前言

「組合與二項式定理」是108課綱第二冊的內容，這個定理我教了好多年，為了寫這篇文章，我重新research了一遍，再次體認到，數學真是博大精深。

對於古人的智慧，我只能用震撼兩個字形容，不得不說，數學真是一座大寶庫，蘊涵源源不絕的思想泉源。

在課堂上，我時常鼓勵學生，多問為什麼？在我能力所及，一定會設法回答學生提出的任何問題。

數學絕對是一門「說理」的學問，差別在於我們的能力能回答到什麼程度而已。

提出好的問題，其價值不亞於解決一道難題，甚至有過之而無不及。

例如我們聽過的一些猜想，像是「黎曼猜想」、「哥德巴赫猜想」，就是數學家提出來，但無法證明其是否正確且亦無法推翻的問題，流傳至今，砥礪著人們的智慧。

一旦完成證明，猜想就會變成「定理」。例如有名的「費瑪最後定理」，就是懸疑近三百年的猜想，最後由英國數學家威爾斯給出證明從而變成定理的例子。

人們對於偉大問題的重視，正如歷史對哥德巴赫猜想的形容可見一斑：

數學是科學之母，數論是數學的皇后，而哥德巴赫猜想是皇后皇冠上那一顆璀燦的明珠。

因此，這篇文章我們將以這樣的標準來介紹二項式定理，亦即，從問題出發來理解數學：這是誰發現的？為什麼會發現這個問題？這個定理有何用途？如何確定這個定理是對的？

教科書通常在同一個主題無法呈現出太多歷史脈絡，甚至非常單一地介紹一、兩位相關的數學家。

在這個系列文章，你會看到一個問題牽涉到的範圍比我們所知道的大得多。

但因為我是鎖定中學生看得懂的內容為主，目標是引起學生學習的興趣，太專業的部份僅留下連結供有興趣的讀者自行參考。

當然，不僅這篇文章，我在這個系列的每篇文章都會用這種方式來書寫。

「二項式定理」在說什麼？

首先，我們來複習一下，二項式定理的內容：

我們課本上討論的次方n為非負整數，每一項的係數皆為我們所熟悉的組合符號。這個係數很特別，可用來表示「巴斯卡三角形」(或稱為「楊輝三角」)。

「二項式定理」是誰發現的？

一般認為是牛頓於西元1664年~1665年提出，因此又稱為「牛頓二項式定理」。上面提到二項式定理的係數可用來表示「巴斯卡三角形」。

那麼我們來看看牛頓與巴斯卡所處的時代，來理清事情的先後順序。牛頓生於西元1642年12月25日，卒於西元1727年3月20日，活了85歲，相當長壽。

而巴斯卡生於西元1623年，卒於西元1662年，僅活到39歲。

我們可以發現，巴斯卡年紀比牛頓大了19歲，當牛頓提出了二項式定理時，巴斯卡已經逝世1~2年了。

換句話說，巴斯卡當時還沒有二項式定理。那麼他是如何發現巴斯卡三角形的呢？

這個問題提供讀者思考，有興趣可參考以上連結。

為何牛頓會發現二項式定理？

為了不超出中學生的負荷，我們的教科書已盡量簡化，目的是讓學生容易上手，但魚與熊掌不可兼得，這樣做致使我們看不見問題發現真正的動機。

有趣的是，為了讓學生有學習動機，我們的教科書便開始試著將數學生活化，與學生的經驗產生聯結等方式來引發學習興趣。

這樣做是善意的，但因此喜歡上數學的學生恐怕會產生一些誤會，這也就是為什麼很多人中學數學學得不錯，選擇唸了數學系後發現完全不是同一回事。

回想我們在學習二項式定理時，老師是怎麼教的？

沒錯，就是告訴我們展開的方法，如何從代數或組合觀點將兩變數之和的n次方展開。

但為什麼我們沒事要去將兩變數之和的n次方展開呢？教科書上的編排無法陳述這件事情，因此我去做了資料搜索，發現，

真正的原因是，當初牛頓為了計算圓周率，寫出了下列積分式：

牛頓遇到真正的問題是，如何以無窮級數來表示以下式子：$$(1-x^2)^{\frac{1}{2}}$$

牛頓在解決這個問題時，寫出展開式的樣貌如下：

此時，我們也可以先打住了。

雖然學生看了一些陌生的符號，但他心中至少知道，其實他學習的內容只是牛頓當初遇到的問題中的一個簡單的特例：即指數是正整數的情況。

換句話說，牛頓考慮的是廣義的二項式定理，即指數n是「分數」或「負數」的情形，但他並沒有給出證明。

一直到1811年才由德國數學家高斯證明。

接著我們就可以開始進行教科書上的教學。

我們的數學課最大的問題是，學生在看到問題的同時沒有多久也獲得了解答，懂了之後開始進行一連串的相關練習，其實他們的心靈沒什麼事情可以做。

因此，我認為老師有責任，把問題再埋入學生的心中。心中總是有疑問，保有好奇心與對知識的渴望與尊敬，才是學習數學時應該有的態度。

牛頓以二項式定理為基石發明了微積分

我們現在「新冠病毒」全球大流行造成很多國家停班停課。

但你知道嗎，在西元1665~1666年，黑死病大流行，學校停課，牛頓回到自己的家鄉專心研究光學和數學。

牛頓在這兩年間領悟到被後世稱為牛頓3大偉業：光譜分析；萬有引力定律；微積分的開端。

牛頓在這之前，發現了二項式定理，並在停課期間以此定理為基礎發明了微積分。

關於微積分的發明者，在歷史上有過爭端，因為和牛頓同一年代的德國數學家萊布尼茲(西元1646~1716年)也在這個時候發表了微積分計算法。

因此近年來，英國人說牛頓是微積分的創始者，而德國人也說萊布尼茲才是微積分的發明者，兩國各說各話吵得不可開交。

微積分這個大發現竟然會經由英德兩國人之手，不約而同出現在世人眼前，真是學術界的一大奇蹟。

至此為止，高中程度的二項式定理就差不多介紹完了。

接下來是比較專門的部份，提供有興趣的同學參考。

二項式定理有什麼用？

簡化開方根的計算

牛頓寫下的二項式定理後，提及此定理可以簡化開方根的計算。

例如，如何計算根號8的值？

首先，將根號8改寫：

此時可以對應到牛頓寫下式子中符號所代表的數字如下：

計算等號右邊的係數：

因此可得

因此，二項式定理的實際用途之一就是在計算根號時，可以使用上一個步驟的結果，讓計算量減少。

這篇文章就先介紹到這邊，相信對於引起中學生的學習動機已經足夠，若想更深入了解這個主題，可參考維基百科。

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相關閱讀：「如何學好高中數學？破除學習迷思，建立正確觀念」

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參考文章與書籍

• 牛頓的二項式定理 (上)
• 學校這樣教數學就好了/小學學歷的數學大師 世部貞市郎/著