2021 年 10 月 28 日

無理數為何無理?~數學老師在課堂上來不及告訴你的事~

前言

這篇文章,是我在高一多元選修課的課程整理,大約是一堂課的內容,用淺顯的方式,搭配現成影片說明,將無理數的概念,加入歷史的觀點,重新闡述,作為學生延伸學習的素材,期盼能提升學生學習的興趣。

在「數學老師在課堂上來不及告訴你的事」的系列文章中,除了是正規課程的補充與延伸之外,同時也會針對主題留下一些問題供讀者思考。學習數學,本來就不應該,總是在看到題目的同時也看到答案,而是多思考,學習找答案,因此我做了這樣的處理。

數學很好玩,內容也很精彩。然而,在課堂上,時間有限,老師不可能告訴學生太多。在考試引導教學的推波助瀾之下,數學似乎已經變成一個考試的工具而已。

作為一名數學教師,我熱愛數學,然而教育現場,似乎不容易讓學生感受到學習數學的樂趣。藉著今年開設多元選修課的機會,我似乎又燃起二十年前剛教書時的那股熱忱,先將考試放在一邊,用心進入純粹的學習,我想,這才有可能看到另一種不同的風景。

老師提問:什麼是無理數

學生A:一個(實)數不是有理數,就是無理數。

老師再提問:我們知道,有理數可以表示成「有限小數」或「無限循環小數」。那麼無理數若表示成小數會是什麼樣的小數呢?

學生B:任何的無理數可以表示成「無限不循環小數」

老師:很好喔,同學上課有認真聽。那麼再請問大家,你是否可以舉出幾個無理數的例子呢?

學生C:根號2、根號3

老師:除了根號系列的之外,還有沒有其他的無理數呢?

學生D:還有圓周率

老師:對,沒錯!那再進一步問大家,你們知道「根號2」與「圓周率」這兩種無理數有什麼區別嗎?

學生:他們不就是無理數,還能有什麼區別嗎?

老師:沒錯,這兩種無理數還可以再區分,根號2是為「代數數」,圓周率是「超越數」。所謂的代數數就是,它可以作為有理係數多項式方程式的一根;而超越數不為任何有理係數多項式的一根。有興趣的同學,可以觀看以下影片學習:

關於無理數的一段歷史

我們知道,實數可以分為「有理數」與「無理數」,但其實這件事情,是經過一番周折,才被人們所接受的。在西元前6世紀(~西元前569年,大約是孔子的時代),畢達哥拉斯創立了畢氏學派,其宗旨為「萬物皆數」,他們認為數是實體的最根本,所有東西都含有數的成份,數是形成宇宙的要素。

這裡的數,指的是「正整數」或「正整數的比值」,用現代的說法,他們心中的數都是「有理數」。

後來,畢達哥拉斯的學生希帕索斯(Hippasus)使用畢氏定理,論述了邊長為1的正方形其對角線長不可公度,邊長為1的正五邊形其對角線長也不可公度。此不可公度的意思就是,不能夠以整數之比來表示。

這就觸犯了這個學派的信條,於是組織規定了一條紀律:誰都不能洩露存在這種數(無理數)的秘密。後來天真的希帕索斯仍然在無意中,向別人談到他的發現,成為學派的大叛徒,後來被扔進大海淹死。這就是史稱的第一次數學危機。

課堂練習1:如何證明畢氏定理?
畢氏定理的證明有四百多種,足見前人的巧思與智慧。那麼在課堂上,同學們能想到幾種證明方式呢?

以下是歐幾里德的證明(幾何方法):這個證明要巧妙地運用到全等三角形及對於三角形底跟高巧妙的觀察才看得出來。

以下是採用母子相似性質的簡單證明:

課堂練習2:如何證明根號2是無理數?
證明根號2是無理數(代數方法)/數與數線
證明根號2是無理數(幾何方法)/數與數線

對於根號2是無理數的證明,是做為反證法很好的練習。

那麼要如何證明圓周率是無理數呢?這件事的難度將高出許多,必須要有高等數學的知識背景,不宜在課堂上演示,有興趣的同學可觀看以下影片:

無理數有什麼樣的性質呢?

無理數非常緊密地排列在實數線上,那麼有多緊密呢?具體來說,就是任意兩個無理數,中間必定可以找到第三個無理數。這樣的性質,我們稱為「稠密性」。同樣的,有理數也具備稠密性。

老師提問:既然「有理數」與「無理數」都有無窮多個,且都具備稠密性,那麼兩者數量何者比較多呢?

此時有些同學會感到疑惑,既然都是無窮多個,那不就視為一樣多嗎?

事實上,無窮多也會有程度上的差異,事實上,無理數的數量比有理數多得多。

連分數

我們知道,任何無理數,皆無法表示成分數的形式,然而,數學家認為,既然無法用一個分數表示,那麼就多用幾個分數來表示吧,這就是我們接下來要介紹連分數的概念。

舉個例子來說吧,對於3.245這個數,化為分數為3245/1000,我們可以換個寫法如下:

此時我們可以做個練習,試試將以下三個數以連分數表示:

首先,先來看看根號2的寫法:

關於根號系列的連分數表示法,可參考以下影片的整理:

接下來,試試黃金分割數:

「黃金分割數」與「費波那契數列」竟然有著巧妙的關聯,我們在文章後面再來探討。

圓周率的連分數表示法就不太容易算了,可以先針對小數點後前十項3.1415926535寫看看:

老師提問:你認為以上三個連分數有什麼共通點及相異之處嗎?

「根號2」與「黃金分割數」的連分數表示法皆有週期性,然而圓周率卻沒有。由此可知,雖然同樣是無理數,但是圓周率卻是比較不好應付的。

再談「黃金分割數」與「費波那契數列」

接下來,我們簡單的說明一下,「黃金分割數」與「費波那契數列」會有如此巧妙的關聯。在說明的過程中,會提到「極限」的概念,因此會稍加說明。

費波那契數列(或簡稱費氏數列)

此數列是由義大利數學家Leonardo Bonacci提出,他1170年出生於比薩,因此人們稱他為「比薩的李奧納多」。從 1838 年以後才被數學史家叫作費波那契(Leonardo Fibonacci),沿用至今。

他在 13 世紀初寫了一本給商業用的算術、代數與解題的百科全書——《計算之書》,花了很多篇幅討論國際貿易中使用不同度量衡以及幣值交易時的有效計算方法,可以說是當時的阿拉伯數字演算大師。在《計算之書》中提到一個關於免子繁殖的問題,這個問題包含三個假設:

  1. 小兔出生後兩個月就能長成大兔,可以生小兔。
  2. 可生育的大兔子都不會累,每個月可以生一對小兔,而且剛好是雄雌各一。
  3. 兔子永生不死。

如果現在有一對剛生下來的小兔子,一年之後總共會有幾對兔子?

依照這樣的生育規則,第一個月有1對免子(幼免),第二個月仍然只有1對免子(少年免),第三個月這一對免子(成年免)會生出另一對免子(幼年免),因此有兩對免子,第四個月成年免會再生1對免子,而幼年免成為少年免,因此有三對免子,依此類推…。

從第一個月開始列出免子的對數:1、1、2、3、5、8、…。

也就是說,第n+2個月的免子對數會等於第n+1個月的免子對數加上第n個月的免子對數,可寫成以下的遞迴關係式:

接下來我們將後項除以前項,形成新的數列如下:

我們再多寫幾項觀察:

此時我們問兩個問題:

關於問題1,我們觀察發現,似乎會愈來愈接近某一個數,那麼要如何證明這個數列收斂呢?

如果這個數列收斂,那麼我們可以將其極限值找出來:

黃金分割比在歐幾里德《幾何原本》中的一段文字

分一線段為不等的兩線段,當「整數線段長」比「大線段長」等於「大線段長」比「小線段長」,則稱此線段被分為中末比。

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作者簡介

筆者為一名高中數學教師,目前服務於臺北市私立延平中學。我熱愛學習,因此創立了「斜槓教師的教育學習網」作為我學習輸出的場域。

在高中的課堂上,我時常鼓勵學生多提問,並且表達自己的想法。因為數學是理科,既然是理科就是要說理,而說理的動機則是要多問幾個為什麼。學習數學絕對不是只有解題,提出問題也同樣重要。好的問題能引發高質量的思考,使人進入心流狀態,甚至感到難以言喻的充實與喜悅。

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