如何學好高中數學?破除學習迷思,建立正確觀念

打破數學學習的迷思

迷思1 學好數學 = 背公式?

我於民國九十年,高中剛畢業的那個暑假,就在升大學補習班擔任數學輔導老師,協助學生理清思路,解答問題。

從大二開始因為生活所需,接了不少家教,至今工作近二十年的時間,也因此看過許多在學習上無助的學生、無奈的家長。

他們耗費了許多時間與金錢,卻總是無法改善。只因為找不到學習方法,或是延襲了不正確的方式,難以改變固有想法,以致效果始終有限。

因此,這篇文章雖然標題是針對高中數學,但同時也希望協助家長在孩子小的時候,就能帶給他們正確的觀念與心理建設,甚至了解該如何幫助孩子,落實親子共學的精神。

我在與許多學生談話的過程中,發現有相當大比例的學生會非常強調「公式」,看到題目,就會想如何套公式上去;遇到不會的題目,很快拿出詳解看一次,看不懂的地方就記下來。

但在這裡我想請大家去比較兩種人,你覺得哪一種人的數學程度比較好?第一種人,公式背得很熟,也很會使用,遇到題目可以很快解出來。第二種人,了解公式的由來,並且在不記得公式的情況下,可以用理解公式的方式將問題解出來。

答案顯然是第二種。

不可否認,公式可以讓我們在處理問題時更有效率。我們現行教育非常重視這種效率,因為要比拚考試速度,無可厚非。

但也因此,讓學習數學變成一件非常乏味的事。而這件事衍生出兩種狀況,考試成績不錯,但不喜歡數學。考試成績不佳,不喜歡數學。只有極少數的人可以從學習數學中獲得樂趣。

然後就會開始有人在問,為什麼我要學數學?我去買東西又不用三角函數。那我覺得你也不用學歷史,因為你回不到過去。

我個人很喜歡讀歷史,因為歷史能帶給我一些做人處事的啟發。數學也一樣,它是一門重視邏輯的因果關係,架構嚴謹,講究精確的一門科學,能夠活化人們的思考。

也許畢業後,你不一定還會用到這麼多數學,但思考的習慣將一輩子跟著你。

培養思考的習慣,才是我們學習數學的核心目標。

迷思2 數學學不好就是因為演算題目不夠所致?

很多父母看到孩子成績不理想,首先想到的就是練習不夠。於是開始找一堆題目提供練習,逼孩子多算一點題目,認為多做就會進步,而這就是讓人討厭數學的起點。

不可否認,演算題目是學習數學的必經階段,但很多人卻忽略了,演算題目是為了輔助認知思惟的提升,如果寫了一堆題目,卻沒有提升數學理解的層次,那麼只會讓學生記熟做法,卻以為自己已經學會了。

我在早期的教學過程中,曾經也經歷過這樣的迷思,當時我的自編教材放了超級無敵多題目。一冊的內容被我編了將近四百頁,深恐遺漏掉任何一種題型。

有一天,我遇到一位很棒的物理老師跟我分享他的教學心得,他說,他編進的每一道題目,都是為了講解某個核心概念而設計。他考慮的,不是學生到底做了多少題目,而是學生做了這個題目能幫助他懂了什麼樣的觀念。

這席話讓我矛塞頓開,我要追求的,不應該是學生多會解題,而是學生因為解了這道題在他的認知上起了什麼樣的變化?

我要努力的,不是讓學生定睛看地上有多少片樹葉,而是設法讓他在一定的高度下看見整片森林。

當我在做研究生時,擔任某一位教授的微積分助教。當時教授跟我說,他兒子有一天拿了一題高中數學題問他,他想了很久,還是想不出來,他說他不能理解為什麼高中要解這種東西,而且還拚命超前進度。然後他跟他兒子說,沒關係,你爸也解不出來。

這位教授是得過傑出研究獎的人。

學習數學的重點在於推理與論證,而不是機械式的運算,也不是艱深難題的追尋(個人喜好除外)。當我們真正理解學習內容後,只需要適量練習,並且不斷思考不同類型的問題,才會進步。

迷思3 多學點特殊技巧解難題就是學好數學?

不可否認,學數學本來就包含學習一些技巧。很多學生誤以為,只要多會一些技巧就能夠學好數學。甚至在不曉得原理的情況下,直接將特定技巧套在特定的題目上面,還以為學到了獨門絕招而雀躍不已。

最常見的例子是,國中數學中,有一種題目是已知三角形的三個頂點,問如何求出這個三角形的面積。然後就有不少學生在不曉得什麼是行列式的情況下直接用行列式算面積,因為補習班老師說這樣算比較快,但也不解釋為什麼。

然後下次遇到給定三角形的三邊長,就在不知道海龍公式怎麼推出來的情況下,直接套海龍公式,覺得這個技巧好棒,可以算好快。

下次遇到給定三角形的三邊長都是無理數時,再套海龍公式,算到頭暈眼花,然後一邊說怎麼這麼難算。

但其實不管是哪一題,算三角形面積就是底乘高除以2。以上三題,就是在做一件事:決定三角形的底之後,設法將高算出來。
或是適當的切割,讓圖形先加起來再扣掉某一塊得到我們要的那一個三角形面積。或是還有其他方法…。

只要我們會去想還有什麼方法,那就真正是在學數學了。不然只是表面上看起來是在學數學,但其實骨子裡不知道在學哪一科。

另外,在第一題中,如果能夠將某個邊擺放在x軸上,也許會讓計算容易一些,這個或許就可以稱之為技巧。

回到剛剛說的,我們從思考問題的本質出發,可以慢慢將答案推出來,只是當我們用符號去表示題目的條件時,可以寫出一個漂亮的形式,讓我們下次方便使用。這就是用符號抽象化的好處。

然而,很多人直接跳過最基礎的想法,只想要後面那個形式,然後就發現很多題目根本沒辦法套進去。

例如在高中數學裡,有一道題說,假設角A是120度,則其角平分線的長度倒數會是相鄰兩邊長倒數相加。然後就有人把這個當作特殊的技巧背下來,也不問為什麼,下次題目出角A是90度呢?或是當那條線不是角平分線呢?

如果有好好去了解為什麼,就會發現關鍵就在於三角形的分割。
即原來三角形面積為分割後兩個三角形的面積和。

因此,如果使用一個自己不理解的方法,漂亮解出一個單獨的問題,那倒不如使用自己真正了解的方法,即使解得慢一點也無妨。

迷思4 我不知道怎麼說,總之題目我會做就好。

如果不能講清楚,那麼理解就不完全

在教學過程中,我遇過為數不少的學生,他們說會算這道題目或是知道這個觀念的意思,但他不知道怎麼說。

這類型的學生很容易遇到的問題是,會做一些常見的題目,但是遇到一些變化,或須要進一步思考的問題通常就做不出來了。

這讓我想起 Albert Einstein說過的一句話:

If you can’t explain it simply, you don’t understand it well enough.

將學到的觀念講出來是非常重要的學習步驟,但很多人並沒有要求自己做這件事。因此解了一堆題目,並沒有讓認知能力提升,或是很快又忘了,沒辦法記得久。

甚至有些人會將原因歸結為題目做得太少,難題做得不夠,接著又找了一堆題目重複練習,甚至找了特殊難題拚命解題。

這表示學生學習重心都放在解題目,但問題是題目是永遠做不完的。

我們學數學時是希望做一題會一題,還是希望在真的弄懂了一個觀念或定義、定理後,一次可以做很多見過或是沒見過的題目?

答案當然是後者,要達到這樣的目標,觀念的建立就非常重要。

不知道你是否有過這樣的經驗,明明自己會寫,但講給別人聽就是會卡住。反過來說,如果能夠講給別人聽並且將別人教會,通常你不僅做得出來也比較不會忘記。

說不出來就是沒有完全了解,會做題目只代表了解一部份。
檢視到底懂不懂,將你對這個觀念的認知講給別人聽是最好的方式。

數學中的定義很重要

我在教學過程中,發現很多初學者會有這樣的問題,在解了一堆題目後,有一天你問他定義或是基本觀念,他講不出來。換句話說,這樣的學習方式是點狀的,而不是片狀的。

學習數學,要一次掃一整片,而不是一次只學一個點。

例如:當我們學完三角函數的定義後,首先要去體會,為什麼只會有六種可能?當我們知道某個角度的三角函數值後,其他五個是否也可以知道?如果角度很特殊的話會如何?然後再問,由這樣的定義可以推出什麼性質?餘角關係、平方關係、倒數關係、商數關係。然後再用定義將性質推出來。

有了這整片概念後,再用適量題目練習並強化認知。接著再進到下一個概念。

建議可以試著講給別人聽,或是拿一張白紙出來,自己一邊寫一邊講給自己聽。畢竟最好的學習方式,就是在學到之後,不斷輸出。

另外,也可以整理屬於自己的筆記,只有在自己寫過並架構過後,體會會更深刻。

迷思5 數學考不好,那就趕快去找補習班或家教就行了!

前言

我從高中畢業後就在當時中壢最大間的數學補習班工作,擔任解題老師,後來兼了家教。前前後後待過四家補習班、教過七、八十位1對1家教學生。

這一篇文章,我將以我自己在補習班、家教、學校工作經驗的結合,探討,當學生數學學不好,應該從什麼方向去思考,但絕對不是將補習與家教視為萬靈丹。

因為實際的情況是,很多學生並沒有因為補習或請家教而讓成績獲得改善。

甚至,有些學生因為補習補太多,沒有時間自己練習,消化吸收,深入思考,一堆東西塞進腦袋,考試時再寫出來,考完就忘光光。

這麼無趣的過程,難怪三不五時就會有人問,為什麼我們要學數學?

為什麼數學會考不好?

坦白說,數學不好的原因多半出於學生自身的「學習方法」、「學習態度」或「學習習慣」不正確所導致。

也有一部份原因是因為學生無法適應學校老師的教法,或與學校教師之間的互動不佳所致。或者學校老師真的教得很差也不無可能。

如果是前者,除非願意改變,不然通常補習或請家教效果仍然很有限。如果是後者,則可能有幫助。

以我自己為例,當年我只是個平凡的中學生,學習理解緩慢,上課也不能持續專注。有時候一恍神,重要觀念沒聽到,回家複習就卡卡。

後來與同學去試聽了幾家補習班,發現有些老師的表達方式讓我比較不容易分心,的確滿有幫助的。

我不是個聰明的學生,但卻是個願意努力的學生,因此補習對我很有用。

但很遺憾的是,當我開始教書時,發現很多學生補習或請家教並非完全出於自願,而是父母的要求與期待。

他們只是在做做樣子給大人看,而不是真的想解決他們學習效果不彰的問題。所以應付作業,表現出有在唸書的樣子。

當天學到的內容,隔了一個禮拜,才在上課前拿出來練習,然後說他有複習,這怎麼可能會有用?

新學到的知識,一定要盡快複習,不然必定快速遺忘。

或者,將家教當作考前臨時抱佛腳的一根浮木,平常不讀書,考前讀很久,並且希望有人能協助他在短時間內解決他載浮載沉的基礎,考到一個還可以看的成績。

密集學習,學得快,忘得也快。可以應付小範圍的測驗,但無法應付大範圍的考試。

學習數學的過程就像在建構一棟(數學)建築物,課綱的規範與安排就是先做好佈局,讓每個人可以按部就班慢慢往上建構自己的數學堡壘,大大降低學習的難度。

然而,錯誤的學習「態度」、「習慣」與「方法」將致使學生無法在每個階段打好根基。隨著進度不斷往前,逐漸發現根基搖搖欲墜,吃力萬分,然後開始懷疑自己是不是笨蛋。

數學考不好要怎麼辦?

首先,請拿出你的數學課本,從第一個字開始仔細閱讀,將每一道題目至少寫過一遍,對於自己第一次寫不太順的題目則必須練習二至三遍。針對讀不懂的地方,設法問到懂為止。

就我自己的觀察,很多學生從來不用課本,而是使用講義。使用講義沒有不好,但對於數學觀念薄弱的學生,容易陷入純技術性的操作與記憶。

如果使用講義,就要搭配老師的講解,是否引發動機,是否說清楚原理,是否能引導思考,而這又關乎每個老師的教學風格與課堂上授課時數的限制、還有班級學習的風氣。

還有,你是否能確保在上課時,每一分每一秒都保持專注?萬一就在某一瞬間,錯過了老師精彩的觀念解說怎麼辦呢?

清大教授語錄:數學是一門充滿觀念的學科,拚命想出來的數學其價值勝過於拚命算出來的數學。

因此在學習數學時遇到瓶頸的同學,請拿出你的數學課本好好研讀,當你建立了正確的數學觀念,再去解變化題,會更能體會學習數學的樂趣喔!

是否須要補習?

補習班是個自由市場,競爭激烈。因此,一般而言,補習班的老師都非常用心與專業。除了上課內容要豐富之外,還要能表演得精彩,並且符合學生與家長的成績期待。

這裡就先不談論補習班老師的辛酸了。

站在學生的立場,在學校裡,不管老師是否合適,學生都只能默默接受,而補習班提供了學生另一個選擇機會。

因為有了選擇機會,就要認清楚,自己的需求是什麼?

是因為學校老師的講解方式聽不懂,還是班上學習風氣不佳影響聽課品質,或是學校資源無法解決你遇到的問題?

一旦確定自己的需要,就可以去尋求是否有什麼樣的資源可以彌補。

同時可以想想,除了付費資源,還有什麼樣的免費資源可以使用呢?

你是否嘗試過用免費的線上課程,例如均一教育平台。或是利用社群討論區發問?也許有些人的情況只需要這樣就行了。

如果需要更有組織與條理的資源,再考慮付費購買,但別忘了多試聽比較。

是否請家教?

請個家教在家一對一教學可能有用,但費用當然比補習班貴很多。

我做了很多年家教,這種客製化教學對很多學生有用,因為這是在他任何課堂上的老師無法做到的,這正是一對一的好處。

但對一些學生是沒用的

例如:「不曉得為什麼要請家教」的學生,或是「不願意拋開自己舊有習慣,嘗試改變」、「無法將數學科放在前面順位」的學生。

你問第一種學生,有什麼地方需要協助,有遇到什麼困難,他也不知道。可能是因為父母覺得有用吧。第二種學生是,今天聽完受益良多,下次仍然走原路。第三種學生是,分配到數學的學習時間不足。

如果是這樣的情況,應該要回到上一段所說的,先檢視自己的需求再考慮是否使用這樣的資源吧。

最後做個結論,無論是補習或是家教,都只是補救教學的一種,切勿當成補藥或萬靈丹,一定要審視自己的需求再對症下藥,才可能藥到病除,獲得實質的幫助。

【高中數學考試方法】考試作答技巧與如何避免粗心錯

學測考前兩天要讀什麼?

再過兩天就要學測了,相信同學們都投入相當多的時間在準備這個考試。平常的學習習慣與累積,已奠定你是否已具備紮實的基礎。因此,考前兩天,重點已經不在於數學實力的提升,而是身心狀態的調整及一些進入考場應試時的提醒。以下,將針對幾點與大家分享。

數學程度是不是能完全表現在數學考試的成績上?

每次考完,總是會有一些程度不錯的同學怨嘆,怎麼這題明明會寫卻不小心寫錯了。怎麼在考場時就是想不到,走出考場就會寫了?

或是另一種同學說,我這題寫對了,但我是用這種方式把答案猜出來,不知道正確的做法應該如何?

換句話說,程度好的同學,可能因為粗心或考試緊張而無法正常發揮取得相對應的好成績。而程度相對較差的同學,也可能藉由作答技巧將答案選出來。

考場如戰場,分秒必爭,因此影響考試成績的因素,除了平常累積的實力之外,還有當下的身心狀態、靈感、作答技巧、心理素質(抗壓性)、還有一些運氣。不是每一項因素都是我們可以掌控的。

我們能掌握的部份像是,考前不要再熬夜、避免吃油炸辛辣的食物,在前一天先把當天要帶的東西準備好,並且最好多帶一組文具備用…等,這些細節我就不再贅述了。

以下我將針對作答技巧及如何降低粗心的頻率兩方面進行分析與提醒。

首先我們要先認清一點,學習與考試有差別的。考試是殘酷的,因為有時間限制,因此就會有寫不完的問題。

寫不完有三個原因,想不出來、用錯方法、看錯題目。

想不出來我們無法強求,但要避免的是,明明會做卻又沒有正常發揮的情況。因此,以下分享幾個作答技巧供大家參考:

考試作答技巧

剛拿到考卷時,不要急著作答

大考的題目大多具有原創性,在拿到考卷當下,會覺得很陌生,這種感覺是正常的,不用心慌,大多數人都是一樣的。

建議可以先快速瀏灠整張考卷,然後從自己比較有把握的單元開始寫起。

答案卡要確實劃好,這雖然是小事,但就是會有同學因為急著作答,答案卡劃錯而失分變成大事。

一定要仔細看題目,不要急著下筆

有些同學擔心寫不完,拿到考卷後,題目大略看過去就準備要作答。做了一大半才發現,題目看錯或理解錯誤,然後開始用橡皮擦擦掉寫錯的部份,再重新來過。結果反而浪費更多時間。

因此,寧願看題目時慢一點,仔細一點,看清礎題目有哪些已知條件,要解什麼?想好策略再下筆,也不要手動個不停,一邊寫一邊擦,這樣沒有比較快。

一題想很久,但就是差一點怎麼辦?

有時候遇到一題想很久,好像就是差這麼一點,這時先做其他題,有時反而容易突破。這樣的策略是有根據的,在大腦喜歡這樣學這本書中提到,我們在思考問題時會有兩種模式,一種是專注模式,另一種則是發散模式。

當我們專心在思考一個問題時,就像一個光源聚焦在一個點上,可以打得比較深,但範圍比較小。當我們放鬆時,就像光源散開,雖然打得比較淺,但範圍比較大。

這也就是為什麼,很多時候,在考場時想不到的問題,在打鐘的那一刻就想到了。原因就是,打鐘後心情放鬆,從聚焦一個點的專注模式轉變為擴散為一個面的發散模式,讓我們可以在大範圍中搜尋到答案。

同樣地,在第一時間完全不知從何下手的題目,也可以先稍微想一下,讓大腦先進入專注模式,然後再跳過這題,做看看其他題。這樣的好處是,當我們在想其他題時,其實大腦還是在以發散模式想這一題。

做完一題後,再確認兩件事

是否每個條件都用到了?

一個正常的題目,全部的條件都要用到才解得出來。尤其大考試題幾乎不可能發生這種狀況。如果有某個條件沒有用到就解出答案,要想想是否哪裡疏忽沒注意到。

例如:題目給定一個三角形,其中某個角A是鈍角,然後你用餘弦定理算出角A的餘弦值一個正一個負,就要注意因為角A是鈍角,因此你只能寫餘弦值是負的那一個!

還有個例子是,你為了求極值使用柯西或算幾不等式,記得確認是否有可能發生等號成立的情況。

另一個情形是,題目沒給的條件,卻自己誤以為有這個條件而用上去。

例如:一個二次多項式方程式,敘述寫說,已知有一個虛根,問你這個方程式當中一個未知的係數是多少。有些同學就會直接用虛根成對定理下去解,而且還解出答案。但題目並未說這是個實係數多項式方程式,虛根成對定理不能用啊!

注意看題目要求什麼?並確認答案是否合理?

例如,你算出一個角度,題目問的可能是這個角度的正切值?

或是,題目問的是人數,你算出來是分數或負數;題目問的是機率,你算出的答案為3。這些都是不合理的答案。

驗算的方法

驗算不是用同樣的方式再算一次。如果這樣的話,第一次算錯,第二次可能也還是錯的。

較好的方式應該是,第一次算出來一個結果,第二次將結果代回去看合不合理。或是,使用與第一次不同的方式算一次試試答案會不會一樣。

在作答的過程就可以一邊快速驗算了,不用等到整份考卷做完才驗算。

如何避免粗心錯?

粗心錯是非常非常容易出現的狀況。

每次考完試,無論小考大考,都會有同學跑來說,老師,我這次考好差,才考六十幾。但是如果扣掉粗心錯的部份,我可以考到八十幾。

試想想,如果一個題目你本來就不會那也就認了。但是一個你會的題目卻沒有把握住而失分,那種感覺真的只能用悔恨來形容了。

粗心錯有不同的原因

粗心錯是難免的,應該很少人可以做到百分之百不粗心。如果是不熟練而造成的錯誤,那就多練習幾次也就會改善了。

但有一種狀況是,熟練度還可以,觀念也清礎,但就是會不小心寫錯。我們將粗心錯分成三種來看:

第一種,做很多次才錯一次的粗心

我自己曾經有過一次這樣的經驗,將9/4寫成 3/2,而且還沒在第一時間看出來。

像這種情況的粗心,一方面可能是當下的狀態不是很好,另一方面可能是考試中有時間限制下,為講求速度而犯錯。

但我覺得這種粗心在所難免,畢竟最優秀的學生也不敢保證自己每次考試都能滿分對吧。

第二種,不精確的粗心

這種情況應該是跟平常學習習慣有很大的關係。如果平常寫東西都是大概,差不多就好的心態,就很可能不會去考慮到一些細節而犯錯。

第三種,不專心的粗心錯

專注也是平常就要培養的習慣。唸書時,如果把手機放旁邊,或是一直被其他因素打擾,就容易因為分心而出錯。考試時,雖然環境是單純且安靜的,但如果考前晚睡,就很容易因為精神不濟而粗心。所以考前還是讓自己早點休息吧。

以上分享,希望對你有幫助,祝各位考生考試順利!

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