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112年學測數學A試題 / 112年學測數學A解答

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前言

今年學測於112年1月13日登場，1月15日落幕。今年數A的難度適中，有不少基本題(1、2、4、13、14)，也有能鑑別考生的偏難題(16、17)。相較於111年第一屆的震撼教育，這一份試題算是回歸正軌，更為符合學測評量的精神。

試題取材融入生活情境與素養導向(3、7、13)，題意簡潔流暢不難理解，文字量適中，考生不必在閱讀題目上耗費太多時間，可將更多專注力放在數學思考上面。

這一篇文章，我將以這份考題為中心，分享以下內容：

• 單元比重分析
• 題型及試題內容分析(文字＋影片解說)
• 高中數學學習方法分享

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題型及試題內容分析

第1題 指數運算與計算機的使用：基礎題

因應108課綱架構，今年與去年一樣，都出了一題非常基本的計算機問題。
依照題意：

$$\sqrt{\sqrt{\sqrt{N}}}=2$$
將等式兩邊8次方可得 $$N=2^8$$
因此答案選(4)

第2題 直線與圓：基礎題

這一題也非常基本，由觀察可知

$$\angle{COD}=\angle{OED}=\theta$$
在$\Delta OCD$中， $$tan{\theta}=\frac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=\overline{CD}$$

因此，答案選(5)

第3題 迴歸直線：基礎題

首先，我們觀察到，這些數據的分佈情形，會接近一條直線，如下圖所示：

藍色直線的斜率為 $\frac{1}{2}$，因此此直線為

$$y=\frac{1}{2}x$$
將橫座標 $s$ 及 縱座標 $logt$ 代入可得等式 $$logt=\frac{1}{2} s$$
等號兩邊乘以2後，將對數式改為指數式可得等式 $$t^2=10^s$$
因此答案選(4)

第4題 排列組合：分組分堆問題

首先我們思考一下，按照這個順序，表示第5個數應該是最大的數 9。
那麼我們只需從剩下的8個數選4個放在9的左側，剩下4個數放在9的右側即可。
要注意的是，選出來的4個數，只有一個順序，就是遞增或遞減，因此我們不需再去排列。

$$C^8_4\times C^4_4=\frac{8!}{4!\times4!}$$
因此答案選(1)

第5題 三階行列式的幾何意義：好題！

三階行列式所代表的幾何意義是什麼呢？
答案是，三個空間向量所張出的平行六面體體積！
假設有三個向量 $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{u}$，
則由這三個向量所張出來的平行六面體體積為

$$|(\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR})\cdot\overrightarrow{u}|$$

這五個選項的向量 $\overrightarrow{u}$ 分別為 $(-1,1,1)、(1,-1,1)、(1,1,-1)、(-1,-1,1)、(-1,-1,-1)$。那麼我們就要去計算 $\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}$＝？

因為$P, Q, R$ 三點在平面 $2x-3y+5z=\sqrt{7}$ 上，因此

$$\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} // (2, -3, 5)$$

接下來我們逐個選項計算，看哪一個值最大即可。由於只是比大小，因此我們不用計算出切確的答案，每一個選項皆差個倍數可以不用寫出來。

選項(1)：

$$(2, -3, 5)\cdot (-1, 1, 1)=0$$
選項(2)： $$(2, -3, 5)\cdot (1, -1, 1)=10$$
選項(3)： $$(2, -3, 5)\cdot (1, 1, -1)=6$$
選項(4)： $$(2, -3, 5)\cdot (-1, -1, 1)=6$$
選項(5)： $$(2, -3, 5)\cdot (-1, -1, -1)=4$$
因此答案選(2)

第6題 空間向量與期望值混合題

期望值的計算方式：機率 $\times$ 數值

我們可以先畫出此正立方體，並且將其座標化：

接著，我們可以就其內積的值進行分類

$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0$$ 此時 $(P, Q)= (A, E)、(A, F)、(A, G)、(B, G)、(D, E)、(E, G)$

$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=2$$ 此時 $(P, Q)=(B, C)、(C, D)、(C, F)$

$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=1$$ 這個情形是最多的，我們可以用扣的：$C^7_2-6-3=12$

有了以上分類後，計算期望值就很簡單了：

$$E=\frac{12}{21}\times 1 + \frac{3}{21}\times 2 = \frac{18}{21} = \frac{6}{7}$$

因此答案選(3)

第7題 素養題

進入多選題，我們逐個選項來分析：

選項(1)：錯誤；應修正為 甲工作滿9個月後，第10個月的月薪比第1個月的月薪增加600元。
選項(2)：錯誤；工作滿一年後：

• 甲加薪了4次，月薪應增加了800元
• 乙加薪了1次，月薪應增加了1000元

因此乙的月薪應該比甲的月薪高才對。

選項(3)：正確；工作滿18個月後：

• 甲加薪了6次，月薪增加了1200元
• 乙加薪了1次，月薪增加了1000元

沒錯，此時甲的月薪高於乙的月薪。

選項(4)：錯誤；設甲、乙兩人入職薪水皆為 $x$ 元。工作滿18個月時，
甲總共領到的薪水為

$$3x+3(x+200)+3(x+400)+3(x+600)+3(x+800)+3(x+1000)=18x+9000$$ 乙總共領到的薪水為 $$12x+6(x+1000)=18x+6000$$

因此甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水多才對！

選項(5)：正確；我們先來看看第3年甲、乙兩人的月薪是多少

甲：$x+1600$(1~3月)、$x+1800$(4~6月)、$x+2000$(7~9月)、$x+2200$(10~12月)
乙：$x+2000$(1~12月)
因此僅有10~12月甲的月薪比乙的月薪高。

最後答案選(3)、(5)

第8題 機率問題

這一題算是一般的機率問題。首先，我們可以先將 $p_n$ 寫出來：

$$p_n=1-0.9^n$$
接著來逐個選項判斷對錯：
選項(1)：正確
選項(2)：錯誤 $$p_3=1-0.9^3=0.271$$
選項(3)：錯誤；檢驗的方式只要後項減前項看看是不是定值即可： $$p_{n+1}-p_n=0.9^n-0.9^{n+1}非定值$$ 因此$<p_n>$不是等差數列。
選項(4)：正確；第一次未中獎且第二次中獎的機率為 $0.9 \times 0.1$。

另外

$$p_2-p_1=(1-0.9^2)-(1-0.9)=0.9\times(1-0.9)=0.9\times 0.1$$
因此正確。
選項(5)：錯誤；看到至少，就要想到反面。

$$\begin{aligned} P(至少中獎2次的事件) &= 1-P(完全未中的事件) -P(恰中1次的事件) \\ &= 1-C^n_0\times 0.9^n – C^n_1 0.1\times 0.9^{n-1} \\ &= p_n – n(1-0.9)\times 0.9^{n-1} \neq 2p_n \end{aligned}$$

因此答案選(1)、(4)

第9題 對數不等式

這一題必須討論一下 $n$ 的奇偶性：
情況1：$n$ 為偶數，則

$$原式＝log_3\frac{a_1}{a_2}\times\frac{a_3}{a_4}\times…\times\frac{a_{n-1}}{a_n}>18$$

我們將「真數」以公比來表示：

$$log_3(\frac{1}{3\sqrt{3}})^{\frac{n}{2}}>18$$
這個不等式是不可能發生的。

情況2：當 $n$ 是奇數時，

$$\begin{aligned} 原式 &=log_3a_1\times\frac{a_3}{a_2}\times\frac{a_5}{a_4}\times…\times\frac{a_n}{a_{n-1}}>18 \\ &= log_33\times(3\sqrt{3})^{\frac{n-1}{2}}>18 \end{aligned}$$
去對數可得 $$3^{1+\frac{3}{4}(n-1)}>3^{18}$$
去底數 $$1+\frac{3}{4}(n-1)>18$$
最後解得 $$n>23\frac{2}{3}$$
因此答案選 (3)、(5)

第10題 平面中的直線：思考題

這一題難度有逐漸提高囉！
首先，我們先將題目的敘述圖像化：

接著將直線 $L$ 的方程式整理一下可看出必過點 $(5,4)$：

$$L:(2x-10)k+(5y-4x)=0$$

選項(1)：正確；將 $A(10,0)$代入直線方程式 $L:5y+4x-40=0$，可看出

$$5\cdot 0 + 4\cdot 10 – 10\cdot 4 = 0$$
因此，直線 $L$ 通過點 $A$。

選項(2)：錯誤；將 $C(0,6)$ 代入直線 $L$ 的方程式可得

$$5\cdot 6+(2k-4)\cdot 0 -10k=0$$ 解得 $k=3$，因此直線 $L$ 的斜率為 $-\frac{2}{5}$。

選項(3)：正確；圖示如下：

因為點 $D$ 在線段 $\overline{OC}$ 上，故

$$0\leq 2k\leq 6$$ 因此確定 $k$ 值的範圍 $0\leq k\leq 3$

選項(4)：錯誤；當 $k=\frac{1}{2}$ 時，直線 $L$ 的方程式為

$$L:5y-3x-5=0$$ 令 $x=10$代入方程式可解得 $y=7$，因此線段 $\overline{DE}$不在長方形 $OABC$ 內部(如下圖所示)

選項(5)：正確；依題意圖示如下：

此時直線 $L$ 的斜率 $m_L$ 可以用 $k$ 表示為

$$m_L=\frac{8-4k}{10}$$ 若 $m_L=\frac{3}{10}$ 可解得 $k=\frac{5}{4}$，合理。

因此這一題的答案要選(1)、(3)、(5)

第11題 平面上的線性變換：旋轉與鏡射矩陣

這一題主要是考旋轉與鏡射矩陣的寫法及其乘法運算為主。首先，我們必須先將四個矩陣A、B、C、D寫對才行：

$$A=\begin{bmatrix} cos(-90^{\circ}) & -sin(-90^{\circ}) \\ sin(-90^{\circ}) & cos(-90^{\circ}) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$
$$B=\begin{bmatrix} cos(90^{\circ}) & -sin(90^{\circ}) \\ sin(90^{\circ}) & cos(90^{\circ}) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
$$C=\begin{bmatrix} cos(90^{\circ}) & sin(90^{\circ}) \\ sin(90^{\circ}) & -cos(90^{\circ}) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
$$D=\begin{bmatrix} cos(270^{\circ}) & sin(270^{\circ}) \\ sin(270^{\circ}) & -cos(270^{\circ}) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$$

接著只是基本的矩陣乘法

選項(1)：錯誤；$A$ 將點 $(1,0)$ 映射至 $(0,-1)$，$C$ 將點 $(1,0)$ 映射至 $(0,1)$
選項(2)：正確
選項(3)：錯誤；

$$D^{-1}=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\neq C$$
選項(4)：錯誤；
$$AB=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
$$CD=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ 即 $AB\neq CD$

選項(5)：正確；

$$AC=BD=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ 因此答案選(2)、(5)

第12題 三角函數的疊合與圖形

第一步，可先將函數 $f(x)$ 配方：

$$f(x)=2sin(x+\frac{\pi}{3})$$
接下依次看選項
選項(1)：正確；這一題可以畫圖觀察，我提供代數做法：如果 $f(\frac{\pi}{6}-x)=f(\frac{\pi}{6}+x)$，則 $x=\frac{\pi}{6}$就是函數 $y=f(x)$的對稱軸。
$$\begin{aligned} f(\frac{\pi}{6}-x) &= 2sin(\frac{\pi}{6}-x+\frac{\pi}{3}) \\ &= 2sin(\frac{\pi}{2}-x)=2cosx \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} f(\frac{\pi}{6}+x) &= 2sin(\frac{\pi}{6}+x+\frac{\pi}{3}) \\ &= 2sin(\frac{\pi}{2}+x)=2cosx \end{aligned}$$
選項(2)：錯誤；不妨畫個簡圖看看：

顯然，$x=\frac{\pi}{6}$ 及 $x=\frac{7\pi}{6}$ 皆為對稱軸，但是

$$f(\frac{\pi}{6})\neq f(\frac{7}{6}\pi)$$

選擇(3)：錯誤；應該會有兩個 $x$ 滿足 $f(x) \sqrt{3}$，用圖形就可以觀察出來了。我們也可以更進一步將 $x$ 解出來。

$$f(x) = 2sin(x+\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$$ $$\begin{aligned} sin(x+\frac{\pi}{3}) &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\ x+\frac{\pi}{3} &= \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \\ x &= 0, \frac{\pi}{3} \end{aligned}$$
選項(4)：錯誤；我們可以利用圖形的對稱性觀察。

設 $f(x)=\frac{1}{2}$ 兩個解為 $x_1, x_2$，則

$$x_1+x_2 = \frac{2}{3}\pi + \frac{5}{3}\pi=\frac{7}{3}\pi > 2\pi$$

選項(5)：正確；我們要用到半角公式

$$\begin{aligned} y &= 4sin^2\frac{x}{2} \\ &= 4\cdot \frac{1-cosx}{2} \\ &= 2-2cosx \\ y-2 &= 2sin(\frac{3}{2}\pi+x) \end{aligned}$$ 因此，此圖形向右 $\frac{7}{6}\pi$單位、向下2單位可得 $y=f(x)$ 的圖形。答案選(1)、(5)

第13題 矩陣與三元一次聯立方程式

這一題很基本，首先設 果汁一杯 $x$ 元，奶茶一杯 $y$ 元，咖啡一杯 $z$ 元，列出以下三元一次聯立方程式：

$$\begin{cases} 60x+80y+50z=12900 \\ 30x+40y+30z=6850 \\ 50x+70y+40z=10800 \end{cases}$$ 接著可將此聯立方程式約分，並寫成增廣矩陣，再以高斯消去法求解 $z$。
$$\begin{bmatrix} 6 & 8 & 5 & 1290 \\ 3 & 4 & 3 & 685 \\ 5 & 7 & 4 & 1080 \end{bmatrix}$$ 將第2列$\times (-2)$加上第1列 $$\rightarrow\begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 & -80 \\ 3 & 4 & 3 & 685 \\ 5 & 7 & 4 & 1080 \end{bmatrix}$$ 因此可得 $z=80$

第14題 多項式的除法

這一題可先以長除法操作：

因為餘式為 6，因此

$$\begin{cases} b+a^2=0 \\ -12+2a^2=6 \end{cases}$$ 解得
$$\begin{cases} a=3\\ b=-9 \end{cases}$$

第15題 平面向量

依照題意，我們先將文字圖示如下：

接下來，我們設 $O$ 為原點，$OB$ 為 $x$ 軸方向，$OA$ 為 $y$ 軸方向。
$A$ 點座標為 $(0, a)$、$B$ 點座標為 $(b, 0)$。利用分點公式寫出 $C$ 點座標為 $(\frac{2}{5}b,\frac{3}{5}a)$。再來，因為 $B$ 點是 $C$、$D$兩點的中點，因此 $D$ 點座標為 $(\frac{8}{5}b,-\frac{3}{5})a$，如下圖示：

接著利用 向量 $OC$ 垂直 向量 $OD$，則

$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=0$$ 因此， $$\frac{16}{25}b^2-\frac{9}{25}a^2=0$$ 移項，兩邊開根號可得 $$4b=3a$$ 因此， $$\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\frac{3}{4}$$

第16題 空間中的直線與平面：偏難

這一題計算較為繁瑣。首先，可以假設點 $P$ 的座標為 $a, b, 1$，且點 $P$ 投影至平面 $E:x+z=2$ 的投影點座標為 $H(a+t, b, 1+t)$。
因為 $H\in E$，則

$$(a+t)+(1+t)=2$$ 解得 $t=\frac{1-a}{2}$，此時可以寫出點 $H$ 的座標： $$H(\frac{1+a}{2}, b, \frac{3-a}{2})$$ 點 $P$ 與平面 $E$ 的距離為 $$d(P,E)=\sqrt{2}|t|=\sqrt{2}\cdot\frac{|1-a|}{2}$$ 接著， $$\overline{HA}^2=\overline{HB}^2=\overline{HC}^2$$ 可列出以下方程式：
$$\begin{aligned} &(\frac{a-3}{2})^2+(b+1)^2+(\frac{a-3}{2})^2 \\ = &(\frac{a+1}{2})^2+(b-1)^2+(\frac{-1-a}{2})^2 \\ = &(\frac{a+5}{2})^2+(b-1)^2+(\frac{-a-5}{2})^2 \end{aligned}$$

由第2個等式即可得出方程式

$$(\frac{a+1}{2})^2=(\frac{a+5}{2})^2$$ 解得 $a=-3$
最後回到求出點 $P$ 與平面 $E$ 的距離：
$$d(P,E)=\sqrt{2}\cdot\frac{1+3}{2}=2\sqrt{2}$$

第17題 空間中的兩條歪斜線：偏難

這一題也不容易，但出得很好。我們先畫個圖來看看吧：

要留意，題目說直線 $L_1$ 與 $L_2$ 不相交，且由方程式可看出來兩條直線也不平行，因此我們可以判斷這兩條線是「歪斜的」。

接著還有一個重要觀察：直線 $L_1$ 與 $L_2$ 的方向向量是垂直的，如此可以確定$L_1$、 $L_2$、$L_3$ 會張出一個長方體。

設直線 $L_3$ 分別與 $L_1$ 與 $L_2$ 相交於 $B$、$A$ 兩點。

先來說說我的解題策略：
步驟1：先求出線段 $\overline{AB}$ 的長度。
求出包住 $L_2$ 且平行 $L_1$ 的平面 $E$ 方程式。
平面 $E$ 的法向量為

$$n_L // (1, -1, 1)\times (2, 1, -1) = (0, 3, 3) // (0, 1, 1)$$
又 $(2, 5, 6)\in E$，可寫出平面 $E$ 的方程式 $$y+z=11$$ 因此 $$\overline{AB}=d((1, 1, 2), E)=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$$

步驟2：畫出向量 $AB$、向量 $BP$、向量 $AQ$張出來的長方體。

步驟3：線段 $\overline{PQ}$ 即為以上長方體對角線長度。

$$\overline{PQ}=\sqrt{3^2+3^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$$

第18-20題 題組題

第18題 三角比

我們先將題目的條件標在圖形上：

既然 $\Delta OAP$ 是等腰三角形，那麼可以通過 $A$ 點作線段 $OP$ 的中垂線。
此時可得 $\overline{OP}=2cos{\theta}$，因此答案選(4)

第19題 三角函數與平面向量：證明題

這一題只要將點 $Q$ 與點 $P$ 座標寫清楚就行了。

可以先求出 $\overline{OQ}$ 的長度：

$$\begin{aligned} \overline{OQ} &= 4cos(90^{\circ}-\theta) \\ &= 4sin{\theta} \\ &= 4\cdot\frac{3}{5} = \frac{12}{5} \end{aligned}$$

因此點 $Q$ 的座標為

$$\begin{aligned} & Q(-\frac{12}{5}cos(90^{\circ}-\theta),\frac{12}{5}sin(90^{\circ}-\theta)) \\ &= Q(-\frac{12}{5}sin{\theta}, \frac{12}{5}cos{\theta}) \\ &= Q(-\frac{36}{25}, \frac{48}{25}) \end{aligned}$$

另外

$$\overline{OP}=2cos{\theta}=\frac{8}{5}$$
$$P(\frac{8}{5}cos{\theta}, \frac{8}{5}sin{\theta}) = P(\frac{32}{25}, \frac{24}{25})$$

最後，計算 $\overrightarrow{BQ}$ 及 $\overrightarrow{AP}$ 即可：

$$\overrightarrow{BQ}=(\frac{14}{25}, \frac{48}{25}), \overrightarrow{AP}=(\frac{7}{25}, \frac{24}{25})$$

因此，

$$\overrightarrow{BQ}=2\overrightarrow{AP}$$

第20題 求四邊形面積

由第19題可知，四邊形 $PABQ$ 是一個梯形，圖示如下：

接著要算出這個梯形的高：
寫出直線方程式 $BQ$ 的斜率為

$$m_{BQ}=\frac{\frac{48}{25}-0}{-\frac{36}{25}-(-2)}=\frac{24}{7}$$ 因此直線 $BQ$ 的方程式為 $$24x-7y=-48$$

梯形的高

$$d(A, BQ) = \frac{24+48}{\sqrt{24^2+(-7)^2}}=\frac{72}{25}$$

算出梯形的上下底：

$$\begin{aligned} & \overline{AP}=\sqrt{(\frac{7}{25})^2+(\frac{24}{25})^2}=1 \\ & \overline{BQ}=2\overline{AP}=2 \end{aligned}$$

最後，計算出梯形 $PABQ$的面積

$$\frac{(1+2)\cdot\frac{72}{25}}{2}=\frac{108}{25}$$

112年數A考題整理總算完成了，大約寫了一萬多個字，過程中難免有所疏漏、筆誤或解法不盡理想之處，皆歡迎讀者提出指正，讓我得以將這篇文章修正，避免誤導學生。

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結語：如何學好高中數學？

關於高中數學學習的方法，我已集結在同一篇文章，只要於Google搜索「如何學好高中數學」，第一篇就是了，我會在教學過程中持續更新這篇文章，讓初學者有個依據，檢視自己學習的方式是否需要調整。保持好的習慣，一段時間的累積，進步就會逐漸顯現。反之，不好的習慣，會讓人深陷泥沼，苦苦掙扎，卻遲遲看不到效果。

如果在學習數學的過程中，讓你感到灰心，無助，不妨重新檢視一下，學習方法是否正確，並且虛心改變，努力實踐，相信你也可以慢慢體會到學習數學的樂趣，並獲得思維進步的喜悅。

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