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前言

在高中數學第二冊中提到了幾個級數和公式,當中「平方和」公式是相當有意思的,其等式如下:$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

課本僅以數學歸納法證明此等式成立,接著便將此公式應用在級數和的計算上。然而,數學歸納法必須在知道此等式的情況下,再去驗證其正確性,並無法讓我們體會到平方和\(1^2+2^2+…+n^2\) 與等號右式 \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) 的關聯性。

因此,這一篇文章,我將介紹五種推導方式,讓讀者能看到從等號左式推至等號右式的過程。這樣的過程,讓我們更能體會到數學的內涵以及寫下這個證明的原創者難能可貴的創意。

五種證明方法

方法 1:正立方體的計數

首先,我們將 \(1^2+2^2+…+n^2\) 個正立方體排列如下:

第1層有 1 個正立方體,第 2 層有 \(2^2\) 個正立方體,第 3 層有 \(3^2\) 個正立方體,…,第 \(n\) 層有 \(n^2\) 個正立方體。我們將這 \(n\) 層的正立方體加起來即為等號左式。

接著換另一個計算正立方體數量的方式:如下圖所示,將所有與 1號位置同一行的正立方體相加,其個數有 \(1\times n\) 個。

如下圖所示,將所有與2、3、4號位置同一行的正立方體相加,其個數有 \(3 \times (n-1)\) 個。

依照此規則,可以計算出正立方體個數為
$$1\cdot n + 3\cdot (n-1) + 5\cdot (n-2) + 7\cdot (n-3) + … (2n-1) \cdot 1$$可將以上式子以 \(\sum\) 符號表示如下:$$\sum_{k=1}^n(2k-1)(n-k+1)$$ 將以上式子拆解成三項:$$-2\sum_{k=1}^n k^2+\sum_{k=1}^n (2n+3)k-\sum_{k=1}^n (n+1)$$ 接著將式子合併整理:
$$\begin{aligned}
3\sum_{k=1}^n k^2&= \sum_{k=1}^n (2n+3)k -\sum_{k=1}^n (n+1) \\
&= (2n+3)\cdot\frac{n(n+1)}{2}-n(n+1) \\
&=n(n+1)(n+\frac{1}{2})
\end{aligned}$$ 最後將等號兩邊同時除以 3 即為所求。

方法2:正方形的計數

如下圖,我們可以先將正方形以下列方式排列:

依此規則排列,由左而右依序是邊長為1至 \(n\) 的正方形,構成一個大的長方形。這個長方形的面積為 $$n\times (1+2+3…+n)$$

接著再換個計數方式,我們先將這 \(n\) 個正方形面積相加:\(\sum_{k=1}^n k^2\)

然後再加剩下的部份:\([1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+(n-1))]\),此式子可以表示為 $$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k(k+1)}{2}$$

將以上兩種計算長方形面積的方式合併成一個等式來看:

$$
\begin{aligned}
n\cdot\sum_{k=1}^n k= \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{k(k+1)}{2}
\end{aligned}
$$

移項整理
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n k^2 &= n\cdot\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k(k+1)}{2} \\
&= \frac{n^2(n+1)}{2} – \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^n k^2- n^2) – \frac{1}{2}\cdot\frac{n(n-1)}{2}
\end{aligned}$$

將 \(\sum_{k=1}^n k^2\) 整理至等號左邊,其它項再化簡合併放在等號右邊:

$$\frac{3}{2}\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} $$

最後等號兩邊同時乘以 \(\frac{2}{3}\) 即為所求。

方法3:三角形計數法

首先,將 \(\sum_{k=1}^n k^2\) 以下列方式排序:

接著,將此三角形逆時針旋轉 \(120^{\circ}\) 後,排列方式如下:

再逆時針旋轉 \(120^{\circ}\),排列方式如下:

我們可以觀察到:
第一個三角形,數字朝左下方向會\(+1\),往右下方向亦會\(+1\);
第二個三角形,數字朝左下方向 \(+0\),往右下方向 \(-1\);
第三個三角形,數字朝左下方向 \(-1\),往右下方向 \(+0\)。

也就是說,每個對應位置相加的總和不變,皆為 \(2n+1\),示意圖如下:

將三個三角形的數字和相加,可得以下等號:

$$\begin{aligned}
3\sum_{k=1}^n k^2 &= (2n+1)(1+2+3+…+n) \\
&= (2n+1)\frac{n(n+1)}{2}
\end{aligned}$$

將上式除以3後即可得出級數平方和公式。

方法4:代數計算

步驟1:推導等式 $$\sum_{k=1}^n k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

首先觀察 $$ k(k+1)=\frac{1}{3}\cdot (k\cdot (k+1)\cdot (k+2)-(k-1)\cdot k \cdot (k+1)) $$

接著代入 \(k\) 值 =\(1, 2, 3, …, n\)
$$\begin{aligned}
1\cdot 2 &= \frac{1}{3}\cdot1\cdot2\cdot3 \\
2\cdot 3 &= \frac{1}{3}(\cdot2\cdot3\cdot4-\cdot1\cdot2\cdot3 )\\
3\cdot 4 &= \frac{1}{3}(\cdot3\cdot4\cdot5-\cdot2\cdot3\cdot4 ) \\
&… \\
&… \\
n\cdot (n+1) &= \frac{1}{3}[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)] \\
\end{aligned}$$

將以上 \(n\) 個式子相加即可得
$$\sum_{k=1}^n k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

步驟2:利用步驟1推導 \(\sum_{k=1}^n k^2 = ?\)

$$\sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} $$

將上式中的 \(\sum_{k=1}^n k\) 移項至等號右側可得
$$\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n k^2 &= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2} \\
&= \frac{n(n+1)}{6}(2n+4-3) \\
&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{aligned}$$

方法5:組合證法

設 $$k^2=aC^k_1+bC^k_2$$

其中 \(C^k_1=k, C^k_2=\frac{k(k-1)}{2}\)。

比較等號兩邊 \(k、k^2、常數項\) 的係數可得 \(a=1, b=2\)

因此,
$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k^2 &= 1+\sum_{k=2}^n (C^k_1+2C^k_2) \\
&= 1+\sum_{k=2}^n(C^k_1+C^k_2)+C^k_2 \\
&= 1+\sum_{k=2}^n(C^{k+1}_2+C^k_2) \\
&= 1+C^2_2+2(C^3_2+C^4_2+…+C^n_2)+C^{n+1}_2 \\
&=2(C^3_3+C^3_2+C^4_2+…+C^n_2) + C^{n+1}_2 \\
&= 2C^{n+1}_3+C^{n+1}_2 \\
&=2\cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}+\frac{(n+1)n}{2} \\
&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{aligned}$$ 得證!