從數學的四則運算談正確的學習之道

近幾年我在完全中學任教，教了幾年的國中數學。
除了對於108課綱的內容有了比較全面的了解之外，
最大的收穫，就是能夠體察這個階段學生的想法與思考方式。

很幸運的是，我遇到了很多很優秀，性格很好的學生。
我教他們數學，他們也帶給我很多樂趣及難忘的回憶。

這篇文章，我要重回七年級的課堂，來談談數學的四則運算，
並且從內容去反思，我們的教與學，是如何呈現，
能否貼近數學的本質，是否有改善「教」與「學」的方法？

首先，關於數學教育，我想分享一段話：

數學是理性文明的產物，是一門要講道理的學問。
不論教與學，都應展現提問、思考、說理的過程。
多問幾個為什麼，是學習數學的基本精神與態度。

就我在國中課堂的觀察，不少學生學習數學有以下六個特徵：

1. 記解法：將詳解放旁邊，不會寫的題目，輕易看詳解
2. 盲目刷題：會的題目重複寫，不會的題目沒有整理；結果錯的題目，下次還是錯。
3. 訂正不確實：上進度時比較專心，檢討作業時卻漫不經心
4. 不會寫算式：只會寫選擇題與填充題，不太會寫計算題與證明題
5. 害怕是非題：只想計算，不重視觀念，無法分辨文字敘述中細微的差異。
6. 無法理解題意：題目看懂了就會寫，但就是看不懂題目。

這六個特徵，揭露了學習數學的不良習慣或是沒有培養出好的習慣。
也就是說，如果想要學好數學，就應該避免以上六個情況。

這也就是為什麼有些學生，國小、國中時數學尚可，到了高中後便倍感吃力。

因為很多學生學習數學只想學招式(記解法、作答技巧)，
而不知修習內功(建立基礎觀念、說理、提問與論證)，

應付小範圍的考試或是某個階段的課業還可以，
長時間下來，除了成績難以突破之外，也可能破壞了學習的興緻。

以上這段話很重要，但很少學生聽得進去。

只要學生願意改變，有意識得進行調整，刻意練習
相信數學能力會隨著時間的累積而逐漸提升。

另一方面，在課堂上，即使老師有心，
但也不一定有時間分享這些觀念。
因此我將其寫成部落格文章，
提供學生以及家長們閱讀參考。

多問幾個為什麼，然後試著說道理

回到七年級的課堂，關於數字的四則運算，相信學生寫過不少，
但是當我們在做這些數字的運算時，是否有想過為什麼？

$0$ 為什麼不能當除數？
為什麼負負得正？
為什麼運算時要先乘除後加減？
網路上經常討論的問題：$6÷2\times(1+2) = ?$
為什麼 $$\frac{b}{a}\times \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}？$$

關於第1個問題，舉個例子來說吧，$$6÷0=?$$

如果我們將其理解為，6個蘋果給0個人分，每個人分多少？

有學生直接回答0個。

不對呀，如果是 $0÷6$，表示0個蘋果給6個人分，每人分0個，
這沒問題。但是6個蘋果分給0個人，怎麼會是0個呢？

從運算的規則來看，$$6÷3 = 2 \longleftrightarrow 2\times 3 = 6$$ 那麼
$$6÷0=? \longleftrightarrow 0\times ? = 6$$ 沒有任何數乘以0等於6，因此這個數不存在，
也就是說，$6÷0$ 沒有意義。

按照這個觀點，那麼 $ 0÷0 $ 也沒有意義嗎？ $$0÷0=? \longleftrightarrow 0\times ? = 0$$

$0$ 乘以任何數都等於 $0$，也就是說 $0÷0$ 無法確定是多少。

因此，課堂上，我們就直接說，如果除數為 $0$ 或者一個分數的分母為 $0$ 沒有意義。
實際上，$\frac{0}{0}$ 這種情況，還有很多故事可以說。

像是到了大學微積分，有了極限的概念，一個函數取極限後，
如果出現 $\frac{0}{0}$ 的形式，我們將其稱為不定型。
接著就可以開心得使用羅必達法則，這個之後再談。

總之，我們在寫數字的除法時，記得除數不能為0，
當我們在寫分數時，分母不能為0。

反之，如果寫成分數的形式，那麼就表示分母不會是0，
這在我們使用未知數表示分數時，學生時常會提出的問題。

第2個問題：為什麼「負負得正」？

相信大家學到這一段時，一定背過這個口訣：
正正得正、正負得負、負正得負、負負得正。

那麼那什麼負負會得正呢？

不妨帶個數字來看看吧：$(-2)\times 3 = ?$
我們可以怎麼理解？

如果你每天向同學借2元，連續借了3天，會欠同學多少錢？

這個比喻大家都可以理解，「負」可以解讀為「負債」，
一天負債2元，將此負債放大為原來的3倍，就是負債6元。

也就是說 $$(-2)\times 3 = -6$$

那麼 $(-2)\times (-3)$ 會是多少呢？

因為多了一個負號，其值與$(-2)\times 3$是不相同的，
因此 $(-2)\times (-3)=6$ 是合理的。

換個解釋方式，我們知道 $-(-1)$ 表示 $-1$ 的相反數，
而 $-1$ 的相反數就是在原點的另一邊，且與 $-1$、$0$ 兩數的距離相等的數，
此數即為 $1$，因此負負得正。

或者觀察以下運算規律：
$$\begin{aligned}
(-2)\times 3 &= -6 \\
(-2)\times 2 &= -4 \\
(-2)\times 1 &=-2 \\
(-2)\times 0 &=0 \\
\end{aligned}$$
按照此規律，我們發現以上會形成公差為 $2$ 的等差數列，因此合理推測
$$\begin{aligned}
(-2)\times (-1) &= 2 \\
(-2)\times (-2) &=4
\end{aligned}$$

因此負負得正！

也可以用更嚴謹的方式來說明：

對於任何(實)數 $a$，$-a$ 表示為其相反數。因此 $a+(-a)=0$。

那麼 $-(-a)$ 表示為 $-a$ 的相反數，即
$$(-a) + [-(-a)] = 0$$

於是 $$(-a)+a=0=(-a)+[-(-a)]$$

因為 $a$ 與 $-(-a)$ 都是 $-a$ 的相反數，而任何數的相反數都是唯一的，因此
$$a=-(-a)$$

接著，將上述例子一般化，說明 $$(-a)\times (-b) = a\times b \tag{1}$$

首先，要先證明 $$a\times (-b) = (-a)\times b = -(a\times b)$$ 這在國中課堂都是輕輕帶過，但卻是可以被嚴格證明的。

由分配律可知 $$a\times b + a\times (-b) = a\times [b+(-b)]=a\times 0 = 0$$ 也就是說 $a\times (-b)$ 是 $a\times b$ 的相反數，可以記作 $a\times(-b) = -(a\times b)$

另一方面，$$a\times b + (-a)\times b = [a+(-a)]\times b = 0 \times b = 0 $$ 也就是說，$(-a)\times b$ 也是 $a\times b$ 的相反數，可以記作 $(-a)\times b = -(a\times b)$

最後，應用以上結果，回來說明第 (1) 式：$$(-a)\times (-b) = -[a\times(-b)]=-[-(a\times b)] = a \times b$$

關於負負得正，你是否還有其他解釋方式呢？

第 $3$ 個問題，為什麼運算時要先乘除後加減？

來看看前陣子在網路上吵得沸沸揚揚得一道問題：$$6÷2\times (1+2)=?$$有人說答案是 $1$，有人說答案是 $9$，吵得不可開交。

按照四則運算的規則，應當先乘除，後加減，有括號的先算。
同位階的運算(例如加與減、乘與除)，則依循「由左至右」為原則。

那麼計算結果應該是 $$6÷2\times 3 = 3\times 3 = 9$$

然而，為什麼一定非得要先乘除後加減呢，先加減後乘除行不行？

這個問題就好像，為什麼一定非得紅燈停、綠燈走。
紅燈走，綠燈停行不行？

其實也可以，但是如果不統一規定，交通必定大亂對吧。

同樣地，如果四則運算的規則不統一規定，每個人算出來的答案都不一樣，
那一定會造成極大的困擾。

那麼，我們可以進一步問，這麼規定是不是有什麼好處？

的確，如果每種規定都可以，那麼重點在於統一。
而如果有些規定會帶來比較高的便利性，
那麼我們就採用此規定。

事實上，先算乘除後算加減，這是最方便的最佳選擇！

為什麼呢？

試回想我們在剛學到未知數時，
一個蘋果 $x$ 元、一顆梨子 $y$ 元，那麼 5 顆蘋子及 7 顆梨子合計多少元？

我們會寫成 $5x+7y$ 元。

如果是先加減後乘除，是不是很難表達？

另外，我們在寫多項式時：$$f(x) = x^2 +8x -2$$
以及在以十進位系統表示數字時：$$2024 = 2\times 1000 + 2\times 10+ 4$$

從以上例子可以看出，先乘除後加減的確是比較便利的。

因此，從運算的角度來看，也可以理解為，乘除的位階高過於加減的位階。
所以當遇到乘除與加減混合時，應該先乘除後加減較佳。

你是否還能想到其他先乘除後加減的好處呢？

第 4 個問題，為什麼 $$\frac{b}{a}\times \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}？$$

在課堂上，我從來沒有仔細解釋過這個問題。

不是這個問題不重要，而是課程有進度壓力，學生有考試需求，因此必須做取捨。

所以藉著這篇文章，可以來好好解釋一下：

舉數字來說明：$$\frac{2}{3}\times \frac{6}{4}=?$$

這可以理解為
$$\begin{aligned}
\frac{2}{3}\times \frac{6}{4} &= (\frac{2}{3}\times 6 )÷4 \\
&= \frac{2\times 6}{3} ÷ 4 \\
&= \frac{2\times 6}{3\times 4}
\end{aligned}$$

其中
$$\frac{2}{3}\times 6 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}$$
因此，由分數的加法規則可知，$$\frac{2}{3}\times 6=\frac{2+2+2+2+2+2}{3}=\frac{2\times 6}{3}$$ 圖示如下：