112年學測數學B試題分析與詳解(含影片解說)：著重生活化應用的素養導向試題

2023 年 3 月 13 日2023 年 3 月 13 日 Gim chen

學測數B試題是針對未來低數學需求的大學選才參考而設計，所以原則上會較數A簡單。但是有些數B特有的單元，例如：平面上的比例(單點透視法、黃金比例)、地球經緯線(度)、圓錐曲線截痕的判斷，則必須特別留意。就我自己教學的經驗，這些單元主要是概念性的介紹，計算上是容易的。但是沒有建立觀念，會完全不知道從何判斷。

112年學測數學A試題分析與詳解(含影片解說)：回歸正軌的一份試題

2023 年 2 月 3 日2023 年 2 月 5 日 Gim chen

今年學測於112年1月13日登場，1月15日落幕。今年數A的難度適中，有不少基本題(1、2、4、13、14)，也有能鑑別考生的偏難題(16、17)。相較於111年第一屆的震撼教育，這一份試題算是回歸正軌，更為符合學測評量的精神。
試題取材融入生活情境與素養導向(3、7、13)，題意簡潔流暢不難理解，文字量適中，考生不必在閱讀題目上耗費太多時間，可將更多專注力放在數學思考上面。
這一篇文章，我將以這份考題為中心，分享以下內容：
單元比重分析
題型及試題內容分析(文字＋影片解說)
高中數學學習方法分享

【閱讀心得】防彈筆記法 – 用書寫培育思考、理清大腦雜訊，修正積累、持續輸出，提高效率，保持生產力。

2023 年 2 月 1 日2023 年 2 月 1 日 Gim chen

為什麼叫做防彈筆記？
一般寫筆記有哪些迷思？
如何才是有效的筆記？
如何用防彈筆記建立高產出的學習寫作流程？

111年指考數甲試題分析與詳解：首屆大學分科測驗，中規中矩的好題目

2022 年 8 月 14 日2022 年 8 月 24 日 Gim chen

今年這份考題難度適中，但一些題目至少綜合兩個數學觀念，學生必須對整體學習內容融會貫通才有機會取得高分。整體試題大致以由易至難的順序編排，單選題3題都很基本，多選題開始難度漸增，可以鑑別出中等及中上學生的程度。

難題的部份，多選5、6、8，題組13-14較難處理。尤其非選第14題，要運用積分概念估計積木體積的黎曼和，計算量較大，考生在有時間壓力的情況下不容易算對。

學習數學就像在搭鷹架，必須按部就班，長時間累積，才得以建立健全的觀念因應題目的變化，這有賴於平日學習習慣的培養。

相信會連到這個頁面的學生，至少已經是高二準備升高三的階段。我也相信，必然有用心的家長，為了孩子的學習在尋找資源，如果想要從根本改善學習數學的問題，必須從學習的本質出發去思考，為此，不妨參考以下這篇文章：如何學好高中數學？破除學習迷思，建立正確觀念”>如何學好高中數學？破除學習迷思，建立正確觀念

如何準備學測數學複習？制定與執行學測複習計畫

2022 年 4 月 26 日2023 年 3 月 17 日 Gim chen

這是一篇分享高中數學學測複習計畫的文章，為你剖析學習數學的眉角，以及如何制定複習計畫，幫助你能夠透過數學老師的經驗，減少自己摸索的時間，能夠更有效率抓到學習的核心。只要你願意透過這個方法，投入時間努力，按部就班地執行計畫，相信半年後，你將使自己更加強大。

【閱讀心得】教學的技術 – 如何活化教學活動，讓學生持續保持專注？

2022 年 3 月 26 日2022 年 3 月 21 日 Gim chen

做為一名老師，我很好奇，是什麼樣的教學能讓大多數人為之驚豔？尤其對於數學老師而言，學生不要排斥就不錯了，想引燃他們的熱忱何其容易？

這本書的作者，王永福，是一名企業頂尖講師，累積了上千場企業培訓的經驗。企業講師的評鑑是非常現實且嚴酷的，必須在滿分五分的情況下，至少拿到平均四點五分，才有機會再次受邀擔任之後課程的講師。

那麼，在企業如此成功的教學方式，用在年齡層介於12~18歲的青少年上面，是否可行？

這個學期，我在高一的多元選修課上，開始進行這項教學實驗：將教學的技術應用在學校課堂上。這門課，每週一節僅50分鐘，剛好可以視學生反應邊教邊調整。我希望結合書中理論、講師的實務經驗，以及我自身近二十年教學經驗，讓這套教學技術能逐步應用在學校的必修課程上。最終目標，是讓教學能更有效，並且讓學生更能夠樂於學習。

111年學測數學B試題分析與詳解：與數學A反差極大的一份考題

2022 年 2 月 10 日2022 年 8 月 22 日 Gim chen

111年學測數B題目難易適中，與數A形成極大落差。比較有挑戰性的部份在於文字量偏多，考生必須頂住壓力耐心閱讀，選擇題難度高於選填題與非選題。
整體而言，是一份用心命題的好題目。這篇文章，就帶讀者來看看這份考題，並且提供試題分析與解題方法。為明年準備學測的考生提供一個準備方向。

111年學測數學A試題分析與詳解 108課綱第一屆的震撼教育

2022 年 1 月 29 日2023 年 2 月 11 日 Gim chen

前言

Hello，歡迎你來到這裡。這篇文章是我於2022年1月29日發佈，距離考試後大約一週左右。

今年數學A考完後，考生們哀鴻遍野。題目的文字量偏多，題意不易理解，難題比例偏高，要在考試時間內寫好整份考題是非常不容易的事。

我認為這是一份很用心命題的試卷，作為數學的練習、討論、研究都是不錯的。然而作為學測考題，就有些為難學生了。畢竟在有時間壓力的情況下，整份考卷卻幾乎沒有基礎題，我可以想像大多數學生在考場上的心情一定十分挫折。

因為試題詳解已經很多人寫了，因此這一篇文章將以分析觀念、聊聊天為主，解題的細節我已錄製好影片，有需要的讀者可自行參考。

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完整試題及參考解答下載

試題；解答

各單元比重統計

第一冊(35分)	第二冊(30分)	第三冊A(10分)	第四冊A(25分)
單元01 實數	單元01 數列與遞迴關係單選4(混合對數)(5分)	單元01 弧度量	單元01 空間概念 - 多選第11題(5分)
單元02 式的運算	單元02 級數	單元02 三角函數的圖形	單元02 空間向量的坐標表示法
單元03 絕對值-多選第7題 (5分)	單元03 計數原理	單元03 三角的和差角公式	單元03 空間向量的運算
單元04 指數	單元04 排列	單元04 正餘弦的疊合	單元04 三階行列式 - 選填第17題(5分)
單元05 常用對數	單元05 組合-單選第1題(5分)	單元05 指數函數	單元05 空間中的平面
單元06 直線方程式 - 單選第6題(5分)	單元06 古典機率	單元06 對數與對數律-單選第2題(5分)	單元06 空間中的直線 - 選填第16題(5分)
單元07 圓方程式 - 非選擇題(15分)	單元07 數學期望值 - 選填第13題(5分)	單元07 對數函數	單元07 條件機率與貝氏定理-單選第5題(5分)
單元08 圓與直線	單元08 一維數據分析	單元08 平面向量 - 多選第9題(5分)	單元08 三元一次聯立方程式 - 選填第14題(5分)
單元09 多項式的除法原理- 多選第12題(5分)	單元09 二維數據分析 -單選第3題(5分)	單元09 平面向量的內積	單元09 矩陣的運算
單元10 一次與二次函數	單元10 直角三角形的三角比 - 選填第15題(5分)	單元10 二元一次聯立方程式	單元10 矩陣的應用
單元11 三次函數的圖形特徵 - 多選第10題(5分)	單元11 廣義角三角比與極坐標
單元12 多項式不等式	單元12 三角比的性質 - 多選第8題(5分)

試題分析

單選第1題：組合-冰淇淋有多少種買法？

某冰淇淋店最少需準備 $n$ 種不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過100種」。試問來店顧客從 $n$ 桶中任選兩球(可為同一口味)共有幾種方法？

這一題前半段是「一般組合」的概念，後半段是「重複組合」的概念。108課綱已刪除「重複組合」，所以任選兩球我們可以分成兩種情況討論，分別是「2同」、「2異」。

首先，先估計一下，至少會有幾種冰淇淋：$C^n_2>100$，$n\geq 15$
因此，至少需準備15種冰淇淋。
其中2同的部份有15種，2異的部份有$C^{15}_2$=105 種
合計：$15+105=120$ 種。

另一種觀點：對於15種冰淇淋要取出兩球的方法，可以想成：試求方程式
$$a_1+a_2+…+a_{15}=2$$
的非負整數解有幾組？
這就是我們舊課綱提到的重複組合，總共有 $H^{15}_2 = C^{16}_2=120 $ 種

這一題不算簡單，屬於一般難度的考題。

單選第2題：對數運算

某品牌計算機在計算 $log_ab$ 時需按log ( a , b )。某生在計算 $log_ab$ 時(其中$a>1, b>1$)順序弄錯，誤按 $log_ba$ ，所得為正確值的$\frac{9}{4}$倍。試選出$a,b$間的關係式。

$a^2=b^3$
$a^3=b^2$
$a^4=b^9$
$2a=3b$
$3a=2b$

這一題只是簡單的計算，是整份考卷少數的基本題。可先依據條件列式：
$$log_ba=\frac{9}{4}log_ab$$
然後利用$log_ba \cdot \log_ab=1$
要注意當$a>1,b>1$時，$log_ab>0, log_ba>0$
化簡後可得$$a^2=b^3$$

現在108課綱還沒開放使用計算機應試，考了一題不痛不癢的計算機敘述題。無論會不會使用計算機皆不影響這一題作答。看起來是要向社會大眾交待一下，我們的新課綱考題還是有融入計算機喔！但是到底政策如何，還是沒有個定論。

單選第3題：二維數據分析

在處理二維數據時，有種方法是將數據垂直投影到某一直線，並以該直線為數線，進而了解投影點所成一維數據的變異。下圖的一組二維數據，請問投影到哪一選項的直線，所得之一維投影數據的變異數會是最小？

$y=2x$
$y=-2x$
$y=-x$
$y=\frac{x}{2}$
$y=-\frac{x}{2}$

第一眼看到這一題時，馬上聯想到「迴歸直線」、「最小平方法」，可能有些同學就會馬上選1這個答案。但是要小心的是，題目說的是「垂直」投影至直線上，而且要使得變異數為最小，所以關鍵在於找出投影點最集中的直線。因此答案選 5。

這一題考法真的在考驗考生的反應與靈活度，看起來像在考迴歸直線，其實是以二維數據的樣貌考一維數據分析。概念很簡單，但會給人一種陌生感。

單選第4題：等差數列與對數運算

設等差數列$<a_n>$ 之首項 $a_1$ 與公差 $d$ 皆為正數，且 $loga_1, loga_3, loga_6$ 依序也成等差數列。試選出數列 $loga_1,loga_3,loga_6$ 的公差。

$logd$
$log\frac{2}{3}$
$log\frac{3}{2}$
$log2d$
$log3d$

這一題也是這份試卷中少數簡單的題目之一，只需要利用到「等差中項」及基本的「對數律」運算即可求解。$$loga_1+loga_6=2loga_3$$
接著令 $a_6=a_1+5d, a_3=a_1+2d$，化簡後可得 $a_1=4d$
最後計算 $loga_3-loga_1=log\frac{a_3}{a_1}=log\frac{a_1+2d}{a_1}=log\frac{6d}{4d}=log\frac{3}{2}$ 即為題意要求的公差。

單選第5題：貝氏定理-染病問題

已知某地區有$30 \%$的人口威染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性和陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為$80\%$，將未染病者判為陰性的機率則為$60\%$。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為$P$；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為$P’$。試問$\frac{P}{P’}$最接近哪一選項？

這一題應該算時事題了，在寫這篇文章時台灣疫情又開始每日數十例確診，這個年基本上都要在家過了。這種形式的敘述，一看就知道考的是貝氏定理。只是我們大多看到的是單一檢測的題目，這一題要另外算三次檢測的情形。處理這類問題就是畫個樹狀圖，然後依題意寫出分母與分子。

單選第6題：直線方程式

設坐標平面上兩直線$L_1, L_2$ 的斜率皆為正，且$L_1, L_2$有一夾角的平分線斜率為$\frac{11}{9}$。另一直線$L$通過點$(2,\frac{1}{3})$且與$L_1, L_2$所圍的有界區域為正三角形，試問 $L$ 的方程式為下列哪一選項？

$11x-9y=19$
$9x+11y=25$
$11x+9y=25$
$27x-33y=43$
$27x+33y=65$

首先我們畫個示意圖來看看：

首先，我們可以看到選項2的直線 $9x+11y=25$ 沒有通過點$ (2,\frac{1}{3}) $，因此可以直接刪去此選項。從題意可知，$L_1, L_2$的角平分線$L’$為此正三角形的中垂線，因此$L\perp L’$。由此可知$L$的斜率為$-\frac{9}{11}$。又因為直線 $L$ 通過點$(2,\frac{1}{3})$，因此其方程式為$L:27x+33y=65$，答案選5。

多選第7題：一次及二次不等式

設整數$n$滿足$|5n-21|\geq 7|n|$。試選出正確的選項。

$|5n-7n|\geq 21$
$-1\leq\frac{7n}{5n-21}\leq 1$
$7n\leq 5n-21$
$(5n-21)^2\geq 49n^2$
滿足題設不等式的整數$n$有無窮多個

這一題是多選題當中較簡單的一題。嚴謹的做法是，針對錯的選項舉反例，正確的選項加以證明。

對於選項1，可考慮 $n=-1$ 就會發現，此不等式 $|5n-7n|\geq 21$ 不成立。
對於選項2，可以先將不等式兩邊同除以$|5n-21|$，此時可寫成
$$|\frac{7n}{5n-21}|\leq 1$$
去掉絕對值可得
$$-1\leq \frac{7n}{5n-21}\leq 1$$
對於選項3，可舉反例 $n=1$
對於選項4，因為不等式兩邊皆為非負的數，因此平方後不等式方向不變。
對於選項5，可以「採用分段討論」或是考慮「$(5n-21)^2\geq 49n^2$」

分段討論後，可得到兩段：「$0\leq n\leq\frac{7}{4}$」以及「$21-5n\geq -7n$」
最後取得$n=-10, -9, -8, …, -1, 0, 1$，合計12個。最後答案選2、4

多選第8題：三角函數

坐標平面上，$\Delta ABC$三頂點的坐標分別為$A(0,2), B(1,0), C(4,1)$，試選出正確的選項。

$\Delta ABC$的三邊中，$\overline{AC}$最長
$sinA<sinC$
$\Delta ABC$為銳角三角形
$sinB=\frac{7\sqrt{2}}{10}$
$\Delta ABC$的外接圓半徑比2小

這一題是三角函數的一般題型，不難。

選項1：兩點間的距離公式，直接計算即可。
選項2：由正弦定理可知$sinA:sinC=\overline{BC}:\overline{AB}=\sqrt{10}:\sqrt{5}$，故$sinA>sinC$
選項3：首先，由三角形中，大角對大邊先確定$\angle{B}$最大，再利用餘弦定理計算：
$$ cosB=\frac{\sqrt{5}^2+\sqrt{10}^2-\sqrt{17}^2}{2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=-\frac{1}{5\sqrt{2}}<0$$
由此可知$\angle{B}>90^{\circ}$，故$\Delta ABC$為鈍角三角形。
選項4：因為$sinB=-\frac{1}{5\sqrt{2}}$，所以$sinB=\frac{7}{5\sqrt{2}}=\frac{7}{10}\sqrt{2}$
選項5：由正弦定理可知，$2R=\frac{\overline{AC}}{sinB}=\frac{10\sqrt{17}}{7\sqrt{2}}$，因此$R>\frac{14\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}=2$
答案選1、4

多選第9題：平面向量

已知 $P$ 為 $\Delta ABC$ 內一點，且 $\vec{AP}=a\vec{AB}+b\vec{AC}$，其中 $a、b$ 為相異實數。設 $Q, R$ 在同一平面上，且 $\vec{AQ}=b\vec{AB}+a\vec{AC}$， $\vec{AR}=a\vec{AB}+(b-0.05)\vec{AC}$。試選出正確的選項。

$Q, R$也都在$\Delta ABC$內部
$|\vec{AP}|=|\vec{AQ}|$
$\Delta ABP面積=\Delta ACQ面積$
$\Delta BCP面積=\Delta BCQ面積$
$\Delta ABP面積>\Delta ABR面積$

這一題雖然不難，但挺花時間的。
選項1：首先我們要先知道，當 $P$ 在 $\Delta ABC$ 內一點，則 $a, b$ 要滿足什麼條件？
答案是 $a>0, b>0, a+b<1$。由此我們可以很快判斷，$Q$ 也在 $\Delta ABC的內部$。
但是，因為$b-0.05$的正負未定，故 $R$ 的位置不一定。

選項2：這個選項是容易的，我們只需將這兩個向量長度平方就會發現，無法確定此兩向量是否相等。
選項3：我們已經知道 $P$ 與 $Q$ 皆在 $\Delta ABC的內部$，畫個示意圖來看看：

分別將 $\overline{AP}$ 與 $\overline{AQ}$ 延長，分別交 $\overline{BC}$ 於 $P’$, $Q’$兩點，而且 $\overline{AP}:\overline{AP’}= \overline{AQ}:\overline{AQ’}=a+b:1 $，而且$ \overline{CP’}:\overline{BP’}=\overline{BQ’}:\overline{CQ’}=a:b $

選項4：由上圖可推得，$\Delta BCP面積=(1-a-b)\Delta ABC面積=\Delta BCQ面積$
選項5：因為 $R$ 的位置不確定在 $\Delta ABC$ 的內部或外部或是在線段上，不難驗證，如果$R$的位置在 $\Delta ABC$內部，則$\Delta ABP面積>\Delta ABR面積$。

因此，我們要舉反例要朝著$R$在 $\Delta ABC$外部試試。
例如：$a=0.025, b=0.025$，圖示觀察一下

此時
$$\Delta ABP面積=\frac{1}{40}\Delta ABC面積=\Delta ABR面積$$

以上是幾何觀點，換代數寫法試試

令$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$, 則
$$
\begin{aligned}
\Delta ABP面積 &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}| \\
&= \frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times(a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v})| \\
&=\frac{1}{2}|b\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}|\\
&=|b|\Delta ABC面積
\end{aligned}
$$
同理，$$\Delta ABR面積=|b-0.05|\Delta ABC面積$$
若$b=0.025$，則$$\Delta ABP面積 = \Delta ABR面積$$
故選項(5)不正確。

因此答案選3、4

多選第10題：三次多項式問題

給定一實係數三次多項式函數 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+3$。令 $g(x)=f(-x)-3$，已知 $y=g(x) $圖形的對稱中心為 $(1, 0)$ 且 $g(-1)<0$。試選出正確的選項：

$g(x)=0$有三相異整數根
$a<0$
$y=f(x)$圖形的對稱中心為$(-1, -3)$
$f(100)<0$
$y=f(x)$的圖形在點$(-1, f(-1))$附近會近似於一條斜率為$a$的直線。

這一題是108課綱高一的內容，不少學生在這裡嚐到苦頭。首先我們先寫出三次多項式$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+3$$的對稱中心$$(-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))$$
另外，$$g(x)=f(-x)-3=-ax^3+bx^2-cx$$
$y=g(x)$之對稱中心為$$(\frac{b}{3a}, g(\frac{b}{3a}))=(1, 0)$$

因此，$\frac{b}{3a}=1$ 並且由 $g(1)=0$ 可得 $-a+b-c=0$，即$$c=b-a=3a-a=2a$$
接下來我們來看看每個選項如何作答：

選項1：$g(x)=-ax^3+3ax^2-2ax=-ax(x^2-3x+2)=-ax(x-1)(x-2)$
因此，$g(x)=0$ 有三個整數根 $x=0, 1, 2$

選項2：由 $g(-1)<0$ 可得 $-a\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)<0$, 故 $ a<0 $
選項3：$y=f(x)$ 圖形之對稱中心為$ (-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))=(-1, 3)$
選項4：$f(100)=g(-100)+3=-a\cdot(-00)\cdot(-101)\cdot(-103)+3$ 正負無法確定
選項5：$f(x)=g(-x)+3=ax(-x-2)(-x-2)+3=ax(x+1)(x+2)+3$。因為 $a<0$，所以 $y=f(x)$ 的圖形在點 $(-1, f(-1))$ 附近會近似於一條斜率為正的直線。(如下圖所示)

多選第11題：空間概念

下圖為一個積木的示意圖，其中 $ABC$ 為一直角三角形，$\angle{ACB}=90^{\circ}, \overline{AC}=5, \overline{BC}=6$，且 $ADEB$ 與 $ADFC$皆為矩形。試選出正確的選項。

將此積木沿平面 $ACE$ 切下，可切得兩個四面體
平面 $ADEB$ 與 $ADFC$ 所夾銳角大於 $45^{\circ}$
$\angle{CEB}<\angle{AEB}$
$tan{\angle{AEC}}<sin{\angle{CEB}}$
$\angle{CEB}<\angle{AEC}$

這一題是空間概念的問題，主要考兩面角的概念。

選項1，沒有什麼抉竅，將圖形畫出來即可。

從上圖可以看出來此積木被切成四面體 $ACBE$ 及五面體 $ADECF$

選項2：我們知道，兩面角要在兩個平面的交線上找，平面 $ADEB$ 與 $ADFC$ 的交線即為 $AD$。因為$BA\bot AC$，所以此夾角為 $\angle{BAC}$，並且 $$tan{\angle{BAC}}=\frac{6}{5}>1=tan{45^{\circ}}$$
因此 $\angle{BAC}>45^{\circ}$

選項3：如下圖所示：

這個選項，我認為要先確認 $\angle{CBE}=90^{\circ}$。也就是說要設法驗證 $\overline{CB}^2+\overline{BE}^2=\overline{CE}^2$。這部份就交給讀者，如果還是不太會的話再參考文章最下方的影片解說。
接著，$\tan{\angle{CEB}}=\frac{6}{a}<\frac{\sqrt{61}}{a}=tan{\angle{AEB}}$
故 $\angle{CEB}<\angle{AEB}$

選項4：$\angle{AEC}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CE}}<\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=sin{\angle{CEB}}$

選項5：延續選項4，$$tan{\angle{AEC}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CE}}<\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=sin{\angle{CEB}}<tan{\angle{CEB}}$$
因此 $\angle{AEC}<\angle{CEB}$

多選第12題：除法原理

設 $f(x), g(x)$ 皆為實係數多項式，其中 $g(x)$ 是首項係數為正的二次式。已知 $ (g(x))^2 $ 除以 $f(x)$ 的餘式為 $g(x)$，且 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸無交點。試選出不可能是 $y=g(x)$ 圖形頂點的 $y$ 坐標之選項。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$
1
$\sqrt{2}$
2
$\pi$

這一題出得不錯，也不是常見的考法。
首先，依照題意，我們可以看出餘式 $ g(x) $ 的次數如下：

$$2=degg(x)<degf(x)\leq 4$$

因此 $ degf(x)=3$ 或 $4$
這個觀察非常重要，是這一題的解題關鍵。
接著我們再看看題目還有什麼條件：
因為 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸沒有交點，因此 $deg f(x)=4$
由以上可知，$(g(x))^2$ 除以 $f(x)$ 的商式為一個非零的常數，令為 $k$
此時我們可以將式子表示如下：$$g(x)^2-g(x)=kf(x)$$因為 $f(x)=0$ 無實根，所以 $g(x)^2-g(x)=0$ 無實根。也就是說，$g(x)=0$ 且 $g(x)=1$ 無實根。
要特別注意到，$y=g(x)$ 是開口向上的拋物線。因此，$g(x)>1$ $\forall x\in R$，此拋物線的頂點的 $y$ 坐標大於1。

答案選1、2

選填第13題：期望值 – 是否抽得到金卡？

有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用1500枚代幣，抽中金卡的機率在前九次皆為 $2\%$，在第十次為$10\%$。今某生有代幣23000枚，且不斷使用「十連抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為幾張？

這一題的敘述不太容易理解。我們來分析一下：

當系統進行「十連抽」時，每一抽都是一個獨立事件。而且這十連抽最多會有10張金卡。另外，每次抽卡時，只會有兩種結果，分別是「抽中金卡」及「沒有抽中金卡」。因此這是一個二項分布。所以當我們進行一次「十連抽」時，可算出期望值為 $9\cdot 0.02+1\cdot 0.1=0.28$

接下來，我們要看看23000枚代幣可以玩幾次：

$$\frac{23000}{1500}=15\frac{1}{3}$$

因此可以玩15次「十連抽」，期望值為玩1次「十連抽」的15倍，故最後答案為$$15\times 0.28=4.2$$

選填第14題：線性方程組、矩陣的列運算

已知 $a、b$ 為實數，且方程組
$$
\begin{cases}
ax+5y+12z=4 \\
x+ay+\frac{8}{3}z=7 \\
3x+8y+az=1
\end{cases}
$$
恰有一組解，又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為
$$
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & b & 7 \\
0 & b & 5 & -5 \\
0 & 0 & b & 0 \end{array} \right]
$$
則$a=?$ $b=?$ (化為最簡分數)

這一題不難，按題意依序處理即可：
首先，因為此方程組恰一組解，因此 $b\neq 0$，$z=0$

接著，我們可以將所有方程式列出如下：

$$
\begin{cases}
ax+5y=4 — (1)\\
x+ay=7 — (2)\\
3x+8y=1 — (3)\\
x+2y=7 — (4)\\
by=-5 — (5)
\end{cases}
$$

由 $(3), (4)$ 解得 $x=27, y=-10$ — (6)

(6) 代入 (1)： $27a-50=4$, $a=2$
(6) 代入 (5)： $b\cdot (-10)=-5$, $b=\frac{1}{2}$

選填第15題：三角函數的應用

如圖，王家有塊三角形土地 $\Delta ABC$，其中 $\overline{BC}=16$ 公尺。政府擬徵收其中梯形$DBCE$部分，開闢以直線 $DE, BC$ 為邊線的馬路，其路寬為 $h$ 公尺，這讓王家土地只剩原有面積的$\frac{9}{16}$。經協商，改以開闢平行直線$BE, FC$為邊線的馬路，且路寬不變，其中$\angle{EBC}=30^{\circ}$，則只需徵收$\Delta BCE$ 區域。依此協商，王家剩餘的土地$\Delta ABE$ 有多少平方公尺？

首先，我們先假設$\Delta ABC$面積為 $x$，那麼 $h=16sin30^{\circ}=8$，如下圖所示：

接下來，由 $\Delta ADE \sim \Delta ABC$ 可知
$$\Delta ADE面積：\Delta ABC面積 = \overline{DE}^2:\overline{BC}^2$$
代入條件可得
$$\frac{9}{16}:1=\overline{DE}^2:16^2$$
進而解出 $\overline{DE}=4\cdot 3 =12$
最後利用梯形 $BCED$的面積＝$\frac{7}{16}x$
$$(12+16)\times 8 \times \frac{1}{2}=\frac{7}{16}x $$
解得 $x=256$
另外，$$\Delta BDE面積：\Delta BCE面積 = \overline{DE}:\overline{BC} = 12:16 = 3:4$$
因此，$$\Delta ABE面積=\Delta ADE面積＋\Delta BDE面積$$
$$=\frac{9}{16}x+\frac{7}{16}x\cdot\frac{3}{7}=\frac{12}{16}x=\frac{3}{4}x=192$$

選填第16題：空間中的直線與平面

坐標空間中，平面 $x-y+2z=3$上有兩相異直線 $ L:\frac{x}{2}-1=y+1=-2z$與 $L’$。
已知 $L$也在另一平面$E$上，且 $L’$ 在 $E$的投影與 $L$重合。則 $E$的方程式為何？

這種題目還是要圖示比較清礎：

關鍵在這一句話：「$L’$在$E$的投影與 $L$重合」。這表示，平面 $E$ 必須與平面 $E’$ 垂直。
有了這個觀察，接下來就是我們熟悉的操作：
因為 $\overrightarrow{n_E} // (1,-1, 2)\times (4, 2, -1)=(-3,9,6) // (1, -3, -2)$

令平面 $E$的方程式為 $x-3y-2z=d$，因為 $(2, -1, 0)\in E$，所以 $d=2-3\cdot(-1)-2\cdot 0=5$

最後確定平面 $E$ 的方程式 $$x-3y-2z=5$$

選填第17題：空間向量 – 平行六面體的計算

坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為 $(-1, 2, 1), (-4, 1, 3), (2, 0, -3)$，另一面之一頂點在 $xy$ 平面上且與原點距離為1。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為多少？

同樣地，幾何問題我們畫個圖來看一下：

因為 $D$ 點在 $xy$ 平面上，因此可以設 $D(a, b, 0)$，而且 $a^2+b^2=1$
這個是由三個向量 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ 所張開的平行六面體，其中
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(8, -6, 9)$$
此平行六面體的體積為$$V=|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AD}|
=|(8, -6, 9) \cdot (a+1, b-2, -1)|
=|8a-6b+11|
$$

接著使用柯西不等式
$$(a^2+b^2)(8^2+(-6)^2)\geq (8a-6b)^2$$
代入條件可得
$$1\times 100 \geq (8a-6b)^2$$
因此$-10\leq 8a-6b\leq 10$
最後，$$1\leq 8a-6b+1 \leq 21$$

第貳部分、混合題或非選擇題 18-20題為題組：掃描棒怎麼掃？

坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓$C_1:x^2+y^2=3 (y\geq 0)$、$C_2:x^2+y^2=4 (y\geq 0)$上移動。開始時掃描棒黑端在點 $A(\sqrt{3}, 0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。接著黑、白兩端各沿著$C_1$、$C_2$逆時針移動，直至白端碰到 $C_2$ 的點 $B'(-2, 0)$ 便停止掃描。

這一題題意讓不少考生無法理解，是個不夠清礎的敘述。結果學生不是敗在數學，而是語文敘述。這樣的考題很新穎，但卻也有點可惜。
我們先來畫個圖看一下：

一開始，掃描棒黑端在 $A(\sqrt{3}, 0)$，白端在 $B(\sqrt{3}, 1)$ 的位置。第18題就可以選答案了。

18. 試問點 $B$ 的坐標為下列哪一選項？

$(0,2)$
$(1, \sqrt{3})$
$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$
$(\sqrt{3}, 1)$
$(2, 0)$

答案選4

19. 令 $O$ 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 $A’, B’$。試在答題卷上作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域$R$；並於求解區內求 $cos\angle{OA’B’}$及點 $A’$ 的極坐標。

依照題意敘述，到底這個掃描棒是怎麼掃的呢？讓我們來看看下面的動畫：

坦白說，知道掃描棒是這樣掃的話，這一題根本就不難了呀！我們將最後的圖畫出來如下：

因為 $\overline{OA’}^2+\overline{A’B’}^2=\overline{OB’}^2$，所以 $\angle{OA’B’}=90^{\circ}$
因此$$cos\angle{OA’B’}=cos{90^{\circ}}=0, $$
並且 $$A'[\sqrt{3}, \frac{5}{6}\pi]$$

20. (承19題) 令 $\Omega$ 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 $\Omega$ 與 $R$ 的面積。

關於 $\Omega$ 的部份，圖形如下：

$\Omega$ 的面積 = 圓心角$60^{\circ}$環狀區域面積＋剩下的部份面積
$$=\frac{1}{2}(2^2-\sqrt{3}^2)\cdot\frac{\pi}{3}+(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot{\sqrt{3}^2}\cdot{\frac{\pi}{6}})=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{12}$$

$R$ 的部份區域如下：