【高中數學問題賞析1】三角函數的四個極值問題

在三角形ABC中,如何求出三內角的正弦值、餘弦值、正切值、餘切值和的極值,這四個問題牽涉到和差化積、二倍角公式、柯西不等式、算幾不等式與凸函數的特性、相信對這四個問題的統合與理解,有助於學習者分辨相似問題之間的差異,並學習運用所學解決問題的方法。

題目敘述

  1. 三角形ABC中,求cosA+cosB+cosC 之最大值
  2. 三角形ABC中,求sinA+sinB+sinC 之最大值
  3. 銳角三角形ABC中,求tanA+tanB+tanC 之最小值
  4. 銳角三角形ABC中,求cotA+cotB+cotC 之最小值

問題分析

在解這道題目之前,首先,先想想有什麼三角恆等式可以使用?

第一、正餘弦函數的「和差化積」與「積化和差」

其實這個公式就是和角與差角公式,並且再做一些符號上的代換而已。第一次學習的人都應該要推導過,然後再將其結果記熟並應用在解決問題上面。

附帶一提,對於公式有兩種很極端的現象,一種人是太過依賴公式,只要提到數學就將公式劃為等號。

另一種人是,不背公式,想要每次做題時重新推導。其實這兩種都不是很好,歡迎參考以下文章:(迷思1)學好數學 = 背公式?

「和差化積」與「積化和差」的推導

解說視頻:年獸老師的高中數學教室

第二、正切函數恆等式

tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC

這個恆等式只要將角C換成180度-(角A+角B),再搭配正切函數的和角公式即可推出。詳細的推導過程請見以下錄製的視頻。

第三、餘切函數恆等式

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA =1

推導過程同「正切值恆等式」再搭配「餘切值的和角公式」來處理即可。

第一題解析

問題1:三角形ABC中,求cosA+cosB+cosC 之最大值

第二題解析

問題2:三角形ABC中,求sinA+sinB+sinC 之最大值

這一題我提供兩個方法供大家參考。

方法一:柯西不等式 + 和差化積 + 餘弦值的二倍角公式

方法二:利用正弦函數的特性:當角度在0到180度以內,正弦函數圖形凹口向下。

第三題解析

問題3:銳角三角形ABC中,求tanA+tanB+tanC 之最小值

第四題解析

問題4:銳角三角形ABC中,求cotA+cotB+cotC 之最小值

接下來我們來解釋第四題,首先要用到這個恆等式:
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA =1

因為三個角皆為銳角,因此三個餘切值皆為正數,那麼此三個餘切值之和的平方愈小,則表示其和愈小。換句話說,我們要求cotA+cotB+cotC 之最小值,就先看看cotA+cotB+cotC 平方之最小值為何。

上述恆等式將是這題的破題關鍵。詳細過程請見以下視頻:

提出問題

問題A:為什麼問題1、2的角度沒有任何限制,而問題3、4必須限制為銳角三角形?

問題B:為何1、2題是求最大值,3、4題是求最小值?
那麼1、2題是否能求出最小值,3、4題是否能求出最大值?

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