你是否有想過，學了這麼多年的數學，那些公式、定理是怎麼蹦出來的？

事實上，教科書受限於課程框架的限制，是沒辦法說太多事情。
否則每一本課本都編得跟大一微積分原文書一樣，既不環保，又增加學生攜帶的難度。
這也是我近幾年一直在推廣數位化教學的原因之一，一台ipad放入成千上萬的數位教材，
分門別類，直接在上面做筆記，既輕便又容易保存。

過去曾經有七年級家長跟我反應，說小孩書包好重，本來個子就很小了，
又長時間重壓，真擔心孩子因此長不高。

我們耗費在印刷上的成本太高了，然而用完的書本，學生會怎麼處理呢？
大多數的學生當然直接丟到資源回收箱。前幾天我看到有學生直接將書本一頁頁撕下來，
做成紙盒。雖然我不是這麼鼓勵撕書本，但是比起直接丟回收箱，又可以二次利用，
好像也沒什麼不好。

另外，當你在看這篇文章，應該也不會介意我在這裡閒聊幾句，
在實體教科書上閒聊，可能因此擴增篇幅，增加書本的厚度，造成困擾。
但是我在這裡閒聊，說不定還可以降低你閱讀的門檻。
這也是寫部落格文章的優點：更有彈性，簡潔、易於推廣。

回歸正題，今天我們要來聊聊這個美麗的數學公式：$$e^{i\pi}+1=0$$
這是個非常美妙的公式，因為它串連了「指數」與「三角函數」，僅僅用＋、×、指數運算，
就將五個很特別的常數 \(1\)、\(0\)、\(i\)、\(\pi\)、\(e\) 連結在一起。

在影集博士熱愛的算式中，就有提到這一個式子，有興趣的讀者不妨去找來看。
以下是單維彰教授的分享：

說到這些常數所採用的符號，就不得不提一下，
歷史上重量級的數學家 – 歐拉(Leonhard Euler，1707年4月15日—1783年9月18日)，

關於歐拉的生平，可以在網路上搜尋到一堆資料，這裡就不再贅述。
我們只要知道幾點：

第一、歐拉是一個非常多產的數學家，記憶力超好，而且有著非凡的數學直覺。
發表超過500篇研究論文，20多本專書。1783年逝世後，還留有超過300份手稿。

第二、歐拉的晚年雙目失明，卻仍然用口述的方式做研究，並在此期間完成生平近一半的著作。

第三、我們很多符號使用的習慣，起源於歐拉。
例如：函數的寫法 \(f(x)\)、虛數的寫法 \(i\)、圓周率符號 \(\pi\)、連加的符號 \(\Sigma\)、自然對數的底數以 \(e\)表示。

總而言之，歐拉是一位數學領域的開創者，在歷史上有著舉足輕重的地位。

接著，我們來聊聊常數 \(e\)。

\(e\) 是什麼？

首先，它與複利計算有著密切的關係，這部份，
我在日前寫的一篇文章「【教學】關於歐拉數的探索之旅 – 高中數學課本沒寫出來的事 – 高中升大學銜接」
有提及，我們很快來複習一下：$$e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n \tag{1}$$

簡單來說，我們在計算複利的過程中，考慮了一個極端的情況：

本金\(P=1\)，利率\(r=1\)，經過 \(n\) 期複利後，可得本利和 $$S=(1+\frac{1}{n})^n$$
然後在該篇文章中，我也證明了數列 \(a_n=(1+\frac{1}{n})^n\) 收斂，而那個收斂值，就令為常數 \(e\)。

過程中，我們發現，可將常數 \(e\) 寫成如下形式 $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

另一方面，常數 \(e\) 關乎雙曲線下的面積計算。如下圖所示：

令 $$f(x)=\int_{1}^x\frac{1}{t}dt$$ 函數 \(f(x)\) 表示函數 \(\frac{1}{t}\) 在區間 \([1, x]\) 上與 \(x\) 軸圍出來的區域面積。

而常數 \(e\) 便是使得 \(f(x)=1\) 所在的 \(x\) 值。

我們便將此函數 \(f(x)\) 定義為以 \(e\) 為底數的對數函數 \(log_e x\)，符號可簡記為 \(lnx\)。

你是否有發現，\(lnx\)的微分結果不能按照導函數的原始定義直接導出，
而必須使用微積分基本定理：$$\frac{d}{dx}lnx = \frac{d}{dx}\int_1^{x}\frac{1}{t}dt= \frac{1}{x}$$

接著，歐拉在第(1)式中，以\(\frac{x}{n}\) 取代 \(\frac{1}{n}\)，定義了函數 $$e^x:=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n$$

使用二項式定理將 \((1+\frac{x}{n})^n\) 展開，可得 $$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{x}{n})^n = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+…$$

有趣的事情來了，歐拉做了一個大膽的動作，就是將指數 \(x\) 以 \(ix\) 取代，此時可得
$$e^{ix}=1+\frac{ix}{1}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+…$$

然後繼續冒險，歐拉將此無窮級數重新排序，將實部與虛部分開，改寫如下：
$$(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…)$$

一般來說，無窮級數的排序一旦改變，也許斂散性也會跟著改變；即使此級數依然收斂，
但是收斂值也不一定會相等。然而，這是個很好的函數，這個動作並未影響其正確的結果。
細節的部份，在這裡就先不談了。

最後要說的是，在歐拉的時代，已經知道正餘弦函數的無窮級數表示方式分別如下：
$$cosx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \ sinx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

因此可得 $$e^{ix}=cosx+isinx$$

此美妙的公式呼之欲出 $$e^{i\pi}=-1$$

這篇文章就先寫到這邊，希望足夠淺顯易懂。
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