再兩天就要週考了，今天我出了一份考題，讓七年級的學生課堂測驗，考完後立即檢討。

目前進度已經到了第三冊1-3多項式的乘除。

明星私中的孩子很優秀，所以每次測驗我都會刻意放1、2道難題讓他們思考。
今天這道題目，每一班仍然有幾位學生答對，不過整份試卷各班只有一位學生滿分。

題目敘述如下：試求多項式 $$(x+1)(2x+1)(3x+1)(4x+1)(5x+1)(6x+1)(7x+1)(8x+1) \ 中 \tag{1}$$ (1) \(x\) 項的係數 (2) \(x^2\) 項的係數

這一題作為高中考題，不是什麼難題。但是放在七年級的課堂，就相當具有挑戰性了。

尤其是第 (2) 小題

我問了幾位答對的學生是怎麼做的？

沒有意外，真的就是直接乘開！

對於七年級的學生而言，直接乘開可以算對也是相當不錯呢。

此時我就會再問他們，如果題目改為100項怎麼辦呢？

有學生說，那就繼續乘開就好了啊！

說這句話的當下，我可以感受到他其實有些心虛。

乘開？不好吧，太辛苦也太無趣了。還有其他方法嗎？

學生們開始七嘴八舌，有人說果斷放棄，有人說通靈、有人直接問週考會考這種題目嗎？

其實乘開，的確是一種方法，但我們有更好的寫法。

在介紹解法之前，我們必須先換個想法，不妨先舉2項的例子：$$(x+1)(2x+1)$$之前的習慣，我們是採用分配律，將其展開再合併可得：$$2x^2+(1+2)x+1$$ 我刻意將一次項係數列出來但先不要加總，以此來觀察規律。

再多一項看看：$$(x+1)(2x+1)(3x+1)=6x^3+(1\times 2+2\times 3+ 3\times 1)x^2+(1+2+3)x+1$$
有發現規律了嗎？如果還沒，那再多寫一項：
$$(x+1)(2x+1)(3x+1)(4x+1) \ 展開觀察 \ x\ 與 \ x^2\ 項的係數 $$
\(x\) 項係數：$$1+2+3+4$$
\(x^2\) 項係數：$$1\times 2 + 1\times 3 + 1\times 4 + 2\times 3 + 2\times 4 + 3\times 4$$

再提醒同學一次，在觀察過程中，我刻意不將數字加起來，而只是列出來。

為什麼？

這是為了找規則，如果加起來反而沒有好處。

從以上例子，有發現什麼嗎？相信你已經看出來了，

原來 \(x\) 項係數就是將每個括號內的 \(x\) 項係數相加；\(x^2\) 項係數就是將每個括號內 \(x\) 項係數兩兩相乘再相加。

重新解讀第 (1) 式：

如何求出 \(x\) 項係數？

也就是這 \(8\) 個括號中，有一個括號提供 \(x\)，其他八個括號提供常數 \(1\)。

不要小看這個簡單的觀察，這可是思維進化的體現，

原來所謂的多項式乘法，就是每個括號都提供一個成員出來相乘，
接著再將每個相乘的結果相加。

因此，\(x\) 項係數就是 $$1+2+3+4+5+6+7+8 = 36$$

接著來看看 \(x^2\) 項係數：在這 \(8\) 個括號中，有兩個括號提供 \(x\)，另外六個括號提供常數 \(1\)。

因為常數 \(1\) 不影響相乘後的結果，因此主要是 \(x\) 項係數相乘，

換句話說，就是 \(1 \sim 8\) 這 \(8\) 個正整數中，任取兩個數相乘再相加。

即使要直接計算，也要有條理得列出才比較不容易出錯：
$$\begin{aligned}
&\ 1\times (2+3+4+5+6+7+8) + 2\times (3+4+5+6+7+8) + \\
&+3\times (4+5+6+7+8)+ 4\times (5+6+7+8) \\
&+ 5\times (6+7+8) + 6\times(7+8) + 7\times 8 = 546 \\
\end{aligned}$$

這麼做你是否滿意呢？

大多數學生到這邊就行了，但有少數學生會問，萬一項數增加至 \(20\) 項，
甚至 \(100\) 項，難道還是要直接計算嗎？有沒有更好的方法？

這是個好問題

換句話說，我們的方法能否推廣？

能否推廣，是判斷此方法是否是好方法的重要指標！

為了讓方法可以推廣，試著回想，到目前為止，
我們有沒有學過什麼式子是兩兩相乘再相加的？

有的，就是「三數和的平方」$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$這是個可以推廣的乘法公式，可以想成「數字和的平方＝數字平方和＋\(2\times \)(數字兩兩相乘再相加)」

也就是說，\(1\sim 8\) 這八個整數中，兩兩相乘再相加\(＝\) \(\frac{1}{2}\times\)[和的平方 \(-\) 平方的和]

將數字代入，就是要計算 $$\frac{1}{2}[(1+2+3+4+5+6+7+8)^2-(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2)]$$

其中 $$1+2+3+4+5+6+7+8 = \frac{8\times 9}{2}=36$$

$$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2 = 204$$

雖然後面連續八個整數的平方和也要計算，但似乎更方便了。

接著又有同學提問，可是如果項數很多的話，平方和的計算還是會很麻煩啊！

沒錯，事實上，這有個公式可以使用 $$1^2+2^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 至於這個公式怎麼出現的，在這裡就不再贅述了，有興趣的同學可以參考我之前整理的另一篇文章：【教學分享】高中數學延伸|平方和公式的五個推導方式|級數和|數學老師在課堂上來不及告訴你的事

在國中階段，如果要考這一題，通常項數會再少一些，讓同學可以直接計算。
如果想要挑戰思考的極限，那就增加項數，看看自己的方法能否推廣。

這篇文章就先寫到這邊。