2021 年 6 月 13 日

110年國中教育會考 「數學科試題賞析」、「高中數學銜接」與「線上學習方法」

前言

各位國三的同學大家好,今年的會考,已經在全國戰戰兢兢地防疫之下圓滿落幕。我寫這篇文章的時間是2021年5月19日,今天是全國各級學校及公私立幼兒園停止到校上課的第一天,預計至5月28日(五)止。這段時間,學生們實行居家遠端學習不到校,老師們也為了線上教學做準備。

原訂國三同學於會考結束後的課程安排,因為疫情大多改為自主學習。同學們這段時間,打算如何安排自己的生活呢?現在疫情期間,建議還是盡量減少外出為佳。因此,我將針對在家學習的部份與同學分享,包括要學什麼?有哪些資源?以及如何線上學習?

國三生在家自學學什麼?

剛考完,放鬆不可少,追劇打電玩睡到自然醒都沒有什麼問題,畢竟休息是為了走更長遠的路。但是時間很多,再有趣的事情做久了難免都會感到疲乏且無聊。然而,有質量的學習不會,而且會讓人感到充實且愉快。因此,每天撥出一些時間學習新知,相信會對身心較為有益。

第一步:檢討會考試題

剛考完,那麼我們就先從檢討考卷開始吧。現在網路上已經有不少出版社、老師、補教業者出的詳解,只要同學們Google關鍵字:110年國中教育會考「110年國中教育會考數學詳解」就能找到相關資訊。因此,我會以賞析的角度出發,跟同學們聊聊這份考題與未來高中數學學習的關聯。

試題與解答

今年的考題與解答請點選以下連結下載:

試題賞析

題目設計1~10題為基礎題,相信大多數學生都沒什麼問題。
因此,我們就從第11題開始聊起吧,有些題目比較簡單我們就聊點相關的。

第11題 機率

這一題是整份考卷唯一的機率題。國中的機率問題著重直覺,因此通常不太須要計算,如果要的話計算量也不大。這一題是屬於不須要動筆計算的那一類。你看出答案了嗎?

然而機率這個主題在高中是份量極重的單元,是每年學測與指考的必考單元。不少優秀的學生在高一上學期還可以應付,到了高一下學期迫不得已必須開始補習或找家教就是因為遇到了排列組合與機率。

有一個有趣的現象是,有些數學能力看似平平的同學,遇到排列組合與機率卻彷彿如魚得水。而有另一些原本數學成績不錯的同學,遇到這個單元卻反而吃力。為什麼會這樣呢?

我想,原因是思維方式的差異所造成的。一般我們學的多項式、指數函數,都是連續的概念。而中學遇到的機率、排列組合的問題都是離散的,同樣是數學,但思考方式卻不太一樣。大學有一門課叫做微積分,便是比較偏重在連續的概念;而另一門課叫做離散數學,就是比較著重在離散的概念。

第12題 一元一次不等式

現在的題目字數都不少,要耐心閱讀。

  1. 美美一次購買5盒餅乾,拿到3張摸彩卷,那麼她可能花了多少錢呢?
  2. 小儀一次購買5盒餅乾與1個蛋糕拿到4張摸彩券,那麼她可能花了多少錢呢?
  3. 由1、2可列出兩個不等式,取兩個不等式重疊之處(集合用語:交集)即可得出答案。

第13題 等差數列

這一題是等差數列的基本題,第21項是第20項及第22項的等差中項,故可得第21項為0,因此C、D兩個選項可以直接刪除。主要看第22項是正的或負的即可。

因為第21項是0且首項是一個正數,因此可知公差為負數。既然公差是負的,第21項又是0,那麼第22項就是負的囉。答案選B。

等差數列也是高中數學的內容,就在高一下學期「數列及遞迴關係式」那個單元。高中會再介紹等比數列、等比級數、遞迴關係式及數學歸納法。

另外,我們一直到高三下學期之前,遇到的數列都是有限的數列。高三下學期開始學微積分時,就會開始介紹無窮數列。數列一旦牽涉到無限的概念就會有收斂與發散的問題。那麼我們很自然就會問,如何判斷一個無窮數列或級數收斂或發散?一旦收斂要如何求出其極限值?這部份就會進入到大一微積分的內容囉。

換句話說,國中提到數列只是蜻蜓點水,讓同學先有個大概的認識而已。

第14題 絕對值大小的觀察

這也是觀念題,觀察一下,不用真的計算,就可以看出答案了。如果你還是看不出來,給個提示,正數加正數會愈大,其絕對值愈大;另一方面,負數加負數會愈小,加了絕對值後愈大。有想法了嗎?

第15題 全等三角形

這一題開始有點難度囉,請朝著以下幾點想想:

  • 你能否看出來三角形ECF是頂角為30度的等腰三角形呢?
  • 試著比較線段CE與CD的長度,你能否看出來線段CE長大於線段CD長?
    一旦確定此兩線段長短,就可以比較出來線段AE與線段FC的長短囉!

好吧,這一題比較麻煩一點,想過之後還是不知道怎麼做就看以下的解析吧!

附帶一提,全等及相似三角形的題目上了高中就比較少了。我認為國二下學期、國三上學期的幾何單元是相對不那麼簡單的部份。

第16題 一元一次方程式

又是一題要耐著性子看完的題目,我們來想想看吧。

  • 要設什麼為未知數?不妨先設一個未知數來表示兩種飯團的價錢,當然你如果想設兩個未知數也行。
  • 如何列式?買兩組套餐的價格為78元,買兩個飯團的價格用未知數寫出來再加30會等於78。
  • 我們算出兩個飯團的價格後,再來看看買「兩個飯團搭1瓶飲料」與只買「兩個飯團」的價差,記得一個飯團搭配一瓶飲料是有優惠的。
  • 想過後看看以下的解析喔!

第17題 圓與梯形

幾何問題通常會較有挑戰性一些,因為要決定先畫哪一條輔助線。這一題的做法不只一種,可以試試以下方法:

  • 將A、C兩點相連,並且假設CD與圓相交於E,再將AE相連。
  • 此時角ACD(AE弧的圓周角)=角DAE (AE弧的弦切角)
  • 在三角形ACE中,角EAC=58度-角DCA
  • 因為AD與BC平行,所以角DAB=180度-58度=122度
  • 角BAC=122度-(58度-角DCA)-角DCA=64度
  • 最後,BC弧=2×角BAC=128度

還有什麼方法呢?留給你想吧!

第18題 二次函數

這一題也是概念性的問題,試想想是什麼因素決定二次函數圖形的size?平方項係數?一次方項係數?常數項?

答案是:平方項係數。

只要二次函數的平方項係數相等,那麼它們的開口方向一樣且開口大小相等,就可以經由平移致使兩圖形重合。

二次函數也是高中數學的內容,上了高中還會再複習一次,並且加上二次不等式的解法。

第19題 線對稱圖形

這一題簡單,看到線對稱圖形你會想到什麼呢?

  • 對稱角相等:角C=角FDE=角BDE=40度;角B=角DFE=角CFE
  • 對稱線段等長 (用不到)

再利用四邊形BCFD的內角和為360度就可以得出角DFE囉!

第20題 二元一次式

不妨畫個表格,將甲、乙兩個營業據點放在一欄;將出租與歸還放在一列,然後設未知數。我認為設兩個未知數會比較方便。詳情請見以下解析:

第21題 四邊形

  • 我們知道四邊形的外角和為360度,因此選項(C)(D)可直接刪去。
  • 另外,角1+角3=360度-角2-(180度-角D)
  • 因此,角1+角3=180度-角2+角D=180度-(180度-角ABC)+角D=角ABC+角D

由以上討論,答案呼之欲出,選A。

第22題 因數與倍數

這是整數論的問題,整數論是純數學的一個古老分支,既深刻又有趣。數論有許多著名的問題,例如費馬最後定理哥德巴赫猜想黎曼猜想、…。另外,整數論與密碼學也息息相關喔。現在中學數學整數論的內容愈來愈少實在可惜。

言歸正傳,這一題要怎麼做呢?注意每個質數的次方,既然要找最大公因數,我們就要確保可以取到質數次方中比較小的那一個。因為8是2的3次方,試想想,2的5次方可以寫成2的3次方乘以2的2次方,那麼我們在求最大公因數時,會取到2的2次方,而不會取到2的3次方,因此8絕對不可能是a、b的最大公因數。

第23題 平行

我們逐步來分析這個問題吧:

  • 菱形ABCD四邊等長,同時它也是平行四邊形,因此四邊形AECH亦為平行四邊形,線段CE=線段AH=8
  • 線段AD=17=線段CD
  • 線段DF:線段CF=線段DG:線段GF=4:5,由此可算出線段DF與線段CF的長度。
  • 線段BE=線段BC-線段CE

由以上討論即可得出線段CF、線段FD、線段BE、線段EC的長度囉!

第24題 二元一次聯立方程式

這一題的字也非常多,須耐心閱讀,瞭解題意。

  1. 印表機甲印15分鐘的量與印表機乙印10分鐘的量是相同的。
  2. 由第1點可知,甲印表機的列印速度是乙印表機的三分之二倍。
  3. 印表機甲印45分鐘的量+印表機乙印40分鐘的量=2100
  4. 由2、3兩點可以算出甲、乙兩印表機的列印速度
  5. 最後,將2100除以(印表機甲的速度+印表機乙的速度)便可得出時間。

第25題 作圖判斷題

作圖判斷題很常出現,這是在不讓學生自己尺規作圖的情況下設計出來的考題。這一題是容易的。

關於(甲)的作圖法

  • 角APC=180度-2×角CAD;角ADB=180度-2×角BAD
  • 因為角CAD=角BAD(題目條件),所以角APC=角ADB,此P點即為所求。

關於乙的作圖法

  • 由作圖過程可知,線段CP長=線段CD長,即三角形CDP為等腰三角形,此時角CDP=角CPD
  • 角APC=180度-角CPD = 180度-角CDP=角ADB,此P點即為所求。

因此,甲、乙兩者的作法皆正確。

第26題 內心

I是內心,將AI連起來試試。

  1. 三角形ADE是等腰三角形,且已知三邊長,可以輕易算出三角形ADE的面積。
  2. 因為I是內心,因此I至線段AD的距離=I至線段AE的距離=I至線段BC的距離。
  3. 三角形ADE的面積=三角形IAD的面積+三角形IAE的面積,進而求出I至線段AD的距離。
  4. 由2、3點可得I至線段BC的距離。

非選題第一題:不等式

這一題剛好佔了一整頁。題目很簡單,就是要先看懂題意。

第(1)題,碳足跡數據標示為38公克,因此其碳排放量必須介於37及39公克之間。

第(2)題,承第(1)題,碳排放量介於37×0.9及39×0.9公克之間,即33.3公克~35.1公克,在這個範圍內的碳足跡數據可能為34、36

非選題第二題:

我們來分析這一題素養題:

  1. 橫切2刀,可以切成3塊;縱切3刀,可以切成4塊;合計5刀切成3×4=12塊。
  2. 所有側面都不焦脆的小塊蛋糕共有(3-1)×(2-1)=2,也就是說,切了3刀,中間只會有兩塊;切了2刀,中間只會有一塊,這是不會碰到側面的部份。
  3. 第(1)題,切了4刀可能怎麼切?如果橫切0刀,縱切4刀,則可切出5個小蛋糕;如果橫切1刀,縱切3刀,則可切出8個小蛋糕;如果橫切2刀,縱切2刀,則可切出9個小蛋糕;如果橫切3刀,縱切1刀,則可切出8個小蛋糕;如果橫切4刀,縱切0刀,則可切出5個小蛋糕。以上只要寫出一種就得分囉!
  4. 假設橫切m刀,縱切n刀,那麼m+n不超過20,而且所有側面都不焦脆的小塊蛋糕共有(m-1)×(n-1)=60個。
  5. 由第4點,我們可以畫個表格,得出數對(m,n)可能的情況為(6,13)、(7,11)、(11,7)、(13,6)。因此需要切19刀或18刀才可以達成需求。

好了,今年會考試題的賞析就到這裡囉,接下來我們來聊聊第二步:閱讀。

第二步:閱讀

做了會考題之後,你會發現,字非常多!因為108課綱對於素養的引進,題目必須以情境包裝,當然用字量就會增多。我遇過為數不少的學生,有理解題意的障礙。每次在班上舉行平時考,這些學生就會舉手問題目的意思,其他學生就會直接回他說,題意很清楚了為什麼要問,為了公平起見,老師不應該回答這樣的問題。

相關閱讀:孩子的詞彙量,就像「漁網」,詞彙愈多、漁網愈密;在課堂上就能撈住愈多知識

因此,強化自己的閱讀理解能力是有必要的。甚至可以說,閱讀能力會直接影響到數理能力。學生平時在學校課業繁重,坦白說並不會有太多時間讀一些好的課外書。

洪蘭教授曾經舉了一個比喻,我覺得不錯。她說,「教科書就像知識的骨架,課外書則像是血肉。」一般來說,我們比較不容易對教科書感到興趣,但對於課外書就不一樣了。

然而,我們應該挑選怎麼樣的書呢?我推薦幾本給同學們參考吧。

好書推薦

市面上的科普書非常多,隨便抓都一大把。我僅介紹五本,適合現階段的同學閱讀。

怎樣解題/波利亞  

這本書的英文版初版序寫於1944年,第二版寫於1956年,是一本有點歷史的經典之作,長銷超過半個世紀,並譯成23種語言。數學書能如此暢銷實在少見。很多學生學習數學的觀念、態度不正確,只學表面,不知內涵。這本書就是要彌補這部份的不足,不只教我們解題,也教我們如何思考與分析。

費瑪最後定理/賽門.辛(Simon Singh)

這本書在柏克萊的評價很好,可惜已經絕版了。建議可以到圖書館找來看喔。

費瑪最後定理是歷史上著名的難題,困擾著數學家三百多年。最後由英國數學家安德魯·約翰·懷爾斯於西元1994年給出證明,因此獲得2016年的阿貝爾獎

為什麼我會想推薦這本書?因為我認為,從問題出發認識數學是最自然的方式。數學家不會無緣無故發展出一堆工具,每個工具的產生都是為了解答問題。

我們可以從「費瑪最後定理」為中心,認識到一段歷史。但這本書要闡述的重點不僅是歷史,而是人類心靈的挑戰、探險與激盪;它同時觸及了完美、輝煌與陶醉。

數學也可以這樣學/約翰.布雷克伍德

你能體會數學的美嗎?

這本書結合了「數學概念」與「自然觀察」,讓我們學習的過程中,能夠探索、啟發與應用,甚至變成一項重要的生活技能,不再只是生硬的運算與重複的演練。

書裡放置了大量圖片與作品,引導讀者認識大自然、空間以及時間裡的數學。這種舖陳方式是我們在學校正規課程中很難做到的,不妨從閱讀中去體會。

數學的發現趣談/蔡聰明

雖然教書這麼多年,但我仍然從這本書得到不小的收穫。作者是台大數學系蔡聰明教授。書中一開始,闡述的一段話與我的教育理念不謀而合:

數學是理性文明的結晶,是一門講述道理的學問。不論是教與學,都應展現從問題出發的思索、討論、說理之過程,在目前的教育體制下,這些過程往往是缺乏或不足的。許多學生學習數學很快就被迫走上「背記」之途,弄壞求知的胃口,實在令人痛苦。

我很重視數學觀念的建立,那遠比做一大堆題目還要來得重要。但請不要誤會,我不是說做題目不重要,而是有先後順序的差別。我們先有了堅實的觀念,那麼做數學就像玩遊戲一樣,每一道題都是一個趣味。另一方面,如果我們觀念似是而非,做每一道題則像是背誦,很難令人感到有趣。

文化脈絡中的數學單維彰

單維彰老師是中央大學的副教授,這本書產出於作者在中央大學開設的同名通識課程:「文化脈絡中的數學」。我曾經擔任該課程的助教,協助批改學生的作業。如今,我即將在高中端開設多元選修課程,就想到這門課,上網搜尋才得知老師已經將這門課整理出書了。

另一方面,單老師也是數學領域課程綱要高中組召集人。因此從這本書切入高中數學的學習,是一個特別的方式。但就如我前面所說的,我重視觀念的形塑,因此從課綱制定者的文字,也許不一定對於技術層面有直接幫助,但於建構學習的思維與習慣,相信能起到一定的作用。

第三步:預習高中數學

銜接課程

高中數學的難度與廣度比起國中數學高出許多。我有遇過為數不少的學生,國中時還游刃有餘,上了高中後卻倍感艱辛,判若兩人。當然,也有不少優秀的學生,上了高中依然優秀。我想,關鍵因素應該在於學習習慣的差異。這種差異,面對國中數學還沒有表現出來,但上了高中差距就此拉開。

教學多年,我深知觀念調整會比一開始建立正確的觀念不容易。

為此,我特別寫了一系列文章,標題是:如何學好高中數學?破除學習迷思,建立正確觀念

我認為,在進入高中課程之前,先建立學習的觀念可以讓往後的學習事半功倍。這絕對會比進入課程再自己摸索有效率得多。

另一方面,由於國中與高中課程本身有一段落差,所以可以利用暑假做一遍銜接教材,慢慢適應高中數學的難度。當然這不是必要的,也有不少同學直接進入高一課程不會有什麼大問題。

關於高一數學的學習可以參考以下頁面:高一數學第1冊(108課綱)

另外,也歡迎訂閱高中數學學習資源電子報,若有什麼資訊我會寄e-mail給你參考。

第四步:想想你有什麼興趣、你擅長什麼、你能提供什麼價值?

想這三個問題,看起來好像無關緊要。但我問過一些學生,沒有人可以很明確地回答出來。我認為,台灣的教育制度,把學生的時間塞得太滿,考試引導教學,因此培養出來一堆被動學習的小孩。有考試就讀書,沒考試就不讀。上課時,會考的才認真聽,不考的就不聽。

所以,趁著會考結束,在自己有比較多時間放空的同時,對自我提問,相信只有對自己愈了解,就愈能選擇出一條適合自己的道路,而不是被外在的標準牽著走。讀書的目的,不就是要讓自己具備更多獨立思考的能力嗎?

如何線上學習?

疫情肆虐,現在很多國家都必須採用線上授課的方式進行教育學習,台灣去年守住了,今年疫情爆發也無法倖免。根據其他國家的經驗,線上教學將會持續很長一段時間。

是危機也是轉機,如果不是如此大的事件,我們也許一生都不會去嘗試改變。

線上學習比的就是誰比較自律及懂得使用資源,以下茲列出幾點供同學們參考:

讓作息規律

作息混亂,會讓一個人失去活力。這也就是為什麼有些學生在家學習的前三天似乎還不錯,但一週後就沒這麼開心了,兩週後甚至感到厭倦。最近宣佈三級警戒延至6月14日,甚至有些人開始哀嚎,覺得日子難過。

如果你有以上的症頭,試試規畫一下自己一天的時間,按計畫學習、娛樂與生活。下面是在電腦上設定鬧鐘的方法,可以比照學校時間表設定打鐘時間。

媽媽不必當鬧鐘!在家自學必備 電腦自動「上下課打鐘」~多組定時提醒 / 線上鬧鐘

制定計畫時,要注意幾點:
第一、把一天當中最重要三件事情(主要任務)找出來,並排入計畫表,以粗黑體標示。
第二、相連兩個時段不要都排主要任務。
第三、每隔四十~五十分鐘讓自己眼睛休息一下,並且活動身體。
以下簡單示範一下:

  • 8:00~8:40 算數學
  • 9:00~9:40 閱讀
  • 10:00~10:40 預習課程,ex:看線上教學影片
  • 11:00~11:40 爬樓梯、伏地挺身、仰臥起坐健身
  • 13:00~13:40 寫日記
  • 14:00~14:40 與朋友有約:線上討論
  • 15:00~15:40 背英文單字
  • 16:00~16:40 上網瀏灠新聞

飲食健康

為什麼在家長時間自學會讓有些人受不了,我想有一部份原因是,飲食不正常,造成身體負擔增加。如果再加上沒有適當運動,這種不適感會更加明顯。

因此, 有意識地注意飲食的品質、補充水份十分重要,只有好的身體狀態,才可能有好的學習品質。

須要準備哪些設備?

要進行線上學習,最基本的當然要先具備暢通的網路。如果只是看預錄好的影片,只須要一台桌機及基本週邊設備即可(ex:鍵盤滑鼠)。另外,我建議最好能採購一台黑白雙面雷射印表機,有些教材還是要印出來會比較方便。

目前很多學校都採用線上教學,如果要參與即時線上課程,則必須再準備麥克風(與老師對話)及攝像頭(讓老師碉定你有在座位上)。我個人使用的麥克風是【Blue】美國Blue Snowball Ice 小雪球USB麥克風-亮黑,使用起來還不錯,推薦給大家。

當然,如果可以準備一台筆記型電腦,通常都會內建麥克風與攝像頭,不需再另外準備。工欲善其事,必先利其器,建議cpu至少要有i5等級,ram 8G。

最後,可以考慮採購一個手寫板。現在線上平台愈做愈好,互動性佳,學生除了看老師書寫之外,也可以與老師共用白板,此時使用手寫板會比較方便。市面上手寫板有很多種,基本款就夠了。我自己是使用wacom的手寫板,使用體驗還不錯,讀者可以參考。例如:Wacom Intuos Basic 繪圖板 (入門版)(黑)CTL-4100/K 應該就夠用了。

關於我

我是一名中學數學老師,本身具備合格教師證及數學博士學位。專攻國中數學、高中數學、大學微積分、線性代數教學。另外,我也是一名部落客,創立網站「斜槓教師的教育學習網」。我熱愛閱讀、寫作、多元學習與分享,因此自稱為斜槓教師。

8 thoughts on “110年國中教育會考 「數學科試題賞析」、「高中數學銜接」與「線上學習方法」

  1. 老師謝謝你分享的作息方法,脫離學校太久,之前對數學還是蠻有信心的,看到現在國三會考題目怎麼好像都還給以前的老師了XD
    太久沒動腦,加上好多文字遊戲,要重新理解一番呢!
    您提供的方式可以讓同學們在家也能得到完整的學習,真的很有幫助!

  2. 老師我滿喜歡你的分析題目方式,我小時候也立志當數學老師,後來變成軟體工程師,數學真的非常有趣! 我很能享用解題的過程,在解題的過程中,觀念還是最重要的。

    有質量的學習不會感到疲累,而且會讓人感到充實且愉快。因此,每天撥出一些時間學習新知,真的會對身心較為有益。

    感謝中學有你這麼棒的老師,我自己也是因為中學遇到很棒的數學老師,所以一直熱愛的數學。

  3. 哇!好懷念高中數學呀~想當年我的數學也還不賴(差點去讀了數學系)
    有好的老師帶領真的很重要,像是Gim這樣在課外之餘也斜槓部落客,就是一個很值得跟隨的老師!
    現在疫情的嚴峻,也讓老師們辛苦了~

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