2021 年 8 月 2 日

高一數學第2冊(108課綱)-數位教材+網路資源整合

高中數學第二冊數位教材

hi,歡迎你來到這裡。在這個頁面,我將根據108課綱編寫一套以觀念為主的數位教材,除了有文字的解說,同時搭配網路現有教學資源。讓學生可以自學,觀看影片學習。

整個編寫方式是以部落格的形式呈現,所以盡可能少用符號,多講述觀念。同時還有製作目錄,讀者可以自行點選目錄看你想看的主題。看完後,再按「返回目錄」重新選主題。

另外,這不是單純的高中數學內容,還會加入數學史以及一些延伸題材,目的是不要完全受到課綱的限制,讓有興趣的學生學到該學的內容。

要特別注意的是,這些影片是以108課綱章節的順序選取,但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求,請務必對照課本使用,這只是一個輔助的學習方式,在學校還是要用心聽講,才能學到較完整的知識。

另外,對於我使用的原作者的影片,若有不妥,請直接寫e-mail給我,我會將影片撤除。

關於108課綱,可參考以下文章:

高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式

如果你需要Step by Step的教學課程,歡迎加入以下電子報。

第一章 數列與級數

1-1 數列與遞迴關係

何謂數列?

一堆數「依序」排成一列稱為數列,這裡指的「序」就是指這些數排列的規則。觀察數列規則並推理出某一項的值,是這個單元的學習重點。

等差數列

等比數列

等比數列又名幾何數列,即一個數列滿足「後項除以前項為一非零定值」稱之。

如果a、b、c三項成等比數列,則b稱為a、c的等比中項,滿足b平方等於a乘以c。因此,這三個數的等差中項即為ac的平方根。

以下影片說明皆由均一教育平台錄製開放使用。

遞迴關係式

遞迴關係式,簡單來說,就是指一種用「遞推」的方式來定義數列的方程式。因此我們可以由遞迴關係式看到第n項與第n項之前的關係。

我們舉熟悉的例子來說,例如,等差數列的「後項」為「前項」加上公差,我們可以寫成以下形式

等差型遞迴關係式

其中要注意的是,我們的第1項的足標為1,因此遞迴關係式中的足標n必須從2開始。

當然,由遞迴關係式,我們可以逐步寫出每一項,然而,與一般項的差別在於,遞迴關係式無法立即寫下其中一項(除非這一項很前面可一眼看出)。因此,遞迴關係式適合藉由電腦輔助重覆進行快速運算。

此時,我們很自然地問了個問題:要如何由遞迴關係式寫出數列的一般項?反過來問,如何由數列的一般項寫出此數列的遞迴關係式?當然第一個問題比第二個問題困難許多。我們可以由斐波那契數列當例子說明:

數學歸納法

當我們看到一個數列時,第一件事會做什麼呢?答案是,觀察其「規律」。看出規律後,再試著寫出其「遞迴關係式」或「一般項」。

然而,在我們還未寫下一般項之前,通常會先觀察前面幾項,然後再由前面幾項「猜測」可能的一般項。但是我們要如何確保我們的猜測是對的呢?

我們採用的策略是:數學歸納法,其實就是「骨牌效應」的概念。

想像一下,你要如何確保每個骨牌最終全部倒下?首先,第一個要先倒下,接著假設某一個倒下,我們要驗證它的下一個也會倒下。這就是數學歸納法的精神。

但是,數學歸納法扮演的角色只是「驗證」,而不是「推導」。如果要看清楚問題的本質,不能只滿足於驗證其正確性,還要設法了解為什麼會如此?

1-2 級數求和

我們將數列的每一項相加,就形成一個級數(series)。對於有限級數,要如何求出級數和,通常不是件容易的事。我們高中階段,只會處理一些簡單的級數,例如:等差級數等比級數平方和級數立方和級數等差等比混合型級數分項對拆型級數

當然,如果隨便寫一個數列,不一定總有方法寫出其級數和。因此,除非有必要,否則我們不會沒事隨便寫個數列去算級數和。以下是關於求級數和相關的教學影片,我是按照課本學習順序放上連結,歡迎多加利用。

補充說明,對於無窮級數,我們要先判斷這個級數是收斂或發散?對於級數的收斂或發散的判斷有很多方法,這部份在大學微積分有詳盡的說明。

第二章 排列組合與古典機率

排列組合與古典機率是高中數學的重頭戲,然而108課綱已將排列組合弱化至以古典機率所需的內容為主,並且刪除了重複組合,有興趣的讀者可點選連結學習。

2-1 邏輯、集合與計數原理

主題一 邏輯

這一節是為了排列組合做準備。首先介紹一些基本的邏輯概念:何謂命題(或敘述)?連接詞「且」、「或」的介紹、什麼是邏輯的狄摩根定律?「若p則q」命題,充份與必要條件。

邏輯是重要的,但在高中數學課程中並不怎麼受到重視,考題也較少。每次教到這個部份,通常不會有太多時間,簡單帶過之後就要進到集合與計數原理。因此,在這個頁面我希望能稍微講仔細一點,讓學生有比較清晰的認識。如果,想要更全面與進階的課程,可參考:臺大開放式課程:邏輯/共同教育中心  傅皓政

何謂命題(或敘述)?

凡是能判斷「對」或「錯」的語句,就稱為「命題」或是「敘述」。例如:

  1. 「在平面上的三角形內角和為180度」是正確的敘述。
  2. 「91是質數」是錯誤的敘述。
  3. 「太陽從西邊升起」是錯誤的敘述。

命題P的反面就稱為P的「否定敘述」,記作~P。

如果命題P為「真」,則命題~P則為「偽」;反之,命題P為「偽」,則命題~P則為「真」。

舉個例子來看看吧:
命題P:「在平面上的三角形內角和為180度」是正確的敘述。
命題~P:「在平面上的三角形內角和不為180度」是錯誤的敘述。
命題Q:「91是質數」是錯誤的敘述。
命題~Q:「91不是質數」是正確的敘述。

連接詞「且」與「或」

當我們在講述一件事時,很多時候一個敘述是不夠的,須要用到兩個敘述,此時就必須用連接詞連接。

首先,我們要能夠區分「且」與「或」的差別:
簡單來說,P且Q表示P與Q皆成立;P或Q表示P或Q成立即可。

我們用真假值表就一目瞭然了。
若P、Q皆為真,才能保證「P且Q」為真,否則為假。
若P真或Q真,即可保證「P或Q」為真;若P與Q皆為假,則「P或Q」為假。

T:True F:False
補充說明:符號∧表示「且」;符號∨表示「或」

舉個例子來看看吧,以下這題是102年學測單選第1題

102年學測單選1

因為小文的成績不符合參選模範生的資格,所以他沒有滿足一或二這兩個條件。
另外,他的國文考了65分。

這一題學生容易犯的錯誤是,從選項往回推,但這樣做的方向是不對的。我們是希望由題目的條件推論到選項,而不是從選項推論到題目的條件,要小心。

如果小文沒有滿足條件一,那麼表示他的英文成績必定未達70分,數學成績隨意。因此選項(2)不對。
或者,
如果小文沒有滿足條件二,那麼表示他的數學成績不及格,英文成績隨意。因此選項(1)不對。

關於選項(3),那個「但」其實就是「且」的意思,當然不對。

因為小文是沒有滿足條件一或條件二,因此應該選(5)。

邏輯的笛摩根定律

奧古斯塔斯·德摩根是19世紀英國數學家,他首先發現了在命題邏輯中存在著下面兩個關係:

~(P∧Q) ≡~P∨~Q;~(P∨Q)≡~P∧~Q

非(P且Q)等價於(非P)或(非Q);非(P或Q)等價於(非P)且(非Q)

凡是被冠上名字的定理、定律,在該領域必定起了重大的作用。這個發現影響了喬治·布爾從事的邏輯問題代數解法的研究。其實我們上面舉的那一題102年學測試題單選題第1題就有用到迪摩根定律了,你發現了嗎?

因為小文不符合參選模範生的資格,意思就是否定(條件一且條件二),也就是不符合條件一或不符合條件二。這就是迪摩根定律。

還有一個驗證迪摩根定律的方式,那就是真假值表。

我們可以很清楚地看到其等價關係。

【教學影片】什麼是邏輯?

「若P,則Q」命題

這是一個很常見的命題,其中P是命題的前提(或假設),Q是命題的結論。
還記不記得國中的幾何證明題,是否都是以這種方式呈現呢?我們簡單列出幾個例子:

  • 「若P點與A、B兩點等距,則P點必落在線段AB的中垂線上。」是正確的敘述
  • 「若四邊形的對角線等長,則此四邊形為矩形。」是錯誤的敘述
  • 「若三角形ABC為正三角形,則角A=60度。」是正確的敘述

再來舉幾個同學剛學到的例子:

  • 「若a、b為兩個非負實數,則兩數相加除以2(算術平均數)大於等於兩數相乘開根號(幾何平均數)」
  • 「若a是有理數,b是無理數,則a+b是無理數」

關於這個部份,可看看以下影片。

充份條件與必要條件

當命題「若P,則Q」是正確的,則稱P是Q的「充份條件」,記作「Q => P」,且稱Q是P的必要條件。

例如:

  • 「若下雨,則地溼」。其中「下雨」是「地溼」的充份條件;「地溼」是「下雨」的必要條件。
  • 「若A是菱形,則A是平行四邊形」,其中「A是菱形」是「A是平行四邊形」的充份條件;「A是平行四邊形」是「A是菱形」的必要條件。

另外,當命題「若P,則Q」與「若Q,則P」皆正確時,則稱P是Q的充要條件,或Q是P的充要條件,可記作
「P <=> Q」。在原文是這樣描述的,P if and only if Q,簡記為 P iff Q。

我們來舉幾個例子看看:

  • P:A是正三形;Q:A是等腰三角形。其中P是Q的充份非必要條件。
  • P:x是質數;Q:x是奇數。其中P是Q的非充份且非必要條件。
  • P:x是實數;Q:x是有理數。其中P是Q的必要非充份條件。
  • P:x平方等於1;Q:x等於正負1。其中P是Q的充份且必要條件(簡稱充要條件)。

邏輯的介紹就到這邊,讓我們來看看教學影片吧:

最後,有一道有趣的邏輯問題,供讀者想想:

A、B兩男士好奇地詢問C女士的年齡,C女士列出11個可能的答案:

35、36、38、42、45、46、51、55、57、61、62

接著C女士將她年齡的十位數告訴A男士,將她年齡的個位數告知B男士。
A男士說:「我不知道C的年齡,但我想B也不知道。」
B男士說:「我原本也不知道C的年齡,但現在也知道了。」
A男士說:「哦,那現在我也知道了。」
請問C女士的年齡是幾歲?

主題二 集合

什麼是集合

這可不是一個好回答的問題,因為集合是很抽象的概念。我們在高中階段,盡可能舉具體的例子讓同學容易理解。

簡單來說,集合是具有某種特性的事物的整體,或是一些確認物件的匯集。構成集合的事物或物件稱作元素或是成員。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或數字等。

看到以上的定義,估計很少人可以馬上領會到什麼是集合。

我們可以舉一個簡單且生活化的例子來解釋,例如,某個班上有40位同學,每位同學有一個座號,不妨假設為1~40號。那麼1~40這40個數字,就構成了一個集合,每一位同學稱為此集合的一個元素。再者,在課堂中,有時候老師會讓同學分組討論,那麼每一組就形成一個比較小的集合,稱為子集合。

另外,在集合的性質方面,我們可以想像以下的情況:

  • 在班上,通常每隔一段時間(通常是段考後)會換座位,順序變了,班上成員會改變嗎?
  • 老師在點名時,喊了一位學生的名字,學生沒聽清楚,老師又喊了一次。那麼班上成員會改變嗎?
  • 有時候老師叫同學的名字,有時候叫座號,那麼班上成員會改變嗎?由此可知,可以辨別即可,名稱不重要。如果恰巧班上有兩位同學姓名一樣,當然叫座號會比較適合。
  • 一個學生,他有可能是班上的成員,否則便不是班上的成員,不會存在模稜兩可的情況。

由以上可知,集合中的元素,不計順序、不計重複、具有確定性。

雖然這不是個嚴謹的例子,但對於現階段的中學生入門,相信還是會有些幫助的。

說到集合,當然就是要提一下這位19世紀末20世紀初的德國數學家,康托(G.Cantor,德國,1845~1918)

年輕的康托爾在27歲的時候,就在數學上表現出優秀的數學天賦,他用有理數列構造實數R,在數學發展歷史上,這是「前無古人」的創意。

我永遠也忘不了,以康托爾名字命名的集合:Cantor Set
這個要到大學的高等微積分課程才會介紹,有趣趣的資優生可點選Cantor Set連結參考。

關於集合比較細節的基本介紹,就請同學觀看以下影片學習囉,重點摘錄如下:

  • 集合的表示法:列舉法、描述法
  • 子集合、冪集合的介紹
  • 集合的運算:何謂交集、聯集、差集
  • 名詞解釋:什麼是宇集、補集?

集合的迪摩根定律

對比於邏輯的迪摩根定律,集合的版本如下:

這是兩個集合的迪摩根定律,但既然冠上名字,事情當然沒有這麼單純。事實上,對於n個集合,甚至是無窮多個集合,這個定律依然成立。

可以畫出文氏圖觀察,兩個集合的版本顯然成立。如果要較為嚴謹的論證,可以證明等號兩邊的集合互為對方的子集即可。

例如:如果x是「A交集B的補集」裡的一個元素,那麼x不在「A交集B」裡。換句話說,x不在A裡或不在B裡,因此得出x落在A的補集或B的補集裡。另一方面,如果x不在集合A裡面,或不在集合B裡面,那麼x必定不在集合A與B的交集裡。

主題三 計數原理

若將邏輯與集合比喻為排列組合的內功,那麼計數原理則像是排列組合的基本招式。大家都會數數,但怎麼數才會有效率,則是我們學習的重點。這裡介紹幾種計數方式:窮舉法、樹形圖、加法原理、乘法原理、一一對應原理、取捨原理。

窮舉法

顧名思義,所謂的窮舉法,就是將所有符合條件的方法或情形一一列舉出來的計數方法。這個方法看似麻煩、複雜、又相當費時。然而,在解決很多問題時,窮舉法卻又顯得特別簡單。當然,我們日常使用的窮舉法,都只能解決一些規模較小的問題,對於一些規模較大的問題,我們則要使用電腦輔助計算。

我們舉個簡單的例子來看看吧:

設A-BCD為一個四面體,有一隻螞蟻從A點出發,沿著稜邊走到B點,在每個頂點至多經過一次的條件下,共有幾種走法?

走法會有以下幾種:

  1. A -> B
  2. A -> C -> B
  3. A -> D -> B
  4. A -> D -> C -> B
  5. A -> C -> D -> B

提醒同學,我們在列舉時,要有系統且有次序地列舉,才可以避免少列或多列。

樹形(狀)圖

由以上的例子,我們亦可以將所有情形用樹形圖表呈現。關於窮舉法與樹形圖的基礎教學,可參考以下影片:

有興趣的同學可以試試以下例子:

將六個字母 a、a、b、b、c、c 排成一列。若規定第1位必須排a,且相同的字母不能相鄰,問共有多少種不同排法?

加法原理

若完成某件事的方法,依其性質可以分成k類,且第1類有m1種方法、第2類有m2種方法、…、第k類有mk種方法。則完成這件事的方法共有m1+m2+…+mk種。

看完以上的敘述,你覺得關鍵字是什麼呢?有學生認為是「加法」;但是如果是加法,那與我們小學學的加法有什麼區別呢?因此,我認為加法並不是此原理的核心精神,而是「分類」!

為什麼很多人會認為加法原理很簡單,我們來看看課本一開始舉的例子:

若從甲地至乙地只有「公路」與「鐵路」兩種捷徑,其中公路3條,鐵路2條,則從甲地到乙地的路徑選擇共有多少種方法?

你發現了嗎?題目已經分類好了:公路與鐵路。我們只要將兩類的所有可能相加即可得出共有5種方法。因為這個問題已經將最關鍵的分類告訴我們了,當然很容易。

以下是關於加法原理基本觀念說明例:

讀者不妨試試以下這一題:

將21個相同的球全部放入3個不同的袋子,若每袋至少一球,且任兩袋球數和大於第三袋球數,則球數的安排方案共有幾種?

這一題在考什麼?沒錯,它其實是在考加法原理,我們在數數時,發現不容易,因為還沒有分類,我們不知怎麼加才不會亂掉。

答案為55種,你做對了嗎?

以下是加法原理常見例題:

乘法原理

什麼是乘法原理?

若完成某件事要經過k個步驟,且第1個步驟有m1種方法、第2個步驟有m2種方法,…,第k個步驟有mk種方法,則完成這件事的 方法共有m1×m2×…×mk種。

你認為以上文字的關鍵字是什麼?

沒錯,就是分「步驟」。

初學者容易混淆「加法原理」與「乘法原理」的使用時機。分辨方式簡單來說就是,分「情況」則用「加法原理」;分「步驟」則用「乘法原理」。

以下是我認為不錯的教學影片:

下面是加法與乘法原理混合題,試試看吧!

答案:98820種

2-2 排列

排列的問題大致可分為以下幾類:1. 全取排列 2. 不全取排列 3. 不盡相異物的排列 4. 重複排列

全取排列

在日常生活中,相信大家都有排隊的經驗吧,想像一下有五個人正在排隊上公車,那麼這五個人所有可能的排序會有多少種?這就是全取排列的概念。同樣地,我們將人換成任何相異物,然後去計算會有多少種排法,也是如此。

當然不可能慢慢排,因此須要用到我們上一節學到的計數原理。如果有n件相異物排列,那麼我們可以想成有n個不同的箱子要放進這n件相異物,並且問放法有幾種?

第1個位子有n個選擇,第2個位子剩n-1個選擇,第3個位子剩n-2個選擇,依此類推…,我們可以想成要完成將物品放進這n個箱子,須要經過n個步驟,因此所有可能的放法有n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=n!種。

此時同學要去熟悉階層(!)符號並練習其運算操作。

不全取排列

顧名思義,就是我們只取部份的相異物(或人)進行排列。例如:有n個人要坐m個座位,人數不少於座位的情況下,則排列方式有幾種?如果人數與座位一致,那麼這就是全取排列。如果人數多於座位,則我們要先選出m個人,然後再排列,其排列方式有n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)種。

常見題型如下:

  • 某歌手想從7首歌當中,選出3首歌在演唱會中依序表演,則安排的方案會有幾種?
  • 從0、1、2、3、4、5這五個數字中,任取3個數字排列,則可以排成多少個三位數?
  • 甲 、乙、丙、丁、戊五人排成一列依序上公車,若甲不排首位、乙不末位,則共有幾種排法?

不盡相異物的排列

前面討論的事物都是不相同的,現在我們來探討含有相同事物的排列。

我們舉個簡單的例子來看看:字母AAABB的排列方式有幾種?

首先我們知道,必定比五個完全相異的字母排列方式少,我們不妨將排列五個相異字母A1A2A3B1B2拆成兩個步驟進行:

步驟1:先排列AAABB,假設其排列數為X
步驟2:將A1、A2、A3與B1、B2各別排列

根據乘法原理,5! = X × 3!×2!,因此可得 X=5!/3!×2!

一般的敘述如下:

不盡相異物排列常見題型如下:分球問題、有順序關係的排列、樓梯問題、信號問題、走捷徑問題。
以下影片有助於同學建立觀念:

有了基本觀念之後,可以試試以下幾道問題:

重複排列

什麼是重複排列問題?我們舉個例子來看看吧。

一個密碼鎖,有四排數字,每1排數字有0~9這十個數字可供選擇,我們必須這四個數字正確且順序無誤才能打開這個鎖。

每一排有10個選擇,因此所有可能性有10×10×10×10=10000種。

重複排列的問題可以想成「每一個位置可放一個以上的相異物」或「每一個位置可站一個以上的人」。

其他例子像是,坐船問題、倒酒問題、信投入郵筒問題等…皆是此類問題。

我們將以上例子的觀察寫成定義如下:

觀念解說可參考以下影片:

初學者在處理重複排列的問題時,容易混淆「底數」與「指數」應該放入什麼數字。有一個判斷方式提供參考:
我們將可以重複容納的稱為大,不能重複放置的稱為小。「大」放在底數,「小」放在指數。

舉幾個簡單的例子:

  • 5封信件放入3個不同郵筒的放法有幾種?郵筒大,信件小,全部放法有3的5次方種。
  • 6個人坐3艘船的坐法有幾種?船大,人小,全部坐法有3的6次方種。
  • 4種不同酒倒入3個不同的酒杯,不能調酒倒法有幾種?酒大,酒杯小,全部倒法有4的3次方種。

常見例題如下:

2-3 組合與二項式定理

組合的基本概念

初學排列組合的同學,首先要能分辨「排列」與「組合」的差異是什麼?

用一句話概括就是,「差一個步驟」!也就是說,「排列」實際上是經過兩個步驟:1. 先選取 2. 再排列
而組合就是其中的第1個步驟。

因此,如果「從n件不同物中選取k件」排成一列,其排列數為P(n,k);我們將「從n件不同物中選取k件」記作C(n,k)。因此由乘法原理可知 P(n,k)=C(n,k)×k!

從這個定義,我們可以很輕易看出以下幾個性質:

  • C(n,0)=C(n,n)=1:n個不同的物品,「完全不選」或是「全部都選」,其方法顯然各只有1種。
  • C(n,k)=C(n,n-k):n個不同的物品,從中選取k個的意思就是有(n-k)個沒有被選到;換句話說,選取(n-k)個的意思就是有k個沒有被選到。因此選取k個的方法數與選取(n-k)個的方法數是一樣的。
  • C(n,k)=C(n-1, k-1)+C(n-1, k):這個等式稱為巴斯卡定理。這個定理有「代數」與「組合」證法。
    代數證法沒什麼學問,就是依照組合符號的定義直接計算即可。組合證法也不難,想像一下,從n個人選出k個人,可以分成兩個情況,假設當中有一個人「甲」,我們在選的時候,甲可能被選中也可能不被選中。
    如果甲被選中,則只剩下(n-1)個人再選出(k-1)個人。如果甲未被選中,則從剩下的(n-1)個人選k個人。將這兩種情況相加就是C(n,k),因此證明出巴斯卡定理。

相關閱讀:

關於組合的基本觀念,可觀看以下影片學習:

關於二項式定理

二項式定理簡言之,就是描述了二項式的冪的代數展開:

為什麼要介紹二項式定理呢?比較粗淺的解釋是,組合符號可以用來表示展開後的各項係數。但是站在歷史的觀點,我們可以進一步問,這個定理是誰發現的?動機為何?這個定理有何用途?

一般認為是牛頓於西元1664年~1665年提出,因此又稱為「牛頓二項式定理」。上面提到二項式定理的係數可用來表示「巴斯卡三角形」。牛頓考慮的是廣義的二項式定理,即指數n是「分數」或「負數」的情形,但他並沒有給出證明。一直到1811年才由德國數學家高斯證明。

因此,我們學習的內容是原始問題的特例。

有興趣的讀者,可以參考另一篇文章,標題為「輕鬆談如何教學二項式定理?」

2-4 古典機率

我們高中學習的機率為古典機率,是由法國數學家拉普拉斯(Pierre Simon, Marquis de Laplace,1749-1827)所定義。拉普拉斯不僅是數學家,同時也是一位天文學家,有法國牛頓之稱。

在日常生活中,隨機現象處處可見。所謂隨機現象是指,我們預期可能會發生,但無法確定是否發生的現象。
例如將一個銅板往上丟,我們可以預期正面或反面會朝上,但卻無法百分之百確定哪一面會朝上。我們買樂透,期待有可能會中獎,但卻無法確定是否會中獎。

我們可以感覺一下,一個銅板往上丟,其「正面朝上」的機會與「買樂透中頭獎」的機會何者較高?直觀來看,當然是前者。可是如果我們要比較,擲兩個公正骰子,「其點數和為4」的機會比較大還是「點數和為8」的機會比較大呢?

換句話說,能否將發生機會的高低,明確地量化,使我們清礎地知道某個「事件」發生的機會有多高(低)?

機率就是將隨機現象量化的工具

以下列出學習機率的順序,可依序點連結觀看影片學習:

何謂樣本空間與事件?

一項試驗中所有可能發生的結果所成的「集合」,稱為這個試驗的樣本空間。樣本空間中的每一個元素,稱為「樣本點」或簡稱為「樣本」。此集合內的「子集合」就稱為一個「事件」。僅含有一個樣本的事件稱為「基本事件」,樣本空間本身稱為「全事件」。

這個定義應該不難理解,舉個簡單的例子來說,投擲一顆骰子,觀察朝上的數字,那麼它的樣本空間就是{1,2,3,4,5,6}。每一個數字都是此樣本空間中的一個「樣本」。擲到偶數點的情況為2、4、6,此集合{2,4,6}就稱為一個事件。

這邊牽涉到不少名詞,你覺得名詞重不重要?

我有遇過一些學生時常說,我只要會算就好了,名詞不重要。但試想想,如果名詞沒有記的話,那麼聽課或討論時,要如何知道對方描述的是哪一件事?或是要如何很快讓對方了解你在說什麼?也許有人會說,我只要看到就知道了。沒錯,但如果每一件事情都是要寫出來才知道在講什麼,是不是比較沒有效率呢?

數學本身是一種語言,因此一定要將每個名詞的意思記清楚,這樣你在使用這個語言才會又快又精確。

古典機率的定義

設一試驗的樣本空間 S 之樣本點有有限多個。當 S 中每個樣本點出現的機會均等時,定義事件A發生的機率為[A的樣本點個數]及[S的樣本點個數]的比值。

這個定義最早是由法國數學家皮耶—西蒙·拉普拉斯(P.S.Laplace, 1749~1827)所提出,因此又稱為「拉普拉斯機率」

皮耶-西蒙·拉普拉斯肖像,Madame Feytaud繪於拉普拉斯逝世後的1842年

教科書對於這位數學家介紹不多,但他有另一個稱號,相信會讓大家印象較為深刻。
因為拉普拉斯於1799年出版了巨著《天體力學》,主要論述行星運動、行星形狀和潮汐,書中第一次提出了「天體力學」的學科名稱。該書是經典天體力學的代表著作,由於這部巨著的出版,拉普拉斯被譽為法國的牛頓

法國18世紀後期到19世紀初數學界著名的三個人物:拉格朗日(Lagrange)、拉普拉斯(Laplace)和勒讓德(Legendre)。因為他們三位的姓氏的第一個字母為「L」,又生活在同一時代,所以人們稱他們為「三L」。

關於拉普拉斯給出的定義,你認為關鍵字是什麼?

答案是:「S 中每個樣本點出現的機會均等」,我們稱其為「機會均等法則」。用白話一點來說,所謂的機會均等法則就是要將相同的物件視為不同。這也是機率與排列組合不太一樣的地方。

排列組合重視結果呈現出來的「狀態」,而機率重視結果呈現的「方法數」。

例如:袋中有2顆相同白球、3顆相同黑球,則從中取出兩球皆為黑球的情況有幾種?若按照組合的觀點,應該就是1種,但若按照機率的觀點,會有3種。因為即使黑球一樣,但每一顆黑球皆占了一個被取到的機會。因此我們要將3顆黑球皆視為不同。

在這裡要注意的是,我們在計算機率時,才會將每個物件皆視為不同。如果只是要寫出樣本空間,那麼便沒有這樣的限制。以上述例子來說,其樣本空間應該是:{白白、黑白、黑黑},但是如果要計算機率的話,其樣本空間就要寫成:{白1白2、白1黑1、白1黑2、白1黑3、白2黑1、白2黑2、白2黑3、黑1黑2、黑2黑3、黑1黑3}

機率的性質

由機率的定義,可得出以下性質:

  1. 任何「空事件」的機率為0,任何「全事件」的機率為1
  2. 任何事件的機率,其數值介於0、1之間(含0、1)
  3. 某事件的餘事件的機率=1-此事件的機率:反面做法
  4. 取捨原理

我們將以上敘述用數學符號表示如下:

附帶一提,如果兩事件A、B為互斥事件(即A與B的積事件為空事件),則其和事件的機率為其個別機率相加。

關於機率的問題很多,我們來看看以下幾題,建議先想過後再點入連結看解說喔!

機率相關題型

學測109單選6
學測109選填B

2-5 數學期望值

用白話一點來說,期望值是指試驗中每次可能的結果乘以其結果機率的總和。

第三章 數據分析

3-1 一維數據分析

3-2 相關係數與迴歸直線

第四章 三角比的性質與應用

4-1 極坐標與三角比的定義

4-2 三角比的性質

4-3 正弦定理與餘弦定理

4-4 反三角與三角測量

返回目錄