高中數學數位教材

hi,歡迎你來到這裡。在這個頁面,我將根據108課綱編寫一套以觀念為主的數位教材,除了有文字的解說,同時搭配網路現有教學資源。讓學生可以自學,觀看影片學習。

整個編寫方式是以部落格的形式呈現,所以盡可能少用符號,多講述觀念。同時還有製作目錄,讀者可以自行點選目錄看你想看的主題。看完後,再按「返回目錄」重新選主題。

另外,這不是單純的高中數學內容,還會加入數學史以及一些延伸題材,目的是不要完全受到課綱的限制,讓有興趣的學生學到該學的內容。

要特別注意的是,這些影片是以108課綱章節的順序選取,但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求,請務必對照課本使用,這只是一個輔助的學習方式,在學校還是要用心聽講,才能學到較完整的知識。

關於108課綱,可參考以下文章:

高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式

如果你想要Step by Step的教學課程,歡迎加入以下電子報,我再視需求決定是否製作相關的教學影片。

這個網站專注於製作與研發數位教材,目前已編寫 高一數學第1冊高一數學第2冊 免費提供給有需要的人使用。

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第一冊

第一章 數與式

1-1(上) 有理數與乘法公式

有理數的介紹

這部份的內容包含:有理數的定義、分類與性質(封閉性及稠密性)。

有理數具有加減乘除的封閉性,這是什麼意思呢?有哪些數不具備封閉性?

有理數具有「稠密性」,與之相對的概念是「離散性」。那麼什麼數具有離散性呢?答案是整數,因為兩個連續整數之間找不到第3個整數。

是否任何有理數皆可表示為「小數」?如果答案是肯定的,那會是什麼樣的小數呢?有什麼方法可以快速判斷呢?

乘法公式

高中學的乘法公式只比國中多一些,最主要的兩個為「和的立方」、「差的立方」進而衍生出「立方和」與「立方差」公式。這是很多高一學生感到困難的部份。

1-1(下) 根式運算與實數

無理數的介紹

在實數線上,除了有理數之外還有很多個洞,那些洞就是無理數。

事實上,無理數的數量非常多,甚至比有理數多很多,它同樣具有稠密性!

問題:要如何證明無理數的稠密性呢?

這個問題先放著供讀者思考。

然而,無理數不具有加、減、乘、除的封閉性,你是否能舉得出例子說明呢?這件事情非常容易看出來,可觀看以下教學影片。

線上教學:有理數與無理數的「封閉性」和「稠密性」

另外,無理數是否能化為小數?如果能的話,會是何種小數呢?

線上教學:循環小數和無理數的判定/數與數線

無理數的例子

無理數的形式非常多,例如:圓周率、自然底數e、根號、…

但如果要證明一個數是無理數,通常是不容易的。但有一些數是高中數學可以做到的,例如證明根號2是無理數,只要用反證法就能做到。

如何證明根號2是無理數?

但是如果要證明「圓周率」或「自然底數e (又稱為納皮爾常數)」是無理數則有相當的難度。

e的介紹
根式的運算

因為根式是無理數的一種例子,因此這裡順便來介紹根式的運算方式。

1-2 絕對值

絕對值主要是「距離」的觀念,在國中時我們已經學過絕對值的基本運算。到了高中階段,我們將進一步討論「絕對值方程式」與「絕對值不等式」。

1-3 指數與常用對數

在指數的部份,高中課程會擴展到「有理數」及一般的「實數」。指數擴展後不影響指數律,但這個事實須要證明。其中從有理數擴展至一般實數須要用到極限的概念,因此高中階段會略過此證明。

省略的部份,我之後會在這個網站以獨立一篇文章的方式補足,可參考「數學老師在課堂上來不及告訴你的事」

在指數的學習上,要注意幾點:

  1. 當指數由「正整數」拓展為「整數」再拓展為「有理數」時,底數應該加上什麼限制?
  2. 要思考為何要那樣定義:當指數為負數時,表示倒數;若指數為一個分數時,表示開方根?
  3. 當指數拓展後,要如何驗證仍然滿足指數律?
    指數律與對數表

在「對數」的部份,新課綱已弱化僅討論底數為10的對數。這種對數我們稱之為常用對數。以下線上教學大多還是舊課綱有討論一般底數的情況,可提供學生做為課後補充使用。

第二章 直線與圓

2-1 坐標平面與直線方程式

這一章的重點為直線斜率的意涵、直線方程式的種類、兩直線的關係、點與直線、直線與直線的距離。

直線坐標平面的部份,國中已學過,可參考以下線上教學:

直線斜率的部份:

  • 引出斜率的想法:斜率是量化直線「傾斜方向」與「傾斜程度」的工具。
  • 直線斜率的定義:給定兩點如何求直線斜率?給定一點及斜角如何求出直線斜率?

線上教學:直線方程式-斜率的定義、斜角說明

關於直線方程式的種類:要學習從斜率的定義推導出直線方程式

  • 兩點式、點斜式、斜截式、一般式、點向式、截距式

線上教學:直線方程式的四種型式2秒鐘背完9種直線方程式

我認為直線方程式最重要的就兩種形式:一般式截距式

原因是,一般式是我們代「點與直線」、「直線與直線」距離公式的形式。

因此,如果可以直接將直線以一般式表示,就可以省略掉每次由點斜式化為一般式的移項整理過程。

而截距式方便處理直線與兩坐標軸圍出的三角形區域面積。

線上教學:直線方程式–截距式(理論)點斜式題目練習+截距式推導

關於兩直線的關係:在平面中兩直線的關係只有三種,分別條列如下

  • 平行
  • 重合
  • 交於一點

其中要注意的事,兩直線平行,則兩斜率相等;兩直線垂直,則兩斜率相乘為負1。要如何證明呢?

線上教學:直線方程式-直線的平行、垂直與斜率的關係說明兩直線的平行與垂直之經典試題

點與直線,直線與直線的距離

2-2 直線方程式的應用

2-3 圓方程式

我們在高中階段,要開始學習圓方程式,學習的順序如下:

  1. 圓的定義為何?
    圓方程式-圓的定義說明
    圓的方程式
    圓方程式-過三點求圓方程式例題
  2. 圓的方程式有哪些形式?
    圓的標準式
    圓的一般式

2-4 圓與直線的關係

第三章 多項式

3-1 多項式的除法

多項式的基本概念及其運算

綜合除法的注意事項:若除式為ax-b,則操作時,先將除式看成x-b/a,接著會發現商式每一項的係數皆為原本的a倍,要再同時除以a才是以ax-b除完後的商式。

綜合除法範例

餘式定理

餘式定理的精神:可以將除法問題變成求函數值問題;反之,求函數值問題可轉換為除法求餘式。

遇到高次多項式時,餘式定理的精神就是令除式為零,用以降次求餘式

你可以自己將以上空格填上嗎?或許可以先點選以下連結聽聽解說再決定要怎填較合理。

因式定理

由因式定理可知,一個多項式的因式可與此多項式方程式的根相對應。

3-2 多項式函數

【高中數學探討】三次函數配方法與三次方程式的根式解:數學發現的先後順序之爭

課程回顧

在高中數學第一冊(龍騰版單元10、南一版3-2)提到三次函數的圖形。這一段是108課綱新加入的內容,讓不少學生吃盡苦頭。雖然國中時已經有處理二次函數的經驗,但三次函數複雜許多。

回想一下,我們當初是如何理解二次函數呢?

答案是「配方法」。透過配方,我們可以觀察出來,二次函數,本身是一個「線對稱圖形」。就以一般情況來說吧,考慮一般形式的二次函數$$y=f(x)=ax^2+bx+c$$配方後可寫成如下形式$$y=f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$ 因此 \(x=-\frac{b}{2a}\) 是此圖形的對稱軸。

然而,三次函數是否也有這樣的對稱性呢?

要回答這個問題之前,首先我們要先嘗試,三次函數是否也可以像二次函數一般「配方」呢?

沒問題,在課本中,就會看到整個配方過程,只是課本可能是以數字演示,而我們以一般的符號呈現如下,整個配方的過程必須熟悉和的立方公式:

$$
\begin{aligned}
y=f(x)&= a(x^3+\frac{b}{a}x^2)+cx+d \\
&= a(x^3+3x^2\cdot\frac{b}{3a}+3x(\frac{b}{3a}))^2+(\frac{b}{3a})^3 + (c-\frac{b^2}{3a})x+d-\frac{b^3}{27a^2}\\
&=a(x+\frac{b}{3a})^3+(c-\frac{b^2}{3a})(x+\frac{b}{3a})+(-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{bc}{3a}+d)\\
&= a(x+\frac{b}{3a})^3+p(x+\frac{b}{3a})+f(-\frac{b}{3a})
\end{aligned}
$$

這個配方結果,帶給我們兩個啟發:

第一:此三次函數的圖形對於點 \((-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))\) 對稱。

也就是說,對於任何的正數 \(h\),點 \((-\frac{b}{3a}-h, f(-\frac{b}{3a}-h)) \) 與 點 \((-\frac{b}{3a}+h, f(-\frac{b}{3a}+h)) \) 的中點為 \((-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))\) 。課本內容對此性質做了詳細的介紹。

第二:早期的數學家,就是採用這個轉換方式,將三次方程式中的二次項係數消除。也就是說,設 $$y=x+\frac{b}{3a}$$則三次方程式可以改寫為 $$y^3+py=q$$的形式。

這是對於一般三次方程式求解的關鍵步驟。雖然消去三次方程式中的二次項係數不是新鮮事,但是相信有一些學生(包括以前的我)都是直接記下這個變數變換然後代回原本的方程式驗證,高中課本提醒了我們這種變數變換出現的原因。

對於三次方程式的根式解是由誰先寫出來的,在歷史上有過激烈的爭辯。1545年,義大利的醫生兼數學家Cardano在他出版的《大技術》一書中,公開了三次、四次方程式的求解過程。事實上,在他之前,已經有許多數學家對此做了努力。

首先,我們要先知道,這是個對於「負數」的意義都還不太確定的年代。在16世紀時,二次方程式的公式解對於當時的數學家而言是常識。但是一旦遇到根號裡面出現負數,就會被數學家視為無解。這就是我們國中階段所面臨的情況,「二次方程式的判別式小於0,則此方程式無解」。我在國中課堂上,仍然會讓學生知道,更精確得說,不是無解,而是無「實數解」。

在高中時,我們學到了圓與直線的關係,可以用代入消去法,將判斷兩個圖形的交點個數問題轉換為判斷二次方程式解的問題。一旦這個二次方程式出現無(實數)解,就是直線與圓沒有交點的情況。雖然現在看來這不是什麼很難接受的觀念,但在當時,數學家認為這是一種「不真實且虛幻」的情況,一直不想去面對。

就在這樣的年代,可想而知,解出三次方程式是件多麼了不起的事。即使在現代中學的數學課我們也只能解出特殊的三次方程式,並不知道如何推導三次方程式的根式解。

概述三次方程式的求解方法

三次方程式根式解的推導過程,網路上已有很多鉅細靡遺的資料可參考。我試著用口語化的方式,讓讀者更容易理解。

以上已經提到,經過合適的變數變換,可以將三次方程式中的二次項消除,得出以下形式的方程式$$x^3+cx=d$$

Cardano採用幾何證明告訴我們,先找到兩個數 \(u,v\),使得 $$x=\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}$$ 接著,將此數三次方可得
$$\begin{aligned}
x^3=(\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v})^3 &= (u-v)-3\cdot\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}(\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}) \\
&= (u-v)-3\cdot\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}\cdot x
\end{aligned}$$ 移項整理 $$x^3+3\cdot\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}\cdot x=u-v$$ 比較係數可得 $$u-v=d, \ uv=(\frac{c}{3})^3\tag{1}$$ 在第(1)式中,將 \(v\) 代換掉,可得出以下 \(u\) 的二次方程式 $$u^2-du-(\frac{c}{3})^3=0$$

使用二次方程式的公式解,可求得 $$u=\frac{d}{2}\pm\sqrt{(\frac{d}{2})^2+(\frac{c}{3})^3}$$ 看起來雖然有兩個解,但無論代入哪一個,最後 \(x\) 皆相同,如下所示:$$x=\sqrt[3]{\sqrt{(\frac{d}{2})^2+(\frac{c}{3})^3}+\frac{d}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{(\frac{d}{2})^2+(\frac{c}{3})^3}-\frac{d}{2}}$$ 這個公式相較於二次方程式的公式解確實複雜了不少,但還不算太難以記憶。

我們試著解看看以下方程式:$$x^3+6x=20$$

對應到以上公式的符號:\(c=6, d=20\),接著找到其中一個解如下:$$x=\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}$$

可是,數學家邦貝利(R.Bombeli, 1526~1572) 在他的著作《代數學》中提到一個例子:$$x^3=15x+4$$ 他以Cardano的公式代入,得出以下解的形式:$$x=\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}$$ 在負數的意義還不太確定的十六世紀,這種情形很容易被視為不合理,而將此方程式視為不可解。然而,這個方程式卻可以被分解如下 $$x^3-15x-4=(x-4)(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3})=0$$ 這個方程式明明是有解的呀!

因此,我們可以猜測,這種三次方根 \(\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}\) 及 \(\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}\) 可以進一步化簡,就如何我們高一做的雙重根式的化簡一樣。

設 $$\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}=a+bi \tag{2}$$ 其中 \(i=\sqrt{-1}\)

將第(2)式等號兩邊同時\(3\)次方可得 $$2+11i=a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i$$ 接著比較實部與虛部:
$$\begin{cases}
a^3-3ab^2=2 \\
3a^2b-b^3=11
\end{cases}$$ 得出 $$\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}=2+i$$ 同樣可得 $$\sqrt[3]{-\sqrt{-121}+2}=2-i$$ 因此 $$x=\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}+\sqrt[3]{-\sqrt{-121}+2}=2+i+2-i=4$$
一旦找到一個實數解,就可以將三次方程式降為二次方程式,接著找到另外兩個根。

此時,我們有個自然的提問:Cardano的公式可以找到其中一個解,那麼其他解要怎麼找呢?

為了不讓這篇文章過多技術性的操作,這裡就先不再詳述推導細節,如果同學有興趣,不妨Google關鍵字,三次方程式,可以找到一大堆資料。

接下來,我們來簡述一下解三次方程式這段有點爭議的歷史。

三次方程式公式解的優先權之爭

對十六世紀的數學家而言,二次方程式的公式解是常識,而三次方程式的公式解則是謀求職業發展與社會地位的秘密武器。

在1510年~1515年之間,義大利波隆大學的數學家費羅(Scirione dal Ferro, 1465-1526)提出了缺二次項的三次方程式 \(x^3+cx=d\)的代數解。當時他並未將此解法公開,而且嚴加保密,直到去世時,才將此解法傳給他的女婿納夫與一個學生費爾(Antonio Maria Fior)。

費爾原本將藉著解三次方程式謀求教職,豈料此時盛傳另一位數學教師塔爾塔利亞(Tartaglia,1499-1557)也會解三次方程式。當時(1535年)他們為此舉辦了一場比賽,比賽方法就是每個人向對方提出三十道題目,在40到50天之內解出最多題目者獲勝。結果塔爾塔利亞大獲全勝,他在2個小時之內就將費爾出的題目全部解出。

後來另一位數學家Cardano聽聞此事,用盡各種方法請求Tartaglia允許他在即將出版的書中披露3次方程式的解法,並承諾會歸功於Tartaglia。Tartaglia當然不願意,但Cardano利用他的贊助者,同時也是米蘭的統治者瓦斯托侯爵之名義,誘使Tartaglia與他碰面。Targaglia最後終於給出了「解法規則」,但是以曖昧不明的詩句形示表示,也沒有對解法的實證。

Cardano在助理Ferrari的幫助下,花了六年的時間,揣摩出那些詩句的意思,又擴展它們的含義,將十三種類型的三次方程式的解法完全呈現在《大技術》這本書中,並且以幾何的方式加以實證,甚至在後面幾章,在助理的協助下得到了四次方程式的公式解。

此書出版後的第二年,憤怒的Tartaglia出版了《新問題與發現》,前半部揭示了他發現的問題的解法,後半部則用來批評Cardano的數學能力及剽竊行為。但Cardano的助理Ferrari駁斥Tartaglia的說法,並且認為Cardano的解法應該歸功於之前的數學家費羅以及費爾才是。一翻論戰後,Tartaglia失去了教職,而Ferrari獲得了波隆納大學的教職。Tartaglia在往後的人生,一心報復Cardano,最後使盡一切手段與陰謀,讓Cardano遭到驅逐,並且破產,入獄,隱姓埋名過完一生。

在課堂上,我們花了很多時間在數學技術上的操作,但是課程安排的順序,未必是歷史發展的方式。當我們試著從歷史的脈絡中認識數學,也許可以從中獲得截然不同的體會。這篇文章就先寫到這邊。如果你對這類主題的文章有興趣,歡迎訂閱「高中數學數位學習電子報」,你會收到相關資訊通知。



3-3 多項不等式

國中時我們已經學過一次不等式,到了高中我們要進一步處理二次不等式及高次不等式。

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你好,我是Gim,一名數學教師,專攻高中數學、大學微積分教學,目前已有二十年教學經驗。教過武陵高中、中大壢中、復旦高中、內壢高中、桃園高中、振聲高中、新興高中、啟英高中、薇閣中學、延平中學、北一女中、…等校學生。協助學生規畫學測、指考複習。

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