2022 年 9 月 27 日

111年指考數甲試題分析與詳解:首屆大學分科測驗,中規中矩的好題目

前言

今年這份考題難度適中,但一些題目至少綜合兩個數學觀念,學生必須對整體學習內容融會貫通才有機會取得高分。整體試題大致以由易至難的順序編排,單選題3題都很基本,多選題開始難度漸增,可以鑑別出中等及中上學生的程度。

難題的部份,多選5、6、8,題組13-14較難處理。尤其非選第14題,要運用積分概念估計積木體積的黎曼和,計算量較大,考生在有時間壓力的情況下不容易算對。

學習數學就像在搭鷹架,必須按部就班,長時間累積,才得以建立健全的觀念因應題目的變化,這有賴於平日學習習慣的培養。

相信會連到這個頁面的學生,至少已經是高二準備升高三的階段。我也相信,必然有用心的家長,為了孩子的學習在尋找資源,如果想要從根本改善學習數學的問題,必須從學習的本質出發去思考,為此,不妨參考以下這篇文章:如何學好高中數學?破除學習迷思,建立正確觀念

這個網站專注於製作與研發數位教材,目前已編寫 高一數學第1冊高一數學第2冊 免費提供給有需要的人使用。

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忙碌之餘寫下詳解,若有謬誤,歡迎底下留言或是line@私訊給我,感謝!

完整試題及選擇(填)題參考答案下載

111年數甲試題111年數甲選擇(填)題參考解答

各單元比重統計

第一冊 合計12分第二冊 合計12分第三冊 合計12分第四冊 合計34分選修甲(上) 合計12分選修甲(下) 合計 18分
第1章 數與式
第1章 數列與級數 (6分)
單選1
第1章 三角函數
第1章 空間概念 (12分)
單選3、非選擇題12~13
第1章 機率與統計(6分)
選填9、
第1章 極限與函數(8分)
多選8
第2章 多項式函數 (8分)
多選4、非選題16
第2章 排列組合(6分)
選填10
第2章 直線與圓 (8分)
多選5
第2章 空間中的直線與平面(5分) 選填B第2章 三角函數(6分)
選填11
第2章 多項式函數的微積分 非選題14、非選題16
第3章 指對數 第3章 機率第3章 平面向量(4分)
非選擇題15
第3章 矩陣 (14分)
單選2、多選6
第4章 數據分析
第4章 二次曲線 (8分)
多選7

整體試題詳解與分析

單選1:等比數列與對數混合題

這一題只需使用「等比數列的定義」 與「對數基本運算」即可處理。
首先我們可以寫出此數列:\(a_1=10\)、\(a_2=10^2\)、\(a_3=10^3\)、\(a_4=10^4\)

因此
$$
\begin{aligned}
b &= log_{a_1}a_2+log_{a_2}a_3+log_{a_3}a_4 \\
&=log_{10}10^2+log_{10^2}10^3+log_{10^3}10^4 \\
&=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3} = 4\frac{5}{6}
\end{aligned}
$$

因此答案選(3)

單選2:三元一次方程組

首先,我們將此聯立方程組寫成矩陣的形式,接著以高斯消去法化簡
$$
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 1 & 0 \\
2 & c & 3 & 1 \\
3 & -3 & c & 0 \end{array} \right]
\rightarrow
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & c+2 & 1 & 1 \\
0 & 0 & c-3 & 0 \end{array} \right]
\rightarrow
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 1 & 0 \\
0 & c+2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & c-3 & 0 \end{array} \right]
$$

化到這一步就可以判斷了。
我們從第二個矩陣可知,\(c-3\neq 0\),否則會有無限多組解。
接著化簡至第三個矩陣可知,當\(c+2=0\)時會造成無解。因此答案選(2)

單選3:空間坐標

依題意,可以假設\(P\)點座標為\(P(cos45^{\circ}, b, c)\),
接著看 \(P\) 點到 \(y\) 軸距離:
$$
\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{cos^2{45^{\circ}}+c^2}
$$
兩邊同時平方解方程式
$$
c^2=(\frac{\sqrt{6}}{3})^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6}{9}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6}
$$
解得
$$
c=\pm\frac{\sqrt{6}}{6} (負不合)
$$

因此答案選(4)

多選4:多項式方程式

先以長除法計算 \(f(x)\)除以\(g(x)\)如下:

因為 \(f(x)\) 被 \(g(x)\) 整除,因此
$$a^2-2a-3=0, k-(2-a)=0$$
由 \(a^2-2a-3=0\)可解得 \(a=3\) 或 \(-1\)
若 \(a=3\),\(g(x)=x^2+3x+1=0\) 無虛根,與題意不合。
若 \(a=-1\),\(g(x)=x^2-x+1=0\) 有虛根,符合題意。

因此$$k-3=0 \ \ 解得\ \ k=3$$

接著來解方程式 $$f(x)=x^3+2x^2-2x+3=0$$
因為已經知道\(f(x)\)有一個因式\(g(x)=x^2-x+1\),所以 $$f(x)=x^3+2x^2-2x+3=(x^2-x+1)(x+3)$$
因此 \(f(x)=0\) 的三根為
$$
\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2} \ \ or \ \ -3
$$

多選5:圓方程式

選項(1):令 \(y=0\),則 $$(x-1)^2+1^2=101$$
移項整理可解得 \(x=11\) 或 \(-9\),則 \(\Gamma\) 與 \(x\) 軸負向交於 \((-9,0)\)
另一方面,令 \(x=0\),則 $$1^2+(y-1)^2=101$$
移項整理可解得 \(y=11\) 或 \(-9\),因此 \(\Gamma\) 與 \(y\) 軸負向交於 \((0,-9)\)

選項(2):\(\Gamma\) 上 \(x\) 坐標最大的點是點 \((1+\sqrt{101}, 1)\)

選項(3):如以下圖所示,將原點與圓心 \((1,1)\) 相連,此直線與圓的兩個交點中,距離較遠的點即為此距離之最大值 \(\sqrt{2}+\sqrt{101}\)。

選項(4):此極坐標 \([9,\ theta]\) 表示與原點 \(O\) 距離皆為 9 的點,顯然 \(\Gamma\) 在第三象限的點與原點的距離並非固定為 9。故此選項不對。

選項(5): 令
$$
\left[\begin{array}{c}
x \\
y
\end{array}
\right]=
\left[\begin{array}{cc}
cos{\theta} & -sin{\theta} \\
sin{\theta} & cos{\theta}
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{c}
x’ \\
y’
\end{array}
\right]=
\left[\begin{array}{cc}
cos{\theta}x’-sin{\theta}y’ \\
sin{\theta}x’+cos{\theta}y’
\end{array}
\right]
$$

代入回方程式:
$$
\begin{aligned}
101 &= (x-1)^2+(y-1)^2 \\
&= x^2+y^2-2x-2y+2 \\
&= (cos{\theta}x’-sin{\theta}y’)^2+(sin{\theta}x’+cos{\theta}y’)^2 -2\cdot(cos{\theta}x’-sin{\theta}y’)-2\cdot(sin{\theta}x’+cos{\theta}y’)+2 \\
&= x’^2+y’^2-2\cdot(cos{\theta}+sin{\theta})x’+2(sin{\theta}-cos{\theta})y’+2
\end{aligned}
$$

經由以上計算可看出 \(xy\) 項係數為 \(0\),因此這個選項正確。

多選6:平面上的線性變換

依題意可知:
$$
\left[\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right]=
\left[\begin{array}{cc}
3 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 3
\end{array}
\right]
$$

選項(1):
$$
\left|\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array}
\right|
=
\left|\begin{array}{cc}
3 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 3
\end{array}
\right|=9+3=12
$$

此選項不對。

選項(2):
$$
\left|\begin{array}{cc}
x’ \\
y’
\end{array}
\right]
=
\left[\begin{array}{cc}
3 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 3
\end{array}
\right]
\left|\begin{array}{cc}
x \\
y
\end{array}
\right]
=
\left|\begin{array}{cc}
3x-\sqrt{3}y \\
\sqrt{3}x+3y
\end{array}
\right]
$$
$$
\begin{aligned}
\overline{OC’}^2 &=(3x-\sqrt{3}y)^2+(\sqrt{3}x+3y)^2 \\
&=12x^2+12y^2 \\
& = 12(x^2+y^2)=12\times 1 =12
\end{aligned}
$$
此選項正確

選項(3):設 \(\overrightarrow{OC}\) 和 \(\overrightarrow{OC’}\) 的夾角為 \(\theta\),則由內積的定義可知
$$
\begin{aligned}
cos{\theta}=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC’}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OC’}|} &= \frac{x(3x-\sqrt{3}y)+y(\sqrt{3}x+3y)}{1\cdot 2\sqrt{3}} \\
&= \frac{3(x^2+y^2)}{1\cdot 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$
故 \(\theta=30^{\circ}\)

選項(4):已知 $$y’=\sqrt{3}x+3y$$
若 \(y=y’\),則 $$y=\sqrt{3}x+3y, 2y=-\sqrt{3}x$$

選項(5):
$$
\begin{aligned}
x’-y’&= (3x-\sqrt{3}y)-(\sqrt{3}x+3y) \\
&= (3-\sqrt{3})x-(\sqrt{3}+3)y \\
&= (3-\sqrt{3})[x-\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}] \\
&=(3-\sqrt{3})[x-(2+\sqrt{3})y]
\end{aligned}$$

由以上的式子找反例就容易多了:
必須符合
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=1 \\
x<y \\
x>(2+\sqrt{3})y
\end{cases}
$$
取 $$x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ y=-\frac{1}{2}$$
即可。
因此選項(5)是錯的。

此題答案為 (2)、(4)

多選7:拋物線

我們來複習一下,拋物線的定義:拋物線上任一點到「焦點」及「準線」的距離是一樣的。因此
$$\overline{AA’}=\overline{AF}, \overline{BB’}=\overline{BF}$$

如下圖所示

通過 \(F\) 作一條鉛直線分別交直線 \(AA’\) 及 \(BB’\) 於 \(C\)、\(D\) 兩點。
另外,因為直線 \(FF’\) 與 \(BB’\) 平行,則 \(\angle{5}=\angle{F’BB’}\)。
接著,我們可以將比值 \(\frac{AF’}{AA’}\) 以下列三角函數表示:
$$
\begin{aligned}
\frac{\overline{AF’}}{\overline{AA’}} &= cot{\angle{1}} \\
&= tan{\angle{2}} \\
&= sin{\angle{3}} \\
&= sin{\angle{4}} \\
&=tan{\angle{5}}
\end{aligned}
$$

因此答案為 (3)、(5)

多選8:數列的極限

這一題出得不錯,
選項(1):由題意我們僅可以寫出以下不等式:$$b_n<a_n-\frac{4n-1}{n}$$
因此此選項不真。

選項(2):已知 $$ b_n+\frac{4n-1}{n}<3b_n $$
移項整理可得 $$ b_n>\frac{4n-1}{2n}$$
此項選正確。

選項(3):我們將題目給的不等式重新整理如下:
$$\frac{a_n}{3}<b_n<a_n-\frac{4n-1}{n}$$
接著計算極限:$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{3}=\lim_{n\rightarrow}(a_n-\frac{4n-1}{n})=2$$
由夾擠定理可知,$$\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=2$$
即此數列收斂,故此選項不真。

選項(4)(5):$$a_n>b_n+\frac{4n-1}{n}>\frac{a_n}{3}+\frac{4n-1}{n}$$
將上式移項整理可得 $$a_n>\frac{3}{2}(4-\frac{1}{n})=6-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}$$
因此 $$a_{10000}>6-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{10000}=5.99985>5.9$$
故選項(4)錯誤,選項(5)正確。

最後答案應該選(2)(5)

選填9:期望值

首先我們先來計算得到紅包的機率
$$P=(\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}\cdot(\frac{1}{5})^2=\frac{9}{125}$$
接下來計算隨機變數 \(X\) 的期望值:
$$EX=1\cdot P+2(1-P)\cdot P+3(1-P)^2\cdot P+…$$
這是一個差比級數,計算方式就是將原式乘以 \(1-P\) 接著將兩式相減可得
$$P\cdot EX=P+(1-P)\cdot P+(1-P)^2\cdot P+…=\frac{P}{1-(1-P)}=1$$
因此 $$EX=\frac{1}{P}=\frac{125}{9}\approx 13.8 \approx 14$$

選填10:排列組合

因為英文的卷子不可在週二發出,那麼英文的卷子可能在下週一、三、四發出,我們依此分成三大類。
情況一:國文、英文均在週一,如下圖所示

此時,數、社、自三科排入下週二、三、四各一天,排法有 \(3!\) 種。

情況二:英文排在下週三,此時週一與週三皆有排科目了,因為每天至少排一科,所以剩下三科中,選兩科先排入下週二或四,剩下一科可能排在下週一、三或下週二、四。
如下圖所示,其排法有 \(P^3_2\times 2!\) 種。

另一種情況如下圖所示,其排法有 \(C^3_1\times 2\) 種。

最後一種情況則是,英文排在下週四,如下圖所示,排列數與英文排在下週三時相同。

最後,我們將以上情況加總
$$
\begin{aligned}
3!+(P^3_2\times 2!+C^3_1\times 2)\times 2
&= 6+(12+6)\times 2 \\
&= 6+36 = 42 (種)
\end{aligned}
$$

選填11:複數平面

首先我們要先解讀符號的意思:
在複數平面上,\(\frac{-3+4i}{5}\) 分別與 \(z^3\) 的距離與 \(z\) 的距離相等。且這三個點皆在單位圓上。可以先假設 \(z=cos{\theta}+isin{\theta}\),因此 \(z^3=cos{\theta}+isin{\theta}\)。
如下圖所示:

因此
$$
\begin{cases}
cos{2\theta}=-\frac{3}{5} — (1) \\
sin{2\theta}=\frac{4}{5} —(2)
\end{cases}
$$
由 (1) 式可知,$$2cos^2{\theta}-1=-\frac{3}{5}$$
可解得 $$cos{\theta}=\frac{\sqrt{5}}{5}, sin{\theta}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

題組12-14 空間概念、積分

第12題

如圖所示,依題意標出數據如下:

同樣地,通過 \(D\) 點對平面 \(BCFE\) 作高,其垂足為 \(H\),如下圖所示:

由對稱性可知$$\overline{PM}=\frac{40-30}{2}=5$$
在 \(\Delta AMP\) 中,$$tan{\angle{AMP}}=\frac{15}{5}=3$$

第13題

同樣地,先依照題意標上符號與數據:

接著,將水平面 \(W\) 畫上去

以平行線截比例線段寫出 \(\overline{GH}\)
$$\frac{x}{15}=\frac{\overline{GH}}{10}, \overline{GH}=\frac{2}{3}x$$
另外
$$\frac{\overline{IJ}}{5}=\frac{x}{15}, \overline{IJ}=\frac{x}{3}$$
故此長方形的長=\(\overline{KL}=30+\frac{2}{3}x\),寬=\(\frac{2}{3}x\)
$$面積=(30+\frac{2}{3}x)\cdot(\frac{2}{3}x)=20x+\frac{4}{9}x^2$$
故得證。

第14題

依題意,將 \(\overline{AP}\)進行\(n\) 等份,每一等份的長度為 \(\frac{15}{n}\),長方形面積為 $$(30+\frac{10}{n}\cdot k)\cdot\frac{k}{n}\cdot 10$$

接著將每一塊長方體相加
$$
\begin{aligned}
& \sum_{k=1}^n(30+\frac{10}{n})\cdot\frac{k}{n}\cdot 10\cdot\frac{15}{n} \\
&= \sum_{k=1}^{n} \frac{4500}{n}\cdot\frac{k}{n}+\frac{1500}{n}(\frac{k}{n})^2 \\
&\rightarrow 4500\int_{0}^1 xdx + 1500\int_0^{1} x^2dx \\
&= 4500\cdot\frac{1}{2}+1500\cdot\frac{1}{3} \\
&= 2250 + 500 = 2750
\end{aligned}
$$

題組15-17 平面向量、微分

第15題

由題目的條件可知,我們必須先算出兩向量 \(\vec a \)、\(\vec b \) 的內積,再經由內積的定義寫出 \(cos{\theta}\)。此時可以先將 \(|\vec a+\vec b|=7\) 等式兩邊平方,再以 \(|\vec a|=x\),\(|\vec b|=9-x\)代入後,將\(cos{\theta}\)以 \(x\) 表示。
$$7^2=|\vec a -\vec b |^2=|\vec a| -2\vec a \cdot\vec b+|\vec b|^2$$

移項整理可得
$$
\begin{aligned}
cos{\theta} &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}\\
&= \frac{x^2-9x+16}{x(9-x)}\\
&= -1+\frac{16}{9x-x^2}
\end{aligned}
$$
此時 \(c=16, d=-1\)

令 \(f(x)=-1+\frac{16}{9x-x^2}, 1<x<8\)
$$
f'(x)=\frac{-16\cdot(9-2x)}{9x-x^2}=\frac{-144+32x}{(9x-x^2)^2}, 1<x<8
$$

第16題

函數 \(f(x)\) 的極值發生在臨界點:\(x=0, \ 9, \ \frac{9}{2}\)

可以先畫個表格觀察函數 \(f(x)\) 的遞增遞減區間:

\(f(x)\) 的最小值為
$$
f(\frac{9}{2})\geq -1+\frac{16}{\frac{81}{4}}=\frac{17}{81}
$$
即當 \(x=\frac{9}{2}\)時,\(\theta\)值最大。

第17題

函數 \(f(x)\) 的一次近似如下:
$$
\begin{aligned}
f(x) &\approx f(5)+f'(5)(x-5) \\
&= (-1+\frac{16}{20})+\frac{1}{25}(x-5) \\
&= -\frac{1}{5} +\frac{1}{25} (x-5)
\end{aligned}
$$
因此
$$
\begin{aligned}
cos{\theta}=f(4.96) &\approx -\frac{1}{5}+\frac{1}{25}(4.96-5) \\
&=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}(-0.04) \\
&=-\frac{1}{5}-\frac{0.04}{25}\\
&=-\frac{5.04}{25} = -\frac{126}{625}
\end{aligned}
$$

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關於我

中學教師,國立大學數學博士,二十年高中數學教學經驗。
數學是我的專業,教學是我的職業,教育是我的志業,研發數位教材是我的興趣。
斜槓是我實踐終身學習的方式。

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