前言
Hello，歡迎你來到這裡。這篇文章是我於2022年1月29日發佈，距離考試後大約一週左右。
今年數學A考完後，考生們哀鴻遍野。題目的文字量偏多，題意不易理解，難題比例偏高，要在考試時間內寫好整份考題是非常不容易的事。
我認為這是一份很用心命題的試卷，作為數學的練習、討論、研究都是不錯的。然而作為學測考題，就有些為難學生了。畢竟在有時間壓力的情況下，整份考卷卻幾乎沒有基礎題，我可以想像大多數學生在考場上的心情一定十分挫折。
因為試題詳解已經很多人寫了，因此這一篇文章將以分析觀念、聊聊天為主，解題的細節我已錄製好影片，有需要的讀者可自行參考。
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試題分析
單選第1題：組合-冰淇淋有多少種買法？
某冰淇淋店最少需準備 \(n\) 種不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過100種」。試問來店顧客從 \(n\) 桶中任選兩球(可為同一口味)共有幾種方法？
- 101
- 105
- 115
- 120
- 225
這一題前半段是「一般組合」的概念，後半段是「重複組合」的概念。108課綱已刪除「重複組合」，所以任選兩球我們可以分成兩種情況討論，分別是「2同」、「2異」。
首先，先估計一下，至少會有幾種冰淇淋：\(C^n_2>100\)，\(n\geq 15\)
因此，至少需準備15種冰淇淋。
其中2同的部份有15種，2異的部份有\(C^{15}_2\)=105 種
合計：\(15+105=120\) 種。
另一種觀點：對於15種冰淇淋要取出兩球的方法，可以想成：試求方程式
$$a_1+a_2+…+a_{15}=2$$
的非負整數解有幾組？
這就是我們舊課綱提到的重複組合，總共有 \(H^{15}_2 = C^{16}_2=120 \) 種
這一題不算簡單，屬於一般難度的考題。
單選第2題：對數運算
某品牌計算機在計算 \(log_ab\) 時需按log ( a , b )。某生在計算 \(log_ab\) 時(其中\(a>1, b>1\))順序弄錯，誤按 \(log_ba\) ，所得為正確值的\(\frac{9}{4}\)倍。試選出\(a,b\)間的關係式。
- \(a^2=b^3\)
- \(a^3=b^2\)
- \(a^4=b^9\)
- \(2a=3b\)
- \(3a=2b\)
這一題只是簡單的計算，是整份考卷少數的基本題。可先依據條件列式：
$$log_ba=\frac{9}{4}log_ab$$
然後利用\(log_ba \cdot \log_ab=1\)
要注意當\(a>1,b>1\)時，\(log_ab>0, log_ba>0\)
化簡後可得$$a^2=b^3$$
現在108課綱還沒開放使用計算機應試，考了一題不痛不癢的計算機敘述題。無論會不會使用計算機皆不影響這一題作答。看起來是要向社會大眾交待一下，我們的新課綱考題還是有融入計算機喔！但是到底政策如何，還是沒有個定論。
單選第3題：二維數據分析
在處理二維數據時，有種方法是將數據垂直投影到某一直線，並以該直線為數線，進而了解投影點所成一維數據的變異。下圖的一組二維數據，請問投影到哪一選項的直線，所得之一維投影數據的變異數會是最小？
- \(y=2x\)
- \(y=-2x\)
- \(y=-x\)
- \(y=\frac{x}{2}\)
- \(y=-\frac{x}{2}\)
第一眼看到這一題時，馬上聯想到「迴歸直線」、「最小平方法」，可能有些同學就會馬上選1這個答案。但是要小心的是，題目說的是「垂直」投影至直線上，而且要使得變異數為最小，所以關鍵在於找出投影點最集中的直線。因此答案選 5。
這一題考法真的在考驗考生的反應與靈活度，看起來像在考迴歸直線，其實是以二維數據的樣貌考一維數據分析。概念很簡單，但會給人一種陌生感。
單選第4題：等差數列與對數運算
設等差數列\(<a_n>\) 之首項 \(a_1\) 與公差 \(d\) 皆為正數，且 \(loga_1, loga_3, loga_6\) 依序也成等差數列。試選出數列 \(loga_1,loga_3,loga_6\) 的公差。
- \(logd\)
- \(log\frac{2}{3}\)
- \(log\frac{3}{2}\)
- \(log2d\)
- \(log3d\)
這一題也是這份試卷中少數簡單的題目之一，只需要利用到「等差中項」及基本的「對數律」運算即可求解。$$loga_1+loga_6=2loga_3$$
接著令 \(a_6=a_1+5d, a_3=a_1+2d\)，化簡後可得 \(a_1=4d\)
最後計算 \(loga_3-loga_1=log\frac{a_3}{a_1}=log\frac{a_1+2d}{a_1}=log\frac{6d}{4d}=log\frac{3}{2}\) 即為題意要求的公差。
單選第5題：貝氏定理-染病問題
已知某地區有\(30 \%\)的人口威染某傳染病。針對該傳染病的快篩試劑檢驗，有陽性和陰性兩結果。已知該試劑將染病者判為陽性的機率為\(80\%\)，將未染病者判為陰性的機率則為\(60\%\)。為降低該試劑將染病者誤判為陰性的情況，專家建議連續採檢三次。若單次採檢判為陰性者中，染病者的機率為\(P\)；而連續採檢三次皆判為陰性者中，染病者的機率為\(P’\)。試問\(\frac{P}{P’}\)最接近哪一選項？
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
這一題應該算時事題了，在寫這篇文章時台灣疫情又開始每日數十例確診，這個年基本上都要在家過了。這種形式的敘述，一看就知道考的是貝氏定理。只是我們大多看到的是單一檢測的題目，這一題要另外算三次檢測的情形。處理這類問題就是畫個樹狀圖，然後依題意寫出分母與分子。
單選第6題：直線方程式
設坐標平面上兩直線\(L_1, L_2\) 的斜率皆為正，且\(L_1, L_2\)有一夾角的平分線斜率為\(\frac{11}{9}\)。另一直線\(L\)通過點\((2,\frac{1}{3})\)且與\(L_1, L_2\)所圍的有界區域為正三角形，試問 \(L\) 的方程式為下列哪一選項？
- \(11x-9y=19\)
- \(9x+11y=25\)
- \(11x+9y=25\)
- \(27x-33y=43\)
- \(27x+33y=65\)
首先我們畫個示意圖來看看：
首先，我們可以看到選項2的直線 \(9x+11y=25\) 沒有通過點\( (2,\frac{1}{3}) \)，因此可以直接刪去此選項。從題意可知，\(L_1, L_2\)的角平分線\(L’\)為此正三角形的中垂線，因此\(L\perp L’\)。由此可知\(L\)的斜率為\(-\frac{9}{11}\)。又因為直線 \(L\) 通過點\((2,\frac{1}{3})\)，因此其方程式為\(L:27x+33y=65\)，答案選5。
多選第7題：一次及二次不等式
設整數\(n\)滿足\(|5n-21|\geq 7|n|\)。試選出正確的選項。
- \(|5n-7n|\geq 21\)
- \(-1\leq\frac{7n}{5n-21}\leq 1\)
- \(7n\leq 5n-21\)
- \((5n-21)^2\geq 49n^2\)
- 滿足題設不等式的整數\(n\)有無窮多個
這一題是多選題當中較簡單的一題。嚴謹的做法是，針對錯的選項舉反例，正確的選項加以證明。
對於選項1，可考慮 \(n=-1\) 就會發現，此不等式 \(|5n-7n|\geq 21\) 不成立。
對於選項2，可以先將不等式兩邊同除以\(|5n-21|\)，此時可寫成
$$|\frac{7n}{5n-21}|\leq 1$$
去掉絕對值可得
$$-1\leq \frac{7n}{5n-21}\leq 1$$
對於選項3，可舉反例 \(n=1\)
對於選項4，因為不等式兩邊皆為非負的數，因此平方後不等式方向不變。
對於選項5，可以「採用分段討論」或是考慮「\((5n-21)^2\geq 49n^2\)」
分段討論後，可得到兩段：「\(0\leq n\leq\frac{7}{4}\)」以及「\(21-5n\geq -7n\)」
最後取得\(n=-10, -9, -8, …, -1, 0, 1\)，合計12個。最後答案選2、4
多選第8題：三角函數
坐標平面上，\(\Delta ABC\)三頂點的坐標分別為\(A(0,2), B(1,0), C(4,1)\)，試選出正確的選項。
- \(\Delta ABC\)的三邊中，\(\overline{AC}\)最長
- \(sinA<sinC\)
- \(\Delta ABC\)為銳角三角形
- \(sinB=\frac{7\sqrt{2}}{10}\)
- \(\Delta ABC\)的外接圓半徑比2小
這一題是三角函數的一般題型，不難。
選項1：兩點間的距離公式，直接計算即可。
選項2：由正弦定理可知\(sinA:sinC=\overline{BC}:\overline{AB}=\sqrt{10}:\sqrt{5}\)，故\(sinA>sinC\)
選項3：首先，由三角形中，大角對大邊先確定\(\angle{B}\)最大，再利用餘弦定理計算：
$$ cosB=\frac{\sqrt{5}^2+\sqrt{10}^2-\sqrt{17}^2}{2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=-\frac{1}{5\sqrt{2}}<0$$
由此可知\(\angle{B}>90^{\circ}\)，故\(\Delta ABC\)為鈍角三角形。
選項4：因為\(cosB=-\frac{1}{5\sqrt{2}}\)，所以\(sinB=\frac{7}{5\sqrt{2}}=\frac{7}{10}\sqrt{2}\)
選項5：由正弦定理可知，\(2R=\frac{\overline{AC}}{sinB}=\frac{10\sqrt{17}}{7\sqrt{2}}\)，因此\(R>\frac{14\sqrt{2}}{7\sqrt{2}}=2\)
答案選1、4
多選第9題：平面向量
已知 \(P\) 為 \(\Delta ABC\) 內一點，且 \(\vec{AP}=a\vec{AB}+b\vec{AC}\)，其中 \(a、b\) 為相異實數。設 \(Q, R\) 在同一平面上，且 \(\vec{AQ}=b\vec{AB}+a\vec{AC}\)， \(\vec{AR}=a\vec{AB}+(b-0.05)\vec{AC}\)。試選出正確的選項。
- \(Q, R\)也都在\(\Delta ABC\)內部
- \(|\vec{AP}|=|\vec{AQ}|\)
- \(\Delta ABP面積=\Delta ACQ面積\)
- \(\Delta BCP面積=\Delta BCQ面積\)
- \(\Delta ABP面積>\Delta ABR面積\)
這一題雖然不難，但挺花時間的。
選項1：首先我們要先知道，當 \(P\) 在 \(\Delta ABC\) 內一點，則 \(a, b\) 要滿足什麼條件？
答案是 \(a>0, b>0, a+b<1\)。由此我們可以很快判斷，\(Q\) 也在 \(\Delta ABC的內部\)。
但是，因為\(b-0.05\)的正負未定，故 \(R\) 的位置不一定。
選項2：這個選項是容易的，我們只需將這兩個向量長度平方就會發現，無法確定此兩向量是否相等。
選項3：我們已經知道 \(P\) 與 \(Q\) 皆在 \(\Delta ABC的內部\)，畫個示意圖來看看：
分別將 \(\overline{AP}\) 與 \(\overline{AQ}\) 延長，分別交 \(\overline{BC}\) 於 \(P’\), \(Q’\)兩點，而且 \(\overline{AP}:\overline{AP’}= \overline{AQ}:\overline{AQ’}=a+b:1 \)，而且\( \overline{CP’}:\overline{BP’}=\overline{BQ’}:\overline{CQ’}=a:b \)
選項4：由上圖可推得，\(\Delta BCP面積=(1-a-b)\Delta ABC面積=\Delta BCQ面積\)
選項5：因為 \(R\) 的位置不確定在 \(\Delta ABC\) 的內部或外部或是在線段上，不難驗證，如果\(R\)的位置在 \(\Delta ABC\)內部，則\(\Delta ABP面積>\Delta ABR面積\)。
因此，我們要舉反例要朝著\(R\)在 \(\Delta ABC\)外部試試。
例如：\(a=0.025, b=0.025\)，圖示觀察一下
此時
$$\Delta ABP面積=\frac{1}{40}\Delta ABC面積=\Delta ABR面積$$
以上是幾何觀點，換代數寫法試試
令\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\), 則
$$
\begin{aligned}
\Delta ABP面積 &= \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}| \\
&= \frac{1}{2}|\overrightarrow{u}\times(a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v})| \\
&=\frac{1}{2}|b\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}|\\
&=|b|\Delta ABC面積
\end{aligned}
$$
同理，$$\Delta ABR面積=|b-0.05|\Delta ABC面積$$
若\(b=0.025\)，則$$\Delta ABP面積 = \Delta ABR面積$$
故選項(5)不正確。
因此答案選3、4
多選第10題：三次多項式問題
給定一實係數三次多項式函數 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+3\)。令 \(g(x)=f(-x)-3\)，已知 \(y=g(x) \)圖形的對稱中心為 \((1, 0)\) 且 \(g(-1)<0\)。試選出正確的選項：
- \(g(x)=0\)有三相異整數根
- \(a<0\)
- \(y=f(x)\)圖形的對稱中心為\((-1, -3)\)
- \(f(100)<0\)
- \(y=f(x)\)的圖形在點\((-1, f(-1))\)附近會近似於一條斜率為\(a\)的直線。
這一題是108課綱高一的內容，不少學生在這裡嚐到苦頭。首先我們先寫出三次多項式$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+3$$的對稱中心$$(-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))$$
另外，$$g(x)=f(-x)-3=-ax^3+bx^2-cx$$
\(y=g(x)\)之對稱中心為$$(\frac{b}{3a}, g(\frac{b}{3a}))=(1, 0)$$
因此，\(\frac{b}{3a}=1\) 並且由 \(g(1)=0\) 可得 \(-a+b-c=0\)，即$$c=b-a=3a-a=2a$$
接下來我們來看看每個選項如何作答：
選項1：\(g(x)=-ax^3+3ax^2-2ax=-ax(x^2-3x+2)=-ax(x-1)(x-2)\)
因此，\(g(x)=0\) 有三個整數根 \(x=0, 1, 2\)
選項2：由 \(g(-1)<0\) 可得 \(-a\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)<0\), 故 \( a<0 \)
選項3：\(y=f(x)\) 圖形之對稱中心為\( (-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))=(-1, 3)\)
選項4：\(f(100)=g(-100)+3=-a\cdot(-00)\cdot(-101)\cdot(-103)+3\) 正負無法確定
選項5：\(f(x)=g(-x)+3=ax(-x-2)(-x-2)+3=ax(x+1)(x+2)+3\)。因為 \(a<0\)，所以 \(y=f(x)\) 的圖形在點 \((-1, f(-1))\) 附近會近似於一條斜率為正的直線。(如下圖所示)
多選第11題：空間概念
下圖為一個積木的示意圖，其中 \(ABC\) 為一直角三角形，\(\angle{ACB}=90^{\circ}, \overline{AC}=5, \overline{BC}=6\)，且 \(ADEB\) 與 \(ADFC\)皆為矩形。試選出正確的選項。
- 將此積木沿平面 \(ACE\) 切下，可切得兩個四面體
- 平面 \(ADEB\) 與 \(ADFC\) 所夾銳角大於 \(45^{\circ}\)
- \(\angle{CEB}<\angle{AEB}\)
- \(tan{\angle{AEC}}<sin{\angle{CEB}}\)
- \(\angle{CEB}<\angle{AEC}\)
這一題是空間概念的問題，主要考兩面角的概念。
選項1，沒有什麼抉竅，將圖形畫出來即可。
從上圖可以看出來此積木被切成四面體 \(ACBE\) 及 五面體 \(ADECF\)
選項2：我們知道，兩面角要在兩個平面的交線上找，平面 \(ADEB\) 與 \(ADFC\) 的交線即為 \(AD\)。因為\(BA\bot AC\)，所以此夾角為 \(\angle{BAC}\)，並且 $$tan{\angle{BAC}}=\frac{6}{5}>1=tan{45^{\circ}}$$
因此 \(\angle{BAC}>45^{\circ}\)
選項3：如下圖所示：
這個選項，我認為要先確認 \(\angle{CBE}=90^{\circ}\)。也就是說要設法驗證 \(\overline{CB}^2+\overline{BE}^2=\overline{CE}^2\)。這部份就交給讀者，如果還是不太會的話再參考文章最下方的影片解說。
接著，\(\tan{\angle{CEB}}=\frac{6}{a}<\frac{\sqrt{61}}{a}=tan{\angle{AEB}}\)
故 \(\angle{CEB}<\angle{AEB}\)
選項4：\(\angle{AEC}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CE}}<\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=sin{\angle{CEB}}\)
選項5：延續選項4，$$tan{\angle{AEC}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{CE}}<\frac{\overline{BC}}{\overline{CE}}=sin{\angle{CEB}}<tan{\angle{CEB}}$$
因此 \(\angle{AEC}<\angle{CEB}\)
多選第12題：除法原理
設 \(f(x), g(x)\) 皆為實係數多項式，其中 \(g(x)\) 是首項係數為正的二次式。已知 \( (g(x))^2 \) 除以 \(f(x)\) 的餘式為 \(g(x)\)，且 \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸無交點。試選出不可能是 \(y=g(x)\) 圖形頂點的 \(y\) 坐標之選項。
- \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
- 1
- \(\sqrt{2}\)
- 2
- \(\pi\)
這一題出得不錯，也不是常見的考法。
首先，依照題意，我們可以看出餘式 \( g(x) \) 的次數如下：
$$2=degg(x)<degf(x)\leq 4$$
因此 \( degf(x)=3\) 或 \(4\)
這個觀察非常重要，是這一題的解題關鍵。
接著我們再看看題目還有什麼條件：
因為 \(y=f(x)\) 的圖形與 \(x\) 軸沒有交點，因此 \(deg f(x)=4\)
由以上可知，\((g(x))^2\) 除以 \(f(x)\) 的商式為一個非零的常數，令為 \(k\)
此時我們可以將式子表示如下：$$g(x)^2-g(x)=kf(x)$$因為 \(f(x)=0\) 無實根，所以 \(g(x)^2-g(x)=0\) 無實根。也就是說，\(g(x)=0\) 且 \(g(x)=1\) 無實根。
要特別注意到，\(y=g(x)\) 是開口向上的拋物線。因此，\(g(x)>1\) \(\forall x\in R\)，此拋物線的頂點的 \(y\) 坐標大於1。
答案選1、2
選填第13題：期望值 – 是否抽得到金卡？
有一款線上遊戲推出「十連抽」的抽卡機制，「十連抽」意思為系統自動做十次的抽卡動作。若每次「十連抽」需用1500枚代幣，抽中金卡的機率在前九次皆為 \(2\%\)，在第十次為\(10\%\)。今某生有代幣23000枚，且不斷使用「十連抽」，抽到不能再抽為止。則某生抽到金卡張數的期望值為幾張？
這一題的敘述不太容易理解。我們來分析一下：
當系統進行「十連抽」時，每一抽都是一個獨立事件。而且這十連抽最多會有10張金卡。另外，每次抽卡時，只會有兩種結果，分別是「抽中金卡」及「沒有抽中金卡」。因此這是一個二項分布。所以當我們進行一次「十連抽」時，可算出期望值為 \(9\cdot 0.02+1\cdot 0.1=0.28\)
接下來，我們要看看23000枚代幣可以玩幾次：
$$\frac{23000}{1500}=15\frac{1}{3}$$
因此可以玩15次「十連抽」，期望值為玩1次「十連抽」的15倍，故最後答案為$$15\times 0.28=4.2$$
選填第14題：線性方程組、矩陣的列運算
已知 \(a、b\) 為實數，且方程組
$$
\begin{cases}
ax+5y+12z=4 \\
x+ay+\frac{8}{3}z=7 \\
3x+8y+az=1
\end{cases}
$$
恰有一組解，又此方程組經過一系列的高斯消去法運算後，原來的增廣矩陣可化為
$$
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & b & 7 \\
0 & b & 5 & -5 \\
0 & 0 & b & 0 \end{array} \right]
$$
則\(a=?\) \(b=?\) (化為最簡分數)
這一題不難，按題意依序處理即可：
首先，因為此方程組恰一組解，因此 \(b\neq 0\)，\(z=0\)
接著，我們可以將所有方程式列出如下：
$$
\begin{cases}
ax+5y=4 — (1)\\
x+ay=7 — (2)\\
3x+8y=1 — (3)\\
x+2y=7 — (4)\\
by=-5 — (5)
\end{cases}
$$
由 \((3), (4)\) 解得 \(x=27, y=-10\) — (6)
(6) 代入 (1)： \(27a-50=4\), \(a=2\)
(6) 代入 (5)： \(b\cdot (-10)=-5\), \(b=\frac{1}{2}\)
選填第15題：三角函數的應用
如圖，王家有塊三角形土地 \(\Delta ABC\)，其中 \(\overline{BC}=16\) 公尺。政府擬徵收其中梯形\(DBCE\)部分，開闢以直線 \(DE, BC\) 為邊線的馬路，其路寬為 \(h\) 公尺，這讓王家土地只剩原有面積的\(\frac{9}{16}\)。經協商，改以開闢平行直線\(BE, FC\)為邊線的馬路，且路寬不變，其中\(\angle{EBC}=30^{\circ}\)，則只需徵收\(\Delta BCE\) 區域。依此協商，王家剩餘的土地\(\Delta ABE\) 有多少平方公尺？
首先，我們先假設\(\Delta ABC\)面積為 \(x\)，那麼 \(h=16sin30^{\circ}=8\)，如下圖所示：
接下來，由 \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) 可知
$$\Delta ADE面積：\Delta ABC面積 = \overline{DE}^2:\overline{BC}^2$$
代入條件可得
$$\frac{9}{16}:1=\overline{DE}^2:16^2$$
進而解出 \(\overline{DE}=4\cdot 3 =12\)
最後利用梯形 \(BCED\)的面積＝\(\frac{7}{16}x\)
$$(12+16)\times 8 \times \frac{1}{2}=\frac{7}{16}x $$
解得 \(x=256\)
另外，$$\Delta BDE面積：\Delta BCE面積 = \overline{DE}:\overline{BC} = 12:16 = 3:4$$
因此，$$\Delta ABE面積=\Delta ADE面積＋\Delta BDE面積$$
$$=\frac{9}{16}x+\frac{7}{16}x\cdot\frac{3}{7}=\frac{12}{16}x=\frac{3}{4}x=192$$
選填第16題：空間中的直線與平面
坐標空間中，平面 \(x-y+2z=3\)上有兩相異直線 \( L:\frac{x}{2}-1=y+1=-2z\)與 \(L’\)。
已知 \(L\)也在另一平面\(E\)上，且 \(L’\) 在 \(E\)的投影與 \(L\)重合。則 \(E\)的方程式為何？
這種題目還是要圖示比較清礎：
關鍵在這一句話：「\(L’\)在\(E\)的投影與 \(L\)重合」。這表示，平面 \(E\) 必須與平面 \(E’\) 垂直。
有了這個觀察，接下來就是我們熟悉的操作：
因為 \(\overrightarrow{n_E} // (1,-1, 2)\times (4, 2, -1)=(-3,9,6) // (1, -3, -2)\)
令平面 \(E\)的方程式為 \(x-3y-2z=d\)，因為 \((2, -1, 0)\in E\)，所以 \(d=2-3\cdot(-1)-2\cdot 0=5\)
最後確定平面 \(E\) 的方程式 $$x-3y-2z=5$$
選填第17題：空間向量 – 平行六面體的計算
坐標空間中一平行六面體，某一底面的其中三頂點為 \((-1, 2, 1), (-4, 1, 3), (2, 0, -3)\)，另一面之一頂點在 \(xy\) 平面上且與原點距離為1。滿足前述條件之平行六面體中，最大體積為多少？
同樣地，幾何問題我們畫個圖來看一下：
因為 \(D\) 點在 \(xy\) 平面上，因此可以設 \(D(a, b, 0)\)，而且 \(a^2+b^2=1\)
這個是由三個向量 \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}\) 所張開的平行六面體，其中
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(8, -6, 9)$$
此平行六面體的體積為$$V=|(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\cdot \overrightarrow{AD}|
=|(8, -6, 9) \cdot (a+1, b-2, -1)|
=|8a-6b+11|
$$
接著使用柯西不等式
$$(a^2+b^2)(8^2+(-6)^2)\geq (8a-6b)^2$$
代入條件可得
$$1\times 100 \geq (8a-6b)^2$$
因此\(-10\leq 8a-6b\leq 10\)
最後，$$1\leq 8a-6b+1 \leq 21$$
第貳部分、混合題或非選擇題 18-20題為題組：掃描棒怎麼掃？
坐標平面上有一環狀區域由圓 \(x^2+y^2=3\)的外部與圓 \(x^2+y^2=4\) 的內部交集而成。某甲欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環狀區域之 \(x\) 軸上方的某區域 \(R\)。他設計掃描棒黑、白兩端分別在半圓\(C_1:x^2+y^2=3 (y\geq 0)\)、\(C_2:x^2+y^2=4 (y\geq 0)\)上移動。開始時掃描棒黑端在點 \(A(\sqrt{3}, 0)\)，白端在 \(C_2\) 的點 \(B\)。接著黑、白兩端各沿著\(C_1\)、\(C_2\)逆時針移動，直至白端碰到 \(C_2\) 的點 \(B'(-2, 0)\) 便停止掃描。
這一題題意讓不少考生無法理解，是個不夠清礎的敘述。結果學生不是敗在數學，而是語文敘述。這樣的考題很新穎，但卻也有點可惜。
我們先來畫個圖看一下：
一開始，掃描棒黑端在 \(A(\sqrt{3}, 0)\)，白端在 \(B(\sqrt{3}, 1)\) 的位置。第18題就可以選答案了。
18. 試問點 \(B\) 的坐標為下列哪一選項？
- \((0,2)\)
- \((1, \sqrt{3})\)
- \((\sqrt{2}, \sqrt{2})\)
- \((\sqrt{3}, 1)\)
- \((2, 0)\)
答案選4
19. 令 \(O\) 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 \(A’, B’\)。試在答題卷上作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域\(R\)；並於求解區內求 \(cos\angle{OA’B’}\)及點 \(A’\) 的極坐標。
依照題意敘述，到底這個掃描棒是怎麼掃的呢？讓我們來看看下面的動畫：
坦白說，知道掃描棒是這樣掃的話，這一題根本就不難了呀！我們將最後的圖畫出來如下：
因為 \(\overline{OA’}^2+\overline{A’B’}^2=\overline{OB’}^2\)，所以 \(\angle{OA’B’}=90^{\circ}\)
因此$$cos\angle{OA’B’}=cos{90^{\circ}}=0, $$
並且 $$A'[\sqrt{3}, \frac{5}{6}\pi]$$
20. (承19題) 令 \(\Omega\) 表示掃描棒在第一象限所掃過的區域，試分別求 \(\Omega\) 與 \(R\) 的面積。
關於 \(\Omega\) 的部份，圖形如下：
\(\Omega\) 的面積 = 圓心角\(60^{\circ}\)環狀區域面積 ＋ 剩下的部份面積
$$=\frac{1}{2}(2^2-\sqrt{3}^2)\cdot\frac{\pi}{3}+(\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot{\sqrt{3}^2}\cdot{\frac{\pi}{6}})=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{12}$$
\(R\) 的部份區域如下：
我們可以將 \(ABC\) 那一塊補到 \(A’B’C’\) 那裡，圖形如下：
也就是說，我們只要算出圓心角 \(150^{\circ}\) 的環狀區域面積即可，計算如下：
$$\frac{1}{2}\cdot(2^2-\sqrt{3}^2)\cdot\frac{5}{6}\pi=\frac{5}{12}\pi$$
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