數學觀念補給站

學習數學應該包含一些記憶和大量的理解,順序弄反,結局大不同。
換句話說,即使一字不漏地背下整本課本或是講義,也於事無補。

這就是為什麼,數學這門科目,會給一些學生造成困擾。
明明我都很認真讀書了,可是怎麼還是考不好?

追根究柢,很大一部份的原因就是,用了太多的記憶,太少的思考與推理所導致。

學習數學的確須要一些記憶,例如:題目問五邊形的對角線個數?
我們當然要先知道對角線的定義就是任一頂點,與其他非相鄰兩點的頂點相連的線段。
接著連連看,發現會有五條。

接著再問自己,六邊形會有幾條對角線呢?

在課堂上,有學生完全不假思索,立即回答六條。

是嗎?我們畫畫看。

不對呀,應該有九條才對!

這時候就要好好思考,當初我們是如何確定五邊形的對角線個數?
如果每次都是慢慢畫,當邊數增加時該怎麼處理呢?

顯然這不是一個好的策略對吧!

所以學習數學的過程中,不要滿足於只是將答案算出來,
而是要多思考其中的道理是什麼。

如果出了100題計算多邊形對角線個數的題目,
而每一次我們都是慢慢畫出來。

你覺得這樣做完100題,數學能力會進步嗎?
我想答案是否定的!

很多學生學習數學就是這種模式,拚命用不對的方法刷一大堆題,
結果就是事倍功半。

數學是理科,要說道理。

換個思考方式,對於五邊形而言,每個頂點可以連出 \(2\) 條對角線,
那麼五個頂點,應該就能連出 \(5\times 2 = 10\) 條對角線,
好像哪裡怪怪的,我們沒有連出這麼多條呀。

對了,因為線段 \(\overline{AC}\) 及 線段 \(\overline{CA}\) 是同一條,我們多算了一次。
因此最後的答案要再除以 \(2\) 才對。

太好了,有了這樣的想法,管它幾邊形,都可以馬上破解。

六邊形的對角線個數為 \(6\times 3÷2=9\)
七邊形的對角線個數為 \(7\times 4÷2=14\)
八邊形的對角線個數為 \(8\times 5÷2=20\)

等等,好像有規則耶!

如果是 \(n\) 邊形,那麼對角線個數應該是多少呢?

按照以上規則可知,答案應該是 $$\frac{n(n-3)}{2}$$

我們再理解一次:\(n\) 邊形的每個頂點,扣除自己及相鄰兩點,可連接出 \(n-3\) 條對角線,因為有 \(n\) 個頂點,
所以會有 \(n\times (n-3)\) 條,但是要扣除重複算到的部份,因此再除以 \(2\),最後就得出那個公式了!

原來,這就是我們所謂的公式,是可以慢慢被觀察出來的。
而不是一開始背起來,然後看到題目開始套公式。

這樣的學習方式,是不是有趣多了呢?

學習數學就是這樣,每學習一個新的單元,的確須要理解也須要一些記憶。

對於較深入的題型,則須要抽絲剝繭,慢慢推理。等到熟悉了,就會變成我們思維的一部份,
很多時候真的就可以不假思索,準確看到問題的本質。

一道好的問題,往往會有很多不同思考的角度與方向。

最近兩個月,我正在為高三學生上第二階段數學筆試的題目,
其中又以台大資工、電資學院的題目居多。

雖然有些題目我已經寫過了,但是隔了一陣子再回來看,
又有了不同的想法與觀點。甚至還發現了自己當初思考的盲點,
這也是與學生討論的過程中的收穫,教學相長就是這樣來的。

接下來,我們來聊聊以下這道挺有意思的題目。

以海龍公式證明不等式

設 \(a\)、\(b\)、\(c\) 為三正數滿足 \(a+b+c=3\),試證:$$(3-2a)(3-2b)(3-2c)\leq a^2b^2c^2$$

這個不等式,看起來挺神奇的。為了方便討論,不失一般性,先假設 \(a\leq b\leq c\)。

如果左式為「非正數」,那麼此不等式明顯成立。因此我們的重點在於處理左式「非負」的情形。
為了讓論證過程清晰,選擇分類方式就格外重要。

首先先將情況分成兩大類:
情況1:$$a\leq b\leq \frac{3}{2}\leq c$$ 這個情況會造成左式非正,此不等式明顯成立。

情況2:$$a\leq b\leq c\leq\frac{3}{2}$$

想想看,是否還有其他情形呢?例如 \(a\leq\frac{3}{2}\leq b \leq c\)

這個情況不用考慮了,因為無法符合 \(a+b+c=1\)。同樣道理, \(\frac{3}{2}\leq a\leq b \leq c\) 也可以被排除了。

接著回到情況2:

情況2.1:\(a+b=c\),此時可得 \(c=\frac{3}{2}\),左式為 \(0\),此不等式顯然成立。
情況2.2:\(a+b<c\),則 \(c>\frac{3}{2}\),造成矛盾,此情況不可能發生。
情況2.3:\(a+b>c\),這個情況之下,\(a,b,c\) 可構成三角形的三邊長。

依照此不等式的形式,可聯想到三角形的面積公式與三邊長相乘及開根號的形式。
$$\frac{abc}{4R}=\Delta = \sqrt{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-a)(\frac{3}{2}-b)(\frac{3}{2}-c)}\ \ \ (海龍公式) \tag{1}$$

重點來了,那個外接圓半徑必須估計一下範圍。

由正弦定理可知,$$a=2RsinA, \ b=2RsinB, \ c=2RsinC$$

因此,$$3=a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC) \tag{2}$$

此時衍生出另一個問題,\(sinA+sinB+sinC\) 的極值是多少呢?

大膽猜測,當此三角形為正三角形時,\(sinA+sinB+sinC\) 會達最大值為 \(\frac{3}{2}\sqrt{3}\)

但是要如何證明呢?

可以利用正弦函數凹口向下的特性得出以下不等式:$$\frac{sinA+sinB+sinC}{3}\leq sin{\frac{A+B+C}{3}}=sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

回到第 (2) 式可得$$3\leq 2R\cdot \frac{3}{2}\sqrt{3}$$ 兩邊同時除以\(\sqrt{3}\) $$R\geq\frac{1}{\sqrt{3}}$$

接著再回到第(1)式,將不等式兩邊平方可得 $$\frac{3}{16}a^2b^2c^2 \geq \frac{3}{16}(3-2a)(3-2b)(3-2c)$$
不等式兩邊同時除以 \(\frac{3}{16}abc\) 可得:$$(3-2a)(3-2b)(3-2c)\leq a^2b^2c^2$$

由以上論證,可以衍生以下三個問題:

問題1: 在 \(\Delta ABC\) 中,\(cosA+cosB+cosC\)之最大值為何?

問題2:在銳角 \(\Delta ABC\) 中,\(tanA+tanB+tanC\)之最小值為何?

問題3:在銳角 \(\Delta ABC\) 中,\(cotA+cotB+cotC\)之最小值為何?

這三個問題,讀者不妨想想,我在下一篇文章再來解答喔。



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