輕鬆談如何教學二項式定理?

前言

「組合與二項式定理」是108課綱第二冊的內容,這個定理我教了好多年,為了寫這篇文章,我重新research了一遍,再次體認到,當知道得愈多,愈能辨識到自己的無知。

對於古人的智慧,我只能用震撼兩個字形容,不得不說,數學真是一座大寶庫,蘊涵源源不絕的思想泉源。

在課堂上,我時常鼓勵學生,多問為什麼?在我能力所及,一定會設法回答學生提出的任何問題。

數學絕對是一門「說理」的學問,差別在於我們的能力能回答到什麼程度而已。

提出好的問題,其價值不亞於解決一道難題,甚至有過之而無不及。

例如我們聽過的一些猜想,像是「黎曼猜想」、「哥德巴赫猜想」,就是數學家提出來,但無法證明其是否正確且亦無法推翻的問題,流傳至今,砥礪著人們的智慧。

一旦完成證明,猜想就會變成「定理」。例如有名的「費瑪最後定理」,就是懸疑近三百年的猜想,最後由英國數學家威爾斯給出證明從而變成定理的例子。

人們對於偉大問題的重視,正如歷史對哥德巴赫猜想的形容可見一斑:

數學是科學之母,數論是數學的皇后,而哥德巴赫猜想是皇后皇冠上那一顆璀燦的明珠。

因此,這篇文章我們將以這樣的標準來介紹二項式定理,亦即,從問題出發來理解數學:這是誰發現的?為什麼會發現這個問題?這個定理有何用途?如何確定這個定理是對的?

教科書通常在同一個主題無法呈現出太多歷史脈絡,甚至非常單一地介紹一、兩位相關的數學家。

在這個系列文章,你會看到一個問題牽涉到的範圍比我們所知道的大得多。

但因為我是鎖定中學生看得懂的內容為主,目標是引起學生學習的興趣,太專業的部份僅留下連結供有興趣的讀者自行參考。

當然,不僅這篇文章,我在這個系列的每篇文章都會用這種方式來書寫。

「二項式定理」在說什麼?

首先,我們來複習一下,二項式定理的內容:

我們課本上討論的次方n為非負整數,每一項的係數皆為我們所熟悉的組合符號。這個係數很特別,可用來表示「巴斯卡三角形」(或稱為「楊輝三角」)。

「二項式定理」是誰發現的?

一般認為是牛頓於西元1664年~1665年提出,因此又稱為「牛頓二項式定理」。上面提到二項式定理的係數可用來表示「巴斯卡三角形」。

那麼我們來看看牛頓與巴斯卡所處的時代,來理清事情的先後順序。牛頓生於西元1642年12月25日,卒於西元1727年3月20日,活了85歲,相當長壽。

而巴斯卡生於西元1623年,卒於西元1662年,僅活到39歲。

我們可以發現,巴斯卡年紀比牛頓大了19歲,當牛頓提出了二項式定理時,巴斯卡已經逝世1~2年了。

換句話說,巴斯卡當時還沒有二項式定理。那麼他是如何發現巴斯卡三角形的呢?

這個問題提供讀者思考,有興趣可參考以上連結。

為何牛頓會發現二項式定理?

為了不超出中學生的負荷,我們的教科書已盡量簡化,目的是讓學生容易上手,但魚與熊掌不可兼得,這樣做致使我們看不見問題發現真正的動機。

有趣的是,為了讓學生有學習動機,我們的教科書便開始試著將數學生活化,與學生的經驗產生聯結等方式來引發學習興趣。

這樣做是善意的,但因此喜歡上數學的學生恐怕會產生一些誤會,這也就是為什麼很多人中學數學學得不錯,選擇唸了數學系後發現完全不是同一回事。

回想我們在學習二項式定理時,老師是怎麼教的?

擷取自龍騰版課本

沒錯,就是告訴我們展開的方法,如何從代數或組合觀點將兩變數之和的n次方展開。

但為什麼我們沒事要去將兩變數之和的n次方展開呢?教科書上的編排無法陳述這件事情,因此我去做了資料搜索,發現,

真正的原因是,當初牛頓為了計算圓周率,寫出了下列積分式:

牛頓遇到真正的問題是,如何以無窮級數來表示以下式子:

牛頓在解決這個問題時,寫出展開式的樣貌如下:

此時,我們也可以先打住了。

雖然學生看了一些陌生的符號,但他心中至少知道,其實他學習的內容只是牛頓當初遇到的問題中的一個簡單的特例:即指數是正整數的情況。

換句話說,牛頓考慮的是廣義的二項式定理,即指數n是「分數」或「負數」的情形,但他並沒有給出證明。

一直到1811年才由德國數學家高斯證明。

接著我們就可以開始進行教科書上的教學。

我們的數學課最大的問題是,學生在看到問題的同時沒有多久也獲得了解答,懂了之後開始進行一連串的相關練習,其實他們的心靈沒什麼事情可以做。

因此,我認為老師有責任,把問題再埋入學生的心中。心中總是有疑問,保有好奇心與對知識的渴望與尊敬,才是學習數學時應該有的態度。

牛頓以二項式定理為基石發明了微積分

我們現在「新冠病毒」全球大流行造成很多國家停班停課。

但你知道嗎,在西元1665~1666年,黑死病大流行,學校停課,牛頓回到自己的家鄉專心研究光學和數學。

牛頓在這兩年間領悟到被後世稱為牛頓3大偉業:光譜分析萬有引力定律微積分的開端

牛頓在這之前,發現了二項式定理,並在停課期間以此定理為基礎發明了微積分。

關於微積分的發明者,在歷史上有過爭端,因為和牛頓同一年代的德國數學家萊布尼茲(西元1646~1716年)也在這個時候發表了微積分計算法。

因此近年來,英國人說牛頓是微積分的創始者,而德國人也說萊布尼茲才是微積分的發明者,兩國各說各話吵得不可開交。

微積分這個大發現竟然會經由英德兩國人之手,不約而同出現在世人眼前,真是學術界的一大奇蹟。

至此為止,高中程度的二項式定理就差不多介紹完了。

接下來是比較專門的部份,提供有興趣的同學參考。

二項式定理有什麼用?

簡化開方根的計算

牛頓寫下的二項式定理後,提及此定理可以簡化開方根的計算。

例如,如何計算根號8的值?

首先,將根號8改寫:

此時可以對應到牛頓寫下式子中符號所代表的數字如下:

計算等號右邊的係數:

因此可得

因此,二項式定理的實際用途之一就是在計算根號時,可以使用上一個步驟的結果,讓計算量減少。

這篇文章就先介紹到這邊,相信對於引起中學生的學習動機已經足夠,若想更深入了解這個主題,可參考維基百科

不知這樣文章的呈現方式對你是否有幫助,若希望收到此類文章,可加入以下電子報,若有新文章會寄信通知囉。

更多文章盡在「如何學好高中數學?破除學習迷思,建立正確觀念

若你有任何想法,也歡迎在底下留言,或是寫e-mail給我討論。

參考文章與書籍

在〈“輕鬆談如何教學二項式定理?”〉中有 3 則留言

發佈留言

發佈留言必須填寫的電子郵件地址不會公開。 必填欄位標示為 *

這個網站採用 Akismet 服務減少垃圾留言。進一步瞭解 Akismet 如何處理網站訪客的留言資料