)(4~6月)、\(x+2000\)(7~9月)、\(x+2200\)(10~12月)
乙:\(x+2000\)(1~12月)
因此僅有10~12月甲的月薪比乙的月薪高。
最後答案選(3)、(5)
第8題 機率問題
這一題算是一般的機率問題。首先,我們可以先將 \(p_n\) 寫出來:$$p_n=1-0.9^n$$
接著來逐個選項判斷對錯:
選項(1):正確
選項(2):錯誤 $$p_3=1-0.9^3=0.271$$
選項(3):錯誤;檢驗的方式只要後項減前項看看是不是定值即可:$$p_{n+1}-p_n=0.9^n-0.9^{n+1}非定值$$因此\(<p_n>\)不是等差數列。
選項(4):正確;第一次未中獎且第二次中獎的機率為 \( 0.9 \times 0.1 \)。
另外 $$p_2-p_1=(1-0.9^2)-(1-0.9)=0.9\times(1-0.9)=0.9\times 0.1$$
因此正確。
選項(5):錯誤;看到至少,就要想到反面。
$$ \begin{aligned}
P(至少中獎2次的事件) &= 1-P(完全未中的事件) -P(恰中1次的事件) \\
&= 1-C^n_0\times 0.9^n – C^n_1 0.1\times 0.9^{n-1} \\
&= p_n – n(1-0.9)\times 0.9^{n-1} \neq 2p_n
\end{aligned}$$
因此答案選(1)、(4)
第9題 對數不等式
這一題必須討論一下 \(n\) 的奇偶性:
情況1:\(n\) 為偶數,則 $$原式=log_3\frac{a_1}{a_2}\times\frac{a_3}{a_4}\times…\times\frac{a_{n-1}}{a_n}>18$$
我們將「真數」以公比來表示:$$log_3(\frac{1}{3\sqrt{3}})^{\frac{n}{2}}>18$$
這個不等式是不可能發生的。
情況2:當 \(n\) 是奇數時,
$$\begin{aligned}
原式 &=log_3a_1\times\frac{a_3}{a_2}\times\frac{a_5}{a_4}\times…\times\frac{a_n}{a_{n-1}}>18 \\
&= log_33\times(3\sqrt{3})^{\frac{n-1}{2}}>18
\end{aligned}$$
去對數可得 $$3^{1+\frac{3}{4}(n-1)}>3^{18}$$
去底數 $$1+\frac{3}{4}(n-1)>18$$
最後解得 $$n>23\frac{2}{3}$$
因此答案選 (3)、(5)
第10題 平面中的直線:思考題
這一題難度有逐漸提高囉!
首先,我們先將題目的敘述圖像化:
接著將直線 \(L\) 的方程式整理一下可看出必過點 \((5,4)\):
$$L:(2x-10)k+(5y-4x)=0$$
選項(1):正確;將 \(A(10,0)\)代入直線方程式 \(L:5y+4x-40=0\),可看出 $$5\cdot 0 + 4\cdot 10 – 10\cdot 4 = 0$$
因此,直線 \(L\) 通過點 \(A\)。
選項(2):錯誤;將 \(C(0,6)\) 代入直線 \(L\) 的方程式可得 $$5\cdot 6+(2k-4)\cdot 0 -10k=0$$ 解得 \(k=3\),因此直線 \(L\) 的斜率為 \(-\frac{2}{5}\)。
選項(3):正確;圖示如下:
因為點 \(D\) 在線段 \(\overline{OC}\) 上,故 $$0\leq 2k\leq 6$$因此確定 \(k\) 值的範圍 \(0\leq k\leq 3\)
選項(4):錯誤;當 \(k=\frac{1}{2}\) 時,直線 \(L\) 的方程式為 $$L:5y-3x-5=0$$令 \(x=10\)代入方程式可解得 \(y=7\),因此線段 \(\overline{DE}\)不在長方形 \(OABC\) 內部(如下圖所示)
選項(5):正確;依題意圖示如下:
此時直線 \(L\) 的斜率 \(m_L\) 可以用 \(k\) 表示為 $$m_L=\frac{8-4k}{10}$$若 \(m_L=\frac{3}{10}\) 可解得 \(k=\frac{5}{4}\),合理。
因此這一題的答案要選(1)、(3)、(5)
第11題 平面上的線性變換:旋轉與鏡射矩陣
這一題主要是考旋轉與鏡射矩陣的寫法及其乘法運算為主。首先,我們必須先將四個矩陣A、B、C、D寫對才行:
$$A=\begin{bmatrix}
cos(-90^{\circ}) & -sin(-90^{\circ}) \\
sin(-90^{\circ}) & cos(-90^{\circ})
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix}
cos(90^{\circ}) & -sin(90^{\circ}) \\
sin(90^{\circ}) & cos(90^{\circ})
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}$$
$$C=\begin{bmatrix}
cos(90^{\circ}) & sin(90^{\circ}) \\
sin(90^{\circ}) & -cos(90^{\circ})
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}$$
$$D=\begin{bmatrix}
cos(270^{\circ}) & sin(270^{\circ}) \\
sin(270^{\circ}) & -cos(270^{\circ})
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}$$
接著只是基本的矩陣乘法
選項(1):錯誤;\(A\) 將點 \((1,0)\) 映射至 \((0,-1)\),\(C\) 將點 \((1,0)\) 映射至 \((0,1)\)
選項(2):正確
選項(3):錯誤;
$$
D^{-1}=\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}\neq C
$$
選項(4):錯誤;
$$AB=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}$$
$$CD=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$即 \(AB\neq CD\)
選項(5):正確;
$$AC=BD=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$因此答案選(2)、(5)
第12題 三角函數的疊合與圖形
第一步,可先將函數 \(f(x)\) 配方:$$f(x)=2sin(x+\frac{\pi}{3})$$
接下依次看選項
選項(1):正確;這一題可以畫圖觀察,我提供代數做法:如果 \(f(\frac{\pi}{6}-x)=f(\frac{\pi}{6}+x)\),則 \(x=\frac{\pi}{6}\)就是函數 \(y=f(x)\)的對稱軸。
$$\begin{aligned}
f(\frac{\pi}{6}-x) &= 2sin(\frac{\pi}{6}-x+\frac{\pi}{3}) \\
&= 2sin(\frac{\pi}{2}-x)=2cosx
\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}
f(\frac{\pi}{6}+x) &= 2sin(\frac{\pi}{6}+x+\frac{\pi}{3}) \\
&= 2sin(\frac{\pi}{2}+x)=2cosx
\end{aligned}$$
選項(2):錯誤;不妨畫個簡圖看看:
顯然,\(x=\frac{\pi}{6}\) 及 \(x=\frac{7\pi}{6}\) 皆為對稱軸,但是$$f(\frac{\pi}{6})\neq f(\frac{7}{6}\pi)$$
選擇(3):錯誤;應該會有兩個 \(x\) 滿足 \(f(x) \sqrt{3}\),用圖形就可以觀察出來了。我們也可以更進一步將 \(x\) 解出來。
$$f(x) = 2sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$$ $$\begin{aligned}
sin(x+\frac{\pi}{3}) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\
x+\frac{\pi}{3} &= \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \\
x &= 0, \frac{\pi}{3}
\end{aligned}$$
選項(4):錯誤;我們可以利用圖形的對稱性觀察。
設 \(f(x)=\frac{1}{2}\) 兩個解為 \(x_1, x_2\),則 $$x_1+x_2 = \frac{2}{3}\pi + \frac{5}{3}\pi=\frac{7}{3}\pi > 2\pi$$
選項(5):正確;我們要用到半角公式
$$\begin{aligned}
y &= 4sin^2\frac{x}{2} \\
&= 4\cdot \frac{1-cosx}{2} \\
&= 2-2cosx \\
y-2 &= 2sin(\frac{3}{2}\pi+x)
\end{aligned}$$ 因此,此圖形向右 \(\frac{7}{6}\pi\)單位、向下2單位可得 \(y=f(x)\) 的圖形。答案選(1)、(5)
第13題 矩陣與三元一次聯立方程式
這一題很基本,首先設 果汁一杯 \(x\) 元,奶茶一杯 \(y\) 元,咖啡一杯 \(z\) 元,列出以下三元一次聯立方程式:
$$\begin{cases}
60x+80y+50z=12900 \\
30x+40y+30z=6850 \\
50x+70y+40z=10800
\end{cases}$$ 接著可將此聯立方程式約分,並寫成增廣矩陣,再以高斯消去法求解 \(z\)。
$$\begin{bmatrix}
6 & 8 & 5 & 1290 \\
3 & 4 & 3 & 685 \\
5 & 7 & 4 & 1080
\end{bmatrix}$$ 將第2列\(\times (-2)\)加上第1列 $$\rightarrow\begin{bmatrix}
0 & 0 & -1 & -80 \\
3 & 4 & 3 & 685 \\
5 & 7 & 4 & 1080
\end{bmatrix}$$ 因此可得 \(z=80\)
第14題 多項式的除法
這一題可先以長除法操作:
因為餘式為 6,因此
$$\begin{cases}
b+a^2=0 \\
-12+2a^2=6
\end{cases}$$解得
$$\begin{cases}
a=3\\
b=-9
\end{cases}$$
第15題 平面向量
依照題意,我們先將文字圖示如下:
接下來,我們設 \(O\) 為原點,\(OB\) 為 \(x\) 軸方向,\(OA\) 為 \(y\) 軸方向。
\(A\) 點座標為 \((0, a)\)、\(B\) 點座標為 \((b, 0)\)。利用分點公式寫出 \(C\) 點座標為 \((\frac{2}{5}b,\frac{3}{5}a)\)。再來,因為 \(B\) 點是 \(C\)、\(D\)兩點的中點,因此 \(D\) 點座標為 \((\frac{8}{5}b,-\frac{3}{5})a\),如下圖示:
接著利用 向量 \(OC\) 垂直 向量 \(OD\),則 $$ \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=0$$因此,$$\frac{16}{25}b^2-\frac{9}{25}a^2=0$$移項,兩邊開根號可得$$4b=3a$$因此,$$\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\frac{3}{4}$$
第16題 空間中的直線與平面:偏難
這一題計算較為繁瑣。首先,可以假設點 \(P\) 的座標為 \(a, b, 1\),且點 \(P\) 投影至平面 \(E:x+z=2\) 的投影點座標為 \(H(a+t, b, 1+t)\)。
因為 \(H\in E\),則 $$(a+t)+(1+t)=2$$ 解得 \(t=\frac{1-a}{2}\),此時可以寫出點 \(H\) 的座標:$$H(\frac{1+a}{2}, b, \frac{3-a}{2})$$ 點 \(P\) 與平面 \(E\) 的距離為 $$d(P,E)=\sqrt{2}|t|=\sqrt{2}\cdot\frac{|1-a|}{2}$$ 接著,$$\overline{HA}^2=\overline{HB}^2=\overline{HC}^2$$可列出以下方程式:
$$\begin{aligned}
&(\frac{a-3}{2})^2+(b+1)^2+(\frac{a-3}{2})^2 \\
= &(\frac{a+1}{2})^2+(b-1)^2+(\frac{-1-a}{2})^2 \\
= &(\frac{a+5}{2})^2+(b-1)^2+(\frac{-a-5}{2})^2
\end{aligned}$$
由第2個等式即可得出方程式 $$(\frac{a+1}{2})^2=(\frac{a+5}{2})^2$$解得 \(a=-3\)
最後回到求出點 \(P\) 與平面 \(E\) 的距離:
$$d(P,E)=\sqrt{2}\cdot\frac{1+3}{2}=2\sqrt{2}$$
第17題 空間中的兩條歪斜線:偏難
這一題也不容易,但出得很好。我們先畫個圖來看看吧:
要留意,題目說直線 \(L_1\) 與 \(L_2\) 不相交,且由方程式可看出來兩條直線也不平行,因此我們可以判斷這兩條線是「歪斜的」。
接著還有一個重要觀察:直線 \(L_1\) 與 \(L_2\) 的方向向量是垂直的,如此可以確定\(L_1\)、 \(L_2\)、\(L_3\) 會張出一個長方體。
設直線 \(L_3\) 分別與 \(L_1\) 與 \(L_2\) 相交於 \(B\)、\(A\) 兩點。
先來說說我的解題策略:
步驟1:先求出線段 \(\overline{AB}\) 的長度。
求出包住 \(L_2\) 且平行 \(L_1\) 的平面 \(E\) 方程式。
平面 \(E\) 的法向量為 $$n_L // (1, -1, 1)\times (2, 1, -1) = (0, 3, 3) // (0, 1, 1)$$
又 \((2, 5, 6)\in E\),可寫出平面 \(E\) 的方程式 $$y+z=11$$因此 $$\overline{AB}=d((1, 1, 2), E)=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$$
步驟2:畫出向量 \(AB\)、向量 \(BP\)、向量 \(AQ\)張出來的長方體。
步驟3:線段 \(\overline{PQ}\) 即為以上長方體對角線長度。
$$\overline{PQ}=\sqrt{3^2+3^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$
第18-20題 題組題
第18題 三角比
我們先將題目的條件標在圖形上:
既然 \(\Delta OAP\) 是等腰三角形,那麼可以通過 \(A\) 點作線段 \(OP\) 的中垂線。
此時可得 \(\overline{OP}=2cos{\theta}\),因此答案選(4)
第19題 三角函數與平面向量:證明題
這一題只要將點 \(Q\) 與點 \(P\) 座標寫清楚就行了。
可以先求出 \(\overline{OQ}\) 的長度:
$$\begin{aligned}
\overline{OQ} &= 4cos(90^{\circ}-\theta) \\
&= 4sin{\theta} \\
&= 4\cdot\frac{3}{5} = \frac{12}{5}
\end{aligned}$$
因此點 \(Q\) 的座標為
$$\begin{aligned}
& Q(-\frac{12}{5}cos(90^{\circ}-\theta),\frac{12}{5}sin(90^{\circ}-\theta)) \\
&= Q(-\frac{12}{5}sin{\theta}, \frac{12}{5}cos{\theta}) \\
&= Q(-\frac{36}{25}, \frac{48}{25})
\end{aligned}$$
另外 $$\overline{OP}=2cos{\theta}=\frac{8}{5}$$
$$
P(\frac{8}{5}cos{\theta}, \frac{8}{5}sin{\theta}) = P(\frac{32}{25}, \frac{24}{25})
$$
最後,計算 \(\overrightarrow{BQ}\) 及 \(\overrightarrow{AP}\) 即可:
$$\overrightarrow{BQ}=(\frac{14}{25}, \frac{48}{25}), \overrightarrow{AP}=(\frac{7}{25}, \frac{24}{25})$$
因此, $$\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{AP}$$
第20題 求四邊形面積
由第19題可知,四邊形 \(PABQ\) 是一個梯形,圖示如下:
接著要算出這個梯形的高:
寫出直線方程式 \(BQ\) 的斜率為 $$m_{BQ}=\frac{\frac{48}{25}-0}{-\frac{36}{25}-(-2)}=\frac{24}{7}$$ 因此直線 \(BQ\) 的方程式為 $$24x-7y=-48$$
梯形的高 $$d(A, BQ) = \frac{24+48}{\sqrt{24^2+(-7)^2}}=\frac{72}{25}$$
算出梯形的上下底:
$$\begin{aligned}
& \overline{AP}=\sqrt{(\frac{7}{25})^2+(\frac{24}{25})^2}=1 \\
& \overline{BQ}=2\overline{AP}=2
\end{aligned}$$
最後,計算出梯形 \(PABQ\)的面積 $$\frac{(1+2)\cdot\frac{72}{25}}{2}=\frac{108}{25}$$
112年數A考題整理總算完成了,大約寫了一萬多個字,過程中難免有所疏漏、筆誤或解法不盡理想之處,皆歡迎讀者提出指正,讓我得以將這篇文章修正,避免誤導學生。
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結語:如何學好高中數學?
關於高中數學學習的方法,我已集結在同一篇文章,只要於Google搜索「如何學好高中數學」,第一篇就是了,我會在教學過程中持續更新這篇文章,讓初學者有個依據,檢視自己學習的方式是否需要調整。保持好的習慣,一段時間的累積,進步就會逐漸顯現。反之,不好的習慣,會讓人深陷泥沼,苦苦掙扎,卻遲遲看不到效果。
如果在學習數學的過程中,讓你感到灰心,無助,不妨重新檢視一下,學習方法是否正確,並且虛心改變,努力實踐,相信你也可以慢慢體會到學習數學的樂趣,並獲得思維進步的喜悅。
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筆者簡介
數學到底要學來幹嘛?生活中又用不上…
不管三角函數、還是微積分、或是其他我們曾經學過的數學,為數不少的學生很早就確定,這些東西以後再也不會用到,認為現在學這麼多根本沒有必要。但是這樣的想法基本上忽略了一個重點,這個重點就是,我們在學習數學的過程中,大腦其實是進入一種狀態,一種設法解決問題的模式。學了什麼不重要,重要的是,我們為了解決問題時,絞盡腦汁,思考策略、學習新方法、改良舊方法、補足工具的過程。
未來,離開校園,也許我們不會再遇到數學問題,但是一定會遇到其他各式各樣的問題。當初,這個為了解決數學問題的思考磨練,就是我們可以帶得走的能力,也是一種無形且寶貴的資產。
謝謝老師,沒有你不行