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112年學測數B試卷112年學測數B選擇(填)題解答

前言

學測數B試題是針對未來低數學需求的大學選才參考而設計,所以原則上會較數A簡單。但是有些數B特有的單元,例如:平面上的比例(單點透視法、黃金比例)、地球經緯線(度)、圓錐曲線截痕的判斷,則必須特別留意。就我自己教學的經驗,這些單元主要是概念性的介紹,計算上是容易的。但是沒有建立觀念,會完全不知道從何判斷。

接下來針對題型分類,快速掃描這份試題內容。

這份試題有單選題7題、多選題5題、選填題5題、非選題為題組,有三個小題。

現在來說說單選題的部份:
第1題,單項式三次函數圖形的判讀,基礎觀念題。
第2題,二階矩陣的計算,簡易計算,基礎題。
第3題,三角測量題,圖示+簡易計算,基礎題。
第4題,百分位數的判讀,中等難度。
第5題,條件機率常見考題,中等難度。
第6題,多項式除法,基礎題。
第7題,圓錐曲線截痕判斷,數B特有題,中偏難。
以上單選題的部份整體難易度中偏易,容易掌握。

多選題的部份
第8題,等差數列的應用問題,只要理解題意就能輕易判斷了,基礎題。
第9題,有理數與無理數在數線上的位置判斷,中等難度。
第10題,指數函數的應用問題,生活素養題,題目較長,要耐心閱讀,中等難度。
第11題,點與圓、直線與圓的位置關係判斷,需要分情況討論,中偏難,有鑑別度。
第12題,數B才有的單元,地球經緯線問題
以上多選題的部份難易度中偏難,考驗學生觀念是否清楚,計算是否細心。

選填題的部份
第13題,指對數的基本運算,基礎題。
第14題,這是排列組合與等差數列結合的常考題,只要用到等差中項的方式去想,非常容易。
第15題,平面向量內積的運算,基礎題。
第16題,常見的褶紙對稱問題,中偏難,有鑑別度。
第17題,計數原理的應用,應該是整份考題最難的一題,有鑑別度。
以上選填題難易度落差甚大,但是由簡單至困難編排,前三題大部份同學應該不會有太大的問題,後面兩題是同學是否能取得高分的關鍵。

非選題的部份
這種混合題是新課綱學測新增題型,牽涉到數B才有的單元:「單點透視法」,以及直線方程式、分點公式、平行線截比例線段,且素養導向,有鑑別度。

這份試卷整體難易度適中,著重生活化與應用,文字量較大,考驗同學的閱讀能力。

以上是快速瀏覽整份試卷,解題細節請繼續往下看「題型及試題內容分析」。

題型及試題內容分析

第1題:三次函數的圖形 – 基礎

依題意,可以令 \(y=kx^3\),因此應該如選項(1)所繪製的圖形。

第2題:二階矩陣的乘法運算 – 基礎

這一題是考矩陣乘法的運算,基礎題,只要細心不要算錯即可,可看以下影片解說。

第3題:三角測量 – 基礎

這一題是基本的三角測量題,可繪製示意圖如下:

已知 \(\overline{AB}=150\),在直角 \(\Delta ABC\) 中,$$\overline{BC}=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$

因此答案選(4)

第4題:百分位數的判斷 – 中等

這一題是關於百位位數的基本觀念,首先我們可以先畫個示意圖比較好理解:

可以先估算一下第50百分位數所在的位置:\(29\times 50\%=14.5\),也就是說前15名學生是不低於60分的。如果將前15名學生的分數各加5,可得 $$a=41, b=65, c=79, d=97$$
因此答案選(3)。

第5題:條件機率 – 中等

設 \(B\) 為甲抽到7號球的事件。我們依選項來看:

(1) 設 \(A\) 為某甲抽到球的號碼是奇數,則 $$P(B|A) = \frac{1}{50}$$

(2) 設 \(C\) 為某甲抽到球的號碼是質數,則 $$P(B|C) = \frac{1}{25}$$

(3) 設 \(D\) 為某甲抽到球的號碼是 7 的倍數,則 $$P(B|D) = \frac{1}{14}$$

(4) 設 \(E\) 為某甲抽到球的號碼不是 5 的倍數,則 $$P(B|E) = \frac{1}{80}$$

(5) 設 \(F\) 為某甲抽到球的碼號小於 10 的倍數,則 $$P(B|F) = \frac{1}{9}$$

由以上可知,\( P(B|F) \) 最大,因此答案選 (5)

第6題:多項式的除法 – 中等

誤看的情形如下:

因此可得 $$b-a^2=0, c-ab=-3, d-ac=-17$$

接著看 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\) 的情形:

其中 $$p=\frac{a^2-b}{a}=0$$

因此答案選 (3)

第7題:圓錐曲線的截痕 – 中等

這一題是數B特有的題型,關於圓錐曲線截痕的判斷,要看「母線」與「軸」的夾角\(\alpha\)與「地板」與「軸」的夾角\(\beta\)範圍來判斷。分類如下:

如果 \(\beta=90^{\circ}\),則此圖形為「一圓」。
如果 \(\beta=30^{\circ}\),即「地板」與其中一條「母線」平行,則此截痕為「拋物線」。
如果 \(\beta<\alpha\),則此截痕為「雙曲線」
如果 \(\beta>\alpha\),則此截痕為「橢圓」。
此題的 \(\alpha=30^{\circ}\)、\(\beta=60^{\circ}\),符合此情形,因此答案選 (4)

第8題:等差數列 – 中等

這一題依選項,可列出不同\(T\)值之下,撥放廣告的情形:

選項(1):\(T=15\)時,15、30、45、60、…。即30分鐘後,某甲回到該處會看到 A廣告。

選項(2):\(T=10\)時,10、20、30、40、…,即30分鐘後,某甲回到該處會看到 B廣告。

選項(3):\(T=8\)時,8、16、24、32、…,即30分鐘後,某甲回到該處會看到 A廣告。

選項(4):\(T=6\)時,6、12、18、24、30、…、即30分鐘後,某甲回到該處會看到 B廣告。

選項(5):\(T=5\)時,5、10、15、20、25、30、…,30分鐘後,某甲回到該處會看到 A廣告。

由以上討論可知,答案選(2)、(4)

第9題:數與式 – 中等

這一題是綜合觀念題,我們逐個選項來看看:

選項(1):因為 \(a, b, d\) 皆為有理數,\(c\) 為無理數。那麼我們將四數相加拆成兩部份:$$(a+b+d)+c$$

因此這個選項錯誤。

由有理數的封閉性可知,\(a+b+d \in Q\)
因為任何「有理數」+「無理數」必定為有理數(可以用反證法論證),因此 $$a+b+c+d \in Q^c$$

選項(2):我們只要找個反例即可,如果 \(d=0\),則 $$abcd=0 \in Q$$

因此,這個選項錯誤。

選項(3):是否有可能找到 \(d\) 使得 $$|d-2\sqrt{10}|=2\sqrt{10}+6 ?$$
這個例子很好找,取\(d=-6\) 即可,因此這個選項正確。

選項(4):首先先寫出點 \(A\) 及 點 \(B\) 的中點 $$\frac{6+\frac{20}{3}}{2}=\frac{19}{3}$$

接著比較 \(\frac{19}{3}\) 及 \(2\sqrt{10}\) 的大小,我們將這兩個數平方:

$$(\frac{19}{3})^2=\frac{361}{9}, (2\sqrt{10})^2=40$$

因為 \(\frac{361}{9} > 40\),所以 $$\frac{19}{3}>2\sqrt{10}$$

即 點\(A\)和點\(B\)的中點位於點\(C\)的右邊,故此選項正確。

選項(5):設數線上某點的座標為 \(x\),由題意:$$|x-\frac{20}{3}|<8$$

去掉絕對值可得 $$-\frac{4}{3}<x<\frac{44}{3}$$

因為 \(x\) 為整數,故 $$x=-1, 0, 1, 2, …, 14$$

其中正整數有14個,負整數有1個,此選項正確。

因此答案選(3)、(4)、(5)

第10題:按比例成長模型 – 中等

選項(1):按照規律,我們可以寫出在18點時,甲數量為 \(4X\),乙數量為 \(8Y\),且 \(4X=8Y\),因此可得 $$X:Y=2:1$$
即\(X>Y\),故選項(1)正確。

選項(2):在13點時,甲的數量應該是 \(2^{\frac{1}{3}}X\),此選項錯誤。

選項(3):在15點時,乙的數量為 \(Y\cdot 2^{\sqrt{3}{2}}\),此選項錯誤。

選項(4):在19點時,乙的數量與甲的數量比值為 $$\frac{Y\cdot 2^{\frac{7}{2}}}{X\cdot 2^{\frac{7}{3}}}=2^{\frac{1}{6}}\neq 1.5$$

此選項錯誤。

選項(5):在24點時,乙的數量與甲的數量比值為 $$\frac{Y\cdot 2^6}{X\cdot 2^4}=2$$

此選項正確。

因此答案選(1)、(5)

第11題:直線與圓的關係 – 中偏難

首先,依題意 \(\overline{PA}=a+c\),將等號兩邊平方:$$(a-c)^2+(b-c)^2=(a+c)^2$$

整理上式可得:$$b^2+c^2-4ac-2bc=0$$

因為圓心與兩座標軸相切,因此 \(a=b\) 或 \(a=-b\)

如果 \(a=b\),則 $$a^2+c^2-6ac=0$$

接著用二次方程式的公式解,可以寫出 \(a、c\) 的關係(要注意 \(a>c>0\)):$$a=(3+2\sqrt{2})c$$

如果 \(a=-b\),則 $$a^2+c^2-2ac=0$$
上式剛好是一個完全平方式 \((a-c)^2=0\),因此 \(a=c\) (不符合原題意)。

選項(1):由以上討論可知 \(a=b\),故此選項正確。

選項(2):因為 \(a=b\),所以點 \(P\) 位於直線 \(x-y=0\) 上。此選項錯誤。

選項(3):因為 \(\overline{AP}=a+c>a\),所以點 \(P\) 必在此圓外。此選項錯誤。

選項(4):$$\frac{a+c}{b-c}=\frac{a+c}{a-c}=\frac{(3+2\sqrt{2})c+c}{(3+2\sqrt{2})c-c}$$

將以上分數的分子與分母整理並且約分再有理化分母後可得其值為 \(\sqrt{2}\),此選項正確。

選項(5):$$\frac{a}{c}=\frac{(3+2\sqrt{2})c}{c}=3+2\sqrt{2}$$
此選項錯誤。因此答案選(1)、(4)

第12題:空間的幾何概念 – 中偏難

關於地球經緯線與經緯度的判讀也是數B才有的內容。為了方便以下的討論,假設此球形地球儀的半徑為 \(R\)

選項(1):東經\(0^{\circ}\) 和 \(180^{\circ}\) 這兩條經線皆為半徑 \(R\) 的半圓,因此其長度總和為赤道長度,正確!
選項(2):北緯 \(45^{\circ}\) 線就是半徑為 \(Rcos45^{\circ}\) 的圓,其長度應為赤道長度的 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\),此選項錯誤。
選項(3):「由 A 沿赤道移動到 B 的最短路徑長」=「由 D 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線移動到北極點的路徑長」=半徑 \(R\) 且圓心角為 \(60^{\circ}\) 的弧長 = \(\frac{\pi R}{3}\)。如下圖所示:

選項(4):「由D沿北緯\(30^{\circ}\)線移動到 E 的路徑長」=「半徑為\(Rcos30^{\circ}\)的半圓周長」=\(\pi\cdot Rcos30^{\circ}\)。另外,「由 D 沿東經 \(0^{\circ}\)經線移動到北極點,再由北極點沿東經\(180^{\circ}\)經線移動到 E 的路徑長的總和」=半徑 \(R\) 且圓心角為 \(\frac{2\pi}{3}\) 的弧長 = \(R\cdot \frac{2\pi}{3}\),如下圖所示:

此兩段長度不相等,故此選項錯誤。

(5) 設北點極為 \(N\),接著座標化:$$A(R,0,0), C(0,R,0), N(0,0,R)$$

$$
\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{NB} = (R,0,-R) \cdot (0,R,-R) = R^2 \neq 0
$$
因此,\(\overrightarrow{NA}\) 與 \(\overrightarrow{NB}\) 不垂直,最後答案選 (1)、(3)。

第13題:指對與對數運算 – 基礎

這一題是基礎的對數運算題,首先我們將式子 \(ab^2=10^5\) 等號兩邊平方可得 \(a^2b^4=10^10\),接著將兩個式子聯立如下:
$$\begin{aligned}
a^2b^4 &= 10^{10} — (1) \\
a^2b &= 10^3 — (2)
\end{aligned}$$

接著將兩式相除可得:$$\frac{(1)}{(2)}: b^3 = 10^7$$

將等號兩邊同時開3次方根可得 \(b = 10^{\frac{7}{3}}\),接著兩邊取對數:$$log b=\frac{7}{3}$$

第14題:組合 – 中等

這一題很常見,用等差中項的觀念破題是不錯的選擇:$$a+c= 2b (偶數)$$
兩個數相加是偶數,有哪些可能呢?
可以「奇數+奇數」或「偶數+偶數」。
另外,奇數有10個,偶數有10個。因此兩種取法合計 $$C^{10}_2+C^{10}_2=90$$

第15題:平面向量的內積 – 中等

由這個圖可知 \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 與 \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 夾 \(15^{\circ}\), \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 與 \(\overrightarrow{P_4P_5}\) 夾 \(30^{\circ}\),\(\overrightarrow{P_2P_3}\) 與 \(\overrightarrow{P_5P_6}\) 夾 \(45^{\circ}\)。

因此,$$\overrightarrow{P_2P_3}\cdot \overrightarrow{P_5P_6} = 2\cdot 2 \cdot cos45^{\circ} = 2\sqrt{2}$$

第16題:直線方程式的應用 – 中偏難

這一題我在影片中有提供兩種方法,文字解題的部份僅呈現我認為較佳的方法2。如下圖,經由座標化,可以先標出原點 \(O(0,0)\) 及 \(P(6,8)\)。

接著連接 \(\overline{OP}\),並且可看出 \(\overline{OP}\) 與褶線 \(\overline{AB}\) 垂直。

只要能夠寫出直線 \(AB\) 的方程式,再算出直線 \(AB\) 與兩軸的交點 \(A, B\),便可求出褶進去的三角形面積。

因為 \(\overline{OP}\perp\overline{AB}\),所以直線\(OP\) 與 \(AB\) 斜率相乘為 \(-1\)。

直線 \(AB\) 的斜率 \(m_{AB}=\frac{-1}{m_{OP}}=-\frac{3}{4}\),且通過直線 \(AB\) 及 \(OP\)的交點 \((3,4)\)。

因此直線 \(AB\) 的方程式為:\(3x+4y=25\),因此點 \(A\) 與 \(B\) 的座標為 $$A(\frac{25}{3},0), B(0,\frac{25}{4})$$ $$\Delta ABP 面積=\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}\cdot\frac{25}{4}=\frac{625}{24}$$

第17題:加法原理與乘法原理 – 難

這一題應該是整份試卷中最難的一題,我們來分析一下:
情況1:有5個0,0 0 0 0 0,這個情況貢獻了4次連續兩個 0。

情況2:有4個0,0 0 0 0 X 或 X 0 0 0 0,這個情況貢獻了 \(3\times C^2_1\times 2 =12\) 次連續兩個0。

情況3:有3個 0,
第1類:【三個 0 相鄰】0 0 0 X X 或 X X 0 0 0 或 X 0 0 0 X,這個情況貢獻了 \(2\times 2^2\times 3 = 24\) 次連續兩個 0
第2類:【兩個 0 相鄰,1個 0 分開】0 0 X X 0 或 0 0 X 0 X 或 X 0 0 X 0 或 0 X 0 0 X 或 X 0 X 0 0 或 0 X X 0 0,這個情況貢獻了 \(1\times 2^2\times 6 = 24\)

情況4:有2個 0,__X__X__X__,4個空隙插入1個放入兩個0,這個情況貢獻了 \(C^4_1\times 2^3=32\)

所求=\(4+12\times2+24\times 2+32 = 108\),因此 $$a(5)=108$$

第18~20題(題組)

第18題:向量的係數積 – 中等

第19題:數與式、直線與圓 – 中等

第20題:分點公式 – 中等

從考題擬訂學習高中數B的策略

112年學測數B已分析完畢,藉由這些考題,提醒同學們在學習數B的課程內容時,可以採取以下策略:

1. 務必掌握基礎知識

數B本身就是對於低數學需求的學生而設計的,所以考題多以基礎觀念為主,大多數題目的計算都相當容易。因此,考生務必將課本的每個單元至少研讀過一遍,並寫完課本與習作附上的練習題。

2. 必須頻繁練習

數B考題雖然都以概念性為主,但是仍有不少的基礎計算。如果同學平日練習不足,考試時容易粗心算錯,或是計算太慢造成題目寫不完的情形。因此,建議修習數B的同學,只要學習基礎題型即可,並將學會的題目反覆演練,降低出錯的頻率。

3. 注重思維訓練

我知道有不少修習數B的同學,並不想花太多時間在數學的學習上面。可是這兩年數B的考題似乎也沒有想像中的簡單,甚至也會穿插1~2題難題。所以學習的過程中,還是要避免以背記為主的學習方式,試著多理解,對於考試成績的提升才會有所幫助,也比較不會浪費同學們寶貴的時間。

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