網路資源整合數位區使用方法

hi,歡迎你來到這裡。在這個頁面,我將根據108課綱整理了一些免費線上資源,每個主題就是一個小區塊,我會先用文字說明並提出問題,然後再貼上現有的線上教學資源,讓學生可以觀看影片解說。

要特別注意的是,這些影片是以108課綱章節的順序選取,但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求,請務必對照課本使用,這只是一個輔助的學習方式,在學校還是要用心聽講,才能學到較完整的知識。

關於108課綱,可參考以下文章:

高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式

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第一冊

第一章 數與式

1-1(上) 有理數與乘法公式

有理數的介紹

這部份的內容包含:有理數的定義、分類與性質(封閉性及稠密性)。

有理數具有加減乘除的封閉性,這是什麼意思呢?有哪些數不具備封閉性?

有理數具有「稠密性」,與之相對的概念是「離散性」。那麼什麼數具有離散性呢?答案是整數,因為兩個連續整數之間找不到第3個整數。

是否任何有理數皆可表示為「小數」?如果答案是肯定的,那會是什麼樣的小數呢?有什麼方法可以快速判斷呢?

乘法公式

高中學的乘法公式只比國中多一些,最主要的兩個為「和的立方」、「差的立方」進而衍生出「立方和」與「立方差」公式。這是很多高一學生感到困難的部份。

1-1(下) 根式運算與實數

無理數的介紹

在實數線上,除了有理數之外還有很多個洞,那些洞就是無理數。

事實上,無理數的數量非常多,甚至比有理數多很多,它同樣具有稠密性!

問題:要如何證明無理數的稠密性呢?

這個問題先放著供讀者思考。

然而,無理數不具有加、減、乘、除的封閉性,你是否能舉得出例子說明呢?這件事情非常容易看出來,可觀看以下教學影片。

線上教學:有理數與無理數的「封閉性」和「稠密性」

另外,無理數是否能化為小數?如果能的話,會是何種小數呢?

線上教學:循環小數和無理數的判定/數與數線

無理數的例子

無理數的形式非常多,例如:圓周率、自然底數e、根號、…

但如果要證明一個數是無理數,通常是不容易的。但有一些數是高中數學可以做到的,例如證明根號2是無理數,只要用反證法就能做到。

如何證明根號2是無理數?

但是如果要證明「圓周率」或「自然底數e (又稱為納皮爾常數)」是無理數則有相當的難度。

e的介紹
根式的運算

因為根式是無理數的一種例子,因此這裡順便來介紹根式的運算方式。

1-2 絕對值

絕對值主要是「距離」的觀念,在國中時我們已經學過絕對值的基本運算。到了高中階段,我們將進一步討論「絕對值方程式」與「絕對值不等式」。

1-3 指數與常用對數

在指數的部份,高中課程會擴展到「有理數」及一般的「實數」。指數擴展後不影響指數律,但這個事實須要證明。其中從有理數擴展至一般實數須要用到極限的概念,因此高中階段會略過此證明。

省略的部份,我之後會在這個網站以獨立一篇文章的方式補足,可參考「數學老師在課堂上來不及告訴你的事」

在指數的學習上,要注意幾點:

  1. 當指數由「正整數」拓展為「整數」再拓展為「有理數」時,底數應該加上什麼限制?
  2. 要思考為何要那樣定義:當指數為負數時,表示倒數;若指數為一個分數時,表示開方根?
  3. 當指數拓展後,要如何驗證仍然滿足指數律?
    指數律與對數表

在「對數」的部份,新課綱已弱化僅討論底數為10的對數。這種對數我們稱之為常用對數。以下線上教學大多還是舊課綱有討論一般底數的情況,可提供學生做為課後補充使用。

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第二章 直線與圓

2-1 坐標平面與直線方程式

這一章的重點為直線斜率的意涵、直線方程式的種類、兩直線的關係、點與直線、直線與直線的距離。

直線坐標平面的部份,國中已學過,可參考以下線上教學:

直線斜率的部份:

  • 引出斜率的想法:斜率是量化直線「傾斜方向」與「傾斜程度」的工具。
  • 直線斜率的定義:給定兩點如何求直線斜率?給定一點及斜角如何求出直線斜率?

線上教學:直線方程式-斜率的定義、斜角說明

關於直線方程式的種類:要學習從斜率的定義推導出直線方程式

  • 兩點式、點斜式、斜截式、一般式、點向式、截距式

線上教學:直線方程式的四種型式2秒鐘背完9種直線方程式

我認為直線方程式最重要的就兩種形式:一般式截距式

原因是,一般式是我們代「點與直線」、「直線與直線」距離公式的形式。

因此,如果可以直接將直線以一般式表示,就可以省略掉每次由點斜式化為一般式的移項整理過程。

而截距式方便處理直線與兩坐標軸圍出的三角形區域面積。

線上教學:直線方程式–截距式(理論)點斜式題目練習+截距式推導

關於兩直線的關係:在平面中兩直線的關係只有三種,分別條列如下

  • 平行
  • 重合
  • 交於一點

其中要注意的事,兩直線平行,則兩斜率相等;兩直線垂直,則兩斜率相乘為負1。要如何證明呢?

線上教學:直線方程式-直線的平行、垂直與斜率的關係說明兩直線的平行與垂直之經典試題

點與直線,直線與直線的距離

2-2 直線方程式的應用

2-3 圓方程式

我們在高中階段,要開始學習圓方程式,學習的順序如下:

  1. 圓的定義為何?
    圓方程式-圓的定義說明
    圓的方程式
    圓方程式-過三點求圓方程式例題
  2. 圓的方程式有哪些形式?
    圓的標準式
    圓的一般式

2-4 圓與直線的關係

第三章 多項式

3-1 多項式的除法

多項式的基本概念及其運算

綜合除法的注意事項:若除式為ax-b,則操作時,先將除式看成x-b/a,接著會發現商式每一項的係數皆為原本的a倍,要再同時除以a才是以ax-b除完後的商式。

綜合除法範例

餘式定理

餘式定理的精神:可以將除法問題變成求函數值問題;反之,求函數值問題可轉換為除法求餘式。

遇到高次多項式時,餘式定理的精神就是令除式為零,用以降次求餘式

你可以自己將以上空格填上嗎?或許可以先點選以下連結聽聽解說再決定要怎填較合理。

因式定理

由因式定理可知,一個多項式的因式可與此多項式方程式的根相對應。

3-2 多項式函數

3-3 多項不等式

國中時我們已經學過一次不等式,到了高中我們要進一步處理二次不等式及高次不等式。

數學相關議題

小學階段學習奧數:利大於弊,還是弊大於利

站長簡介

本文作者畢業於國立中央大學數學研究所博士班,目前任職於台北市私立延平中學,已有近二十年高中數學教學經驗;在工作之餘喜愛閱讀與寫作,鑽研高等數學,曾經協助學生通過微積分、線性代數入學考試考上師大數研所。

另外也熱衷於涉獵各種領域,包括投資理財、網路行銷、親子教育、…因為興趣廣泛,因此自稱為「斜槓教師」。歡迎來到斜槓教師的教育學習網