2022 年 12 月 4 日

111年學測數學B試題分析與詳解:與數學A反差極大的一份考題

前言

111年學測數B題目難易適中,與數A形成極大落差。比較有挑戰性的部份在於文字量偏多,考生必須頂住壓力耐心閱讀,選擇題難度高於選填題與非選題。

整體而言,是一份用心命題的好題目。這篇文章,就帶讀者來看看這份考題,並且提供試題分析與解題方法。為明年準備學測的考生提供一個準備方向。

完整試題及參考解答下載

數學B試題數學B解答

各單元比重統計

第一冊(20分)第二冊(35分)第三冊B(25分)第四冊B(20分)
單元01 實數單元01 數列與遞迴關係
單選2
單元01 弧度量-非選18單元01 空間概念
單元02 式的運算單元02 級數單元02 週期性數學模型單元02 空間坐標系-單選6、單選7
單元03 絕對值-單選1單元03 計數原理單元03 指數函數單元03 平面上的比例
單元04 指數單元04 排列-單選3、選填17單元04 對數單元04 條件機率
單元05 常用對數單元05 組合單元05 對數函數-選填13單元05 貝氏定理-選填15
單元06 直線方程式單元06 古典機率-選填16單元06 平面向量-單選4單元06 矩陣的運算-單選5
單元07 圓方程式單元07 數學期望值 單元07 平面向量的運算-多選11、選填14單元07 矩陣的應用
單元08 圓與直線-多選8單元08 一維數據分析-多選10單元08 圓錐曲線
單元09 多項式的除法原理單元09 二維數據分析
單元10 一次與二次函數-多選12單元10 直角三角形的三角比:非選19、非選20
單元11 三次函數的圖形特徵-多選9單元11 廣義角三角比與極坐標
單元12 多項式不等式單元12 三角比的性質

試題分析

單選第1題:絕對值不等式

試問有多少個整數 \(x\) 滿足 \(2|x|+x<10\)?

  1. 13個
  2. 14個
  3. 15個
  4. 16個
  5. 無窮多個

當我們遇到絕對值時,必須設法去掉絕對值, 這一題用兩種做法提供參考

《方法1》分段討論

情況1: \(x\geq 0\)
原方程式可以改寫為 \(2x+x<10\),解方程式可得 \(0\leq x<\frac{10}{3}\) — (1)

情況2:\(x<0\)
原方程式可以改寫為 \(-2x+x<10\),解方程式可得 \(-10<x<0\) — (2)

由(1)、(2)可得 $$-10<x<\frac{10}{3} — (3)$$
因此滿足(3)的整數共有13個。

《方法2》移項平方將問題改為解一元二次不等式

首先將 \(x\) 移項至不等式的右側:$$0\leq 2|x|<10-x$$

因為 \(2|x|\) 與 \(10-x\) 皆為非負,所以將式子同時平方不影響不等式的方向:
$$4x^2<(10-x)^2$$
展開移項整理:$$3x^2+20x-100 =(3x-10)(x+10)<0$$
解得 $$-10<x<\frac{10}{3}$$
故 \(x=-9、-8、-7、…、-1、0、1、2、3\) 共13個

單選第2題:數列

某燈會佈置變色閃燈,每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變換:藍-白-紅-白-藍 -白-紅-白-藍-白-紅-白…,每四次一循環,其中藍光每次持續5秒,白光每次持續2秒,而紅光每次持續6秒。假設換燈號的時間極短可被忽略,試選出啟動後第99至101秒之間的燈號。

  1. 皆為藍燈
  2. 皆為白燈
  3. 皆為紅燈
  4. 先亮藍燈再亮白燈
  5. 先亮白燈再亮紅燈

這一題要觀察規律,應該是要考「數列」的概念。

我們可以看出來:藍-白-紅-白 四次閃燈為一個循環,經過時間 \(5+2+6+2\) 秒
在90秒以內,經過幾個循環呢?$$99÷15=6…9$$
經過6個循環又9秒,其中
藍燈 5 秒 (第91秒~95秒) -> 白燈 2 秒 (第96秒~97秒) -> 紅燈 6 秒 (第98秒~103秒)
因此第99秒至101秒之間的燈號應該皆為「紅燈」。

單選第3題:排列組合

有八棟大廈排成一列,由左至右分別編號 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰兩棟大廈,以免訊號互相干擾,試問在3號大廈不設立基地台的情況下、有多少種設立基地台的選法方法?

  1. 12
  2. 13
  3. 20
  4. 30
  5. 35

這一題我以「反面」與「正面」觀點切入,提供讀者參考:

方法1:反面觀點

將「基地台不設立於相鄰兩棟大廈」的方式 - 「基地台不設立於相鄰兩棟大廈且3號大廈有設立基地台」的方式,計算過程如下:$$C^6_3-(1\times C^4_1+C^3_2)=20-7=13$$

方法2:正面觀點

我們分成兩個部份討論:
情況1:有一個設地台設立於1號或2號大廈;有兩個基地台設立於4號\(\sim\) 8號大廈
我們分成以下兩個步驟計算

  1. 1號或2號大廈設立1個基地台:\(C^2_1\)
  2. 4號至8號大廈設立2個基地台且不相鄰\(C^4_2\)

$$C^2_1\times C^4_2=12$$

情況2:三個基地台皆設立於4號\(\sim\) 8號大廈
直接計算得 $$C^3_3=1$$

將情況1與情況2合計,方法數共有 \(12+1=13\) 種。

單選第4題:平面向量+對數律 基本題

在坐標平面上知向量 \(\overrightarrow{PQ}=(log{\frac{1}{5}}, -10^{-5})\),其中點 \(P\) 的坐標為 \((log\frac{1}{2}, 2^{-5})\)。試選出正確的選項。

  • 點 \(Q\) 在第一象限
  • 點 \(Q\) 在第二象限
  • 點 \(Q\) 在第三象限
  • 點 \(Q\) 在第四象限
  • 點\(Q\) 位於坐標軸上

這一題非常簡單,首先利用向量加法寫出向量 \(OQ\) 的坐標:

\begin{align}
\overrightarrow{OQ} &= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ} \\
&= (log\frac{1}{2}, 2^{-5})+(log{\frac{1}{5}}, -10^{-5}) \\
&= (log{\frac{1}{2}}+log{\frac{1}{5}},2^{-5}-10^{-5})
\end{align}

其中 $$ log\frac{1}{2}+log\frac{1}{5}<0$$ 且 $$2^{-5}-10^{-5}>0$$
因此, 點 \(Q\) 在第二象限。

單選第5題:矩陣的運算

設矩陣
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
$$


$$ A^7-3A=\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$

則 \(a+b+c+d\) 之值為下列哪一個選項?

  1. \(-8\)
  2. \(-5\)
  3. 5
  4. 8
  5. 10

這一題是簡單的乘法運算題
$$A^2=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
= 2I_2
$$

\(A^7=((A^2)^3 \cdot A = (2I_2)^3 \cdot A=8A\)
$$
A^7-3A= \begin{bmatrix}
8 & 8 \\
8 & -8
\end{bmatrix} –
\begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & -3
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
5 & 5 \\
5 & -5
\end{bmatrix}
$$

最後
$$a+b+c+d=5+5+5+(-5)=10$$

單選第6題:地球的緯度與經度題

假設地球為一半徑為 \(r\) 的球體,有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動,抵達北極點時移動所經過的弧線之長度為 \(\frac{7}{12}\pi r\)。試問哪一個選項最可能是甲地的位置?

  1. 東經 \(75^{\circ}\)、北緯 \(15^{\circ}\)
  2. 東經 \(30^{\circ}\)、南緯 \(75^{\circ}\)
  3. 東經 \(75^{\circ}\)、南緯 \(15^{\circ}\)
  4. 西經 \(30^{\circ}\)、南緯 \(75^{\circ}\)
  5. 西經 \(15^{\circ}\)、南緯 \(30^{\circ}\)

這一題的關鍵在於,我們只能確定甲地所在位置的緯度,無法確定其經度。可以畫個示意圖來看看:

$$r\theta=\frac{7}{12}\pi r, \theta=\frac{7}{12}\pi=105^{\circ}$$
因此,甲在南緯 \(15^{\circ}\)

單選第7題:單點透視法

畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時,有以下原則要遵守
一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線
二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致
三、空間直線上的任四個相異點的 \(K\) 值畫紙所畫的四個點之 \(K\) 值必須相同,其中 (K\) 值的定義如下:直線上任給四個有順序的相異點 \(P_1, P_2, P_3, P_4\)。如下圖。

其所對應的 \(K\) 值定義為 $$K=\frac{\overline{P_1P_4}\times\overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}\times\overline{P_2P_4}}$$

今某畫家依照以上原則,將空間中一直線及該線上的四相異點 \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4\) 描繪在畫紙上,其中 \(\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}\)。若將畫紙上所畫的直線視為一數線,並將線上的點用坐標來表示,則在下列選項的四個坐標中,試問哪組最可能是該四點在畫紙上的坐標?

  1. 1, 2, 4, 8
  2. 3, 4, 6, 9
  3. 1, 5, 8, 9
  4. 1, 2, 4, 9
  5. 1, 7, 9, 10

這一題是在考閱讀理解能力,當中的數學只是基本的整數乘法與除法。依題意,我們要確認的這四點的 \(K\) 值會是多少?計算如下:$$K=\frac{3\times 1}{2\times 2}=\frac{3}{4}$$

選項1:\(K=\frac{7\times 2}{3\times 6}=\frac{7}{9}\)
選項2:\(K=\frac{6\times 2}{3\times 5}=\frac{4}{5}\)
選項3:\(K=\frac{8\times 3}{7\times 4}=\frac{6}{7}\)
選項4:\(K=\frac{8\times 2}{3\times 7}=\frac{16}{21}\)
選項5:\(K=\frac{9\times 2}{8\times 3}=\frac{3}{4}\)

因此答案為5。

多選第8題:圓與直線的關係

有一射擊遊戲,將發射台設置於坐標平面的原點,並放置三個半徑為1的圓盤靶子,其圓心分別為 \((2,2), (4,6), (8,1)\)。玩家選定一正數 \(a\),並按下按鈕後,發射台將向點 \((1, a)\)方向發射一道雷射光束(形成一射線)。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進(削過圓盤邊緣也視為擊中)。試選出正確的選項:

  1. 雷射光束落在通過原點且斜率為 \(a\) 的直線上
  2. 若 \(a=\frac{3}{2}\),則雷射光束會擊中圓心為 \((4, 6)\)的圓盤靶子
  3. 玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子
  4. 玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子
  5. 玩家發射一道雷射光束後,若擊中圓心為 \((8,1)\)的圓盤靶子,則 \(a\leq\frac{16}{63}\)

選項1:因為此光束通過 \((0, 0)\) 及 \((1, a)\),因此落在斜率為 \(a\) 的直線上
選項2:當 \(a=\frac{3}{2}\) 時,設 \(B(4, 6)\)。因為 直線 \(OA\) 的斜率與直線 \(OB\) 的斜率皆為 \(\frac{3}{2}\),因此直線 \(OA\) 通過點 \(B(4, 6)\)。
選項3:如下圖所示

如圖所示,可知 \(tan{\theta}=\frac{1}{8}\)
$$tan{2\theta}=\frac{2tan{\theta}}{1-tan^2{\theta}}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{64}}=\frac{16}{63}$$

因此,$$L:16x-63y=0$$
經由簡單的計算可知$$d(A,L)>1,\ d(B,L)>1$$
即直線 \(L\) 沒有通過圓 \(A\) 與 圓 \(B\),因此不可能一道光束打中三圓盤靶子
選項4:至少要發射兩道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子

選項5:如下圖,由選項3可知,直線 \(L\) 的斜率為 \(\frac{16}{63}\),故$$a\leq\frac{16}{63}$$

最後答案選1、2、5

多選第9題:三次函數的圖形

設$$f(x)=2x^3-3x+1$$下列關於函數 \(y=f(x)\) 的圖形之描述,試選出正確的選項。

  1. \(y=f(x)\) 的圖形通過點 \((1, 0)\)
  2. \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸只有一個交點
  3. 點 \((1, 0)\) 是 \(y=f(x)\) 的圖形之對稱中心
  4. \(y=f(x)\) 的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 \(y=3x-3\)
  5. \(y=3x^3-6x^2+2x\) 的圖形可由 \(y=f(x)\) 的圖形經適當平移得到

今年數A也考了一題三次函數的圖形,然而數B這一題簡單許多。
選項1:因為 \(f(1)=0\),所以 \(y=f(x)\) 的圖形通過點 \((1, 0)\)
選項2:可以直接因式分解:$$f(x)=(x-1)(2x^2+2x-1)=0$$
有三個相異實根 \(x=1, \frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}\),也就是說 \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸有三個交點
選項3:已知 \(y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) 之對稱中心為 \((-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))\),因此$$y=f(x)=2x^3-3x+1$$之對稱對中心為 \((0, f(0))=(0, 1)\)
選項4:如下圖

\(y=f(x)\) 的圖形在對稱中心 \((0, 1)\) 附近會近似於一直線:\(y=3x-1\)

選項5:因為 \(x^3\) 的係數不同,因此形狀不同,無法經由平移重合。

多選第10題:一維數據分析

甲、乙兩班各有40位同學參加某次數學考試(總分為100分),考試後甲、乙兩班分別以$$y_1=0.8x_1+20$$

$$y_2=0.75x_2+25$$
的方式來調整分數,其中\(x_1, x_2\) 分別代表甲、乙兩班的原始考試分數,\(y_1, y_2\) 分別代表甲、乙兩班調整後的分數。已知調整後兩班的平均分數均為 \(60\) 分,調整後的標準差分別為 \(16分\) 和 \(15分\)。試選出正確的選項。

  1. 甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數
  2. 甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高
  3. 甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高
  4. 若甲班 \(A\) 同學調整後的分數比乙班 \(B\) 同學調整後的分數高,則 \(A\) 同學的原始分數比 \(B\) 同學的原始分數高
  5. 若甲班調整後不及格(小於 \(60\) 分) 的人數比乙班調整後不及格的人數多,則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多。

設 \(\mu_{x_1}, \mu_{x_2}\) 分別是甲、乙兩班調整前的平均分數;\(\mu_{y_1}, \mu_{y_2}\) 分別是甲、乙兩班調整後的平均分數。\(\sigma_{x_1}, \sigma_{x_2}\) 分別是甲、乙兩班調整前的標準差;\(\sigma_{y_1}, \sigma_{y_2}\) 分別是甲、乙兩班調整後的標準差。

由題目可知,\(\sigma_{y_1}=16, \sigma_{y_2}=15\)

依題意列式:
$$\begin{cases}
60 = \mu_{y_1} = 0.8 \mu_{x_1} + 20 — (1)\\
60 = \mu_{y_2} = 0.75 \mu_{x_2} + 25 — (2)
\end{cases}$$

選項1:因為 $$y_1-x_1=(0.8x_1+20)-x_1=20-0.2x_1\geq 20-20=0$$所以 $$y_1\geq x_1$$

選項2:由 (1)、(2) 式解得 $$\mu_{x_1}=50, \ \mu_{x_2}=\frac{140}{3}$$
因此 $$\mu_{x_1}>\mu_{x_2}$$

選項3:
$$\begin{cases}
16=\sigma_{y_1}=0.8\sigma_{x_1} — (3)\\
15=\sigma_{y_2}=0.75\sigma_{x_2} — (4)
\end{cases}$$

由 (3)、(4) 式可解得 $$\sigma_{x_1}=\sigma_{x_2}=20$$

選項4:設 \(y_1>y_2\),即 \(0.8x_1+20 > 0.75x_2+25\)

移項整理:
\begin{align}
x_1 &> \frac{5}{4}\times\frac{3}{4}x_2+\frac{25}{4}\\
&=\frac{15}{16}x_2+\frac{25}{4} \\
\end{align}

接著

\begin{align}
x_1-x_2 &> \frac{15}{16}x_2+\frac{25}{4}-x_2 \\
&= -\frac{x_2}{16}+\frac{25}{4} \\
&\geq -\frac{100}{16}+\frac{25}{4}=0
\end{align}
因此 $$x_1>x_2$$

選項5:
由關係式 $$x_1=\frac{5}{4}(y_1-20), \ x_2=\frac{4}{3}(y_2-25)$$
可知
\begin{align}
x_1<50 &\Leftrightarrow y_1<60 \\
x_2<\frac{140}{3} &\Leftrightarrow y_2<60
\end{align}

僅能確定甲班調整前小於50分的人數多於乙班調整前小於 \(\frac{140}{3}\) 分的人數。

多選第11題:平面向量的內積

考慮坐標平面上的點 \(O(0, 0)、A、B、C、D、E、F、G\),如下圖所示:

其中 \(B\) 點、\(C\) 與 \(D\) 點、\(E\) 與 \(F\) 點、\(G\) 與 \(A\) 點依序在一、二、三、四象限內。若 \(\overrightarrow{V}\) 為坐標平面上的向量,且滿足
$$\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{OA}>0$$

$$\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{OB}>0$$
則 \(\overrightarrow{V}\) 與下列哪些向量的內積一定小於 \(0\)?

  1. \(\overrightarrow{OC}\)
  2. \(\overrightarrow{OD}\)
  3. \(\overrightarrow{OE}\)
  4. \(\overrightarrow{OF}\)
  5. \(\overrightarrow{OG}\)

由題意可知,向量 \(\overrightarrow{V}\) 分別與向量 (\overrightarrow{OA}\)、向量 \(\overrightarrow{OB}\) 夾銳角。而我們要找的是與向量 \(\overrightarrow{V}\) 夾鈍角的向量。
首先我們先畫出 \(\overrightarrow{V}\) 掃到的範圍如下圖所示:

經由觀察,我們可以看出來,向量 \(\overrightarrow{OD}\) 與 向量 \(\overrightarrow{OE}\) 夾角為鈍角,因此選2、3

多選第12題:一元二次方程式根的判斷

設 \(a、b、c\) 都是非零的實數,且二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 的兩根都落在1和3之間。試選出兩根必定都落在 4和5之間的方程式:

  1. \(a(x-2)^2+b(x-2)+c=0\)
  2. \(a(x+2)^2+b(x+2)+c=0\)
  3. \(a(2x-7)^2+b(2x-7)+c=0\)
  4. \(a(\frac{x+7}{2})^2+b(\frac{x+7}{2})+c=0\)
  5. \(a(3x-11)^2+b(3x-11)+c=0\)

這一題只是考「變數變換」的概念

設 \(ax^2+bx+c=0\) 之兩根為 \(\alpha、\beta\),且 \(1<\alpha\leq\beta<3\)

選項1:\(a(x-2)^2+b(x-2)+c=0\) 之兩根為 \(\alpha+2, \beta+2\),且 $$3<\alpha+2\leq \beta+2<5$$

選項2:\(a(x+2)^2+b(x+2)+c=0\) 之兩根為 \(\alpha-2, \beta-2\) 且 $$-1<\alpha-2, \beta-2<1$$

選項3:\(a(2x-7)^2+b(2x-7)+c=0\) 之兩根為 \(\frac{\alpha+7}{2}, \frac{\beta+7}{2}\),且 $$4<\frac{\alpha+7}{2}, \frac{\beta+7}{2}<5$$

選項4:\(a(\frac{x+7}{2})^2+b(\frac{x+7}{2})+c=0\) 之兩根為 \(2\alpha-7, 2\beta-7\),且$$-5<2\alpha-7, 2\beta-7<-1$$

選項5:\(a(3x-11)^2+b(3x-11)+c=0\) 之兩根為 \(\frac{\alpha+11}{3}, \frac{\beta+11}{3}\),且 $$4<\frac{\alpha+11}{3}, \frac{\beta+11}{3}<5$$

因此只有選項3、5符合題目要求。

選填第13題:指對數的運算

若 \(x, y\) 為兩正實數,且滿足 $$x^{\frac{1}{3}}y^2=1—(1)$$ 及 $$2log y=1—(2)$$則 $$\frac{x-y^2}{10}=?$$

這一題是基本題,解法如下:

由第(1)式:\(y^2=x^{\frac{1}{3}}\)
由第(2)式:\(log y^2=1\)
\begin{cases}
x^{\frac{1}{3}}=y^2 \\
y^2=10
\end{cases}
\begin{cases}
x=10^3=1000 \\
y^2=10
\end{cases}

因此 $$\frac{x-y^2}{10}=\frac{1000-10}{10}=100-1=99$$

選填第14題:平面向量的內積

坐標平面上有一個半徑為\(7\)的圓,其圓心為 \(O\) 點。已知圓上有 \(A, B\) 兩點,且 \(\overline{AB}=8\),則內積 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=?\)

這一題是基本的向量內積運算題,解題方式可使用以下性質:在 \(\Delta ABC\) 中,
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overline{AB}^2+\overline{AC}^2-\overline{BC}^2)$$

如下圖所示:

\begin{align}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} &=\frac{1}{2}(\overline{OA}^2+\overline{OB}^2-\overline{AB}^2) \\
&= \frac{1}{2}(7^2+7^2-8^2) = 17\\
\end{align}

選填第15題:貝氏定理標準題型

根據某國對失蹤輕航機的調查得知:失蹤輕航機中有 \(70%\) 後來會被找到,在被找到的輕航機當中,有 \(60%\) 裝設緊急定位傳送器;而沒被找到的失蹤輕航機當中,則有 \(90%\) 未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀時發送訊號,讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤,若已知該機有裝設緊急定位傳送器,則它會被找到的機率為何?(化為最簡分數)

這一題是很標準貝氏定理的問題,畫個樹狀圖來看看吧:

因此
$$
P(被找到 | 有裝設) = \frac{70\%\times 60\%}{70\%\times 60\% + 30\%\times 10\%}
= \frac{42}{42+3} = \frac{14}{15}
$$

選填第16題:機率問題

袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共10顆。今從袋中隨機抽取兩顆球(每顆球被抽中的機率相等),若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 \(frac{1}{15}\),皆為綠色的機率為 \(\frac{2}{9}\),則從袋中隨機抽出兩球,此兩球為相異顏色的機率為何?(化為最簡分數)

這一題是機率基礎題,首先設藍球 \(m\) 顆、綠球 \(n\) 顆,則黃球有 \(10-m-n\) 顆,依條件列式如下:
$$\frac{C^m_2}{C^{10}_2}=\frac{1}{15},\ \frac{C^{n}_2}{C^{10}_2}=\frac{2}{9}$$
接著整理一下:
$$\frac{m(m-1)}{90}=\frac{1}{15},\ \frac{n(n-1)}{90}=\frac{2}{9}$$

經由簡單的計算可求得:\(m=3, n=5\)
因此隨機抽出相異兩球的機率為 $$\frac{C^3_1C^5_1+C^3_1C^2_1+C^5_2C^2_1}{C^{10}_2}=\frac{15+6+10}{45}=\frac{31}{45}$$

選填第17題:排列組合

有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學,畢業後老師邀聚餐,餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快,照相時不想相鄰,而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側,則可能的排列方式共有幾種?

首先我們先設符號 \(B_1, B_2, B_3\) 為三位男生,\(G_1, G_2, G_3\) 為三位女生,\(T\) 代表老師。依題意,設 \(B_1, G_1\) 不相鄰且 \(B_1, B_2, B_3\) 不完全在 \(T\) 同側。
可以採用反面想法,將全部情況扣除 \(B_1, G_1\) 相鄰或 \(B_1, B_2, B_3\) 完全在 \(T\) 同一側的方法,如以下文氏圖所示:

全部的排列數:\(6!\) 種
\(B_1, G_1\)相鄰的排列數:\(4\times 2!\times 4!\)
\(B_1, B_2, B_3\) 完全在 \(T\) 同一側的排列數:\(3!\times 3!\times 2!\)

因此符合題意的排列數為 $$6!-4\times 2!\times 4!-3!\times 3!\times 2!=720-192-72=456$$

第貳部分、混合題或非選擇題 18-20題為題組

瘦長的塔因為年代久遠,塔身容易傾斜。在下方右圖中,以粗黑線條代表塔身,而塔身的長度稱為塔高,塔身與鉛直虛線的夾角 \(\theta^{\circ}\) 稱為該塔的傾斜度 (\(0\leq \theta<90\)),又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。

根據上述資料,試回答下列問題。

第18題

已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比,其傾斜度達到 \(18^{\circ}\),此傾斜度換算成弳(或弧度)為下列哪一個選項?(單選題,5分)

  1. \(\frac{\pi}{36}\)
  2. \(\frac{\pi}{18}\)
  3. \(\frac{\pi}{20}\)
  4. \(\frac{\pi}{10}\)
  5. \(\frac{\pi}{8}\)

這一題只是「度」與「弧度」單位的轉換。
已知 $$1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$$,
因此$$18^{\circ}=\frac{18}{180}\pi=\frac{\pi}{10}$$
答案選(4)

第19題

中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔,它們的塔高分別為 \(48、19\) 與 \(57\) (公尺),偏移距離分別為 \(2.3、2.3\) 與 \(4\) (公尺),塔的傾斜度分別為 \({\theta_1}^{\circ}、{\theta_2}^{\circ}\) 與 \({\theta_3}^{\circ}\)。試比較 \(({\theta_1}^{\circ}、{\theta_2}^{\circ}\) 與 \({\theta_3}^{\circ}\) 三數的大小關係。(非選擇題,4分)

如下圖:

可以寫出三個角度的正弦值如下:
$$sin{\theta_1}^{\circ}=\frac{2.3}{48}, sin{\theta_2}^{\circ}=\frac{2.3}{19}, sin{\theta_3}^{\circ}=\frac{4}{57}$$
對於銳角而言,角度愈大,正弦值愈大。
因為 $$\frac{2.3}{48}<\frac{4}{57}<\frac{2.3}{19}$$
即 $$sin{\theta_1}^{\circ}<sin{\theta_3}^{\circ}<sin{\theta_2}^{\circ}$$
所以 $$\theta_1<\theta_3<\theta_2$$

第20題

假設有塔高相等的兩座鐵塔,它們的傾斜度 \(\alpha^{\circ}, \beta^{\circ}\) 分別滿足
$$sin{\alpha^{\circ}}=\frac{1}{5}, \ sin{\beta^{\circ}}=\frac{7}{25}$$
已知兩座鐵塔的偏移距離相差20公尺,試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺?(非選擇題,6分)

如圖所示:

設塔高 \(h\) 公尺,則 $$20=hsin{\beta^{\circ}}-hsin{\alpha^{\circ}}=\frac{7}{25}h-\frac{1}{5}h=\frac{2}{25}h$$
解得:\(h=250\) 公尺
因此塔頂到地面之距離相差 $$hcos{\alpha^{\circ}}-hcos{\beta^{\circ}}=250\cdot(\frac{2\sqrt{6}}{5}-\frac{24}{25})=100\sqrt{6}-240 \ (公尺)$$

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斜槓教師/Gim Chen

中學數學教師

研究興趣:數學分析領域、微分方程、數學教育
教學專業:國中數學、高中數學、高中數學類多元選修課、大學微積分。
近二十年教學經驗,善用數位化教材、線上教學。


教育就是從探索中找到自己的夢想,追逐夢想,進而不斷完備自我的過程。
夢想也許不容易實現,卻使人在這樣的過程中,修正、調整與改變,更多地認識自己,與自我價值的體現。

1 thought on “111年學測數學B試題分析與詳解:與數學A反差極大的一份考題

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