如何「有效學習數理」及「培養研讀數理的習慣」

前言

作為一名數學老師,我一直在思索,怎麼樣才是有效的學習方式。為什麼許多學生在數學這一科拚命埋頭苦練,但成績卻聰是差強人意?

這一篇文章,我將針對有心學好數學,也願意付出努力的學生一些指引,為了寫這一篇文章,我讀完了三本書,分別是「用對腦=從此不再怕數字+學會如何學習」、「原子習慣」以及「如何學好中學數學」,再結合我個人在教學上的實務經驗,希望能以較平易輕鬆的方式讓讀者了解。

如果你是對「高中數學」學習觀念與方法有興趣,可參考「數學學習觀念專區」。

其中「用對腦=從此不再怕數字+學會如何學習」這本書已經絕版,該作者還有兩本相關著作,分別為

  1. 大腦喜歡這樣學:先認識自己的大腦,找到正確的思考路徑,就能專注、不拖延,提高記憶力,學會如何學習(二版)
  2. 學習如何學習:給青少年的大腦特訓課,讓你學什麼都會、記憶力升級、告別拖拖拉拉,考試拿高分!

並且在Coursera平台上也有開這門課,有中文字幕,可參考看看:
如何學習:學習困難科目的實用思維與方法

如何有效學習數理?

亨利-龐加萊(Henri Poincare)帶給我們的啟發

首先,我們先來看看名數學家亨利-龐加萊(Henri Poincare)的故事:

龐加萊是法國最偉大的數學家之一,他的工作跨及「數學」、「數學物理」以及「天體力學」。是少數對數學及其應用具有全面認識的數學家。他的詳盡介紹在這裡我就不再贅述了,可參考維基百科

龐加萊曾經自述,他為了破解一道苦思幾個星期而不得其解的數學難題,便跑去渡假。他在搭公車時,那道難題的答案突然蹦出,不請自來。

他在假期期間,雖然人沒有坐在書桌前埋首工作,但卻知道自己已經得到了正確的答案,直到回到巴黎後才寫下詳細解答。

每當你無法理解某個重要觀念時,不妨起來舒展一下筋骨。許多突破性的科學創新都是在人們外出散步路上發現的。

從龐加萊的這段自述,我們可以發現幾件事情,而這些事情也是這本書的核心精神所在:

在你放鬆的時候,大腦仍然可以處理問題,只不過你必須先認真地試圖尋找答案。另外,長時間專注工作,也許看起來很努力,但未必是有效率的工作模式。

因此,每當遇到不會做的題目,馬上看詳解等於告訴自己的大腦,問題已經解決,不須要再思考它了。這等同於是失去了一次讓大腦獲得全新體悟的機會。

只有當問題存在你的心中,大腦才會認真的對付它們。

如果你解題時只是看著解答,然後心想:「噢,對啊,我知道他們為什麼那麼做。」那麼你絕對沒有學進腦子裡 – 你根本沒下功夫把觀念編進深層的神經迴路中。光靠瀏覽答案而以為自己懂了,是學習時最常見的能力錯覺。

因此,從學習的角度來說,面對做不出來的題目,寧可暫時擱著,也不要輕易看詳解。與其長時間專注,不如在專注工作一段時間後,適時放鬆。

更有甚者,有人看了詳解卻沒有能力發現錯誤,將詳解視為靈丹妙藥,學好數學的捷徑,殊不知詳解的解法往往不一定是最好的,甚至時有錯誤。

另外,對於如何讓自己在短時間內維持高品質的專注,推薦讀者可參考蕃茄鐘工作法

消極且被動的反覆閱讀通常無法獲得實質性的提升

前陣子看到一個故事,故事中有個員工找老闆溝通,問說為什麼他在公司已經累積了十年的工作經驗卻仍然無法獲得升遷的機會。老闆對他說,你不是累積了十年的工作經驗,而是一年的經驗重複了十年。

作為一名教師,深以為然。我也問自己,到底我是有二十年的教學經驗,還是五年的教學經驗教了二十年?

讀者是否曾經也有過相同的迷思,看到別人拿著一本翻到爛掉的書,就將用功、努力以及好成績劃上等號。

然而,如果重複的動作並沒有經由刻意練習,只會造成學習上的錯覺,殊不知那只是一直重複你所知道的事情而已,認知水平並沒有因此提升。

關於無意識的反覆練習,往往是無效率的學習方式,我為此撰寫過一篇文章討論,標題為「高中數學學習方法-為什麼做了很多題目成績卻仍然沒有起色?」,歡迎參閱。

如果在沒有充份理解之前 ,只是不斷的運算,對數學學習非但沒有幫助,反而可能阻礙了提升數學理解層次的機會,因為反覆練習常使學生只是記熟做法,卻自以為已經學會了。

因此,反覆練習有其必要性,但必須是「有策略性」的反覆練習。這個策略就是「努力回想你正在學習的內容」。

也就是在「大腦喜歡這樣學:先認識自己的大腦,找到正確的思考路徑,就能專注、不拖延,提高記憶力,學會如何學習(二版)」這本書提到的「提取」。

反覆閱讀課文,只在一個情況下有效果,那就是你每讀一次就要停下一段時間,之後再讀。這樣比較像是在進行間隔重複。

很多學生在學習的時候會出現「能力錯覺」。例如,將課本的每一行字都劃線,或是反覆閱讀筆記本,然後以為自己也學會了。

然而事實上,這樣的讀書方式效果往往極其有限。因為並無檢驗自己學到了多少,也無提取的動作。

當你在課本上劃重點時,請訓練自己先找到重點再劃線,而且線要盡量劃得好 – 每一段的敘述不要劃超過一句話。相對之下,先歸納出重要概念,再在紙頁空白處做筆記,則是很好的提示方法。

除了回想之外,還有一個方式,就是「輸出」。

學習一樣東西最好的方式,就是讓學生當老師。如果你要將今天學到的內容在第二天教給別人,那這些內容你一定學得特別好,特別扎實。因為只有輸出,才是最好的輸入。

因此,在學習數理時,我非常鼓勵學生彼此討論,互相提問、辯論與解答,而不是總是安靜地坐在座位上聽講。

「提問」及「解說」就是「提取」與「輸出」的過程

回想我高中時,數學成績在班上是第一名,有一位女同學,除了數學之外,每科都是全班第一名。因為她很喜歡來問我數學問題,我也沒有多想,將我知道的所有事情毫無保留地告訴她。

我在教她的過程中,發現很多自己以為了解的觀念其實是模稜兩可的。因此我一直思考要如何解釋清楚。

也因此,我在面對問題時,總能處理掉大多數人不會注意到的細節。在高一的六次考試中皆全班最高分。

升上高二分班後,那位女生去了社會組,而我選擇自然組。在新班級,沒有同學來主動問我數學,我覺得我學得也不差,然而卻在第二次段考時,考了七十多分的成績,在班上排到了十名之後。

因為沒有同學提出問題刺激我進一步思考,我發現我有很多細節沒有掌握的很好。

現在回憶,同學問問題就是在迫使我「回想」,我解釋給同學聽,就是讓我有機會「輸出」,有了這兩個動作,學習效果好非常多。

請對你的親人、朋友或同學描述你正在讀的一本書、或正在上的一門課的精華與重點所在。「轉述」 有助於維持並散播你的學習熱忱,還可以釐清並鞏固你腦中的概念,讓你在幾星期或幾個月之後都還記憶清晰。

別拖太久才開始複習

我教過很多私立學校的學生,他們的共同特性就是自己可以運用的時間相對較少。也因此,當天上過的內容不一定能當天複習。

然而,如果拖太久才開始進行回想複習,那麼就會愈來愈難進行回想。

因此,一定要想辦法在學習當天就重溫課程內容,尤其是新的、難度較高的部份。

上課聽講時,不用刻意把筆記抄得很精美,重點是聽懂,並且快速的記下關鍵字。聽講之後,盡可能在當天把筆記再用自己的方式重新整理一遍,再予以擴充。

同時要注意的是,儘可能用手寫的方式寫下問題解答、圖表或概念;研究證據顯示,手寫比打字更有助於記憶。

要「交錯練習」而不是「過度學習」

我個人也有過這樣的經驗:「在某個單元或主題已經達到某個標竿了,仍然緊接著研讀或練習同樣的內容。」

不可否認,一開始的練習讓我有明顯的進步,但之後開始進入的「無意識練習」狀態,已經失去趣味,學習效果不增反減。

有些學生做功課時,往往接連做十道一模一樣的題目。他們做了第二道很第三道題目之後就不動腦筋了,只是不假思索抄襲前一道題目的做法。

因此,交錯練習才是較佳的學習方式:

例如:做了第二章第3節「直線與圓」的題目之後,回頭練習第二章第2節「線性規劃」,然後再寫一些第三章「平面向量」的題目。

從「最小努力」原則培養研讀數理的習慣

學習數理本身並不是輕鬆的過程,也因此初學者容易養成拖延的壞習慣。這不是你的錯,而是大腦的特性。

在所有可能採取的活動中,花費最小努力產出最大價值的那個才會被實踐

回想我十三年前決定開始寫日記時,斷斷續續,一直無法維持下去。

後來不經意看了李敖回憶錄,發現大師寫的日記字數不多,就是道出當天最值得說的一件事,有時候甚至兩行字就結束。

後來我也試了這個方法,重點放在有沒有在做這件事,並且固定頻率重複且持續,避免完美主義。

沒空時,只寫一句話,以做得少勝過沒有做的原則,持續下去。一段時間後,我感覺到做這件事變得不再這麼痛苦,因此得以堅持到現在。

人們很容易討厭自己不擅長或不熟悉的事而拖延

想要用意志力克服拖延,往往無法持久,而且容易半途而廢。

原子習慣這本書提到「兩分鐘法則」:

儘可能讓習慣容易開始

具體來說就是,讓開頭儀式化,讓「非常容易」的事重複幾次,再做「容易」的事並重複幾次,然後「中等難度」的事重複幾次,接著將「困難」的事重複幾次,最後再進行「非常困難」的事並一再重複。

例如,我們想要培養每天做數學題六十分鐘的習慣,剛開始可以先在特定時間走到定點拿出課本放在桌上不去翻閱,只要時間到就做這個動作即可。

重複幾次這個動作之後,第二步是將書本放在桌上,並將其打開隨意翻閱三分鐘。

重複幾次這樣的動作後,接下來進入到第三步:

將書本放在書上打開後,準備紙、筆,一邊讀一邊寫,時間維持十分鐘。

重複幾次這樣的動作後,接下來進入到第四步:

將書本放在書上打開後,準備紙、筆,一邊讀一邊寫,時間維持三十分鐘。

重複幾次這樣的動作後,接下來進入到第五步:

將書本放在書上打開後,準備紙、筆,一邊讀一邊寫,時間維持六十分鐘。

一旦有了標準化的動作後,才可能有後續的最佳化。換句話說,你無法改善不存在的習慣!

很多學生學習的通病是,平常不讀書,考前讀很久,甚至熬夜苦讀,也許他可以在一些考試取得不錯的成績。但長久來看,不但消磨了自己的興趣,也損害了自己的健康。

「一名學生抱怨考試成績不及格,說他考前一天讀書讀了整整十個鐘頭,我回答:『那就是害你考不及格的原因。』學生露出難以置信的表情,我說:『你平時就該一點一點準備』」

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