內容目錄
介紹
學測複習計畫(數A)
這個頁面提供學測數A複習方案，採用線上課程的模式進行，使用前建議可參考以下這篇文章：
如何準備學測數學複習？制定與執行學測複習計畫
歡迎學生提供使用心得給予回饋，讓這個課程能愈做愈好。
使用教材
- 觀念講義：老師自編
- 全方位 數學A+B(108課綱)[南一高中] 學測數學複習講義
書籍購買連結：全方位 數學A+B(108課綱)[南一高中] 學測數學複習講義
課程進行方式
- 觀念講解，每週1講，從問題切入帶觀念。
觀念帶過之後，再進入範例講解 - 範例解說：講解「全方位 數學A+B(108課綱)[南一高中] 學測數學複習講義」當中的範例
- 作業指派：學生自行演練 (書本有提供QRcode掃描看解說)
- 作業討論(線上Live)：正式課程提供
- 週考(命題＋檢討)：正式課程提供
問題檢討：請加入高中數學學測指考教學官方帳號
課程目錄
| 觀念複習(自編教材) | 例題講解(全方位複習講義) | 週考範圍 | 作業 |
|---|---|---|---|
| 第1講：實數 | 單元1.例題1~例題9 | 【週考1】 單元1例題1~例題9 | 單元1.例題1~例題9類題演練 |
| 第2講：實數、指對數、直線方程式 | 單元1.例題10~例題15 單元2.例題1~例題3 | 【週考2】 單元1例題10~例題15 單元2例題1~例題3 | 單元1例題10~例題15類題演練 單元2例題1~例題3類題演練 學測風向一把抓p19~p21 |
| 第3講：兩直線的關係、圓方程式 | 單元2.例題4~例題8 | 【週考3】 單元2..例題4~例題8 | 單元2..例題4~例題8 類題演練 |
| 第4講：直線與圓的關係、多項式函數 | 單元2.例題9~例題12 單元3.例題1~例題5 | 【週考4】 單元2.例題9~例題12 單元3.例題1~例題5 | 單元2.. 例題9~例題12 學測風向一把抓p37~p40 類題演練 單元3.例題1~例題5 |
| 第5講：多項式函數 主題1餘式定理 主題2因式定理 | 單元3.例題6~例題13 | 【週考5】 單元3.例題6~例題13 | 單元3. 例題6~例題13 類題演練 |
| 第6講：多項式函數 | 單元3.例題14~例題18 | 【週考6】 單元3.例題14~例題18 | 單元3. 例題14~例題18 類題演練 |
| 第7講：多項式不等式、數列與級數 | 單元3.例題19 單元4.例題1~例題7 | 【週考7】 單元3例題19 單元4例題1~例題7 | 單元3 例題19 類題演練 p58~p61學測風向一把抓 |
| 第8講：數列與級數、數據分析 | 單元4.例題8~例題11 單元5.例題1~7 | 【週考8】 單元4.例題8~例題11 單元5.例題1~7 | 單元4.例題8~例題11 類題演練，p73~p76學測風向一把抓， 單元5例題1~7 |
| 第9講：數據分析 | 單元5.例題8~例題11 | 【週考9】 單元5.例題8~例題11 | 單元5例題8~例題11類題演練 |
| 第11講：排列組合 | 單元6.例題9~例題16 | 【週考11】 單元6例題9~例題16 | 單元6例題9~例題16 類題演練 |
| 第12講：二項式定理、機率 | 單元6.例題17~例題24 | 【週考12】 單元6.例題17~例題24 | 單元6.例題17~例題24類題演練 p125~p129學測風向一把抓(排除「期望值」題型) |
| 第13講：數學期望值、三角比 | 單元6例題25 單元7例題1~例題10 | 【週考13】 單元6例題25 單元7例題1~例題10 | 單元6例題25類題練習，p125~p129學測風向一把抓(期望值題型)，單元7例題1~例題10類題演練 |
| 第14講：三角比與三角函數 | 單元7例題11~題19 | 單元7例題11~題19 | 單元7例題11~題19類題練習，p146~p150 |
| 第15講：三角函數的圖形與性質 | 單元8例題1~例題16 | 單元8例題1~例題16 | 單元8例題1~例題16 類題練習 |
| 第16講：三角函數的圖形 | 單元8例題17~例題24 單元9例題1~例題10 | 單元8例題17~例題24 單元9例題1~例題10 | 單元8例題17~例題24 類題練習＋p173~p176 單元9例題1~例題10 類題練習 |
| 第17講：對數與對數律、對數函數 | 單元9例題11~例題20 | 單元9例題11~例題20 | 單元9例題11~例題20類題練習＋p194~p197 |
| 第18講：平面向量 | 單元10例題1~例題9 | 單元10例題1~例題9 | 單元10例題1~例題9 類題練習 |
| 第19講：平面向量與二階行列式 | 單元10例題10~例題21 | 單元10例題10~例題21 | 單元10例題10~例題21類題練習+p222~p226 |
| 第20講：空間向量 | 單元11例題 例題1~例題7 | 單元11例題 例題1~例題7 | 單元11例題 例題1~例題7類題練習 |
| 第21講 向量的內積及其應用 | 單元11例題8~例題12 | 單元11例題8~例題12 | 單元11例題8~例題12類題練習＋p250~p254 |
課程簡介
第1講：實數
這一講我們要來複習四個主題，分別是「有理數與無理數」、「實數的性質」、「雙重根式與算幾不等式」、「分點公式」。請同學聽課前先思考幾個問題：
- 我們高中比國中多學了什麼數呢？
- 是否還記得什麼是實數？你能否將實數進行分類呢？
實數有什麼樣的性質呢？ - 「實數」與「虛數」的差別是什麼？
- 如何開雙重根式(號)？
- 什麼是算幾不等式？如何證明？
課堂中會遇到的基本問題，為了讓課程能更流暢進行，將不會在課堂上解說。
- 如何用尺規作圖在數線上找有數理點？
- 如何證明算幾不等式？
- 為什麼複數不能比大小？
教材下載：【學測A複習講義】第1講. 實數
觀念複習：【學測A複習】第1講實數 主題3 雙重根式與算幾不等式
觀念複習：
觀念複習：【學測A複習】第1講. 實數觀念複習：主題4 分點公式 常見的乘法公式：高中階段必須熟悉「立方和」、「立方差」公式，並且知道其不同的表達式，根據問題做靈活的運用。每個公式都應該知道如何推導，切勿死背。 絕對值方程式與不等式：絕對值就是「距離」的概念，它會有什麼性質呢？例如，要如何去掉絕對值？其實只要一個口訣就夠了！絕對值函數，又稱為「折線函數」，這樣的圖形會有什麼特徵呢？如何解絕對值方程式與不等式？關鍵在於…。 指數：指數律是數字運算的「法律」，所有的運算必須以此為基礎不可違背。我們在國中學過的指數律有很多條而且著重在指數為「正整數」的情況。但是其實指數律本質上只有「3條」，到了高中，我們要擴充 \(a^n\) 當中的指數 \(n\) 至「整數」、「有理數」、「無理數」。同學是否還記得 \(a^0\)、\(a^{-n}\)、\(a^{\frac{n}{m}}\) 要如何定義呢？並且想想為什麼要這樣定義呢？另外要留意，底數的範圍會影響函數 \(f(x)=a^{x}\)的單調遞增或遞減性。 科學記號：科學記號是為了描述一個「很大」或「很小」的正數的一種簡記方式。從科學記號的寫法，要如何判斷一個很大的正數是幾位數？一個很小的正數在小數點後第幾位開始出現非零的數字？ 常用對數：以10為底的數稱為常用對數，通常會省略其底數。常用對數有哪些應用呢？ 直線的斜率：直線的斜率要如何定義？有兩種方法，分別是以直線上相異兩點定義，另一個則是使用「斜角」，但我們不難發現，這兩種定義方式意思是一樣的。是否所有的直線斜率皆存在呢？你是否還記得直線 \(ax+by+c=0\)的斜率要如何表示？ 直線方程式：構成直線的兩要素為「通過的點」、「斜率」。直線方程式的寫法有很多種，就很像同一個人穿不同一套衣服一般。同學們是否還記得學過哪些直線方程式呢？例如有「點斜式」、國中就學過的「斜截式\(y=ax+b\)」、還有代公式比較方便的「一般式」、求極值問題常用到的「截距式」。另外不要忘了兩條特殊直線，分別是「水平線」與「鉛直線」。 兩直線的關係：兩直線如果平行，則斜率相同。兩直線如果垂直，兩斜率會如何呢？ 點到直線的距離：給定一直線 \(L\) 及線外一點 \(P\)，那麼點\(P\)至直線\(L\)的距離要如何計算呢？這是非常基礎一定要背的公式。以此公式可再衍生出，兩平行線的距離公式、兩相交直線的「角平分線」公式。切勿死背，一定要知道公式的由來。 二元一次不等式及其圖形：二元一次方程式所代表的圖形為「一直線」、二元一次不等式所代表的圖形為「一個區域」。這個區域要如何畫出來呢？畫圖之前，得先會判斷怎麼判斷「點」在「直線」的哪一側？ 圓方程式：構成圓的要素有兩個，分別是「圓心」與「半徑」，導入座標可以將圓方程式寫成$$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$$ 然而，要留意的是，這樣的寫法不代表一定是個圓喔，必須滿足「判別式大於0」才行。那麼什麼是圓的判別式呢？ 點與圓的關係：點與圓的關係有三種，分別是點在圓外、點在圓上、點在圓內。導入座標，如何表示呢？ 直線與圓的關係：有三種，分別是「不相交」、「相切」、「交於兩點」。 圓的切線公式：已知斜率如何求切線方程式？已知圓外一點如何求切線方程式？已知圓上一點如何求切線方程式？ 多項式的基本概念：什麼是多項式，當中的變數 \(x\) 有什麼限制嗎？何謂係數、次數、升冪與降冪？0次多項式的次數是0次，0多項式的次數是幾次呢？ 多項式的相等：兩個多項式必須「次數一致」且「對應係數相等」才為兩個相等多項式。或者代入任何實數\(x\)皆滿足 \(f(x)=g(x)\)，此時稱兩多項式 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 相等。但是難道我們要代入無窮多個 \(x\) 去驗證嗎？實際上我們在有限的生命中也辦不到，因此可以藉助「相等多項式定理」。 多項式的係數和：如何由函數值判斷「係數的加減」？例如「係數和」、「偶次項係數和」、「奇次項係數和」。 除法原理與綜合除法的應用：什麼是除法原理？如何操作綜合除法？ 餘式定理：什麼是餘式定理？餘式定理的精神是什麼呢？ 因式定理：因式定理可以看成餘式定理的一個特例。因式與多項式方程式的根如何互相轉換？ 函數與一次函數(線性函數)：函數是什麼呢？其實就是兩集合的對應關係，可以是「一對一」或「多對一」，但不能「一對多」。什麼是線性函數呢？線性函數所代表的圖形是什麼呢？ 二次函數及其圖形：二次函數就是形如 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 的函數，代表的圖形為開口上或下的拋物線。處理二次函數就是要熟悉配方法，將二次函數寫成標準式 \(f(x)=a(x-h)^2+k\) 之後，再來觀察與討論。這邊還會牽涉到極值問題。 這一講，我們要來複習三次函數 $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$ 函數圖形與方程式的實根：方程式 \(f(x)=0\) 表示函數 \(y=f(x)\) 與\(x\)軸的相交情形。這裡我也會提到多項式不等式的定義。 一次不等式與二次不等式：二次不等式是高中數學的學習重點，同學要能夠分類各種不等式所對應到圖形的意思。 主題1 二次不等式恆正與恆負的判斷 考慮一個二次函數 $$f(x)=ax^2+bx+c$$ 在什麼條件之下，此二次函數恆正？恆負？恆非正？恆非負？ 主題2 高次不等式 設 $$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)(x-a_4)(x-a_5) \ 且\ a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$$ 主題3 簡易分式不等式 何謂分式不等式？ 設 \(f(x)\)、\(g(x)\) 表多項式，則如何求解 \(\frac{f(x)}{g(x)}>0, \frac{f(x)}{g(x)}\geq 0, \frac{f(x)}{g(x)}<0, \frac{f(x)}{g(x)}\leq 0\) ？ 主題4 等差數列 等差數列國中就已經接觸過了，我們很快複習一下： 主題5 等比數列 什麼是等比數列？如何寫出等比數列的一般項？等比數列有何應用呢？ 主是6 等差中項與等比中項 一個等差數列如果有奇數項，那麼其級數和與等差中項有一個關係式，這是個重要的觀察。 主題7 遞迴關係式 我們前面已有寫下數列的一般項，這裡再介紹另一種數列的表達方式：遞迴關係式。 主題8 數學歸納法 如何由一個數列的「遞迴關係式」寫出其「一般項」？ 主題 9 等差級數 將等差數列每一項相加則為「等差級數」。 這一講，我們要繼續來複習數列與級數中「級數」的部份。 另外留意等差中項與等差級數的關係，這是個重要的觀察。 接下來複習統計「一維數據分析」的部份。我們必須熟悉「均量」與「差量」的定義與簡化計算的方法。這邊的題目要能夠解讀圖表。 延續上一講，我們繼續複習一數據分析中的差量：標準差。 接下來進入「二維數據分析」：相關係數。 數據分析的最後一段為「迴歸直線」或稱為「最適直線」。 在此，統計暫告一段落。接下來要進入「排列組合」的複習。排列組合前的準備工作：邏輯與集合、基本的計數原理。 邏輯近幾年都有入題，不過著重判斷，不會太難。 計數原理的部份，我們複習加法原理、乘法原理與樹形圖。 這一講，我們要先介紹邏輯、集合與基本的計數原理，這三個部份都是排列組合的基礎。其中邏輯與集合主要著重在名詞的複習，然後要能夠釐清各種計數原理的使用時機：加法原理、乘法原理、樹形圖。 主題1：二項式定理 接著討論一些特殊情形： 接著推導出(末項由\(n\)的奇偶性來決定) 主題2：樣本空間與事件 主題3：機率的定義 主題4：機率的性質 主題5：條件機率 主題1：數學期望值的定義 主題2：直角三角形的三角比 主題3：基本恆等式 主題4：銳角的正弦、餘弦與正切的增減 主題5：廣義角與極座標 主題1：餘弦定理 主題2：面積公式 主題3：三角測量 主題4：直線的斜角 主題5：三角形的分角線長公式 主題1：弧度量 主題2：和角與差角公式(A版適用) 主題3：三倍角公式 主題4：正角函數的圖形與性質 主題1：三角函數圖形的平移與伸縮 主題2：正餘弦函數的疊合 主題3：指數函數 主題1：對數與對數律 主題2：首數與尾數 主題3：對數函數 主題4：對數函數的應用 主題1：向量的基本概念 主題2：向量的幾何表示法 主題3：向量的坐標表示法 主題4：向量的加減法與係數積 主題5：向量的加減法與係數積的坐標表示 主題6：向量的分點公式 主題7：線性組合的落點位置 主題1：平面向量的內積 主題2：柯西不等式 主題3：三角不等式 主題4：重心、內心的向量性質 主題5：向量的正射影 主題6：二階行列式及其應用 主題1：空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關係 主題2：空間中決定平面的條件 主題3：直線與平面的垂直 主題4：三垂線定理 主題5：兩面角 主題6：空間向量的坐標表示法 主題7：空間向量的加減法、係數積、線性組合、分點公式 主題8：空間向量的線性組合 主題1：向量的內積及其應用 主題2：向量的正射影 主題3：柯西不等式 主題4：空間向量的外積 主題5：三向量所張出的平行六面體體積 主題6：三階行列式 主題7：三階行列式的性質 主題1：平面方程式 主題2：兩平面的夾角與平面垂直、平行 主題3：點到平面的距離 主題4：空間中直線方程式 主題5：直線與平面的關係 主題6：直線與直線的關係 主題7：空間中與直線有關的距離問題 主題1：條件機率 主題2：獨立事件 主題3：貝氏定理 主題4：矩陣 主題1：高斯消去法與矩陣列運算 主題2：矩陣的加減法與係數積 主題3：矩陣的乘法 主題4：反方陣 主題5：平面上的線性變換第2講：實數、指對數、直線方程式
第3講：兩直線的關係、圓方程式
展開整理可得 $$x^2+y^2+dx+ey+f=0$$
此稱為圓的「一般式」。第4講：直線與圓的關係、多項式函數
給定「直線」與「圓」的方程式，如何判斷此直線與此圓是何種關係呢？我們介紹「代數方法」與「幾何方法」。第5講：多項式函數
另外，二次函數的係數 \(a\)、\(b\)、\(c\) 及判別式 \(b^2-4ac\) 代表拋物線的哪些特性呢？第6講：多項式函數
並且練習三次函數的配方法。二次函數的圖形是線對稱圖形，三次函數的圖形為點對稱圖形。
接著我們來討論三次函數 $$f(x)=ax^3+px$$的圖形特徵。第7講：多項式不等式、數列與級數
則如何求解不等式 \(f(x)>0\) 以及 \(f(x)<0\)？
什麼是等差數列？如何寫出等差數列的一般項？等差數列有哪些應用呢？
所謂的遞迴關係式指的是，一個數列的第\(n\)項可以用之前的若干項表示所得的關係式。
高中數學有四個基本的遞迴關係式，分別是「等差型」、「等比型」、「累加型」、「累積型」。說到遞迴關係式，就不得不提一下「費布那契數列」，簡稱「費氏數列」。
通常要經過兩個步驟：步驟1 先猜測；步驟2 以數學歸納法證明出你的猜測是對的
設一個等差數列\(\{a_n\}\)的首項為\(a_1\)、公差為\(d\)，則前\(n\)項的總和\(S_n\)為何？
此公式有兩種寫法：第一種是以首項、末項、項數來表示；另一種則以首項、公差、項數來表示。複習時一定要會推導，知道公式的由來，不能只有記結果。第8講：數列與級數、數據分析
級數不簡單，但高中數學介紹的兩種級數：等差與等比級數卻非常基本。
學生應該要能夠單獨推導出這兩種級數的公式，而不是只背結果。第9講：數據分析
以及數據的伸縮與平移、數據的標準化。
問題：數據的伸縮與平移對於均量與差量會造成什麼影響？「數據的標準化」有什麼好處呢？
問題：相關係數為什麼要那樣定義？而這樣定義為什麼可以使得相關係數介於\(-1\) 與 \(1\) 之間？第10講：數據分析、排列組合
問題1：如何使用最小平方法推導出迴歸直線？
問題2：如何說明迴歸直線必定通過兩組數據的算術平均數？
問題3：如何推導出迴歸直線的斜率？
集合是基礎，可以很快看過去。這部份比較大的重點是「取捨原理」與「狄摩根定律」。第11講：排列組合
接著複習「排列」：全取排列、不全取排列、重複排列、不盡相異物的排列。
「組合」的部份包括一般組合、組合恆等式、不盡相異物的排列組合、分組分堆問題第12講：二項式定理、機率
排列組合介紹完後，我們就可以使用組合符號來表示 \((x+y)^n\)：
$$(x+y)^n=C^n_0x^0y^n+C^n_1xy^{n-1}+…+C^n_nx^ny^0$$
$$
\begin{aligned}
(1+x)^n &=C^n_0+C^n_1x+C^n_2x^2+…+C^n_nx^n \\
2^n &= C^n_0+C^n_1+C^n_2+…+C^n_n \\
0 &= C^n_0-C^n_1+C^n_2-…+(-1)^nC^n_n \\
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
C^n_0+C^n_2+C^n_4+…=C^n_1+C^n_3+C^n_5+…=2^{n-1}
\end{aligned}
$$第13講：數學期望值、三角比
第14講：三角比與三角函數
第15講：三角函數的圖形與性質
第16講：三角函數的圖形
第17講：對數與對數律、對數函數
第18講：平面向量
第19講：平面向量與二階行列式
第20講：空間向量
第21講：向量的內積與外積
第22講：空間中的平面與直線
第23講：條件機率與貝氏定理
第24講：矩陣-1
第25講：矩陣-2
如何複習學測(108課綱)？
歷屆試題解析
