高中數學學習方法-為什麼做了很多題目成績卻仍然沒有起色?

學習數學的過程中,應該將重點放在「思考」並搭配適度的「記憶」與「練習」。如果在基礎功不足的情況下,只是為了應付考試而拚命做題,反而容易淪為「大量記憶」因而難以應付題目的變化。

學習數學應該包含一點點記憶和很多理解

數學是一門理解的科目,是人類文化思考下的產物。

有些學生學習數學弄錯了順序,是採用「一點點的理解和很多的記憶」作為策略,非常努力背一大堆公式,不求甚解拚命做題目,最後考差則將問題歸咎於公式沒有背熟。

但是既然數學是理解的科目,怎麼會因為沒有背熟而學不好呢?真正的原因在於理解太少,記憶太多。

這樣的方式就像一個足球員平日只拚命練習射球門,卻不肯在基本功與體能上下功夫,他很可能在比賽場上體力不支或無法成功閃躲對手,如此有可能成為一名好的球員嗎?

因此學習數學必須用大量的理解去奠定基礎。

要如何打穩數學基礎?

從定義開始

接觸數學的新單元,應該先從定義開始。定義有分兩種,一種是名詞對應式的定義,例如什麼是有理數、什麼是無理數;這只是規定,不須要去問為什麼這個名詞要定義成這樣這類的問題。

就像為什麼紅燈要停,綠燈要走這樣子的規定,只要訂好了大家有共識即可,不須要去問為什麼一樣。

另一種則是可以進一步去了解定義背後的意義。為什麼要這樣定義?例如,三角函數的定義有六個,為什麼sinA要定義成斜邊分之對邊?tanA要定義成鄰邊分之對邊?secA要定義成鄰邊分之斜邊?

高中數學三角函數
三角函數的定義

這是可以用圖形去理解的。然後還可以進一步去思考,為什麼三角函數只能有六個?

答案是,因為由任兩邊構成的分數,我們恰好就只能定義六個。

我們還可以進一步問,為什麼定義三角函數要用任兩邊相除來定義,而不使用加、減、乘定義呢?

原因是,我們希望當角度一樣時,三角函數值不隨著邊長的伸縮而有所改變,這樣的定義才是合理的。

為什麼我們要討論三角形的邊角關係而定義出三角函數,而不定義在一個四邊形上成為四角函數或是五邊形上成為五角函數呢?

諸如此類的問題,都是可以去思考的。

相關閱讀書籍:數學女孩秘密筆記:圓圓的三角函數篇

要靈活運用公式

公式不能只是背起來,而是要知道公式的推導方式,不知道怎麼來的公式寧可不要用,先用比較麻煩但真正懂的方式解題會比硬套自己不懂的公式為佳。

使用公式的原則就是,除了必須要自己會推導之外,也可以在不使用這個公式的前提下用推導這個公式的思維解出這道題。

換句話說,即使考試時忘了公式也沒關係,雖然會多花一些時間,但至少還是做得出來。

要熟悉每個定理的證明

最好的方式是在懂了這個定理證明後,可以獨自寫出來為佳。

每個定理的證明方法,彺往透露出這部份內容的基本想法

很多例題,其實只是將定理證明用實際的數字取代符號跑過一遍而已。

每個定理都有不同的使用方法與使用時機,要精確地掌握。

例如:當我們看到多項式方程式的虛根成對定理,就要注意是當實係數時才可以使用。這個定理可以協助我們判斷,一個實係數多項方程式在奇數次時必定存在一個實根。或者可以協助我們將高次多項方程降次。

高中數學虛根成對定理

又或者,當我們看到Vieta’s root theorem (維塔根定理,或翻譯成韋達定理 ) 時,這是探討n次方程式根與係數關係的定理。除了要知道它的使用方法及證明之外,還可以想想,當多項式的次數提高時,根與係數的關係如何?此時會發現原來是有規律的。

https://www.youtube.com/watch?v=qVANpN_wNy4&vl=zh-Hant
美國教授提出一元二次方程新解法?你真的會用韋達定理嗎?

要切忌只背公式或定理卻不仔細弄懂,結果經常不會使用或誤用,考試時反而讓你心裡不踏實甚至派不上用場。

做題目是手段與過程,而不是目的

學習數學的目的,是要讓自己更會思考。數學有趣的地方在於,它讓我們有無限自由想像的空間而不受到現實世界的拘束。

做題目,是輔助我們朝向理解的目標前進。如果解了一道題可以讓我們因此了解了什麼,那麼這樣的練習就非常有意義。

反之,如果寫了大量差不多的題目,讓自己變成一種不經大腦的反射動作,在應付考試上面適量就好,最後還是要記得回歸學習數學的本質與初衷好好停下來思考。

大量做題目的時機

如果依循正確的方式學完定義、公式、定理後,我們已有了初步的基礎。接下來可以從做題目中發展出自己的「解題策略」。

也就是看到題目後,試著去聯結所學到的內容,多練習幾道不重複的問題來鞏固所學。

一旦解題策略成形後,就可以大量做一些自己沒見過的題目,然後從中得到經驗,不斷修正並擴大自己的解題策略。

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