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前言

今年這份考題難度適中，但一些題目至少綜合兩個數學觀念，學生必須對整體學習內容融會貫通才有機會取得高分。整體試題大致以由易至難的順序編排，單選題3題都很基本，多選題開始難度漸增，可以鑑別出中等及中上學生的程度。

難題的部份，多選5、6、8，題組13-14較難處理。尤其非選第14題，要運用積分概念估計積木體積的黎曼和，計算量較大，考生在有時間壓力的情況下不容易算對。

學習數學就像在搭鷹架，必須按部就班，長時間累積，才得以建立健全的觀念因應題目的變化，這有賴於平日學習習慣的培養。

相信會連到這個頁面的學生，至少已經是高二準備升高三的階段。我也相信，必然有用心的家長，為了孩子的學習在尋找資源，如果想要從根本改善學習數學的問題，必須從學習的本質出發去思考，為此，不妨參考以下這篇文章：如何學好高中數學？破除學習迷思，建立正確觀念。

這個網站專注於製作與研發數位教材，目前已編寫 高一數學第1冊；高一數學第2冊 免費提供給有需要的人使用。

完整試題及選擇(填)題參考答案下載

111年數甲試題；111年數甲選擇(填)題參考解答

整體試題詳解與分析

單選1：等比數列與對數混合題

這一題只需使用「等比數列的定義」 與「對數基本運算」即可處理。
首先我們可以寫出此數列：$a_1=10$、$a_2=10^2$、$a_3=10^3$、$a_4=10^4$

因此

$$\begin{aligned} b &= log_{a_1}a_2+log_{a_2}a_3+log_{a_3}a_4 \\ &=log_{10}10^2+log_{10^2}10^3+log_{10^3}10^4 \\ &=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3} = 4\frac{5}{6} \end{aligned}$$

因此答案選(3)

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單選2：三元一次方程組

首先，我們將此聯立方程組寫成矩陣的形式，接著以高斯消去法化簡

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & c & 3 & 1 \\ 3 & -3 & c & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & c+2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & c-3 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & c+2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & c-3 & 0 \end{array} \right]$$

化到這一步就可以判斷了。
我們從第二個矩陣可知，$c-3\neq 0$，否則會有無限多組解。
接著化簡至第三個矩陣可知，當$c+2=0$時會造成無解。因此答案選(2)

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單選3：空間坐標

依題意，可以假設$P$點座標為$P(cos45^{\circ}, b, c)$，
接著看 $P$ 點到 $y$ 軸距離：

$$\frac{\sqrt{6}}{3}=\sqrt{cos^2{45^{\circ}}+c^2}$$
兩邊同時平方解方程式
$$c^2=(\frac{\sqrt{6}}{3})^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{6}{9}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$
解得
$$c=\pm\frac{\sqrt{6}}{6} (負不合)$$

因此答案選(4)

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多選4：多項式方程式

先以長除法計算 $f(x)$除以$g(x)$如下：

因為 $f(x)$ 被 $g(x)$ 整除，因此

$$a^2-2a-3=0, k-(2-a)=0$$
由 $a^2-2a-3=0$可解得 $a=3$ 或 $-1$
若 $a=3$，$g(x)=x^2+3x+1=0$ 無虛根，與題意不合。
若 $a=-1$，$g(x)=x^2-x+1=0$ 有虛根，符合題意。

因此

$$k-3=0 \ \ 解得\ \ k=3$$

接著來解方程式

$$f(x)=x^3+2x^2-2x+3=0$$
因為已經知道$f(x)$有一個因式$g(x)=x^2-x+1$，所以 $$f(x)=x^3+2x^2-2x+3=(x^2-x+1)(x+3)$$
因此 $f(x)=0$ 的三根為
$$\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2} \ \ or \ \ -3$$

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多選5：圓方程式

選項(1)：令 $y=0$，則

$$(x-1)^2+1^2=101$$
移項整理可解得 $x=11$ 或 $-9$，則 $\Gamma$ 與 $x$ 軸負向交於 $(-9,0)$
另一方面，令 $x=0$，則 $$1^2+(y-1)^2=101$$
移項整理可解得 $y=11$ 或 $-9$，因此 $\Gamma$ 與 $y$ 軸負向交於 $(0,-9)$

選項(2)：$\Gamma$ 上 $x$ 坐標最大的點是點 $(1+\sqrt{101}, 1)$

選項(3)：如以下圖所示，將原點與圓心 $(1,1)$ 相連，此直線與圓的兩個交點中，距離較遠的點即為此距離之最大值 $\sqrt{2}+\sqrt{101}$。

選項(4)：此極坐標 $[9,\ theta]$ 表示與原點 $O$ 距離皆為 9 的點，顯然 $\Gamma$ 在第三象限的點與原點的距離並非固定為 9。故此選項不對。

選項(5)： 令

$$\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]= \left[\begin{array}{cc} cos{\theta} & -sin{\theta} \\ sin{\theta} & cos{\theta} \end{array} \right] \left[\begin{array}{c} x’ \\ y’ \end{array} \right]= \left[\begin{array}{cc} cos{\theta}x’-sin{\theta}y’ \\ sin{\theta}x’+cos{\theta}y’ \end{array} \right]$$

代入回方程式：

$$\begin{aligned} 101 &= (x-1)^2+(y-1)^2 \\ &= x^2+y^2-2x-2y+2 \\ &= (cos{\theta}x’-sin{\theta}y’)^2+(sin{\theta}x’+cos{\theta}y’)^2 -2\cdot(cos{\theta}x’-sin{\theta}y’)-2\cdot(sin{\theta}x’+cos{\theta}y’)+2 \\ &= x’^2+y’^2-2\cdot(cos{\theta}+sin{\theta})x’+2(sin{\theta}-cos{\theta})y’+2 \end{aligned}$$

經由以上計算可看出 $xy$ 項係數為 $0$，因此這個選項正確。

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多選6：平面上的線性變換

依題意可知：

$$\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right] \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]= \left[\begin{array}{cc} 3 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{array} \right]$$

選項(1)：

$$\left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right| = \left|\begin{array}{cc} 3 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{array} \right|=9+3=12$$

此選項不對。

選項(2)：

$$\left|\begin{array}{cc} x’ \\ y’ \end{array} \right] = \left[\begin{array}{cc} 3 & -\sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 3 \end{array} \right] \left|\begin{array}{cc} x \\ y \end{array} \right] = \left|\begin{array}{cc} 3x-\sqrt{3}y \\ \sqrt{3}x+3y \end{array} \right]$$
$$\begin{aligned} \overline{OC’}^2 &=(3x-\sqrt{3}y)^2+(\sqrt{3}x+3y)^2 \\ &=12x^2+12y^2 \\ & = 12(x^2+y^2)=12\times 1 =12 \end{aligned}$$
此選項正確

選項(3)：設 $\overrightarrow{OC}$ 和 $\overrightarrow{OC’}$ 的夾角為 $\theta$，則由內積的定義可知

$$\begin{aligned} cos{\theta}=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC’}}{|\overrightarrow{OC}||\overrightarrow{OC’}|} &= \frac{x(3x-\sqrt{3}y)+y(\sqrt{3}x+3y)}{1\cdot 2\sqrt{3}} \\ &= \frac{3(x^2+y^2)}{1\cdot 2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$
故 $\theta=30^{\circ}$

選項(4)：已知

$$y’=\sqrt{3}x+3y$$
若 $y=y’$，則 $$y=\sqrt{3}x+3y, 2y=-\sqrt{3}x$$

選項(5)：

$$\begin{aligned} x’-y’&= (3x-\sqrt{3}y)-(\sqrt{3}x+3y) \\ &= (3-\sqrt{3})x-(\sqrt{3}+3)y \\ &= (3-\sqrt{3})[x-\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}] \\ &=(3-\sqrt{3})[x-(2+\sqrt{3})y] \end{aligned}$$

由以上的式子找反例就容易多了：
必須符合

$$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ x<y \\ x>(2+\sqrt{3})y \end{cases}$$
取 $$x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ y=-\frac{1}{2}$$
即可。
因此選項(5)是錯的。

此題答案為 (2)、(4)

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多選7：拋物線

我們來複習一下，拋物線的定義：拋物線上任一點到「焦點」及「準線」的距離是一樣的。因此

$$\overline{AA’}=\overline{AF}, \overline{BB’}=\overline{BF}$$

如下圖所示

通過 $F$ 作一條鉛直線分別交直線 $AA’$ 及 $BB’$ 於 $C$、$D$ 兩點。
另外，因為直線 $FF’$ 與 $BB’$ 平行，則 $\angle{5}=\angle{F’BB’}$。
接著，我們可以將比值 $\frac{AF’}{AA’}$ 以下列三角函數表示：

$$\begin{aligned} \frac{\overline{AF’}}{\overline{AA’}} &= cot{\angle{1}} \\ &= tan{\angle{2}} \\ &= sin{\angle{3}} \\ &= sin{\angle{4}} \\ &=tan{\angle{5}} \end{aligned}$$

因此答案為 (3)、(5)

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多選8：數列的極限

這一題出得不錯，
選項(1)：由題意我們僅可以寫出以下不等式：

$$b_n<a_n-\frac{4n-1}{n}$$
因此此選項不真。

選項(2)：已知

$$b_n+\frac{4n-1}{n}<3b_n$$
移項整理可得 $$b_n>\frac{4n-1}{2n}$$
此項選正確。

選項(3)：我們將題目給的不等式重新整理如下：

$$\frac{a_n}{3}<b_n<a_n-\frac{4n-1}{n}$$
接著計算極限： $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{3}=\lim_{n\rightarrow}(a_n-\frac{4n-1}{n})=2$$
由夾擠定理可知， $$\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=2$$
即此數列收斂，故此選項不真。

選項(4)(5)：

$$a_n>b_n+\frac{4n-1}{n}>\frac{a_n}{3}+\frac{4n-1}{n}$$
將上式移項整理可得 $$a_n>\frac{3}{2}(4-\frac{1}{n})=6-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{n}$$
因此 $$a_{10000}>6-\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{10000}=5.99985>5.9$$
故選項(4)錯誤，選項(5)正確。

最後答案應該選(2)(5)

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選填9：期望值

首先我們先來計算得到紅包的機率

$$P=(\frac{1}{5})^2+\frac{4}{5}\cdot(\frac{1}{5})^2=\frac{9}{125}$$
接下來計算隨機變數 $X$ 的期望值：
$$EX=1\cdot P+2(1-P)\cdot P+3(1-P)^2\cdot P+…$$
這是一個差比級數，計算方式就是將原式乘以 $1-P$ 接著將兩式相減可得
$$P\cdot EX=P+(1-P)\cdot P+(1-P)^2\cdot P+…=\frac{P}{1-(1-P)}=1$$
因此 $$EX=\frac{1}{P}=\frac{125}{9}\approx 13.8 \approx 14$$

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選填10：排列組合

因為英文的卷子不可在週二發出，那麼英文的卷子可能在下週一、三、四發出，我們依此分成三大類。
情況一：國文、英文均在週一，如下圖所示

此時，數、社、自三科排入下週二、三、四各一天，排法有 $3!$ 種。

情況二：英文排在下週三，此時週一與週三皆有排科目了，因為每天至少排一科，所以剩下三科中，選兩科先排入下週二或四，剩下一科可能排在下週一、三或下週二、四。
如下圖所示，其排法有 $P^3_2\times 2!$ 種。

另一種情況如下圖所示，其排法有 $C^3_1\times 2$ 種。

最後一種情況則是，英文排在下週四，如下圖所示，排列數與英文排在下週三時相同。

最後，我們將以上情況加總

$$\begin{aligned} 3!+(P^3_2\times 2!+C^3_1\times 2)\times 2 &= 6+(12+6)\times 2 \\ &= 6+36 = 42 (種) \end{aligned}$$

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選填11：複數平面

首先我們要先解讀符號的意思：
在複數平面上，$\frac{-3+4i}{5}$ 分別與 $z^3$ 的距離與 $z$ 的距離相等。且這三個點皆在單位圓上。可以先假設 $z=cos{\theta}+isin{\theta}$，因此 $z^3=cos{\theta}+isin{\theta}$。
如下圖所示：

因此

$$\begin{cases} cos{2\theta}=-\frac{3}{5} — (1) \\ sin{2\theta}=\frac{4}{5} —(2) \end{cases}$$
由 (1) 式可知， $$2cos^2{\theta}-1=-\frac{3}{5}$$
可解得 $$cos{\theta}=\frac{\sqrt{5}}{5}, sin{\theta}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

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題組12-14 空間概念、積分

第12題

如圖所示，依題意標出數據如下：

同樣地，通過 $D$ 點對平面 $BCFE$ 作高，其垂足為 $H$，如下圖所示：

由對稱性可知

$$\overline{PM}=\frac{40-30}{2}=5$$
在 $\Delta AMP$ 中， $$tan{\angle{AMP}}=\frac{15}{5}=3$$

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第13題

同樣地，先依照題意標上符號與數據：

接著，將水平面 $W$ 畫上去

以平行線截比例線段寫出 $\overline{GH}$

$$\frac{x}{15}=\frac{\overline{GH}}{10}, \overline{GH}=\frac{2}{3}x$$
另外
$$\frac{\overline{IJ}}{5}=\frac{x}{15}, \overline{IJ}=\frac{x}{3}$$
故此長方形的長＝$\overline{KL}=30+\frac{2}{3}x$，寬＝$\frac{2}{3}x$
$$面積＝(30+\frac{2}{3}x)\cdot(\frac{2}{3}x)=20x+\frac{4}{9}x^2$$
故得證。

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第14題

依題意，將 $\overline{AP}$進行$n$ 等份，每一等份的長度為 $\frac{15}{n}$，長方形面積為

$$(30+\frac{10}{n}\cdot k)\cdot\frac{k}{n}\cdot 10$$

接著將每一塊長方體相加

$$\begin{aligned} & \sum_{k=1}^n(30+\frac{10}{n})\cdot\frac{k}{n}\cdot 10\cdot\frac{15}{n} \\ &= \sum_{k=1}^{n} \frac{4500}{n}\cdot\frac{k}{n}+\frac{1500}{n}(\frac{k}{n})^2 \\ &\rightarrow 4500\int_{0}^1 xdx + 1500\int_0^{1} x^2dx \\ &= 4500\cdot\frac{1}{2}+1500\cdot\frac{1}{3} \\ &= 2250 + 500 = 2750 \end{aligned}$$

題組15-17 平面向量、微分

第15題

由題目的條件可知，我們必須先算出兩向量 $\vec a$、$\vec b$ 的內積，再經由內積的定義寫出 $cos{\theta}$。此時可以先將 $|\vec a+\vec b|=7$ 等式兩邊平方，再以 $|\vec a|=x$，$|\vec b|=9-x$代入後，將$cos{\theta}$以 $x$ 表示。

$$7^2=|\vec a -\vec b |^2=|\vec a| -2\vec a \cdot\vec b+|\vec b|^2$$

移項整理可得

$$\begin{aligned} cos{\theta} &= \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}\\ &= \frac{x^2-9x+16}{x(9-x)}\\ &= -1+\frac{16}{9x-x^2} \end{aligned}$$
此時 $c=16, d=-1$

令 $f(x)=-1+\frac{16}{9x-x^2}, 1<x<8$

$$f'(x)=\frac{-16\cdot(9-2x)}{9x-x^2}=\frac{-144+32x}{(9x-x^2)^2}, 1<x<8$$

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第16題

函數 $f(x)$ 的極值發生在臨界點：$x=0, \ 9, \ \frac{9}{2}$

可以先畫個表格觀察函數 $f(x)$ 的遞增遞減區間：

$f(x)$ 的最小值為

$$f(\frac{9}{2})\geq -1+\frac{16}{\frac{81}{4}}=\frac{17}{81}$$
即當 $x=\frac{9}{2}$時，$\theta$值最大。

第17題

函數 $f(x)$ 的一次近似如下：

$$\begin{aligned} f(x) &\approx f(5)+f'(5)(x-5) \\ &= (-1+\frac{16}{20})+\frac{1}{25}(x-5) \\ &= -\frac{1}{5} +\frac{1}{25} (x-5) \end{aligned}$$
因此
$$\begin{aligned} cos{\theta}=f(4.96) &\approx -\frac{1}{5}+\frac{1}{25}(4.96-5) \\ &=-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}(-0.04) \\ &=-\frac{1}{5}-\frac{0.04}{25}\\ &=-\frac{5.04}{25} = -\frac{126}{625} \end{aligned}$$

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