
高中數學數位教材
hi,歡迎你來到這裡。在這個頁面,我將根據108課綱編寫一套以觀念為主的數位教材,除了有文字的解說,同時搭配網路現有教學資源。讓學生可以自學,觀看影片學習。
整個編寫方式是以部落格的形式呈現,所以盡可能少用符號,多講述觀念。同時還有製作目錄,讀者可以自行點選目錄看你想看的主題。看完後,再按「返回目錄」重新選主題。
另外,這不是單純的高中數學內容,還會加入數學史以及一些延伸題材,目的是不要完全受到課綱的限制,讓有興趣的學生學到該學的內容。
要特別注意的是,這些影片是以108課綱章節的順序選取,但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求,請務必對照課本使用,這只是一個輔助的學習方式,在學校還是要用心聽講,才能學到較完整的知識。
關於108課綱,可參考以下文章:
高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式
如果你想要Step by Step的教學課程,歡迎加入以下電子報,我再視需求決定是否製作相關的教學影片。
這個網站專注於製作與研發數位教材,目前已編寫 高一數學第1冊;高一數學第2冊 免費提供給有需要的人使用。
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- 高一、高二學生:高中數學線上教學
- 高三學生:高中數學學測指考教學
第一冊
第一章 數與式
1-1(上) 有理數與乘法公式
有理數的介紹
這部份的內容包含:有理數的定義、分類與性質(封閉性及稠密性)。
有理數具有加減乘除的封閉性,這是什麼意思呢?有哪些數不具備封閉性?
有理數具有「稠密性」,與之相對的概念是「離散性」。那麼什麼數具有離散性呢?答案是整數,因為兩個連續整數之間找不到第3個整數。
是否任何有理數皆可表示為「小數」?如果答案是肯定的,那會是什麼樣的小數呢?有什麼方法可以快速判斷呢?
乘法公式
高中學的乘法公式只比國中多一些,最主要的兩個為「和的立方」、「差的立方」進而衍生出「立方和」與「立方差」公式。這是很多高一學生感到困難的部份。
1-1(下) 根式運算與實數
無理數的介紹
在實數線上,除了有理數之外還有很多個洞,那些洞就是無理數。
事實上,無理數的數量非常多,甚至比有理數多很多,它同樣具有稠密性!
問題:要如何證明無理數的稠密性呢?
這個問題先放著供讀者思考。
然而,無理數不具有加、減、乘、除的封閉性,你是否能舉得出例子說明呢?這件事情非常容易看出來,可觀看以下教學影片。
線上教學:有理數與無理數的「封閉性」和「稠密性」
另外,無理數是否能化為小數?如果能的話,會是何種小數呢?
線上教學:循環小數和無理數的判定/數與數線
無理數的例子
無理數的形式非常多,例如:圓周率、自然底數e、根號、…
但如果要證明一個數是無理數,通常是不容易的。但有一些數是高中數學可以做到的,例如證明根號2是無理數,只要用反證法就能做到。
如何證明根號2是無理數?
但是如果要證明「圓周率」或「自然底數e (又稱為納皮爾常數)」是無理數則有相當的難度。
e的介紹
根式的運算
因為根式是無理數的一種例子,因此這裡順便來介紹根式的運算方式。
1-2 絕對值
絕對值主要是「距離」的觀念,在國中時我們已經學過絕對值的基本運算。到了高中階段,我們將進一步討論「絕對值方程式」與「絕對值不等式」。
1-3 指數與常用對數
在指數的部份,高中課程會擴展到「有理數」及一般的「實數」。指數擴展後不影響指數律,但這個事實須要證明。其中從有理數擴展至一般實數須要用到極限的概念,因此高中階段會略過此證明。
省略的部份,我之後會在這個網站以獨立一篇文章的方式補足,可參考「數學老師在課堂上來不及告訴你的事」。
在指數的學習上,要注意幾點:
- 當指數由「正整數」拓展為「整數」再拓展為「有理數」時,底數應該加上什麼限制?
- 要思考為何要那樣定義:當指數為負數時,表示倒數;若指數為一個分數時,表示開方根?
- 當指數拓展後,要如何驗證仍然滿足指數律?
指數律與對數表
在「對數」的部份,新課綱已弱化僅討論底數為10的對數。這種對數我們稱之為常用對數。以下線上教學大多還是舊課綱有討論一般底數的情況,可提供學生做為課後補充使用。
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第二章 直線與圓
2-1 坐標平面與直線方程式
這一章的重點為直線斜率的意涵、直線方程式的種類、兩直線的關係、點與直線、直線與直線的距離。
直線坐標平面的部份,國中已學過,可參考以下線上教學:
直線斜率的部份:
- 引出斜率的想法:斜率是量化直線「傾斜方向」與「傾斜程度」的工具。
- 直線斜率的定義:給定兩點如何求直線斜率?給定一點及斜角如何求出直線斜率?
線上教學:直線方程式-斜率的定義、斜角說明
關於直線方程式的種類:要學習從斜率的定義推導出直線方程式
- 兩點式、點斜式、斜截式、一般式、點向式、截距式
線上教學:直線方程式的四種型式、2秒鐘背完9種直線方程式
我認為直線方程式最重要的就兩種形式:一般式、截距式。
原因是,一般式是我們代「點與直線」、「直線與直線」距離公式的形式。
因此,如果可以直接將直線以一般式表示,就可以省略掉每次由點斜式化為一般式的移項整理過程。
而截距式方便處理直線與兩坐標軸圍出的三角形區域面積。
線上教學:直線方程式–截距式(理論)、點斜式題目練習+截距式推導
關於兩直線的關係:在平面中兩直線的關係只有三種,分別條列如下
- 平行
- 重合
- 交於一點
其中要注意的事,兩直線平行,則兩斜率相等;兩直線垂直,則兩斜率相乘為負1。要如何證明呢?
線上教學:直線方程式-直線的平行、垂直與斜率的關係說明、兩直線的平行與垂直之經典試題
點與直線,直線與直線的距離
- 關於點與直線的距離:自點向直線作垂足,則點與直線的關係等於點與該垂足的距離。
教學影片:點到直線之距離及其例題 - 關於兩平行線間的距離:在其中一條直線上任挑一點,求此點與另一條直線的距離即為所求。
教學影片:【觀念】導證平行二直線的距離公式
2-2 直線方程式的應用
2-3 圓方程式
我們在高中階段,要開始學習圓方程式,學習的順序如下:
- 圓的定義為何?
圓方程式-圓的定義說明
圓的方程式
圓方程式-過三點求圓方程式例題 - 圓的方程式有哪些形式?
圓的標準式
圓的一般式
2-4 圓與直線的關係
第三章 多項式
3-1 多項式的除法
多項式的基本概念及其運算
- 多項式的基本概念
多項式的定義、多項式的加減乘除運算
綜合除法的注意事項:若除式為ax-b,則操作時,先將除式看成x-b/a,接著會發現商式每一項的係數皆為原本的a倍,要再同時除以a才是以ax-b除完後的商式。
綜合除法範例
- 綜合除法範例1
- 綜合除法範例2:除式為(ax+b)型的綜合除法
- 綜合除法範例3:應用
- 綜合除法範例4:綜合除法求近似值
- 綜合除法範例5:連續綜合除法的應用
- 綜合除法範例6:利用(ax+b)型的綜合除法求近似值
- 綜合除法範例7:利用(ax+b)型的綜合除法求近似值之解法2
餘式定理

餘式定理的精神:可以將除法問題變成求函數值問題;反之,求函數值問題可轉換為除法求餘式。
遇到高次多項式時,餘式定理的精神就是令除式為零,用以降次求餘式。
你可以自己將以上空格填上嗎?或許可以先點選以下連結聽聽解說再決定要怎填較合理。
因式定理

由因式定理可知,一個多項式的因式可與此多項式方程式的根相對應。


3-2 多項式函數
- 三次多項式函數的圖形:單維彰教授講解
- 三次函數的圖形:斜槓教師Gim講解
- 三次多項式函數的圖形:賴政泓老師講解
3-3 多項不等式
國中時我們已經學過一次不等式,到了高中我們要進一步處理二次不等式及高次不等式。

- 多項式函數的圖形與多項式不等式系列教學:均一教育平台提供
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站長簡介
你好,我是Gim,一名數學教師,專攻高中數學、大學微積分教學,目前已有二十年教學經驗。教過武陵高中、中大壢中、復旦高中、內壢高中、桃園高中、振聲高中、新興高中、啟英高中、薇閣中學、延平中學、北一女中、…等校學生。協助學生規畫學測、指考複習。
教學方式著重觀念,逐步引導,按部就班,穩紮穩打。
