前言：高中數學課本內容回顧

在高中數學課本第3A冊中，提到了指數函數在金融的應用，我們來複習一下。

相信同學過年領到了壓歲錢，爸媽是不會同意你全部花掉的，而是會希望你存一部份(甚至全部)到銀行。銀行常提供的利息計算方式有「單利」與「複利」兩種，什麼是單利呢？簡單來說，就是你獲得的利息每期都是固定的。而複利的意思則是，每期所獲得的利息加上本金，一起當作下一期的本金。

舉例來說，如果銀行的年利率是\(10\%\)，本金是十萬元，那麼你以單利計算的話，1年後本利和(本金＋利息)為十一萬元，2年後本利和為十二萬元，3年後本利和為十三萬元，…，\(n\)年後的本利和為 \(100000(1+10\%\times n)\)。換句話說，每一年會固定增加10000元。

而以複利計算時，1年後本利和為 \(100000\times(1+10\%)=110000\)，接著第二年初時，會以\(110000\)為本金，第二年年末時，本利和為$$110000(1+10\%)=100000(1+10\%)^2=121000$$接著第三年年初時，會以\(121000\)為本金，第三年年末時，本利和為$$121000\times(1+10\%)=100000(1+0.1)^3=133100$$依此類推，第\(n\)年後，本利和為$$100000(1+0.1)^n$$

也就是說，以單利計算，本利和隨著時間以「線性」成長；而以複利計算時，本利和隨著時間以指數成長。愛因斯坦曾說：「複利的威力勝過原子彈」。很多投資理財達人都懂得善用複利的威力，長期投資，進而達到財務自由；另一方面，信用卡的循環利率是以複利計算，所以同學們以後如果辦了信用卡，每次的帳單一定要繳清，不能只繳最低金額或不繳，避免債務成指數型擴大，一發不可收拾。

尤拉數E的出現

為了讓我們的數字形式好看，接著我們考慮一個極端的例子：

本金為 1萬元，年利率為 \(100\%\)，分成\(n\)期，則一期的利率為 \(\frac{100\%}{n}\)，本利和為 $$ (1+\frac{1}{n})^n$$

接著課本列出這個數列 \(t_n=(1+\frac{1}{n})^n\) 如何隨著 \(n\) 值變化，由數據觀察可知，當期數\(n\)愈大，則本利和愈大，而且會趨近\(2.718…\)。

問題是，我們要如何確定這個數列\(t_n\)會趨近於一個常數呢？

首先利用二項式定理來觀察：
$$
\begin{aligned}
t_n &= C^n_0+C^n_1\times\frac{1}{n}+C^n_2\times(\frac{1}{n})^2+…+C^n_n\times(\frac{1}{n})^n \\
&= 1+1+\frac{n(n-1)}{2!}\times\frac{1}{n^2}+…+\frac{n\times(n-1)…\times 1}{n!}\times\frac{1}{n^n}\\
&=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}\times(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+…+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})…(1-\frac{n-1}{n}) \\
&< 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…+\frac{1}{n!}:=s_n
\end{aligned}$$

從以上式子，我們要來檢驗一下，數列 \(s_n\) 是否收斂？

步驟1：\(數列s_n\)的斂散性

顯然數列 \(s_n\) 嚴格遞增，只要有上界就可以確定收斂了，論證如下：

$$\begin{aligned}
s_n &= 1+1+\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{1\times2\times3}+…+\frac{1}{1\times2\times3\times…\times n} \\
&\leq 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^{n-1}} \\
&= 1+\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}=3-2\cdot(\frac{1}{2})^n < 3
\end{aligned}$$

設 $$\lim_{n\to\infty}s_n := e$$

步驟2：證明 $$\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$$

因為 \(t_n < s_n\) 對於任何自然數 \(n\) 皆成立，所以 $$\lim_{n\to\infty} t_n \leq e$$

另一方面，設 \(n\geq m\)
$$\begin{aligned}
t_n &=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+…+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})…(1-\frac{n-1}{n}) \\
&\geq 1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+…+\frac{1}{m!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})…(1-\frac{m-1}{n})
\end{aligned}$$
令 \(n\to\infty\)，則 $$\lim_{n\to\infty}t_n\geq 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…+\frac{1}{m!}=s_m$$

由於上式對於任何 \(m\) 圴成立，因此 $$\lim_{n\to\infty}t_n\geq e$$

由以上論證可知，$$\lim_{n\to\infty}t_n=e$$

事實上，這個證明還沒有到完全嚴謹，因為尚未確認\(t_n\)的收斂性，不能用\(\lim_{n\to\infty}t_n\)這個符號。

比較好的寫法應該是 $$\limsup_{n\to\infty}t_n\leq e$$ 以及 $$\liminf_{n\to\infty}t_n\geq e$$關於這兩個符號我們之後再談。

e 為什麼是一個無理數？

我們在課堂上，已經證明過\(\sqrt{2}\)是無理數，證明方式是採用反證法。關於 \(e\) 是無理數的證明，我們不妨也嘗試看看。

首先我們來估計 \(e\) 與 \(s_n\) 的差：
$$\begin{aligned}
|e-s_n| &= \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\frac{1}{(n+3)!}+… \\
&= \frac{1}{(n+1)!} [1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+3)(n+2)}+…] \\
&<\frac{1}{(n+1)!} [1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^3}+…] \\
&= \frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} \\
&= \frac{1}{n!\cdot n}
\end{aligned}$$ 因此 $$0<e-s_n<\frac{1}{n!\cdot n}$$

以上的估計對於證明 \(e\) 是無理數起了很關鍵的作用。同樣從反證法開始，

假設 \(e\) 是有理數，則存在兩個整數 \(p\)、\(q\)，其中\(q\neq 0\)，使得 $$e=\frac{p}{q}$$由以上估計可知$$0<q!\cdot(e-s_q)<\frac{1}{q}$$
由以上假設可知，$$q!\cdot e \ \ 是一個整數$$

另一方面，$$q!\times s_q=q!\times (1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+…+\frac{1}{q!}) \ \ 也是一個整數 $$

因此 $$q!(e-s_q)$$ 是一個整數

然而，對於任何 \(q\geq 1\)，$$0<q!(e-s_q)<\frac{1}{q}\leq 1$$ 造成矛盾。因此，\(e\)是一個無理數。

記得我第一次看到這個證明時心情是很愉悅的，覺的數學真的太有趣了，
這個有趣並非因為實用或與生活產生的連結。

恰恰相反，數學的有趣就是與生活不用有太多連結，可以讓人進入一種純粹的世界，
進入心流狀態。對於高中數學不錯的同學，也可以從這個主題切入，大致了解大學基礎數學的面貌。

另外，高等數學與中學數學是兩回事，希望同學不要以高中數學學得不錯作為選擇數學系的依據，
不妨先自主學習，閱讀一些大學書籍或是觀看大學的開放式課程後，
再決定是否朝此方向發展，相信這會是比較保險的做法。

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