2021 年 3 月 7 日

高一數學第2冊(108課綱)

網路資源整合數位區使用方法

hi,歡迎你來到這裡。在這個頁面,我將根據108課綱整理了一些免費線上資源,每個主題就是一個小區塊,我會先用文字說明並提出問題,然後再貼上現有的線上教學資源,讓學生可以觀看影片解說。

要特別注意的是,這些影片是以108課綱章節的順序選取,但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求,請務必對照課本使用,這只是一個輔助的學習方式,在學校還是要用心聽講,才能學到較完整的知識。

關於108課綱,可參考以下文章:

高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式

第一章 數列與級數

1-1 數列與遞迴關係

何謂數列?

一堆數「依序」排成一列稱為數列,這裡指的「序」就是指這些數排列的規則。觀察數列規則並推理出某一項的值,是這個單元的學習重點。

等差數列

等比數列

等比數列又名幾何數列,即一個數列滿足「後項除以前項為一非零定值」稱之。

如果a、b、c三項成等比數列,則b稱為a、c的等比中項,滿足b平方等於a乘以c。因此,這三個數的等差中項即為ac的平方根。

以下影片說明皆由均一教育平台錄製開放使用。

遞迴關係式

遞迴關係式,簡單來說,就是指一種用「遞推」的方式來定義數列的方程式。因此我們可以由遞迴關係式看到第n項與第n項之前的關係。

我們舉熟悉的例子來說,例如,等差數列的「後項」為「前項」加上公差,我們可以寫成以下形式

等差型遞迴關係式

其中要注意的是,我們的第1項的足標為1,因此遞迴關係式中的足標n必須從2開始。

當然,由遞迴關係式,我們可以逐步寫出每一項,然而,與一般項的差別在於,遞迴關係式無法立即寫下其中一項(除非這一項很前面可一眼看出)。因此,遞迴關係式適合藉由電腦輔助重覆進行快速運算。

此時,我們很自然地問了個問題:要如何由遞迴關係式寫出數列的一般項?反過來問,如何由數列的一般項寫出此數列的遞迴關係式?當然第一個問題比第二個問題困難許多。我們可以由斐波那契數列當例子說明:

數學歸納法

當我們看到一個數列時,第一件事會做什麼呢?答案是,觀察其「規律」。看出規律後,再試著寫出其「遞迴關係式」或「一般項」。

然而,在我們還未寫下一般項之前,通常會先觀察前面幾項,然後再由前面幾項「猜測」可能的一般項。但是我們要如何確保我們的猜測是對的呢?

我們採用的策略是:數學歸納法,其實就是「骨牌效應」的概念。

想像一下,你要如何確保每個骨牌最終全部倒下?首先,第一個要先倒下,接著假設某一個倒下,我們要驗證它的下一個也會倒下。這就是數學歸納法的精神。

但是,數學歸納法扮演的角色只是「驗證」,而不是「推導」。如果要看清楚問題的本質,不能只滿足於驗證其正確性,還要設法了解為什麼會如此?

1-2 級數求和

我們將數列的每一項相加,就形成一個級數(series)。對於有限級數,要如何求出級數和,通常不是件容易的事。我們高中階段,只會處理一些簡單的級數,例如:等差級數等比級數平方和級數立方和級數等差等比混合型級數分項對拆型級數

當然,如果隨便寫一個數列,不一定總有方法寫出其級數和。因此,除非有必要,否則我們不會沒事隨便寫個數列去算級數和。以下是關於求級數和相關的教學視頻,我是按照課本學習順序放上連結,歡迎多加利用。

補充說明,對於無窮級數,我們要先判斷這個級數是收斂或發散?對於級數的收斂或發散的判斷有很多方法,這部份在大學微積分有詳盡的說明。

第二章 排列組合與古典機率

2-1 邏輯、集合與計數原理

2-2 排列

2-3 組合與二項式定理

2-4 古典機率與期望值

第三章 數據分析

3-1 一維數據分析

3-2 相關係數與迴歸直線

第四章 三角比的性質與應用

4-1 極坐標與三角比的定義

4-2 三角比的性質

4-3 正弦定理與餘弦定理

4-4 反三角與三角測量

返回目錄