2022 年 5 月 26 日

111年學測數學A試題分析與詳解 108課綱第一屆的震撼教育

前言

Hello,歡迎你來到這裡。這篇文章是我於2022年1月29日發佈,距離考試後大約一週左右。

今年數學A考完後,考生們哀鴻遍野。題目的文字量偏多,題意不易理解,難題比例偏高,要在考試時間內寫好整份考題是非常不容易的事。

我認為這是一份很用心命題的試卷,作為數學的練習、討論、研究都是不錯的。然而作為學測考題,就有些為難學生了。畢竟在有時間壓力的情況下,整份考卷卻幾乎沒有基礎題,我可以想像大多數學生在考場上的心情一定十分挫折。

因為試題詳解已經很多人寫了,因此這一篇文章將以分析觀念、聊聊天為主,解題的細節我已錄製好影片,有需要的讀者可自行參考。

完整試題及參考解答下載

試題解答

各單元比重統計

第一冊(35分)第二冊(30分)第三冊A(10分)第四冊A(25分)
單元01 實數單元01 數列與遞迴關係
單選4(混合對數)(5分)
單元01 弧度量單元01 空間概念 - 多選第11題(5分)
單元02 式的運算單元02 級數單元02 三角函數的圖形單元02 空間向量的坐標表示法
單元03 絕對值-多選第7題 (5分)單元03 計數原理單元03 三角的和差角公式單元03 空間向量的運算
單元04 指數單元04 排列單元04 正餘弦的疊合單元04 三階行列式 - 選填第17題(5分)
單元05 常用對數單元05 組合-單選第1題(5分)單元05 指數函數單元05 空間中的平面
單元06 直線方程式 - 單選第6題(5分)單元06 古典機率單元06 對數與對數律-單選第2題(5分)單元06 空間中的直線 - 選填第16題(5分)
單元07 圓方程式 - 非選擇題(15分)單元07 數學期望值 - 選填第13題(5分)單元07 對數函數單元07 條件機率與貝氏定理-單選第5題(5分)
單元08 圓與直線單元08 一維數據分析單元08 平面向量 - 多選第9題(5分)單元08 三元一次聯立方程式 - 選填第14題(5分)
單元09 多項式的除法原理- 多選第12題(5分)單元09 二維數據分析
-單選第3題(5分)
單元09 平面向量的內積單元09 矩陣的運算
單元10 一次與二次函數單元10 直角三角形的三角比 - 選填第15題(5分)單元10 二元一次聯立方程式單元10 矩陣的應用
單元11 三次函數的圖形特徵 - 多選第10題(5分)單元11 廣義角三角比與極坐標
單元12 多項式不等式單元12 三角比的性質 - 多選第8題(5分)

試題分析

單選第1題:組合-冰淇淋有多少種買法?

某冰淇淋店最少需準備 \(n\) 種不同口味的冰淇淋,才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過100種」。試問來店顧客從 \(n\) 桶中任選兩球(可為同一口味)共有幾種方法?

  1. 101
  2. 105
  3. 115
  4. 120
  5. 225

這一題前半段是「一般組合」的概念,後半段是「重複組合」的概念。108課綱已刪除「重複組合」,所以任選兩球我們可以分成兩種情況討論,分別是「2同」、「2異」。

首先,先估計一下,至少會有幾種冰淇淋:\(C^n_2>100\),\(n\geq 15\)
因此,至少需準備15種冰淇淋。
其中2同的部份有15種,2異的部份有\(C^{15}_2\)=105 種
合計:\(15+105=120\) 種。

另一種觀點:對於15種冰淇淋要取出兩球的方法,可以想成:試求方程式
$$a_1+a_2+…+a_{15}=2$$
的非負整數解有幾組?
這就是我們舊課綱提到的重複組合,總共有 \(H^{15}_2 = C^{16}_2=120 \) 種

這一題不算簡單,屬於一般難度的考題。

單選第2題:對數運算

某品牌計算機在計算 \(log_ab\) 時需按log ( a , b )。某生在計算 \(log_ab\) 時(其中\(a>1, b>1\))順序弄錯,誤按 \(log_ba\) ,所得為正確值的\(\frac{9}{4}\)倍。試選出\(a,b\)間的關係式。

  1. \(a^2=b^3\)
  2. \(a^3=b^2\)
  3. \(a^4=b^9\)
  4. \(2a=3b\)
  5. \(3a=2b\)

這一題只是簡單的計算,是整份考卷少數的基本題。可先依據條件列式:
$$log_ba=\frac{9}{4}log_ab$$
然後利用\(log_ba \cdot \log_ab=1\)
要注意當\(a>1,b>1\)時,\(log_ab>0, log_ba>0\)
化簡後可得$$a^2=b^3$$

現在108課綱還沒開放使用計算機應試,考了一題不痛不癢的計算機敘述題。無論會不會使用計算機皆不影響這一題作答。看起來是要向社會大眾交待一下,我們的新課綱考題還是有融入計算機喔!但是到底政策如何,還是沒有個定論。

單選第3題:二維數據分析

在處理二維數據時,有種方法是將數據垂直投影到某一直線,並以該直線為數線,進而了解投影點所成一維數據的變異。下圖的一組二維數據,請問投影到哪一選項的直線,所得之一維投影數據的變異數會是最小?

  1. \(y=2x\)
  2. \(y=-2x\)
  3. \(y=-x\)
  4. \(y=\frac{x}{2}\)
  5. \(y=-\frac{x}{2}\)

第一眼看到這一題時,馬上聯想到「迴歸直線」、「最小平方法」,可能有些同學就會馬上選1這個答案。但是要小心的是,題目說的是「垂直」投影至直線上,而且要使得變異數為最小,所以關鍵在於找出投影點最集中的直線。因此答案選 5。

這一題考法真的在考驗考生的反應與靈活度,看起來像在考迴歸直線,其實是以二維數據的樣貌考一維數據分析。概念很簡單,但會給人一種陌生感。

單選第4題:等差數列與對數運算

設等差數列\(<a_n>\) 之首項 \(a_1\) 與公差 \(d\) 皆為正數,且 \(loga_1, loga_3, loga_6\) 依序也成等差數列。試選出數列 \(loga_1,loga_3,loga_6\) 的公差。

  1. \(logd\)
  2. \(log\frac{2}{3}\)
  3. \(log\frac{3}{2}\)
  4. \(log2d\)
  5. \(log3d\)

這一題也是這份試卷中少數簡單的題目之一,只需要利用到「等差中項」及基本的「對數律」運算即可求解。$$loga_1+loga_6=2loga_3$$
接著令 \(a_6=a_1+5d, a_3=a_1+2d\),化簡後可得 \(a_1=4d\)
最後計算 \(loga_3-loga_1=log\frac{a_3}{a_1}=log\frac{a_1+2d}{a_1}=log\frac{6d}{4d}=log\frac{3}{2}\) 即為題意要求的公差。

單選第5題:貝氏定理-染病問題

已知某地區有\(30 \%\)的人口威染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗,有陽性和陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為\(80\%\),將未染病者判為陰性的機率則為\(60\%\)。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況,專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中,染病者的機率為\(P\);而連續採檢三次皆判為陰性者中,染病者的機率為\(P’\)。試問\(\frac{P}{P’}\)最接近哪一選項?

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
  5. 11

這一題應該算時事題了,在寫這篇文章時台灣疫情又開始每日數十例確診,這個年基本上都要在家過了。這種形式的敘述,一看就知道考的是貝氏定理。只是我們大多看到的是單一檢測的題目,這一題要另外算三次檢測的情形。處理這類問題就是畫個樹狀圖,然後依題意寫出分母與分子。

單選第6題:直線方程式

設坐標平面上兩直線\(L_1, L_2\) 的斜率皆為正,且\(L_1, L_2\)有一夾角的平分線斜率為\(\frac{11}{9}\)。另一直線\(L\)通過點\((2,\frac{1}{3})\)且與\(L_1, L_2\)所圍的有界區域為正三角形,試問 \(L\) 的方程式為下列哪一選項?

  1. \(11x-9y=19\)
  2. \(9x+11y=25\)
  3. \(11x+9y=25\)
  4. \(27x-33y=43\)
  5. \(27x+33y=65\)

首先我們畫個示意圖來看看:

首先,我們可以看到選項2的直線 \(9x+11y=25\) 沒有通過點\( (2,\frac{1}{3}) \),因此可以直接刪去此選項。從題意可知,\(L_1, L_2\)的角平分線\(L’\)為此正三角形的中垂線,因此\(L\perp L’\)。由此可知\(L\)的斜率為\(-\frac{9}{11}\)。又因為直線 \(L\) 通過點\((2,\frac{1}{3})\),因此其方程式為\(L:27x+33y=65\),答案選5。

多選第7題:一次及二次不等式

設整數\(n\)滿足\(|5n-21|\geq 7|n|\)。試選出正確的選項。

  1. \(|5n-7n|\geq 21\)
  2. \(-1\leq\frac{7n}{5n-21}\leq 1\)
  3. \(7n\leq 5n-21\)
  4. \((5n-21)^2\geq 49n^2\)
  5. 滿足題設不等式的整數\(n\)有無窮多個

這一題是多選題當中較簡單的一題。嚴謹的做法是,針對錯的選項舉反例,正確的選項加以證明。

對於選項1,可考慮 \(n=-1\) 就會發現,此不等式 \(|5n-7n|\geq 21\) 不成立。
對於選項2,可以先將不等式兩邊同除以\(|5n-21|\),此時可寫成
$$|\frac{7n}{5n-21}|\leq 1$$
去掉絕對值可得
$$-1\leq \frac{7n}{5n-21}\leq 1$$
對於選項3,可舉反例 \(n=1\)
對於選項4,因為不等式兩邊皆為非負的數,因此平方後不等式方向不變。
對於選項5,可以「採用分段討論」或是考慮「\((5n-21)^2\geq 49n^2\)」

分段討論後,可得到兩段:「\(0\leq n\leq\frac{7}{4}\)」以及「\(21-5n\geq -7n\)」
最後取得\(n=-10, -9, -8, …, -1, 0, 1\),合計12個。最後答案選2、4

多選第8題:三角函數

坐標平面上,\(\Delta ABC\)三頂點的坐標分別為\(A(0,2), B(1,0), C(4,1)\),試選出正確的選項。

  1. \(\Delta ABC\)的三邊中,\(\overline{AC}\)最長
  2. \(sinA<sinC\)
  3. \(\Delta ABC\)為銳角三角形
  4. \(sinB=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)
  5. \(\Delta ABC\)的外接圓半徑比2小

這一題是三角函數的一般題型,不難。

選項1:兩點間的距離公式,直接計算即可。
選項2:由正弦定理可知\(sinA:sinC=\overline{BC}:\overline{AB}=\sqrt{10}:\sqrt{5}\),故\(sinA>sinC\)
選項3:首先,由三角形中,大角對大邊先確定\(\angle{B}\)最大,再利用餘弦定理計算:
$$ cosB=\frac{\sqrt{5}^2+\sqrt{10}^2-\sqrt{17}^2}{2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=-\frac{1}{5\sqrt{2}}<0$$
由此可知\(\angle{B}>90^{\circ}\),故\(\Delta ABC\)為鈍角三角形。
選項4:因為\(sinB=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\),所以\(sinB=\frac{7}{5\sqrt{2}}=\frac{7}{10}\sqrt{2}\)
選項5:由正弦定理可知,\(2R=\frac{\overline{AC}}{sinB}=\frac{10\sqrt{17}}{7\sqrt{2}}\),因此\(R>\frac{14\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}=2\)
答案選1、4

多選第9題:平面向量

已知 \(P\) 為 \(\Delta ABC\) 內一點,且 \(\vec{AP}=a\vec{AB}+b\vec{AC}\),其中 \(a、b\) 為相異實數。設 \(Q, R\) 在同一平面上,且 \(\vec{AQ}=b\vec{AB}+a\vec{AC}\), \(\vec{AR}=a\vec{AB}+(b-0.05)\vec{AC}\)。試選出正確的選項。

  1. \(Q, R\)也都在\(\Delta ABC\)內部
  2. \(|\vec{AP}|=|\vec{AQ}|\)
  3. \(\Delta ABP面積=\Delta ACQ面積\)
  4. \(\Delta BCP面積=\Delta BCQ面積\)
  5. \(\Delta ABP面積>\Delta ABR面積\)

這一題雖然不難,但挺花時間的。
選項1:首先我們要先知道,當 \(P\) 在 \(\Delta ABC\) 內一點,則 \(a, b\) 要滿足什麼條件?
答案是 \(a>0, b>0, a+b<1\)。由此我們可以很快判斷,\(Q\) 也在 \(\Delta ABC的內部\)。
但是,因為\(b-0.05\)的正負未定,故 \(R\) 的位置不一定。

選項2:這個選項是容易的,我們只需將這兩個向量長度平方就會發現,無法確定此兩向量是否相等。
選項3:我們已經知道 \(P\) 與 \(R\) 皆在 \(\Delta ABC的內部\),畫個示意圖來看看:

分別將 \(\overline{AP}\) 與 \(\overline{AQ}\) 延長,分別交 \(\overline{BC}\) 於 \(P’\), \(Q’\)兩點,而且 \(\overline{AP}:\overline{AP’}= \overline{AQ}:\overline{AQ’}=a+b:1 \),而且\( \overline{CP’}:\overline{BP’}=\overline{BQ’}:\overline{CQ’}=a:b \)

選項4:由上圖可推得,\(\Delta BCP面積=(1-a-b)\Delta ABC面積=\Delta BCQ面積\)
選項5:因為 \(R\) 的位置不確定在 \(\Delta ABC\) 的內部或外部或是在線段上,我們不妨先假設以下情況:\(a>0, b-0.05>0, a+b-0.05<1\)。因此\(\Delta ABR面積=(1-a-b+0.05)\Delta ABC面積\),此時$$\Delta ABP面積<\Delta ABR面積$$

答案選3、4

多選第10題:三次多項式問題

給定一實係數三次多項式函數 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+3\)。令 \(g(x)=f(-x)-3\),已知 \(y=g(x) \)圖形的對稱中心為 \((1, 0)\) 且 \(g(-1)<0\)。試選出正確的選項:

  1. \(g(x)=0\)有三相異整數根
  2. \(a<0\)
  3. \(y=f(x)\)圖形的對稱中心為\((-1, -3)\)
  4. \(f(100)<0\)
  5. \(y=f(x)\)的圖形在點\((-1, f(-1))\)附近會近似於一條斜率為\(a\)的直線。

這一題是108課綱高一的內容,不少學生在這裡嚐到苦頭。首先我們先寫出三次多項式$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+3$$的對稱中心$$(-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))$$
另外,$$g(x)=f(-x)-3=-ax^3+bx^2-cx$$
\(y=g(x)\)之對稱中心為$$(\frac{b}{3a}, g(\frac{b}{3a}))=(1, 0)$$

因此,\(\frac{b}{3a}=1\) 並且由 \(g(1)=0\) 可得 \(-a+b-c=0\),即$$c=b-a=3a-a=2a$$
接下來我們來看看每個選項如何作答:

選項1:\(g(x)=-ax^3+3ax^2-2ax=-ax(x^2-3x+2)=-ax(x-1)(x-2)\)
因此,\(g(x)=0\) 有三個整數根 \(x=0, 1, 2\)

選項2:由 \(g(-1)<0\) 可得 \(-a\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)<0\), 故 \( a<0 \)
選項3:\(y=f(x)\) 圖形之對稱中心為\( (-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))=(-1, 3)\)
選項4:\(f(100)=g(-100)+3=-a\cdot(-00)\cdot(-101)\cdot(-103)+3\) 正負無法確定
選項5:\(f(x)=g(-x)+3=ax(-x-2)(-x-2)+3=ax(x+1)(x+2)+3\)。因為 \(a<0\),所以 \(y=f(x)\) 的圖形在點 \((-1, f(-1))\) 附近會近似於一條斜率為正的直線。(如下圖所示)

多選第11題:空間概念

下圖為一個積木的示意圖,其中 \(ABC\) 為一直角三角形,\(\angle{ACB}=90^{\circ}, \overline{AC}=5, \overline{BC}=6\),且 \(ADEB\) 與 \(ADFC\)皆為矩形。試選出正確的選項。

  1. 將此積木沿平面 \(ACE\) 切下,可切得兩個四面體
  2. 平面 \(ADEB\) 與 \(ADFC\) 所夾銳角大於 \(45^{\circ}\)
  3. \(\angle{CEB}<\angle{AEB}\)
  4. \(tan{\angle{AEC}}<sin{\angle{CEB}}\)
  5. \(\angle{CEB}<\angle{AEC}\)

這一題是空間概念的問題,主要考兩面角的概念。

選項1,沒有什麼抉竅,將圖形畫出來即可。

從上圖可以看出來此積木被切成四面體 \(ACBE\) 及 五面體 \(ADECF\)

選項2:我們知道,兩面角要在兩個平面的交線上找,平面 \(ADEB\) 與 \(ADFC\) 的交線即為 \(AD\)。因為\(BA\bot AC\),所以此夾角為 \(\angle{BAC}\),並且 $$tan{\angle{BAC}}=\frac{6}{5}>1=tan{45^{\circ}}$$
因此 \(\angle{BAC}>45^{\circ}\)

選項3:如下圖所示:

這個選項,我認為要先確認 \(\angle{CBE}=90^{\circ}\)。也就是說要設法驗證 \(\overline{CB}^2+\overline{BE}^2=\overline{CE}^2\)。這部份就交給讀者,如果還是不太會的話再參考文章最下方的影片解說。
接著,\(\tan{\angle{CEB}}=\frac{6}{a}<\frac{\sqrt{61}}{a}=tan{\angle{AEB}}\)
故 \(\angle{CEB}<\angle{AEB}\)

選項4:\(\angle{AEC}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CE}}<\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=sin{\angle{CEB}}\)

選項5:延續選項4,$$tan{\angle{AEC}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CE}}<\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=sin{\angle{CEB}}<tan{\angle{CEB}}$$
因此 \(\angle{AEC}<\angle{CEB}\)

多選第12題:除法原理

設 \(f(x), g(x)\) 皆為實係數多項式,其中 \(g(x)\) 是首項係數為正的二次式。已知 \( (g(x))^2 \) 除以 \(f(x)\) 的餘式為 \(g(x)\),且 \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸無交點。試選出不可能是 \(y=g(x)\) 圖形頂點的 \(y\) 坐標之選項。

  1. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  2. 1
  3. \(\sqrt{2}\)
  4. 2
  5. \(\pi\)

這一題出得不錯,也不是常見的考法。
首先,依照題意,我們可以看出餘式 \( g(x) \) 的次數如下:

$$2=degg(x)<degf(x)\leq 4$$

因此 \( degf(x)=3\) 或 \(4\)
這個觀察非常重要,是這一題的解題關鍵。
接著我們再看看題目還有什麼條件:
因為 \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸沒有交點,因此 \(deg f(x)=4\)
由以上可知,\((g(x))^2\) 除以 \(f(x)\) 的商式為一個非零的常數,令為 \(k\)
此時我們可以將式子表示如下:$$g(x)^2-g(x)=kf(x)$$因為 \(f(x)=0\) 無實根,所以 \(g(x)^2-g(x)=0\) 無實根。也就是說,\(g(x)=0\) 且 \(g(x)=1\) 無實根。
要特別注意到,\(y=g(x)\) 是開口向上的拋物線。因此,\(g(x)>1\) \(\forall x\in R\),此拋物線的頂點的 \(y\) 坐標大於1。

答案選1、2

選填第13題:期望值 – 是否抽得到金卡?

有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制,「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用1500枚代幣,抽中金卡的機率在前九次皆為 \(2\%\),在第十次為\(10\%\)。今某生有代幣23000枚,且不斷使用「十連抽」,抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為幾張?

這一題的敘述不太容易理解。我們來分析一下:

當系統進行「十連抽」時,每一抽都是一個獨立事件。而且這十連抽最多會有10張金卡。另外,每次抽卡時,只會有兩種結果,分別是「抽中金卡」及「沒有抽中金卡」。因此這是一個二項分布。所以當我們進行一次「十連抽」時,可算出期望值為 \(9\cdot 0.02+1\cdot 0.1=0.28\)

接下來,我們要看看23000枚代幣可以玩幾次:

$$\frac{23000}{1500}=15\frac{1}{3}$$

因此可以玩15次「十連抽」,期望值為玩1次「十連抽」的15倍,故最後答案為$$15\times 0.28=4.2$$

選填第14題:線性方程組、矩陣的列運算

已知 \(a、b\) 為實數,且方程組
$$
\begin{cases}
ax+5y+12z=4 \\
x+ay+\frac{8}{3}z=7 \\
3x+8y+az=1
\end{cases}
$$
恰有一組解,又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後,原來的增廣矩陣可化為
$$
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & b & 7 \\
0 & b & 5 & -5 \\
0 & 0 & b & 0 \end{array} \right]
$$
則\(a=?\) \(b=?\) (化為最簡分數)

這一題不難,按題意依序處理即可:
首先,因為此方程組恰一組解,因此 \(b\neq 0\),\(z=0\)

接著,我們可以將所有方程式列出如下:

$$
\begin{cases}
ax+5y=4 — (1)\\
x+ay=7 — (2)\\
3x+8y=1 — (3)\\
x+2y=7 — (4)\\
by=-5 — (5)
\end{cases}
$$

由 \((3), (4)\) 解得 \(x=27, y=-10\) — (6)

(6) 代入 (1): \(27a-50=4\), \(a=2\)
(6) 代入 (5): \(b\cdot (-10)=-5\), \(b=\frac{1}{2}\)

選填第15題:三角函數的應用

如圖,王家有塊三角形土地 \(\Delta ABC\),其中 \(\overline{BC}=16\) 公尺。政府擬徵收其中梯形\(DBCE\)部分,開闢以直線 \(DE, BC\) 為邊線的馬路,其路寬為 \(h\) 公尺,這讓王家土地只剩原有面積的\(\frac{9}{16}\)。經協商,改以開闢平行直線\(BE, FC\)為邊線的馬路,且路寬不變,其中\(\angle{EBC}=30^{\circ}\),則只需徵收\(\Delta BCE\) 區域。依此協商,王家剩餘的土地\(\Delta ABE\) 有多少平方公尺?

首先,我們先假設\(\Delta ABC\)面積為 \(x\),那麼 \(h=16sin30^{\circ}=8\),如下圖所示:

接下來,由 \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) 可知
$$\Delta ADE面積:\Delta ABC面積 = \overline{DE}^2:\overline{BC}^2$$
代入條件可得
$$\frac{9}{16}:1=\overline{DE}^2:16^2$$
進而解出 \(\overline{DE}=4\cdot 3 =12\)
最後利用梯形 \(BCED\)的面積=\(\frac{7}{16}x\)
$$(12+16)\times 8 \times \frac{1}{2}=\frac{7}{16}x $$
解得 \(x=256\)
另外,$$\Delta BDE面積:\Delta BCE面積 = \overline{DE}:\overline{BC} = 12:16 = 3:4$$
因此,$$\Delta ABE面積=\Delta ADE面積+\Delta BDE面積$$
$$=\frac{9}{16}x+\frac{7}{16}x\cdot\frac{3}{7}=\frac{12}{16}x=\frac{3}{4}x=192$$

選填第16題:空間中的直線與平面

坐標空間中,平面 \(x-y+2z=3\)上有兩相異直線 \( L:\frac{x}{2}-1=y+1=-2z\)與 \(L’\)。
已知 \(L\)也在另一平面\(E\)上,且 \(L’\) 在 \(E\)的投影與 \(L\)重合。則 \(E\)的方程式為何?

這種題目還是要圖示比較清礎:

關鍵在這一句話:「\(L’\)在\(E\)的投影與 \(L\)重合」。這表示,平面 \(E\) 必須與平面 \(E’\) 垂直。
有了這個觀察,接下來就是我們熟悉的操作:
因為 \(\overrightarrow{n_E} // (1,-1, 2)\times (4, 2, -1)=(-3,9,6) // (1, -3, -2)\)

令平面 \(E\)的方程式為 \(x-3y-2z=d\),因為 \((2, -1, 0)\in E\),所以 \(d=2-3\cdot(-1)-2\cdot 0=5\)

最後確定平面 \(E\) 的方程式 $$x-3y-2z=5$$

選填第17題:空間向量 – 平行六面體的計算

坐標空間中一平行六面體,某一底面的其中三頂點為 \((-1, 2, 1), (-4, 1, 3), (2, 0, -3)\),另一面之一頂點在 \(xy\) 平面上且與原點距離為1。滿足前述條件之平行六面體中,最大體積為多少?

同樣地,幾何問題我們畫個圖來看一下:

因為 \(D\) 點在 \(xy\) 平面上,因此可以設 \(D(a, b, 0)\),而且 \(a^2+b^2=1\)
這個是由三個向量 \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) 所張開的平行六面體,其中
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(8, -6, 9)$$
此平行六面體的體積為$$V=|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AD}|
=|(8, -6, 9) \cdot (a+1, b-2, -1)|
=|8a-6b+11|
$$

接著使用柯西不等式
$$(a^2+b^2)(8^2+(-6)^2)\geq (8a-6b)^2$$
代入條件可得
$$1\times 100 \geq (8a-6b)^2$$
因此\(-10\leq 8a-6b\leq 10\)
最後,$$1\leq 8a-6b+1 \leq 21$$

第貳部分、混合題或非選擇題 18-20題為題組:掃描棒怎麼掃?

坐標平面上有一環狀區域由圓 \(x^2+y^2=3\)的外部與圓 \(x^2+y^2=4\) 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 \(x\) 軸上方的某區域 \(R\)。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓\(C_1:x^2+y^2=3 (y\geq 0)\)、\(C_2:x^2+y^2=4 (y\geq 0)\)上移動。開始時掃描棒黑端在點 \(A(\sqrt{3}, 0)\),白端在 \(C_2\) 的點 \(B\)。接著黑、白兩端各沿著\(C_1\)、\(C_2\)逆時針移動,直至白端碰到 \(C_2\) 的點 \(B'(-2, 0)\) 便停止掃描。

這一題題意讓不少考生無法理解,是個不夠清礎的敘述。結果學生不是敗在數學,而是語文敘述。這樣的考題很新穎,但卻也有點可惜。
我們先來畫個圖看一下:

一開始,掃描棒黑端在 \(A(\sqrt{3}, 0)\),白端在 \(B(\sqrt{3}, 1)\) 的位置。第18題就可以選答案了。

18. 試問點 \(B\) 的坐標為下列哪一選項?

  1. \((0,2)\)
  2. \((1, \sqrt{3})\)
  3. \((\sqrt{2}, \sqrt{2})\)
  4. \((\sqrt{3}, 1)\)
  5. \((2, 0)\)

答案選4

19. 令 \(O\) 為原點,掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 \(A’, B’\)。試在答題卷上作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域\(R\);並於求解區內求 \(cos\angle{OA’B’}\)及點 \(A’\) 的極坐標。

依照題意敘述,到底這個掃描棒是怎麼掃的呢?讓我們來看看下面的動畫:

坦白說,知道掃描棒是這樣掃的話,這一題根本就不難了呀!我們將最後的圖畫出來如下:

因為 \(\overline{OA’}^2+\overline{A’B’}^2=\overline{OB’}^2\),所以 \(\angle{OA’B’}=90^{\circ}\)
因此$$cos\angle{OA’B’}=cos{90^{\circ}}=0, $$
並且 $$A'[\sqrt{3}, \frac{5}{6}\pi]$$

20. (承19題) 令 \(\Omega\) 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域,試分別求 \(\Omega\) 與 \(R\) 的面積。

關於 \(\Omega\) 的部份,圖形如下:

\(\Omega\) 的面積 = 圓心角\(60^{\circ}\)環狀區域面積 + 剩下的部份面積
$$=\frac{1}{2}(2^2-\sqrt{3}^2)\cdot\frac{\pi}{3}+(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot{\sqrt{3}^2}\cdot{\frac{\pi}{6}})=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{12}$$

\(R\) 的部份區域如下:

我們可以將 \(ABC\) 那一塊補到 \(A’B’C’\) 那裡,圖形如下:

也就是說,我們只要算出圓心角 \(150^{\circ}\) 的環狀區域面積即可,計算如下:
$$\frac{1}{2}\cdot(2^2-\sqrt{3}^2)\cdot\frac{5}{6}\pi=\frac{5}{12}\pi$$

111年學測數A完整影片解說

111年學測詳解-斜槓教師版.mp4 from Gim chen on Vimeo.

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關於我

你好,我是斜槓教師Gim,本名陳志和,是一名數學老師,畢業於國立中央大學數學系博士班。

「斜槓教師」這個稱呼起自於我2019年時,代理教職期滿,未順利獲得學校續聘,成為了流浪教師時給自己取的筆名。在少子化的今天,教職一位難求,流浪教師已是常態。社會彌漫著濃厚悲觀的氛圍。然而,我認為用「流浪」二字實在太過於消極,因此改用時下流行詞:「斜槓」。

文字的魔力是很大的,用對了字,心態就有了轉變,行為也會跟著改變。

沒有機會,就自己創造機會,沒有了平台,就自己創造平台,於是「斜槓教師的教育學習網」就此誕生,成為我的個人品牌。用這種方式,我可以不受時間地點的限制,持續發揮所長,創造價值。在這裡,我除了分享教學心得,閱讀心得,我也分享教育理念親子教養相關主題。

在教學方面,目前我已累積了二十年數學教學經驗。因為個人興趣,這幾年致力於發展線上課程,進行教學數位化的工作。

後來,有幸到臺北市私立延平中學服務,疫情來襲時發揮了功效,讓學生在家上課仍然維持不錯的學習品質。我深信,斜槓技能的發展,都不會白費,持續學習,終身學習,才是在這個高度競爭的時代生存下去的不二法門,也是作為老師給學生們最好的榜樣。

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