免子算術與斐波那契數列(Fibonacci Sequence)

前言

108課綱的第二冊第1章介紹數列與級數,我們都知道,所謂的數列就是一堆數依序排成一列,級數就是將數列的每一項相加。

如果一個數列的後項減前項是一個定值,我們就稱這個數列與等差數列;如果一個數列的後項除以前項是一個非零的定值,我們就稱這個數列為等比數列。

如果將一個等差數列的每一項相加,則稱這個級數為等差級數;
如果將一個等比數列的每一項相加,則稱這個級數為等比級數。

以上是一般課堂上,老師會告訴學生的事,但這些事情其實不用老師教,看課本或是上網搜尋一下就有很多資料跑出來了。如果想對基礎知識有一些了解,可參考「數學數位教學專區-高一數學第2冊(108課綱)

因此,這篇文章,我們要多問幾個為什麼,並試著回答這些有點開放性的問題,沒有絕對的答案,當中會牽涉到一些高等數學的範疇,但主要呈現想法並省略技術細節。

為什麼要學習數列?

在課堂上,我們似乎很少去思考,為什麼要學習數列?有人說是為了將來學習極限的概念打基礎,也有人說是為了培養觀察規則的能力,以上的說法都沒有錯。

而我自己的體會則是,觀察一串數字的規律,是人與生俱來的能力,而嘗試與發現的過程是一種自然的樂趣。

然而,標準化的課程,似乎比較不容易讓學生感受到這種樂趣。

因此,這篇文章,我們要先擺脫考試的束縛,來談談一個被冠上數學家名字的有趣數列,斐波那契數列(義大利語:Successione di Fibonacci),簡稱費氏數列

何謂斐波那契數列?(又翻譯為費布納西數列)

斐波那契數列是義大利一位知名的數學家Leonard Fibonacci(西元1170~1250年左右)於西元1202年出版的《計算書》中,設計了一道有趣的算術題目,稱做「免子算術」,內容如下:

有雌雄一對的小免子。小免子長到2個月大時,如果每個月都會生下雌雄一對的小免子的話,1年後總共會有多少對小免子呢?

首先我們來釐清問題,一開始只有一對雌雄小免子,第一個月時,牠們還沒生育,因此仍然維持只有一對小免子。

到了第二個月時,這一對小免子就會生下第一對雌雄小免子。因此,此時就有了兩對雌雄小免子。

到了第三個月時,原本的第一對小免子會再生下另外一對雌雄小免子,而第一對被生下的小免子則還沒生育。此時就有了三對雌雄小免子,依此類推…。

為了讓我們可以更清楚看到之後小免子的對數,建議可以畫一張圖來觀察:

圖片來源:學校這樣教數學就好了/ 笹部貞市郎

按照這個規律,我們初步發現:

每個月免子的對數,會是前兩個月免子對數的和。

此時,我們將以上的觀察用符號來表示,並且感受一下抽象化符號的威力:

因此,我們可以得出以下的遞迴關係式

這個關係式呈現出,一開始至第一個月時,免子都只有1對。

第二個月的免子對數,是一開始的那對雌雄免再生產出另一對雌雄免,因此有兩對免子,依此類推…。

有沒有發現,這個遞迴關係式與我們在課本上學到的不太一樣。無論是等差型、等比型、累加型、累積型遞迴,都只是第n項與其前一項的關係式。而費氏數列卻是第n項與前一項及再前一項的關係式。

其實,我們以前所接觸那種遞迴關係式稱為一階遞迴關係式,而費氏數列則為二階遞迴關係式

接下來我們很自然地問了一個問題,費氏數列的一般式表示法為何?不同於等差等比數列這麼單純直接,尋找費氏數列的一般式就有不少方法:像是初等代數方法、線性代數方法、數論方法、組合方法、…

這些方法足見人們在思考這個問題時所展現的智慧。由此也可以理解,為什麼這個數列會流傳至今。

對於推導細節我就不在這篇文章上呈現,有興趣的讀者可以參考以下文章:

對於中學生,可以試試初等代數方法:將數列化為「等比型」數列來處理。

回想一下,以下的遞迴關係式要如何找出一般項?

其中用到的方法就是找出費氏數列一般項的初等代數方法(此稱為階差法)。

最後寫出費氏數列一般項如下:

這邊提醒一下,網路上的文章因為「足標」及「首項」的差異,寫出來的一般項也會有些許調整,並不會完全一樣喔。

例如:

這個一般式就放在這兒供讀者玩味,接下來我們來認識一下提出這個數列的數學家:Leonardo Fibonacci

斐波那契(Leonardo Fibonacci)是何許人也?

斐波那契是義大利知名數學家,生於西元1170年,卒於西元1250年左右。他起初並非將數學當成終身職業,只是跟隨父親做買賣時,將研究數學當做是閒暇時的娛樂活動而已。

他並不是像之後高斯、歐拉或是費馬這些世紀天才等級的數學家,但因為行事獨特,因此流傳不少關於他的故事。

他是第一個將阿拉伯數字系統引進歐洲的人,立刻大受歡迎,並且很快流傳開來,不久便取代複雜難記的羅馬數字系統。

除了前面提到的《計算書》之外,斐波那契還有許多關於級數論方程式論的書籍,這些書籍在往後的數個世紀裡,一直是歐洲數學知識的重要寶庫。

當時人們皆稱這位斐波那契為比薩(義大利的商業城市)的Leonardo,其名聲遠播四方。後來,神聖羅馬帝國皇帝腓特烈二世召他入宮覲見。

斐波那契之所會有這麼有名,還有一個原因,就是他與當時在宮廷裡任職的知名數學家喬凡尼·多美尼科·卡西尼(義大利文Giovanni Domenico Cassini,1625年6月8日-1712年9月14日)之間,時常進行御前競賽,互出題目考驗對方,再由彼此的解答來判定孰勝孰劣。

每當喬凡尼好不容易解出斐波那契的考題時,斐波那契總能立即解答喬凡尼的提問。與高手過招還能做到這個份上,讓大家欽佩不已,也難怪斐波那契在當時會如此有名。

斐波那契數列的性質與應用

「斐波那契數列」與「黃金比例」的關係

我們再回來看看費氏數列

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

你還能想到什麼呢?

德國數學家,同時也是天文學家的克卜勒考慮將數列的後項除以前項形成一個新的數列:

此時我們可以問兩個問題:

1. 這個數列是否收斂?(何謂數列收斂?)
2. 如果收斂的話其收斂值為何?

所謂數列收斂,簡單來說,就是當項數逐漸增加時,這個數列會有逼近一個數的趨勢,而當項數趨近無限大時,這個數列會趨近該數,此時我們稱這個數列是收斂的。

我們可以從一般項驗證,這個數列的確是收斂的,且其收斂值竟然是黃金比例

費氏數列中,有哪些平方數呢?

如果我們的初始值為1,很明顯地,1是一個平方數,我們多試幾次,還可以找到另一個,就是144。然而,還會有其他的嗎?這個問題提供有興趣的讀者思考,可參考:Square Fibonacci Numbers, Etc./JOHN H. E. COHN

大自然的數學密碼:Fibonacci Numbers

費氏數列的OPEN PROBLEM

費氏數列中是否存在無窮多個質數?

在費氏數列中,有質數: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169,19134702400093278081449423917…… 目前已知最大質數是第81839個斐波那契數,一共有17103位數。

然而,我們仍然不知道在費氏數列中是否存在無限多個質數。

我在課堂上時常被學生問到,數學研究要做什麼,不是都已經知道了嗎?事實上,我們仍然有很多事情是不知道的,而且當我們學得愈多,愈容易感受到自己在大自然面前的無知。

因此,學習本身永無止境,也是一種修鍊,要用一顆謙卑的心,靜心思考挖掘,才可能發現那迷人的知識寶藏。

總結

費氏數列並不是什麼新鮮的主題,我寫這篇文章的目的,是希望學生從歷史與文化的觀點來看待「數列與級數」這個單元。

因為數學本身就是一種文化,技術與工具只是文化的一部份而已,重點還是思考並且培養出對數學的感覺。

當我們可以暫時擺脫考試,才可能將思考提升一個層次,而不是停留在考試需要而已。

數學不是只有縱向深度的延伸,還有橫向故事的啟發。如果想要做縱向的探討,網路上有很多很棒的文章與資源可提供學習。但這是對於少數已經對數學有相當興趣的人才會去做的事。

然而,數學的教學,最困難的往往是一開始興趣的培養,我深信興趣才是最好的老師。做為老師不是要教學生很多知識,而是提供一點火苗,期許有一天學生遇到易燃的物質在旁邊,可以讓火自然燒起來。

參考資料

作者簡介

本文作者畢業於國立中央大學數學研究所博士班,目前為中學數學教師,已有近二十年高中數學教學經驗;在工作之餘喜愛閱讀與寫作,鑽研高等數學,曾經擔任清大數學系總助教,協助學生通過微積分、線性代數入學考試考上師大數研所。

另外也熱衷於涉獵各種領域,包括投資理財、網路行銷、親子教育、…因為興趣廣泛,因此自稱為「斜槓教師」。歡迎來到斜槓教師的教育學習網

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