高一數學第1冊(108課綱)-數位教材＋網路資源整合，適合學生自主學習

高中數學線上教學

高中數學數位教材

hi，歡迎你來到這裡。在這個頁面，我將根據108課綱編寫一套以觀念為主的數位教材，除了有文字的解說，同時搭配網路現有教學資源。讓學生可以自學，觀看影片學習。

整個編寫方式是以部落格的形式呈現，所以盡可能少用符號，多講述觀念。同時還有製作目錄，讀者可以自行點選目錄看你想看的主題。看完後，再按「返回目錄」重新選主題。

另外，這不是單純的高中數學內容，還會加入數學史以及一些延伸題材，目的是不要完全受到課綱的限制，讓有興趣的學生學到該學的內容。

要特別注意的是，這些影片是以108課綱章節的順序選取，但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求，請務必對照課本使用，這只是一個輔助的學習方式，在學校還是要用心聽講，才能學到較完整的知識。

關於108課綱，可參考以下文章：

高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式

如果你想要Step by Step的教學課程，歡迎加入以下電子報，我再視需求決定是否製作相關的教學影片。

這個網站專注於製作與研發數位教材，目前已編寫 高一數學第1冊；高一數學第2冊 免費提供給有需要的人使用。

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第一冊

第一章 數與式

1-1(上) 有理數與乘法公式

有理數的介紹

這部份的內容包含：有理數的定義、分類與性質(封閉性及稠密性)。

有理數具有加減乘除的封閉性，這是什麼意思呢？有哪些數不具備封閉性？

有理數具有「稠密性」，與之相對的概念是「離散性」。那麼什麼數具有離散性呢？答案是整數，因為兩個連續整數之間找不到第3個整數。

是否任何有理數皆可表示為「小數」？如果答案是肯定的，那會是什麼樣的小數呢？有什麼方法可以快速判斷呢？

乘法公式

高中學的乘法公式只比國中多一些，最主要的兩個為「和的立方」、「差的立方」進而衍生出「立方和」與「立方差」公式。這是很多高一學生感到困難的部份。

1-1(下) 根式運算與實數

無理數的介紹

在實數線上，除了有理數之外還有很多個洞，那些洞就是無理數。

事實上，無理數的數量非常多，甚至比有理數多很多，它同樣具有稠密性！

問題：要如何證明無理數的稠密性呢？

這個問題先放著供讀者思考。

然而，無理數不具有加、減、乘、除的封閉性，你是否能舉得出例子說明呢？這件事情非常容易看出來，可觀看以下教學影片。

線上教學：有理數與無理數的「封閉性」和「稠密性」

另外，無理數是否能化為小數？如果能的話，會是何種小數呢？

線上教學：循環小數和無理數的判定/數與數線

無理數的例子

無理數的形式非常多，例如：圓周率、自然底數e、根號、…

但如果要證明一個數是無理數，通常是不容易的。但有一些數是高中數學可以做到的，例如證明根號2是無理數，只要用反證法就能做到。

如何證明根號2是無理數？

但是如果要證明「圓周率」或「自然底數e (又稱為納皮爾常數)」是無理數則有相當的難度。

e的介紹
根式的運算

因為根式是無理數的一種例子，因此這裡順便來介紹根式的運算方式。

1-2 絕對值

絕對值主要是「距離」的觀念，在國中時我們已經學過絕對值的基本運算。到了高中階段，我們將進一步討論「絕對值方程式」與「絕對值不等式」。

1-3 指數與常用對數

在指數的部份，高中課程會擴展到「有理數」及一般的「實數」。指數擴展後不影響指數律，但這個事實須要證明。其中從有理數擴展至一般實數須要用到極限的概念，因此高中階段會略過此證明。

省略的部份，我之後會在這個網站以獨立一篇文章的方式補足，可參考「數學老師在課堂上來不及告訴你的事」。

在指數的學習上，要注意幾點：

  1. 當指數由「正整數」拓展為「整數」再拓展為「有理數」時，底數應該加上什麼限制？
  2. 要思考為何要那樣定義：當指數為負數時，表示倒數；若指數為一個分數時，表示開方根？
  3. 當指數拓展後，要如何驗證仍然滿足指數律？
    指數律與對數表

在「對數」的部份，新課綱已弱化僅討論底數為10的對數。這種對數我們稱之為常用對數。以下線上教學大多還是舊課綱有討論一般底數的情況，可提供學生做為課後補充使用。

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第二章 直線與圓

2-1 坐標平面與直線方程式

這一章的重點為直線斜率的意涵、直線方程式的種類、兩直線的關係、點與直線、直線與直線的距離。

直線坐標平面的部份，國中已學過，可參考以下線上教學：

直線斜率的部份：

  • 引出斜率的想法：斜率是量化直線「傾斜方向」與「傾斜程度」的工具。
  • 直線斜率的定義：給定兩點如何求直線斜率？給定一點及斜角如何求出直線斜率？

線上教學：直線方程式-斜率的定義、斜角說明

關於直線方程式的種類：要學習從斜率的定義推導出直線方程式

  • 兩點式、點斜式、斜截式、一般式、點向式、截距式

線上教學：直線方程式的四種型式、2秒鐘背完9種直線方程式

我認為直線方程式最重要的就兩種形式：一般式、截距式。

原因是，一般式是我們代「點與直線」、「直線與直線」距離公式的形式。

因此，如果可以直接將直線以一般式表示，就可以省略掉每次由點斜式化為一般式的移項整理過程。

而截距式方便處理直線與兩坐標軸圍出的三角形區域面積。

線上教學：直線方程式–截距式(理論)、點斜式題目練習+截距式推導

關於兩直線的關係：在平面中兩直線的關係只有三種，分別條列如下

  • 平行
  • 重合
  • 交於一點

其中要注意的事，兩直線平行，則兩斜率相等；兩直線垂直，則兩斜率相乘為負1。要如何證明呢？

線上教學：直線方程式-直線的平行、垂直與斜率的關係說明、兩直線的平行與垂直之經典試題

點與直線，直線與直線的距離

2-2 直線方程式的應用

2-3 圓方程式

我們在高中階段，要開始學習圓方程式，學習的順序如下：

  1. 圓的定義為何？
    圓方程式-圓的定義說明
    圓的方程式
    圓方程式-過三點求圓方程式例題
  2. 圓的方程式有哪些形式？
    圓的標準式
    圓的一般式

2-4 圓與直線的關係

第三章 多項式

3-1 多項式的除法

多項式的基本概念及其運算

綜合除法的注意事項：若除式為ax－b，則操作時，先將除式看成x－b/a，接著會發現商式每一項的係數皆為原本的a倍，要再同時除以a才是以ax－b除完後的商式。

綜合除法範例

餘式定理

餘式定理的精神：可以將除法問題變成求函數值問題；反之，求函數值問題可轉換為除法求餘式。

遇到高次多項式時，餘式定理的精神就是令除式為零，用以降次求餘式。

你可以自己將以上空格填上嗎？或許可以先點選以下連結聽聽解說再決定要怎填較合理。

因式定理

由因式定理可知，一個多項式的因式可與此多項式方程式的根相對應。

3-2 多項式函數

3-3 多項不等式

國中時我們已經學過一次不等式，到了高中我們要進一步處理二次不等式及高次不等式。

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站長簡介

你好，我是Gim，一名數學教師，專攻高中數學、大學微積分教學，目前已有二十年教學經驗。教過武陵高中、中大壢中、復旦高中、內壢高中、桃園高中、振聲高中、新興高中、啟英高中、薇閣中學、延平中學、北一女中、…等校學生。協助學生規畫學測、指考複習。

教學方式著重觀念，逐步引導，按部就班，穩紮穩打。

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