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    內容目錄

    前言

    這個網站專注於製作與研發數位教材,目前已編寫 高一數學第1冊高一數學第2冊 提供給有需要的學生使用。

    打破數學學習的迷思

    迷思1 學好數學 = 背公式?

    我於民國九十年,高中剛畢業的那個暑假,就在升大學補習班擔任數學輔導老師,協助學生理清思路,解答問題。

    從大二開始因為生活所需,接了不少家教,至今工作近二十年的時間,也因此看過許多在學習上無助的學生、無奈的家長。

    他們耗費了許多時間與金錢,卻總是無法改善。只因為找不到學習方法,或是延襲了不正確的方式,難以改變固有想法,以致效果始終有限。

    因此,這篇文章雖然標題是針對高中數學,但同時也希望協助家長在孩子小的時候,就能帶給他們正確的觀念與心理建設,甚至了解該如何幫助孩子,落實親子共學的精神。

    我在與許多學生談話的過程中,發現有相當大比例的學生會非常強調「公式」,看到題目,就會想如何套公式上去;遇到不會的題目,很快拿出詳解看一次,看不懂的地方就記下來。

    但在這裡我想請大家去比較兩種人,你覺得哪一種人的數學程度比較好?第一種人,公式背得很熟,也很會使用,遇到題目可以很快解出來。第二種人,了解公式的由來,並且在不記得公式的情況下,可以用理解公式的方式將問題解出來。

    答案顯然是第二種。

    不可否認,公式可以讓我們在處理問題時更有效率。我們現行教育非常重視這種效率,因為要比拚考試速度,無可厚非。

    但也因此,讓學習數學變成一件非常乏味的事。而這件事衍生出兩種狀況,考試成績不錯,但不喜歡數學。考試成績不佳,不喜歡數學。只有極少數的人可以從學習數學中獲得樂趣。

    然後就會開始有人在問,為什麼我要學數學?我去買東西又不用三角函數。那我覺得你也不用學歷史,因為你回不到過去。

    我個人很喜歡讀歷史,因為歷史能帶給我一些做人處事的啟發。數學也一樣,它是一門重視邏輯的因果關係,架構嚴謹,講究精確的一門科學,能夠活化人們的思考。

    也許畢業後,你不一定還會用到這麼多數學,但思考的習慣將一輩子跟著你。

    培養思考的習慣,才是我們學習數學的核心目標。


    迷思2 數學學不好就是因為演算題目不夠所致?

    很多父母看到孩子成績不理想,首先想到的就是練習不夠。於是開始找一堆題目提供練習,逼孩子多算一點題目,認為多做就會進步,而這就是讓人討厭數學的起點。

    不可否認,演算題目是學習數學的必經階段,但很多人卻忽略了,演算題目是為了輔助認知思惟的提升,如果寫了一堆題目,卻沒有提升數學理解的層次,那麼只會讓學生記熟做法,卻以為自己已經學會了。

    我在早期的教學過程中,曾經也經歷過這樣的迷思,當時我的自編教材放了超級無敵多題目。一冊的內容被我編了將近四百頁,深恐遺漏掉任何一種題型。

    有一天,我遇到一位很棒的物理老師跟我分享他的教學心得,他說,他編進的每一道題目,都是為了講解某個核心概念而設計。他考慮的,不是學生到底做了多少題目,而是學生做了這個題目能幫助他懂了什麼樣的觀念。

    這席話讓我矛塞頓開,我要追求的,不應該是學生多會解題,而是學生因為解了這道題在他的認知上起了什麼樣的變化?

    我要努力的,不是讓學生定睛看地上有多少片樹葉,而是設法讓他在一定的高度下看見整片森林。

    當我在做研究生時,擔任某一位教授的微積分助教。當時教授跟我說,他兒子有一天拿了一題高中數學題問他,他想了很久,還是想不出來,他說他不能理解為什麼高中要解這種東西,而且還拚命超前進度。然後他跟他兒子說,沒關係,你爸也解不出來。

    這位教授是得過傑出研究獎的人。

    學習數學的重點在於推理與論證,而不是機械式的運算,也不是艱深難題的追尋(個人喜好除外)。當我們真正理解學習內容後,只需要適量練習,並且不斷思考不同類型的問題,才會進步。

    迷思3 多學點特殊技巧解難題就是學好數學?

    不可否認,學數學本來就包含學習一些技巧。很多學生誤以為,只要多會一些技巧就能夠學好數學。甚至在不曉得原理的情況下,直接將特定技巧套在特定的題目上面,還以為學到了獨門絕招而雀躍不已。

    最常見的例子是,國中數學中,有一種題目是已知三角形的三個頂點,問如何求出這個三角形的面積。然後就有不少學生在不曉得什麼是行列式的情況下直接用行列式算面積,因為補習班老師說這樣算比較快,但也不解釋為什麼。

    然後下次遇到給定三角形的三邊長,就在不知道海龍公式怎麼推出來的情況下,直接套海龍公式,覺得這個技巧好棒,可以算好快。

    下次遇到給定三角形的三邊長都是無理數時,再套海龍公式,算到頭暈眼花,然後一邊說怎麼這麼難算。

    但其實不管是哪一題,算三角形面積就是底乘高除以2。以上三題,就是在做一件事:決定三角形的底之後,設法將高算出來。
    或是適當的切割,讓圖形先加起來再扣掉某一塊得到我們要的那一個三角形面積。或是還有其他方法…。

    只要我們會去想還有什麼方法,那就真正是在學數學了。不然只是表面上看起來是在學數學,但其實骨子裡不知道在學哪一科。

    另外,在第一題中,如果能夠將某個邊擺放在x軸上,也許會讓計算容易一些,這個或許就可以稱之為技巧。

    回到剛剛說的,我們從思考問題的本質出發,可以慢慢將答案推出來,只是當我們用符號去表示題目的條件時,可以寫出一個漂亮的形式,讓我們下次方便使用。這就是用符號抽象化的好處。

    然而,很多人直接跳過最基礎的想法,只想要後面那個形式,然後就發現很多題目根本沒辦法套進去。

    例如在高中數學裡,有一道題說,假設角A是120度,則其角平分線的長度倒數會是相鄰兩邊長倒數相加。然後就有人把這個當作特殊的技巧背下來,也不問為什麼,下次題目出角A是90度呢?或是當那條線不是角平分線呢?

    如果有好好去了解為什麼,就會發現關鍵就在於三角形的分割。
    即原來三角形面積為分割後兩個三角形的面積和。

    因此,如果使用一個自己不理解的方法,漂亮解出一個單獨的問題,那倒不如使用自己真正了解的方法,即使解得慢一點也無妨。

    迷思4 我不知道怎麼說,總之題目我會做就好。

    如果不能講清楚,那麼理解就不完全

    在教學過程中,我遇過為數不少的學生,他們說會算這道題目或是知道這個觀念的意思,但他不知道怎麼說。

    這類型的學生很容易遇到的問題是,會做一些常見的題目,但是遇到一些變化,或須要進一步思考的問題通常就做不出來了。

    這讓我想起 Albert Einstein說過的一句話:

    If you can’t explain it simply, you don’t understand it well enough.

    將學到的觀念講出來是非常重要的學習步驟,但很多人並沒有要求自己做這件事。因此解了一堆題目,並沒有讓認知能力提升,或是很快又忘了,沒辦法記得久。

    甚至有些人會將原因歸結為題目做得太少,難題做得不夠,接著又找了一堆題目重複練習,甚至找了特殊難題拚命解題。

    這表示學生學習重心都放在解題目,但問題是題目是永遠做不完的。

    我們學數學時是希望做一題會一題,還是希望在真的弄懂了一個觀念或定義、定理後,一次可以做很多見過或是沒見過的題目?

    答案當然是後者,要達到這樣的目標,觀念的建立就非常重要。

    不知道你是否有過這樣的經驗,明明自己會寫,但講給別人聽就是會卡住。反過來說,如果能夠講給別人聽並且將別人教會,通常你不僅做得出來也比較不會忘記。

    說不出來就是沒有完全了解,會做題目只代表了解一部份。
    檢視到底懂不懂,將你對這個觀念的認知講給別人聽是最好的方式。

    數學中的定義很重要

    我在教學過程中,發現很多初學者會有這樣的問題,在解了一堆題目後,有一天你問他定義或是基本觀念,他講不出來。換句話說,這樣的學習方式是點狀的,而不是片狀的。

    學習數學,要一次掃一整片,而不是一次只學一個點。

    例如:當我們學完三角函數的定義後,首先要去體會,為什麼只會有六種可能?當我們知道某個角度的三角函數值後,其他五個是否也可以知道?如果角度很特殊的話會如何?然後再問,由這樣的定義可以推出什麼性質?餘角關係、平方關係、倒數關係、商數關係。然後再用定義將性質推出來。

    有了這整片概念後,再用適量題目練習並強化認知。接著再進到下一個概念。

    建議可以試著講給別人聽,或是拿一張白紙出來,自己一邊寫一邊講給自己聽。畢竟最好的學習方式,就是在學到之後,不斷輸出。

    另外,也可以整理屬於自己的筆記,只有在自己寫過並架構過後,體會會更深刻。

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    迷思5 數學考不好,那就趕快去找補習班或家教就行了!

    前言

    我從高中畢業後就在當時中壢最大間的數學補習班工作,擔任解題老師,後來兼了家教。前前後後待過四家補習班、教過七、八十位1對1家教學生。

    這一篇文章,我將以我自己在補習班、家教、學校工作經驗的結合,探討,當學生數學學不好,應該從什麼方向去思考,但絕對不是將補習與家教視為萬靈丹。

    因為實際的情況是,很多學生並沒有因為補習或請家教而讓成績獲得改善。

    甚至,有些學生因為補習補太多,沒有時間自己練習,消化吸收,深入思考,一堆東西塞進腦袋,考試時再寫出來,考完就忘光光。

    這麼無趣的過程,難怪三不五時就會有人問,為什麼我們要學數學?

    為什麼數學會考不好?

    坦白說,數學不好的原因多半出於學生自身的「學習方法」、「學習態度」或「學習習慣」不正確所導致。

    也有一部份原因是因為學生無法適應學校老師的教法,或與學校教師之間的互動不佳所致。或者學校老師真的教得很差也不無可能。

    如果是前者,除非願意改變,不然通常補習或請家教效果仍然很有限。如果是後者,則可能有幫助。

    以我自己為例,當年我只是個平凡的中學生,學習理解緩慢,上課也不能持續專注。有時候一恍神,重要觀念沒聽到,回家複習就卡卡。

    後來與同學去試聽了幾家補習班,發現有些老師的表達方式讓我比較不容易分心,的確滿有幫助的。

    我不是個聰明的學生,但卻是個願意努力的學生,因此補習對我很有用。

    但很遺憾的是,當我開始教書時,發現很多學生補習或請家教並非完全出於自願,而是父母的要求與期待。

    他們只是在做做樣子給大人看,而不是真的想解決他們學習效果不彰的問題。所以應付作業,表現出有在唸書的樣子。

    當天學到的內容,隔了一個禮拜,才在上課前拿出來練習,然後說他有複習,這怎麼可能會有用?

    新學到的知識,一定要盡快複習,不然必定快速遺忘。

    或者,將家教當作考前臨時抱佛腳的一根浮木,平常不讀書,考前讀很久,並且希望有人能協助他在短時間內解決他載浮載沉的基礎,考到一個還可以看的成績。

    密集學習,學得快,忘得也快。可以應付小範圍的測驗,但無法應付大範圍的考試。

    學習數學的過程就像在建構一棟(數學)建築物,課綱的規範與安排就是先做好佈局,讓每個人可以按部就班慢慢往上建構自己的數學堡壘,大大降低學習的難度。

    然而,錯誤的學習「態度」、「習慣」與「方法」將致使學生無法在每個階段打好根基。隨著進度不斷往前,逐漸發現根基搖搖欲墜,吃力萬分,然後開始懷疑自己是不是笨蛋。

    數學考不好要怎麼辦?

    首先,請拿出你的數學課本,從第一個字開始仔細閱讀,將每一道題目至少寫過一遍,對於自己第一次寫不太順的題目則必須練習二至三遍。針對讀不懂的地方,設法問到懂為止。

    就我自己的觀察,很多學生從來不用課本,而是使用講義。使用講義沒有不好,但對於數學觀念薄弱的學生,容易陷入純技術性的操作與記憶。

    如果使用講義,就要搭配老師的講解,是否引發動機,是否說清楚原理,是否能引導思考,而這又關乎每個老師的教學風格與課堂上授課時數的限制、還有班級學習的風氣。

    還有,你是否能確保在上課時,每一分每一秒都保持專注?萬一就在某一瞬間,錯過了老師精彩的觀念解說怎麼辦呢?

    清大教授語錄:數學是一門充滿觀念的學科,拚命想出來的數學其價值勝過於拚命算出來的數學。

    因此在學習數學時遇到瓶頸的同學,請拿出你的數學課本好好研讀,當你建立了正確的數學觀念,再去解變化題,會更能體會學習數學的樂趣喔!

    是否須要補習?

    補習班是個自由市場,競爭激烈。因此,一般而言,補習班的老師都非常用心與專業。除了上課內容要豐富之外,還要能表演得精彩,並且符合學生與家長的成績期待。

    這裡就先不談論補習班老師的辛酸了。

    站在學生的立場,在學校裡,不管老師是否合適,學生都只能默默接受,而補習班提供了學生另一個選擇機會。

    因為有了選擇機會,就要認清楚,自己的需求是什麼?

    是因為學校老師的講解方式聽不懂,還是班上學習風氣不佳影響聽課品質,或是學校資源無法解決你遇到的問題?

    一旦確定自己的需要,就可以去尋求是否有什麼樣的資源可以彌補。

    同時可以想想,除了付費資源,還有什麼樣的免費資源可以使用呢?

    你是否嘗試過用免費的線上課程,例如均一教育平台。或是利用社群討論區發問?也許有些人的情況只需要這樣就行了。

    如果需要更有組織與條理的資源,再考慮付費購買,但別忘了多試聽比較。

    是否請家教

    請個家教在家一對一教學可能有用,但費用當然比補習班貴很多。

    我做了很多年家教,這種客製化教學對很多學生有用,因為這是在他任何課堂上的老師無法做到的,這正是一對一的好處。

    但對一些學生是沒用的

    例如:「不曉得為什麼要請家教」的學生,或是「不願意拋開自己舊有習慣,嘗試改變」、「無法將數學科放在前面順位」的學生。

    你問第一種學生,有什麼地方需要協助,有遇到什麼困難,他也不知道。可能是因為父母覺得有用吧。第二種學生是,今天聽完受益良多,下次仍然走原路。第三種學生是,分配到數學的學習時間不足。

    如果是這樣的情況,應該要回到上一段所說的,先檢視自己的需求再考慮是否使用這樣的資源吧。

    最後做個結論,無論是補習或是家教,都只是補救教學的一種,切勿當成補藥或萬靈丹,一定要審視自己的需求再對症下藥,才可能藥到病除,獲得實質的幫助。

    相關閱讀:高中數學家教攻略:家長與新手教師的入門指南

    為什麼做了很多題目成績卻仍然沒有起色?

    學習數學的過程中,應該將重點放在「思考」並搭配適度的「記憶」與「練習」。如果在基礎功不足的情況下,只是為了應付考試而拚命做題,反而容易淪為「大量記憶」因而難以應付題目的變化。

    學習數學應該包含一點點記憶和很多理解

    數學是一門理解的科目,是人類文化思考下的產物。

    有些學生學習數學弄錯了順序,是採用「一點點的理解和很多的記憶」作為策略,非常努力背一大堆公式,不求甚解拚命做題目,最後考差則將問題歸咎於公式沒有背熟。

    但是既然數學是理解的科目,怎麼會因為沒有背熟而學不好呢?真正的原因在於理解太少,記憶太多。

    這樣的方式就像一個足球員平日只拚命練習射球門,卻不肯在基本功與體能上下功夫,他很可能在比賽場上體力不支或無法成功閃躲對手,如此有可能成為一名好的球員嗎?

    因此學習數學必須用大量的理解去奠定基礎。

    要如何打穩數學基礎?

    從定義開始

    接觸數學的新單元,應該先從定義開始。定義有分兩種,一種是名詞對應式的定義,例如什麼是有理數、什麼是無理數;這只是規定,不須要去問為什麼這個名詞要定義成這樣這類的問題。

    就像為什麼紅燈要停,綠燈要走這樣子的規定,只要訂好了大家有共識即可,不須要去問為什麼一樣。

    另一種則是可以進一步去了解定義背後的意義。為什麼要這樣定義?例如,三角函數的定義有六個,為什麼sinA要定義成斜邊分之對邊?tanA要定義成鄰邊分之對邊?secA要定義成鄰邊分之斜邊?

    高中數學三角函數
    三角函數的定義

    這是可以用圖形去理解的。然後還可以進一步去思考,為什麼三角函數只能有六個?

    答案是,因為由任兩邊構成的分數,我們恰好就只能定義六個。

    我們還可以進一步問,為什麼定義三角函數要用任兩邊相除來定義,而不使用加、減、乘定義呢?

    原因是,我們希望當角度一樣時,三角函數值不隨著邊長的伸縮而有所改變,這樣的定義才是合理的。

    為什麼我們要討論三角形的邊角關係而定義出三角函數,而不定義在一個四邊形上成為四角函數或是五邊形上成為五角函數呢?

    諸如此類的問題,都是可以去思考的。

    相關閱讀書籍:數學女孩秘密筆記:圓圓的三角函數篇

    要靈活運用公式

    公式不能只是背起來,而是要知道公式的推導方式,不知道怎麼來的公式寧可不要用,先用比較麻煩但真正懂的方式解題會比硬套自己不懂的公式為佳。

    使用公式的原則就是,除了必須要自己會推導之外,也可以在不使用這個公式的前提下用推導這個公式的思維解出這道題。

    換句話說,即使考試時忘了公式也沒關係,雖然會多花一些時間,但至少還是做得出來。

    要熟悉每個定理的證明

    最好的方式是在懂了這個定理證明後,可以獨自寫出來為佳。

    每個定理的證明方法,彺往透露出這部份內容的基本想法

    很多例題,其實只是將定理證明用實際的數字取代符號跑過一遍而已。

    每個定理都有不同的使用方法與使用時機,要精確地掌握。

    例如:當我們看到多項式方程式的虛根成對定理,就要注意是當實係數時才可以使用。這個定理可以協助我們判斷,一個實係數多項方程式在奇數次時必定存在一個實根。或者可以協助我們將高次多項方程降次。

    高中數學虛根成對定理

    又或者,當我們看到Vieta’s root theorem (維塔根定理,或翻譯成韋達定理 ) 時,這是探討n次方程式根與係數關係的定理。除了要知道它的使用方法及證明之外,還可以想想,當多項式的次數提高時,根與係數的關係如何?此時會發現原來是有規律的。

    美國教授提出一元二次方程新解法?你真的會用韋達定理嗎?

    要切忌只背公式或定理卻不仔細弄懂,結果經常不會使用或誤用,考試時反而讓你心裡不踏實甚至派不上用場。

    做題目是手段與過程,而不是目的

    學習數學的目的,是要讓自己更會思考。數學有趣的地方在於,它讓我們有無限自由想像的空間而不受到現實世界的拘束。

    做題目,是輔助我們朝向理解的目標前進。如果解了一道題可以讓我們因此了解了什麼,那麼這樣的練習就非常有意義。

    反之,如果寫了大量差不多的題目,讓自己變成一種不經大腦的反射動作,在應付考試上面適量就好,最後還是要記得回歸學習數學的本質與初衷好好停下來思考。

    大量做題目的時機

    如果依循正確的方式學完定義、公式、定理後,我們已有了初步的基礎。接下來可以從做題目中發展出自己的「解題策略」。

    也就是看到題目後,試著去聯結所學到的內容,多練習幾道不重複的問題來鞏固所學。

    一旦解題策略成形後,就可以大量做一些自己沒見過的題目,然後從中得到經驗,不斷修正並擴大自己的解題策略。


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    如何提升數學理解的層次?

    前言

    在課堂上,老師在講解過程中,時常會問學生,是否已經懂了?

    但是,什麼叫做懂?

    有些學生會有這樣的困擾:為什麼明明「我認為」我懂了,但每次一遇到沒看過的題目,就是不知道如何下手?

    或者,遇到小範圍的考試還可以應付,但遇到大範圍的考試就慘不忍睹?

    我認為,會造成這個現象,是因為每個人認知的「懂」其實是有程度上的差異。

    一個學生說的懂可能是在較淺層的位置,以致於在考試時,無法應付較深一層的考題。

    我們可以去檢視一下,學生所說的懂,是只可以應付「一道題」抑或是「一大類」題目?

    還有就是,是否具備對於學習內容詮釋的能力?

    這一篇文章,我們就是要來探討,如何避免淺層學習?並且讓理解數學的層次再更深一層。

    學習的四個層次

    我們用問題來說明學習的四個層次

    順帶一提,在歷史上,第一個將三角形八\(ABC\) 的三個角以ABC 表示,而其對邊以 abc 表示,
    使計算較為簡便的人就是有名的瑞士數學家 Leonhard Euler

    層次一 如何做出這一題?

    層次二 可以這樣做的原因是什麼?

    這個題目本身就有強烈的暗示:三角形的 \(\angle{B}\) 的對應邊為 \(8\)、\(\angle{C}\) 的對應邊為 \(5\)。

    如此,我們會很自然想到正弦定理。

    另外,因為三角形內角和為180度,因此可以將180度扣掉 \(\angle{B}\) 與 \(\angle{C}\) 得到 \(\angle{A}\)。

    接著再用到三角函數角度的轉換得出 \(\angle{A}\) 的餘弦值為負「3倍\(\angle{C}\) 的 餘弦值」,
    然後可以用三倍角公式得出。

    以上說明對於熟悉的人而言是顯而易見的,但對於初學者而言卻是重要的。

    層次三 如何想到這樣做?還可以怎麼做?

    上面的題目很明顯就是想讓學生練習正弦定理,我們可以為自己加一些限制,刺激思考:如果不用正弦定理,還可以怎麼做?

    試著想想不同做法,是測試自己是否真的了解的好方法。

    層次四 試著自己出題

    題目的條件可以調整嗎?

    題目的條件稍微調整為「給定求 \(\angle{A}\) 的對邊長為 \(10\),\(\angle{B}\) 的對邊長比 \(\angle{C}\)
    的對邊長多 \(4\)」,這樣還做得出來嗎?題目雖然問的是 \(c\),但可以算出 \(\angle{A}\) 的餘弦值嗎?

    如果我們可以算出c,就知道三角形的三邊長,當然算出角A的餘弦值就不是問題。

    還有其他解法嗎?我們可以試試上一題的第2種解法:

    試想想,還有什麼方法呢?

    學習習慣影響甚鉅

    為什麼思考無法深入?

    環境致使頻繁分心

    學習數理,環境的營造非常重要。我們必須在一個安靜不被打擾的空間進行。

    首先有兩件事情要特別注意:第一是3c產品的管控,要避免思緒一直被訊息打斷。

    第二則是桌面最好維持乾淨整齊,如此可以避免桌面的雜物使自己分心。

    錯誤的心態

    前面提到的「思考的層次」,有為數不少的學生停留在第一層,因此總是抱怨,為什麼老師上課教的這麼簡單,考試卻這麼困難。

    但真的是考試的題目比較難,上課教的例題比較簡單嗎?

    其實真實的原因往往是「看老師解得很簡單」但「自己卻解得很複雜」。

    因為通常老師已經在第四層的思考階段,而學生還停留在一、二層。

    這不要緊,只要掌握住正確的方法,並且實踐就行了。

    致使人們無法進步的原因往往在於不願意改變。

    我曾經遇過一些學生,雖然我一再強調了解公式背後的原理與意涵十分重要,但他卻仍然堅持,公式只要背起來然後多做題目就行了。縱使他的成績始終差強人意,但他卻仍然不願意調整。

    我也曾經在班上遇過學生當著全班同學說,數學只要一直算,把答案算出來就好,幹嘛管這麼多觀念和證明。

    對於這樣的學生,已經不是學習方法的問題,而是個性與心態的問題,就不在這篇文章的討論範圍了。

    錯誤的方法

    不懂怎麼辦?那就先背下來吧。這是很多學生會採用的學習策略。

    背起來似乎很快,但長期下來,傷害很大。因為數學的內容多到不可能背得完。

    其中一個典型的例子就是,學生在解題時,將解答放在旁邊用看的,看完題目想一下,想不到就直接看解答。

    這就是所謂淺層的學習過程,對於難度不高的國中數學也許還可以應付,到了高中很快就行不通了。而且必定難以體會學習數學中那種思考的樂趣。

    問出好問題:問問題前的四個步驟

    在社群很常遇到初學者,把一道基礎題po出來希望有人解說。這樣的學習方式是非常沒有效率且碎片化的。

    如果學習數學,一直停留在學一題會一題的階段,必定事倍功半。

    正確的方式應該是:學一個觀念後,會做整大類的題目。

    步驟一 讀課本

    初學者問問題前,課本是否已經看過了?是否有照著課本的引導,將「歷史背景」、「內容介紹」、「例題解說」、「隨堂練習」好好看過寫過一遍?

    課本通常是教授與老師共同合作編寫,並且送交教育部審核通過的教材,已經架好學習階梯,容易自行閱讀,是強化觀念cp值很高的一本書。

    捨棄課本,尋找補習班、家教、買參考書寫一堆難題,是捨本逐末的行為。

    只要按照課本的邏輯循序學習,整體架構與觀念就會有一定的水準。

    步驟二 專心聽老師講解

    在正常情況下,大部份老師都是認真負責在教學,如果說課本是初步引導,那麼就要專心聽老師如何詮釋內容。

    因此老師對於學習者真的非常重要,如果只是照本宣科,就會有學生認為我自己讀就好,為什麼上課要聽?

    教小鳥怎麼飛一點意義也沒有,因為那是牠的本能。用在形容有些教學現場再貼切不過。

    站在學生的立場,如果沒辦法在學校系統裡遇到適合的老師,我也不反對在教育市場裡另覓適合的老師。

    正如「刻意練習」這本書提到的,你必須為自己找到一個好的教練,才有辦法實踐刻意練習,才能在學習中獲得實質性的進步。

    關於詮釋課程內容,我舉幾個例子說明:

    對於一名初學者,他會看到指數律的「形式」然後用這個形式來解題,這是第一層的理解。

    上課時,老師會設法將學生推向第二層,首先提醒學生,「底數」與「指數」的條件:

    你是否發現,底數為任何實數,範圍非常大,此時指數的要求很多,必須為正整數。

    那麼為什麼我們的指數不能是一般的整數或是分數呢?

    依照指數律的運算規則,當指數是負整數時,例如負1,就必須將該數倒數,如果底數是0就會出問題。

    同樣的,按照指數律的運算規則,當指數是分數時,例如二分之一,那麼就會將底數開根號。萬一底數是負數的話,就會產生虛數,不在中學討論的範圍。並且可以順便告知學生,這是複變函數論的範疇,有興趣可自行找資料閱讀。(閱讀這篇文章的讀者可直接點連結進入觀看開放式課程)

    因此,如果想要將指數的範圍擴大至一般的整數與有理數時,底數必定要做更嚴格的限制,魚與熊掌不可兼得是很自然的道理。

    我們再來看一個例子:

    這是早期數學家拉普拉斯所提出來的定義,當然近代機率的定義與此相差甚大。初學者不會注意到的關鍵字:機會均等

    所謂的機會均等指的是,「相同要視為不同」,這是機率與排列組合一個很不一樣的地方。

    例加:袋中有五顆球,其中2顆紅球、3顆白球,一次取出兩顆,則此兩顆球同色的機率是多少?

    按照組合的觀點,就會問,2顆紅球是相同還是相異?3顆白球是3異還是2同1異還是3同?「組合」會著重在看到的狀態。

    但機率沒有這個問題,無論球是否相同,它都佔了一個被選到的可能,因此我們都將其視為不同。

    此時我們可以再回到上一節「樣本空間與事件」,提醒一下,這裡對於樣本空間與事件的定義並沒有「機會均等法則」的要求。機會均等法則是我們在談機率時才加上去的條件。

    雖然中學數學不難,但就是有很多眉眉角角的細節,都有賴老師的詮釋與提醒。

    步驟三 適量練習

    完成以上兩個步驟,就可以好好練習題目加強觀念了。通常課本的題目較少且基本,學校會再買一本講義,這本講義的功能就是練習題目用的,每一題確實想過寫過。

    然後不會做的題目不要急著看詳解,可以先放著,做看看其他題,如果其他題做得出來,就不用太擔心,也許只是一時沒有靈感,這種題目就可以先做記號之後可以寫進筆記本裡。

    但如果發現,一連串的題目都不會,就要回去再把觀念、老師講解範例再重讀1~2遍。

    步驟四 筆記整理

    這個步驟做的人很少,但卻是非常重要的一個步驟。

    筆記觀摩:【課程】豪豬教授的手寫筆記—熱統計物理2

    什麼是帶得走的能力?我認為寫筆記是其中之一。

    清大物理系林秀豪教授曾經說過一句話,讓我印象深刻,大意是:如果你連生產出一本筆記的能力也沒有,那你其實有很多事都不可能做得好。

    筆記的用處有幾個:1. 將觀念做精鍊化的整理 2. 收錄好題目 3. 擴充相關主題的內容 4. 手寫筆記有助於思考與記憶。

    如果想知道更多寫筆記的細節,可加入FB社團:搜索「我愛寫筆記」,目前已有五千多位社員,足見大家對於寫筆記擷取知識的重視與喜愛。

    另外我再分享一個很棒的APP:notion

    這個APP,有電腦版軟體、Android版、IOS版,且同個帳號可同步更新,而且免費,這是目前我用過最方便的數位筆記軟體。

    有了以上的動作後,大部份的問題基本上都可以獲得解決,接下來就可以針對進階問題進行思考,如果苦思2天仍無對策,此時就可以尋求社團的協助,也比較能夠問出有價值的問題。

    自主學習的練習:預習

    108課綱強調培養學生自主學習的能力,這個能力非常重要,也是學校納入規劃要來協助學生的部份。

    曾經看過一段話我覺得很棒

    我們不一定要是那個領域的頂尖人物才能對他人有所幫助。無論你在該專業領域的哪個位置,都一定有比你好的人,也有比你差的人。而你創造的價值,自然能幫助到那些知識水平不如你的人。所謂的老師,有時候也只是那些比你先讀一段的人而已。

    因此,預習也可以是一個人學習積極度的展現。

    我曾經在國家理論中心擔任暑期研習生,當時師承中心科學家的啟發才知,原來優秀的人不依賴別人講課給他聽,而是自己事先探索閱讀,然後講給別人聽。雖然過程痛苦許多,但卻更為深刻且精實。

    懂不懂?試著講給別人聽就知道了!

    這篇文章就先分享到這邊,希望對於在學習數學上苦苦掙扎的讀者能有一些幫助。

    數學是什麼?從數學的特徵談學習策略

    學習數學的歷程 – 什麼是學習數學?

    數學是一門須要大量理解的科目,這已是老生常談。
    然而,我觀察到不少學生學習數學的習慣,還是以拚命做題目為主。

    做題目是學好數學必經的過程沒有錯。但是要問自己兩件事情,

    第一,如果遇到題目不會寫,下一步要做什麼?

    我觀察到很多學生的動作是,直接看詳解。甚至,將詳解放在旁邊,
    遇到不會寫的題目,馬上看詳解,然後將詳解的解法記下來。

    不知不覺,就淪為「記題目解法」的學習模式。

    這會造成什麼後果?

    最直接的影響就是,考試時,遇到稍微變化的題目,會不知所措。

    為什麼?

    因為沒有養成反覆思考推敲的習慣,而這個習慣對於學習數學尤其重要。

    因此,看到一道題目不會寫,不妨先跳過這題,試著寫下一題。
    如果發現,連續很多題都不太會寫,應該不是去看解法,
    而是重新複習基本觀念以及範例。

    如果只有極少數的題目不會寫,大多數題目都解得出來,
    代表觀念沒有問題,而是這類題型的解法比較特殊。
    此時,還是不要急著看詳解,先將題目記起來。
    走路時想想、運動時想想、吃飯時想想、上廁所時想想…。

    為什麼要這樣呢?

    原因有三個,
    第一,自己想出來的解法,才有助於發展出自己的解題策略,價值遠遠高過看出來的。
    第二,我們在專注的狀態時,就像一個聚光燈,聚焦在一個小點上,此稱為「專注模式」,
    在這個模式之下,思考較深入、清晰但範圍較小,不易找到想要的目標。
    當我們在放鬆狀態時,就像房間的日光燈,不這麼亮,但照明範圍較大,此為「發散模式」,有助於搜尋。
    第三,當我們在思考難題時,會一直反覆回想基本觀念、標準範例的做法、這有助於鞏固所學,忘得也比較慢。

    那麼何時才是看詳解比較好的時機?

    我認為,看詳解這個動作,應該是在跟作者交流,而不是依賴。
    所以比較好的時機,就是可以提出自己觀點或解法的時候。

    也就是說,即使沒有好的解法,用土法煉鋼的方式,也將題目解出來了。
    即便如此,都優於直接看一個很美妙的解法。
    此時,就可以看一下,這個作者是怎麼解的,吸收不同觀點。
    甚至有些時候,也有可能自己的解法比作者的還好。

    但是,有同學會反駁,如果都是這樣學,哪來得及準備考試呢?

    是的,這是一個現實考量。

    我認為可以用一個比較折衷的方式。也許沒辦法每一道難題都這樣處理,
    但至少要有幾道難題是做這樣的練習。以現階段來說,的確會花不少時間,
    但以長期來看,才是學好數學的根本。

    第二、你是做一堆差不多的題目,還是一堆須要思考的題目?

    做題目的目的,是要發展出自己的解題策略。
    所以,如果一直反覆寫一堆差不多的題目,看起來好像寫了很多,實際上,效果通常極其有限。
    比較好的方式,應該適量寫一些有變化的題目。

    換句話說,就是要多寫一些高品質的題目,而不是寫一堆低層次的題目。

    什麼是低層次的題目呢?

    就是那種,你直接套個公式就出來的題目。這種題目在初學時,的確須要一些,
    讓我們可以熟悉公式的使用方式。但如果學了一陣子,還在解這種題目,
    除了不會進步之外,也是很乏味。

    什麼是比較好的題目呢?

    就是不能直接套公式,而是要從推導公式的方法或原理原則,才能做出來的題目。
    或是,可以從多角度切入解出來的題目。

    因此,學習數學的過程,不能只有背公式,而是要知道每個公式的由來。

    整個學習過程,就是朝向一個目標邁進:構築出自己的解題策略。
    而要構築出自己的解題策略,則必須深入思考與整合所學,讓自己產生感覺。

    如果學習數學的過程,只是做一題記一題,就很像在一大片森林中撿小樹葉,
    眼光只聚焦在每一片小樹葉,不僅撿不完,而且也看不到更大範圍美麗的風景。

    所謂的大量刷題,應該是到了「基本功扎實,且能夠獨立思考」這個階段,
    才會產生具體效用,不斷覆盤且提升自己的解題策略。

    此時,遇到難題,每個高手就會用自己發展出來的解題策略,各自展現出不同的解法。
    厲害的人,甚至可以用很多套方法解同一套題目。甚至,只用基本的定義與簡單的想法,
    就輕易做出一道難題。

    接下來,我舉幾道同學容易卡關的「餘式定理」的題目來做示範:

    第一題:設 \(n\) 為自然數,若 $$f(x)=x^n(x^2+ax+b) \ 被 (x-2)^2 \ 除之的餘式為\ 2^n(x-2)$$ 則 \(a, b\) 兩數分別為多少?

    按照餘式定理,先令除式 \((x-2)^2\) 為 \(0\) 用以降次求餘式。
    此時,\(x=2\),因此 $$2^n(2^2+2a+b) = 0$$ 等號兩邊同時除以 \(2^n\) 再移項整理可得 $$2a+b=-4 \tag{1}$$ 然後不少同學就會卡在這裡了。接下來怎麼辦呢?

    回到除法原理,列出來觀察一下:存在多項式 \(Q(x)\) 滿足 $$x^n(x^2+ax+b)=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2)\tag{*}$$ 寫到這裡,可以發現,其實也不用管餘式定理說什麼,
    用除法原理就可以看出來 \(x=2\) 代入就可以讓等號右式為 \(0\) 因而得到第 (1) 式。

    接著我們還須要一個等式,才可以解出 \(a, b\)。
    但是另一個等式不知怎麼找,我們試著在第 (1) 式中,將 \(b=-4-2a\) 代回原式看看
    $$x^n(x^2+ax-4-2a)=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2)$$ 將左式整理可得
    $$x^n[(x^2-4)+a(x-2)]=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2) \tag{2}$$ 原來等號兩邊都有因式 \((x-2)\),同時除之可得
    $$x^2(x+2+a)=(x-2)Q(x)+2^n$$ 此時,再令 \(x=2\) 代入第(2)式可得 $$2^n(4+a)=2^n$$ 解得 \(a=-3\),再代入第(1)式可得 \(b=2\)。

    解出來了,回想一下整個解題過程,關鍵是什麼?

    答案是,多項式 \(f(x)\) 有因式 \((x-2)\),那麼如果一開始,就以長除法將多項式 \(x^2+ax+b\) 分解會如何呢?

    我們發現,可以將多項式\(f(x)\) 直接分解為 $$f(x)=x^n(x-2)(x+a+2)+b+2a+4$$ 其中 $$b+2a+4=0$$

    回到式子(*),將 \(x=2\) 代入,就可解得 \(a=-3\)、進而得知 \(b=2\)。

    對於高三已學過微積分的同學,可以試試將式子(*)兩邊微分:
    $$nx^{n-1}(x^2+ax+b)+x^n(2x+a)=2(x-2)Q(x)+(x-2)^2Q'(x)+2^n$$ 接著再將 \(x=2\) 代入可得$$n\cdot 2^{n-1}\cdot (4+2a+b)+2^n(4+a)=2^n$$ 先將等式兩邊同時除以 \(2^{n-1}\) 可得$$n\cdot(4+2a+b)+2(4+a)=2$$ 將式子分類 $$(2a+b+4)n+2a+6=0$$ 因為 \(n\) 為任何正整數,所以 $$2a+b=-4, \ 2a+6=0$$ 最後解得 $$a=-3, b=2$$

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    【通過問題聊數學思考】如何活用餘式定理?

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    數學是嚴謹且精確的

    數學本身的特性就是嚴謹且精確的,因此學習的過程,必須做到一絲不苟,毫不含糊。

    對於中學生而言,最常見的一種學習方式就是,面對選擇題時,只是設法用作答技巧將答案選出來,而不是確實弄懂一道題。這在考試取分時,無可厚非。然而,平日寫作業時,再用這種方式,是很難真正學好數學的。

    最常見的一種「傷害」就是,平日寫作業時,能夠將選擇題寫對。然而,一旦考試時,將選擇題換成填充題或計算題,很可能就做不出來了。這也就是為什麼,明明平常都有按時寫作業,但是數學成績卻時好時壞,沒有起色。尤其遇到填充題及計算題較多題的考試,成績通常不太理想,這是普遍現象,關鍵原因就在於「確實」二字。

    因此,學生平常寫選擇題時,可以用任何方式先試著將答案選出來。接著也別忘了將選項蓋住,在沒有選項的情況下,視作計算題做一次,如果仍然可以做出來,表示對於此題的理解是「可以」的,在考試時相對比較不會失誤。

    數學的內容是環環相扣累積而成

    數學的內容有很強烈的連貫性,如果前面有一部份沒有學好,很可能會影響到後續的學習。因此,學習數學的過程必須循序漸進,按部就班,才能夠穩扎穩打,奠定堅實的基礎。
    也因為這樣的特性,很容易出現數學能力強弱差距愈來愈大的現象。數學好的人,用正確的方式學習,愈來愈好;數學不好的人,前面的內容沒有學好,連帶影響之後的學習,導致落後愈來愈多。

    所以,每一段落的學習,一定要徹底弄懂前面所學的,才能夠理解接下來的內容。

    我在二十年教學的過程中,非常重視學生完成課後作業的原因也在於此。有些學生學習習慣不佳,只想輕鬆學習,不願意配合,我都會建議暫停課程,請他先完成課後練習再進新的進度,即使溝通的過程不一定每次都是愉快的,甚至也曾經因此被不明理的家長辭退家教工作。但是沒辦法,沒做好這一塊,無論如何都很難學好高中數學。所以,往後的教學,我都會先溝通觀念,可以接受再進行,避免浪費彼此寶貴的時間。

    接著來談談,遇到題目不會寫的處理方式。

    如果只是少數難題不會寫,這是正常現象。可是如果很多題目不會寫,此時要做的不是去看詳解,而是檢視學習的部份是否徹底了解。如果某一部份無法完全體會,就應該追溯到前面的部份,再予以補強或複習。例如,某個公式或定理遺忘了,這時候不僅僅只是查此公式或定理就試著套進去,而應該重新複習,去理解公式的推導方式、定理的敘述及證明方法,內化所學,如此才是治本之道。千萬不要急救章只為了處理當下的問題,而是要能夠靈活運用,處理題型的變化,如此才有助於應對將來學測、指考綜合題型的挑戰。

    多做題目就可以學好數學嗎?細談數學題目的層次分級!

    初學者在學習一個新的單元時,須要做一些基礎題,讓自己熟悉課程內容。

    這類題目,只需要很基本的運算,沒有太大的變化。甚至只要簡單的一個步驟就能完成。

    通常老師在課堂上,會先帶一些這類的例題,讓同學能掌握住基本概念。
    下課後,一定要盡快複習,熟練這些基礎題且保證不會出錯。
    往後的學習,就是建立在這些基礎練習上面。

    為什麼有些學生,在學了幾堂課之後,突然覺得很困難,跟不太上了?
    原因可能就是出在銜接出了問題。
    因為沒有盡快複習,遺忘,然後題目層次提高,便開始感到吃力。
    在這個階段,基礎題必須練到像呼吸一樣自然,沒別招了。

    例如在學習常用對數時,我們要能夠很快判斷以下這些數的值:

    或者再稍微變化

    這類題目考試通常不考,或考得很少,我們就不再贅述了。

    接著進入到下個階段:標準題型演練

    這類題目,相較於基礎題計算多一些,解題步驟較多,但不會太困難。
    只要將課本或是參考書的題目逐題演練,就會自然而然接觸到很多這個層次的題目。

    例如以下這道題目,

    這個式子本身就是一個很明顯的提示:要用到立方和公式!

    $$\begin{aligned}
    原式&=(log2+log5)^3-3log2\cdot log5\cdot(log2+log5)+3log5\cdot log2 \\
    &=1-3log2\cdot log5 +3log5\cdot log2 \\
    &=1
    \end{aligned}$$ 當然,如果同學忘了立方和公式,這一題就會不知如何處理了。

    再來看幾題這個階段的題目

    通常這類型的題目可以掌握好,考試及格是沒有太大的問題了。

    第三種是進階思考題,就是那些我們比較少看過的題目。

    尤其大考題,很多題目是命題教師的原創,
    我們平常不可能看過。我們拿到考卷的第一眼感覺必定是很陌生。
    舉個例子來看看吧:

    所以對於偏重記憶型學習法的學生,可能會不知所措,怎麼跟平常看到的題目不太一樣?
    其實這只是將數字換個寫法而已,例如 $$235864 = 2\times 10^5 + 3\times 10^4 + 5\times 10^3 + 8\times 10^2 + 6\times 10 + 4$$

    也就是說,題目只是要我們這個數字的「位數」,而 \(n = 位數 -1\)

    這類題目不一定是困難的,只是平常要多思考,構築出自己的解題策略。
    然後抽絲剝繭,慢慢找出答案。
    即使沒解出來,也可以累積經驗,強化自己的解題策略。

    如何判斷自己是不是真的理解?
    一個重要指標就是,能不能解出那些沒見過的題目。
    這類題目,也是在考試時分出勝負的關鍵。

    所以學習數學時,在每一道題演練的過程中,
    一定要牢記,目標是要建立出自己的解題策略,
    而不是反射性動作般地重複演算,看到須要思考的題目,
    卻反而輕易看詳解,失去了磨練自己的機會。

    當然,對於每個階段,何謂基礎題?何謂標準題?何謂思考題?會有所不同。
    我們前面看的那一題思考題,一旦有了經驗,是不是就變成標準題甚至是基礎題了呢?

    但是還有一種很慘的情況,就是課後沒有盡快複習,觀念遺忘。
    然後看基礎題也彷彿是進階題,事倍功半。這時候還一直在逐題看詳解,
    陷入一種無效的學習模式,浪費寶貴的時間。


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    我的教學策略

    接下來分享,我教學工作的流程,說明我是如何幫助學生學好數學。

    第一步:觀念引導,範例解說。
    我喜歡藉由提問引導,與學生保持對話,看學生的算式給建議,在互動的過程中幫助學生建立基礎觀念。

    第二步:課後指派作業
    以高中數學為例,一次的課程大約指派15~20題作業,這部份學生必須按時完成,才可確保下一堂課能順利進行。
    但是有些學生為了完成作業,會略過複習直接寫作業,然後發現一堆題目不會寫,這是不對的。
    正確的學習方式應該是,課後儘快將上課所學複習一遍(最好在24小時內),老師講解的範例不看解法自己寫過一次,才可將新學到的內容初步固化。
    通常第一次複習會耗費較多時間,不妨抓2~3天時間完成。第二次複習時,速度會快很多,大約1~2天可完成,這時就可以搭配寫作業練習,效果不錯。
    等到複習到第3遍時,甚至還可以教同學。

    第三步:計時測驗

    我會於每次課後指派下次上課前的測驗,檢視學生某段內容的學習情況。

    以下引用「高手學習」一書中的一段話

    人在很多情況下會高估自己的知識。我們以為自己知道,其實不知道。如果一個學生把教科書裡的東西看過好多遍,每次都感覺看得很明白,他會自認為已經掌握了,可是一旦考試發現自己並沒有真正理解。想要真正理解,唯一的辦法是考試和測驗。這就是回饋!沒有測驗,你的知識只是幻覺。

    測驗與寫作業的不同之處在於,測驗有時間的急迫性,除了對於所學內容要精熟之外,還要搭配作答技巧才能取得高分。這與寫作業的思維是不太一樣的,寫作業時間不這麼緊迫,可以慢慢想,而且也沒有得分與否的壓力,應該著重在確實理解,而非作答技巧。

    測驗時,應該撥出一個完整的時間,專注完成,效果才會好。

    第四步:課後紀錄

    每次課後,寫下此次上課進度、指派作業、測驗、學生學習狀況說明與建議、備註。除了讓自己方便下次查閱之外,也讓學生確定課後學習任務,讓家長了解孩子的上課狀況。

    通過問題聊數學思考

    如何以海龍公式證明不等式?

    數學觀念補給站

    學習數學應該包含一些記憶和大量的理解,順序弄反,結局大不同。
    換句話說,即使一字不漏地背下整本課本或是講義,也於事無補。

    這就是為什麼,數學這門科目,會給一些學生造成困擾。
    明明我都很認真讀書了,可是怎麼還是考不好?

    追根究柢,很大一部份的原因就是,用了太多的記憶,太少的思考與推理所導致。

    學習數學的確須要一些記憶,例如:題目問五邊形的對角線個數?
    我們當然要先知道對角線的定義就是任一頂點,與其他非相鄰兩點的頂點相連的線段。
    接著連連看,發現會有五條。

    接著再問自己,六邊形會有幾條對角線呢?

    在課堂上,有學生完全不假思索,立即回答六條。

    是嗎?我們畫畫看。

    不對呀,應該有九條才對!

    這時候就要好好思考,當初我們是如何確定五邊形的對角線個數?
    如果每次都是慢慢畫,當邊數增加時該怎麼處理呢?

    顯然這不是一個好的策略對吧!

    所以學習數學的過程中,不要滿足於只是將答案算出來,
    而是要多思考其中的道理是什麼。

    如果出了100題計算多邊形對角線個數的題目,
    而每一次我們都是慢慢畫出來。

    你覺得這樣做完100題,數學能力會進步嗎?
    我想答案是否定的!

    很多學生學習數學就是這種模式,拚命用不對的方法刷一大堆題,
    結果就是事半功倍。

    數學是理科,要說道理。

    換個思考方式,對於五邊形而言,每個頂點可以連出 \(2\) 條對角線,
    那麼五個頂點,應該就能連出 \(5\times 2 = 10\) 條對角線,
    好像哪裡怪怪的,我們沒有連出這麼多條呀。

    對了,因為線段 \(\overline{AC}\) 及 線段 \(\overline{CA}\) 是同一條,我們多算了一次。
    因此最後的答案要再除以 \(2\) 才對。

    太好了,有了這樣的想法,管它幾邊形,都可以馬上破解。

    六邊形的對角線個數為 \(6\times 3÷2=9\)
    七邊形的對角線個數為 \(7\times 4÷2=14\)
    八邊形的對角線個數為 \(8\times 5÷2=20\)

    等等,好像有規則耶!

    如果是 \(n\) 邊形,那麼對角線個數應該是多少呢?

    按照以上規則可知,答案應該是 $$\frac{n(n-3)}{2}$$

    我們再理解一次:\(n\) 邊形的每個頂點,扣除自己及相鄰兩點,可連接出 \(n-3\) 條對角線,因為有 \(n\) 個頂點,
    所以會有 \(n\times (n-3)\) 條,但是要扣除重複算到的部份,因此再除以 \(2\),最後就得出那個公式了!

    原來,這就是我們所謂的公式,是可以慢慢被觀察出來的。
    而不是一開始背起來,然後看到題目開始套公式。

    這樣的學習方式,是不是有趣多了呢?

    學習數學就是這樣,每學習一個新的單元,的確須要理解也須要一些記憶。

    對於較深入的題型,則須要抽絲剝繭,慢慢推理。等到熟悉了,就會變成我們思維的一部份,
    很多時候真的就可以不假思索,準確看到問題的本質。

    一道好的問題,往往會有很多不同思考的角度與方向。

    最近兩個月,我正在為高三學生上第二階段數學筆試的題目,
    其中又以台大資工、電資學院的題目居多。

    雖然有些題目我已經寫過了,但是隔了一陣子再回來看,
    又有了不同的想法與觀點。甚至還發現了自己當初思考的盲點,
    這也是與學生討論的過程中的收穫,教學相長就是這樣來的。

    接下來,我們來聊聊以下這道挺有意思的題目。

    以海龍公式證明不等式

    設 \(a\)、\(b\)、\(c\) 為三正數滿足 \(a+b+c=3\),試證:$$(3-2a)(3-2b)(3-2c)\leq a^2b^2c^2$$

    這個不等式,看起來挺神奇的。為了方便討論,不失一般性,先假設 \(a\leq b\leq c\)。

    如果左式為「非正數」,那麼此不等式明顯成立。因此我們的重點在於處理左式「非負」的情形。
    為了讓論證過程清晰,選擇分類方式就格外重要。

    首先先將情況分成兩大類:
    情況1:$$a\leq b\leq \frac{3}{2}\leq c$$ 這個情況會造成左式非正,此不等式明顯成立。

    情況2:$$a\leq b\leq c\leq\frac{3}{2}$$

    想想看,是否還有其他情形呢?例如 \(a\leq\frac{3}{2}\leq b \leq c\)

    這個情況不用考慮了,因為無法符合 \(a+b+c=1\)。同樣道理, \(\frac{3}{2}\leq a\leq b \leq c\) 也可以被排除了。

    接著回到情況2:

    情況2.1:\(a+b=c\),此時可得 \(c=\frac{3}{2}\),左式為 \(0\),此不等式顯然成立。
    情況2.2:\(a+b<c\),則 \(c>\frac{3}{2}\),造成矛盾,此情況不可能發生。
    情況2.3:\(a+b>c\),這個情況之下,\(a,b,c\) 可構成三角形的三邊長。

    依照此不等式的形式,可聯想到三角形的面積公式與三邊長相乘及開根號的形式。
    $$\frac{abc}{4R}=\Delta = \sqrt{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)}\ \ \ (海龍公式) \tag{1}$$

    重點來了,那個外接圓半徑必須估計一下範圍。

    由正弦定理可知,$$a=2RsinA, \ b=2RsinB, \ c=2RsinC$$

    因此,$$3=a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC) \tag{2}$$

    此時衍生出另一個問題,\(sinA+sinB+sinC\) 的極值是多少呢?

    大膽猜測,當此三角形為正三角形時,\(sinA+sinB+sinC\) 會達最大值為 \(\frac{3}{2}\sqrt{3}\)

    但是要如何證明呢?

    可以利用正弦函數凹口向下的特性得出以下不等式:$$\frac{sinA+sinB+sinC}{3}\leq sin{\frac{A+B+C}{3}}=sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

    回到第 (2) 式可得$$3\leq 2R\cdot \frac{3}{2}\sqrt{3}$$ 兩邊同時除以\(\sqrt{3}\) $$R\geq\frac{1}{\sqrt{3}}$$

    接著再回到第(1)式,將不等式兩邊平方可得 $$\frac{3}{16}a^2b^2c^2 \geq \frac{3}{16}(3-2a)(3-2b)(3-2c)$$
    不等式兩邊同時除以 \(\frac{3}{16}abc\) 可得:$$(3-2a)(3-2b)(3-2c)\leq a^2b^2c^2$$

    由以上論證,可以衍生以下三個問題:

    問題1: 在 \(\Delta ABC\) 中,\(cosA+cosB+cosC\)之最大值為何?

    問題2:在銳角 \(\Delta ABC\) 中,\(tanA+tanB+tanC\)之最小值為何?

    問題3:在銳角 \(\Delta ABC\) 中,\(cotA+cotB+cotC\)之最小值為何?

    這三個問題,讀者不妨想想,我在下一篇文章再來解答喔。



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    常見數學學習的問題

    如何學好高中數學:我的孩子在學校上數學課都聽不懂,怎麼辦?

    作為一名受過專業訓練的數學老師,讓學生聽懂,是最基本的要求。但是,即使我已經教了二十多年的高中數學,
    要讓全班每個學生都聽懂,也是很困難的。畢竟每個學生的知識背景、學習習慣、用功程度都有差異。

    因此,因材施教,是幫助每位學生學好數學最好的方式。

    然而,即使是少子化的今天,一個班級至少也有二十多名學生,在我曾經任教的明星私校,整班甚至還有將近五十名學生。
    雖然這些學生已經通過入學考的洗禮,但是程度差異仍然存在。

    同一套教法,有的人聽得懂,有的人聽不懂是很正常的。我只能保證大多數的學生可以聽懂,但是中後段學生怎麼辦呢?

    我曾經在導師班實行了「搶救數學大作戰」計畫,針對每次週段考最後十名的學生,每週留校兩天各半小時補強。
    接著邀請其他學生參與輔導,並且給予積點獎勵,我稱這些學生為輔導小老師。

    留校輔導的學生要做什麼呢?

    第一:寫作業,不懂的問題可以請輔導小老師解說。
    第二:寫練習卷。我會特別提供基礎卷給學生練習,不懂的部份也請輔導小老師教導。

    我先說說最後的成果,實行兩週後,班平均由年級第九晉升至年級第四,接下來的三次週段考皆維持年級第一。
    效果出乎意料得好。

    這件事讓我了解到,「教學相長」是很好的策略,相信不僅數學如此,其他科亦可如法炮製。

    整個計畫我其實沒有做什麼,主要就三件事:擬訂計畫、陪伴、準備練習卷。過程中,我盡可能讓學生教學生,
    而不是由我親自教學生,同儕間的話語彼此更容易理解。

    後來我再進一步思考,發現了學好數學更關鍵的事,那就是針對問題討論與解決。

    因此,孩子在學校聽課聽不懂,怎麼辦?
    首先,應該先確認自己的觀念是否清楚,最簡單的方式就是看課本!
    跟著課本的編排順序閱讀,演練,搭配老師的解說,建立穩固的觀念。

    接下來就是要自己獨立解題,然後寫下計算過程,問問題時,不只是將題目請指導者重新做一次,
    而是請指導者找出過程中的錯誤,並且立即修正。這樣的回饋機制非常重要,無論想去補習班或請家教或是請教同學老師,
    都請審視一下,是否有回饋機制,應該避免過多的單向接收。

    在學校上數學課聽不懂,原因有很多,也許老師的教法無法理解,也許不喜歡數學老師,也許覺得老師教得太快太難。
    當然可以與老師反應自己的情況,看看能否適度調整。
    但是相信我,檢討自己才會是最有效的選擇。
    尤其在這個資訊發達,AI人工智能興起的時代,學習選擇愈趨多元。

    不妨試試自己主動閱讀課本,寫題、整理。甚至在課前預習,提出自己遇到的問題,或是留意老師的觀點與自己是否相同。
    接著修正自己的觀念與解題技巧,優化自己的解題策略,相信這種由內而外的方式,絕對好過盲目尋求外在資源。

    數學學習常見的困擾:為什麼上課都聽懂了,可是考試成績都不盡理想,不知該怎麼辦?

    我在學校教書時,時常收到家長的訊息,說很擔心孩子的數學成績。
    我第一件事情就是要先確認,孩子在家是否有表達數學課時有聽不懂的部份?
    得到兩種回覆,第一種是學生知道自己的數學底子不是很好,上課時跟不太上,坦承只能理解一半的內容。
    另一種則是,上課都聽得懂,覺得上數學課很有趣,可是就是考不好。

    情況一:數學底子不好,上課時跟不上,無法完全理解課堂講述的內容怎麼辦?

    我們先來談談第一種情況,我在教七年級時,就會遇到有學生國小數學基礎不好,國中銜接時發生困難。
    我在教高一時,就會遇到有學生國中數學底子不好,高中銜接時發生困難。
    我在教大一微積分時,就會遇到有學生高中數學底子不好,造成學習微積分的困難。

    數學這個科目的特性是有極強的連貫性,環環相扣,之後的課程與之前的學習息息相關,前面的問題沒有解決,就會連帶影響後面的學習。
    所以盡快解決遇到的問題至關重要,不然那個不懂的部份,就會像滾雪球般愈滾愈大。有這個情況的學生,說明已經沒辦法用一刀切的教學模式。

    所謂的一刀切教學模式指的是,傳統學校和補習班通常遵循固定的課程和教學進度,但這不一定適合所有學生,有些學生可能進度較快,
    而有些學生可能需要更多時間來理解和吸收知識。一刀切的教學方式無法滿足所有學生的需求,容易使學生感到無聊或挫折。
    此時,請改用一對一指導模式,根據學生實際情況,逐步引導教學。
    這種教學方式的重點在於,讓學生學習口述表達想法及寫下計算過程,老師再予以反饋與修正,並提供適當資源給學生練習。

    這就很像每個病人的症狀都不一樣,醫生不可能都開同一個藥方治療。傳統學校與補習班教學,只能抓一個程度範圍,
    一旦超出這個範圍,無論程度太好或太差,成效都不會太好。對於程度好的學生,老師可以補充一些加分題給他們挑戰,不至於太無聊。
    但是對於程度落後較多的學生,老師停下來等他理解,大多數學生就會感到無趣,而且也會影響到課程進度。

    因此,如果學生的學習態度良好,但無法跟上團體班的進度,請不要猶豫,讓他採用一對一的指導方式才會是好的選擇。
    但是如果是出在學習態度不佳的問題,例如上課不專心、作業拖欠、懶散…等問題,請先加強生活教育,再尋求外在資源。
    不好的學習態度,往往只會讓家長投入的資源打水漂,不會有太大的效果。

    情況二:為什麼上課聽得懂,但考試卻考不好?

    接下來我們來談談,上課聽得懂,但考試考不好的問題。針對這類學生,我會採用一對一的方式診斷,他是否真的理解,
    有些學生其實是以為他懂了,事實上還存在著不少理解上的盲區。對於這種情況,就是要一題題檢查,從他的算式找出問題並立即修正,或是問問題請他回答,
    確定他的理解是否是正確的。愛因斯坦曾說,如果你不能將一件事情說的簡單,那就不是真的理解。
    如果學生說他會寫,但不知道怎麼講,很多時候不一定是真的會,所以一定要練習把想法表達清楚,老師才能給予有效的輔助。

    另一類情況是,學生真的理解,但是計算太慢,造成考試寫不完,或是計算粗心。這個現象很普遍,原因有兩個,
    一個是練習量不足,另一個則是解題策略不佳,而兩者間又有部份因果關係,可能因為練習不足,沒有發展出好的解題策略,造成解題緩慢,影響考試成績。
    但是也有可能,練習量充足,但沒有優化解題方法,所以算式冗長,平日寫作業花很多時間,但是上了考場寫不完或容易算錯。

    練習量不足的問題,是比較容易處理的,勤奮一點寫題,對於考試成績會有些改善。
    但是對於解題策略的問題,請上課時專心聽老師講述,不要埋頭拚命寫自己的題目。或者,寫了一道題之後,覺得解得有些麻煩,
    可以請教同學或老師是否有其他比較簡單的解法或是參考詳解與作者交流。

    附帶提醒,不要太依賴詳解,而是將詳解視為交流的對象。有不少學生寫數學題時,習慣將詳解放在旁邊,不會做馬上看詳解,
    容易落入背記的學習模式,這是典型的不良習慣。如果沒有想法,馬上看詳解就是太過依賴詳解。如果有了想法,再看詳解,才是交流。

    祝福同學們都能發展出自己的解題策略,在學習數學的過程中真正享受到樂趣。

    我會如何協助學生提升數學能力?

    傳統課堂上一對多的上課模式,無論怎麼教,對於某些學生而言,效果始終很有限。因此,真正有效的方式,應該是一對一的教練式引導。

    老師除了講述課程內容之外,主要功能應當是引發思考,並且針對學生實做過程立即給予反饋建議與修正。只要學生能夠按部就班實行,
    相信學好數學只是時間的問題。

    【高中數學考試方法】考試作答技巧與如何避免粗心錯

    學測考前兩天要讀什麼?

    再過兩天就要學測了,相信同學們都投入相當多的時間在準備這個考試。平常的學習習慣與累積,已奠定你是否已具備紮實的基礎。因此,考前兩天,重點已經不在於數學實力的提升,而是身心狀態的調整及一些進入考場應試時的提醒。以下,將針對幾點與大家分享。

    數學程度是不是能完全表現在數學考試的成績上?

    每次考完,總是會有一些程度不錯的同學怨嘆,怎麼這題明明會寫卻不小心寫錯了。怎麼在考場時就是想不到,走出考場就會寫了?

    或是另一種同學說,我這題寫對了,但我是用這種方式把答案猜出來,不知道正確的做法應該如何?

    換句話說,程度好的同學,可能因為粗心或考試緊張而無法正常發揮取得相對應的好成績。而程度相對較差的同學,也可能藉由作答技巧將答案選出來。

    考場如戰場,分秒必爭,因此影響考試成績的因素,除了平常累積的實力之外,還有當下的身心狀態、靈感、作答技巧、心理素質(抗壓性)、還有一些運氣。不是每一項因素都是我們可以掌控的。

    我們能掌握的部份像是,考前不要再熬夜、避免吃油炸辛辣的食物,在前一天先把當天要帶的東西準備好,並且最好多帶一組文具備用…等,這些細節我就不再贅述了。

    以下我將針對作答技巧及如何降低粗心的頻率兩方面進行分析與提醒。

    首先我們要先認清一點,學習與考試有差別的。考試是殘酷的,因為有時間限制,因此就會有寫不完的問題。

    寫不完有三個原因,想不出來、用錯方法、看錯題目。

    想不出來我們無法強求,但要避免的是,明明會做卻又沒有正常發揮的情況。因此,以下分享幾個作答技巧供大家參考:

    考試作答技巧

    剛拿到考卷時,不要急著作答

    大考的題目大多具有原創性,在拿到考卷當下,會覺得很陌生,這種感覺是正常的,不用心慌,大多數人都是一樣的。

    建議可以先快速瀏灠整張考卷,然後從自己比較有把握的單元開始寫起。

    答案卡要確實劃好,這雖然是小事,但就是會有同學因為急著作答,答案卡劃錯而失分變成大事。

    一定要仔細看題目,不要急著下筆

    有些同學擔心寫不完,拿到考卷後,題目大略看過去就準備要作答。做了一大半才發現,題目看錯或理解錯誤,然後開始用橡皮擦擦掉寫錯的部份,再重新來過。結果反而浪費更多時間。

    因此,寧願看題目時慢一點,仔細一點,看清礎題目有哪些已知條件,要解什麼?想好策略再下筆,也不要手動個不停,一邊寫一邊擦,這樣沒有比較快。

    一題想很久,但就是差一點怎麼辦?

    有時候遇到一題想很久,好像就是差這麼一點,這時先做其他題,有時反而容易突破。這樣的策略是有根據的,在大腦喜歡這樣學這本書中提到,我們在思考問題時會有兩種模式,一種是專注模式,另一種則是發散模式。

    當我們專心在思考一個問題時,就像一個光源聚焦在一個點上,可以打得比較深,但範圍比較小。當我們放鬆時,就像光源散開,雖然打得比較淺,但範圍比較大。

    這也就是為什麼,很多時候,在考場時想不到的問題,在打鐘的那一刻就想到了。原因就是,打鐘後心情放鬆,從聚焦一個點的專注模式轉變為擴散為一個面的發散模式,讓我們可以在大範圍中搜尋到答案。

    同樣地,在第一時間完全不知從何下手的題目,也可以先稍微想一下,讓大腦先進入專注模式,然後再跳過這題,做看看其他題。這樣的好處是,當我們在想其他題時,其實大腦還是在以發散模式想這一題。

    做完一題後,再確認兩件事

    是否每個條件都用到了?

    一個正常的題目,全部的條件都要用到才解得出來。尤其大考試題幾乎不可能發生這種狀況。如果有某個條件沒有用到就解出答案,要想想是否哪裡疏忽沒注意到。

    例如:題目給定一個三角形,其中某個角A是鈍角,然後你用餘弦定理算出角A的餘弦值一個正一個負,就要注意因為角A是鈍角,因此你只能寫餘弦值是負的那一個!

    還有個例子是,你為了求極值使用柯西或算幾不等式,記得確認是否有可能發生等號成立的情況。

    另一個情形是,題目沒給的條件,卻自己誤以為有這個條件而用上去。

    例如:一個二次多項式方程式,敘述寫說,已知有一個虛根,問你這個方程式當中一個未知的係數是多少。有些同學就會直接用虛根成對定理下去解,而且還解出答案。但題目並未說這是個實係數多項式方程式,虛根成對定理不能用啊!

    注意看題目要求什麼?並確認答案是否合理?

    例如,你算出一個角度,題目問的可能是這個角度的正切值?

    或是,題目問的是人數,你算出來是分數或負數;題目問的是機率,你算出的答案為3。這些都是不合理的答案。

    驗算的方法

    驗算不是用同樣的方式再算一次。如果這樣的話,第一次算錯,第二次可能也還是錯的。

    較好的方式應該是,第一次算出來一個結果,第二次將結果代回去看合不合理。或是,使用與第一次不同的方式算一次試試答案會不會一樣。

    在作答的過程就可以一邊快速驗算了,不用等到整份考卷做完才驗算。

    如何避免粗心錯?

    粗心錯是非常非常容易出現的狀況。

    每次考完試,無論小考大考,都會有同學跑來說,老師,我這次考好差,才考六十幾。但是如果扣掉粗心錯的部份,我可以考到八十幾。

    試想想,如果一個題目你本來就不會那也就認了。但是一個你會的題目卻沒有把握住而失分,那種感覺真的只能用悔恨來形容了。

    粗心錯有不同的原因

    粗心錯是難免的,應該很少人可以做到百分之百不粗心。如果是不熟練而造成的錯誤,那就多練習幾次也就會改善了。

    但有一種狀況是,熟練度還可以,觀念也清礎,但就是會不小心寫錯。我們將粗心錯分成三種來看:

    第一種,做很多次才錯一次的粗心

    我自己曾經有過一次這樣的經驗,將9/4寫成 3/2,而且還沒在第一時間看出來。

    像這種情況的粗心,一方面可能是當下的狀態不是很好,另一方面可能是考試中有時間限制下,為講求速度而犯錯。

    但我覺得這種粗心在所難免,畢竟最優秀的學生也不敢保證自己每次考試都能滿分對吧。

    第二種,不精確的粗心

    這種情況應該是跟平常學習習慣有很大的關係。如果平常寫東西都是大概,差不多就好的心態,就很可能不會去考慮到一些細節而犯錯。

    第三種,不專心的粗心錯

    專注也是平常就要培養的習慣。唸書時,如果把手機放旁邊,或是一直被其他因素打擾,就容易因為分心而出錯。考試時,雖然環境是單純且安靜的,但如果考前晚睡,就很容易因為精神不濟而粗心。所以考前還是讓自己早點休息吧。

    以上分享,希望對你有幫助,祝各位考生考試順利!

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