2021 年 10 月 28 日

110年學測數學試題分析與詳解

完整試題及參考解答下載

110年學測數學:試題解答

各單元比重統計

第一冊 合計 30分第二冊 合計 20分第三冊 合計 25分第四冊 25分
第1章 數與式 5分
選填A
第1章 數列與級數
(單選2-數列與對數混合)
第1章 三角函數 15分
(單選3、多選10)
第1章 空間概念 10分
(單選4、選填G)
第2章 多項式函數 10分
(單選5、多選13-多項式與數列混合題)
第2章 排列組合第2章 直線與圓 5分
(單選8)
第2章 空間中的直線與平面 5分
(選填B)
第3章 指對數 15分
(單選2-對數與數列混合題、選填D、選填E)
第3章 機率 15分
(單選7、多選12、選填C)
第3章 平面向量 5分
(多選11、選填F)
第3章 矩陣 5分
(單選1)
第4章 數據分析 5分
(單選9)
第4章 二次曲線 5分
(單選6:橢圓)

單選2為「數列」與「對數」混合題,歸納在一、二冊皆可,我暫且將其歸納在第一冊。

多選13為「多項式函數」與「等差等比數列」混合題,歸納在一、二冊皆可,我暫且將其歸納在第一冊。

機率考了3題,沒有單獨考排列組合。現在108課綱的排列組合也以「古典機率」所需的內容為主。

整體試題分析

在難度方面

這是一份有鑑別度的考題,在有時間壓力下,要拿高分著實不易。因為去年題目太過簡單,今年可以預期題目難度勢必提高,但我認為倒不致於如報導所說史上最難,這篇文章就帶大家來看看今年的考題吧!

我認為難度較高的題目為:多選10、多選11、多選13選項(5)

這一題是解三角形的問題,算是考古題了。若要確定三角形的形狀與大小,可以有幾種情況:確定三邊長(SSS)、確定兩邊及一個夾角(SAS),要善用「餘弦定理」,並且觀察不同條件下微小的差異。

多選10解說

這一題主要考國中幾何搭配向量,要適時作輔助線才看得出來,我認為算中偏難的題目了。

多選11解說

這一題考到了勘根定理、虛根成對定理、等差與等比數列的定義。選項(5)是普遍大多數人覺得困難的地方,在考場上要將理由很清楚地寫下來不是件容易的事!

多選13解說

中等偏難的題目為:多選9、選填D、選填F、選填G

這一題我只想到歸類在數據分析這個單元,但其實並沒有很明顯考到高中數據分析的內容,反倒比較像以情境與表格包裝的代數計算題,這類考題就是著重在閱讀素養的部份,與高中數學課程的連結稍弱了一些。

多選9解說(素養題)

這個題目只要把圖畫對就不難判斷,如果a為正數,則此指數函數嚴格遞增;如果a是負數,則此指數函數嚴格遞減;事實上,a大於0與a小於0兩種情況畫出來的指數函數的圖形對x軸對稱。

選填D解說

同樣地,這一題也是畫圖題,將圖畫對,計算封閉曲線圍出來的面積就簡單了!

選填F解說

這一題應該算標準題了,相信中等程度的同學就不會有太大的問題了。

選填G解說

中等難度的題目為:單選2、單選6、多選7、多選8、多選12、選填C、選填E

單選2詳解

「重複」的不需寫出,「不符合題意的」要剔除!

正六邊形先畫出來,再來看看橢圓怎麼畫,圖畫準確一點就可以看出來囉!

單選6解說

這應該算是多選題當中較簡單的一題,只是字多了點,要有耐心讀題。

多選7解說(素養題)

選項(1)~(4)不難,比較多人有問題的是選項(5),方法不少,我用旋轉矩陣將B、C兩點算出來,計算不至於太繁索。

多選8解說

這題是排列組合意味濃厚的機率題,這份考卷沒有單純考排列組合,我想就是這一題融入在機率裡了。

多選12解說

這一題計數的策略很重要,不然容易遺漏掉一些情況沒有數到。

選填C詳解

兩邊取對數,然後要查考卷後面給我們log7的值,這題應該是唯一一題要用到後面公式的題目。當然如果有背log7的話也可以不用查了。

選填E詳解

基礎題為:單選1、單選3、單選4、單選5、選填A、選填B

這應該是整份試題最簡單的一題,直接相乘再將矩陣各元相加即可。

這一題主要考國中幾何,然後再以三角函數表示。

單選3解說

兩向量張出來的面積怎麼算?用外積表示是不錯的選擇!

單選4解說

先用除法原理列式,要將商式寫對,然後再利用條件將商式算出來。最後求函數值。

單選5解說

這一題不用學高中數學也可以做出來。

選填A詳解

選填B解說

當然難易度的感受與解題策略的切入點有所關聯,也許之後我想到其他解法這就不是難題了。

在素養題方面:多選7、多選9

我認為這份考題的素養題為多選7、多選9,這兩題都用表格呈現讓學生判讀,其中第7題考機率;第9題比較像在考數據分析,但解題過程偏重代數計算。

作者簡介

本文作者畢業於國立中央大學數學研究所博士班,目前為中學數學教師,已有近二十年高中數學教學經驗。在工作之餘喜愛閱讀與寫作,鑽研高等數學,曾經擔任清大數學系總助教,協助學生通過微積分、線性代數入學考試考上師大數研所。

另外也熱衷於涉獵各種領域,包括投資理財、網路行銷、親子教育、…因為興趣廣泛,因此自稱為「斜槓教師」。歡迎來到斜槓教師的教育學習網

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4 thoughts on “110年學測數學試題分析與詳解

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