從數學家的觀點看基礎數學教育

作者Paul Lockhart曾經是美國布朗大學、加州大學聖塔克魯茲分校的數學教授。從2000年開始，他自願到紐約布魯克林的聖安學校教導K-12(從幼稚園到十二年級)的數學課。

他是一位傑出的數學家，發願來教小孩子數學，希望能呈現給孩子們數學的美感和充滿想像力的一面，他在書中強烈批判「死記硬背」、「省略思考過程」的教學方法。

我們現行的數學教育，數學家參與不多，大多為教育相關背景的老師學者來主導。因此這本書從一個數學家的角度出發，更深刻地引出數學的內涵，並提出應用在K-12數學教育的觀念。

看完這本書後，深感現實與理想總有一段不小的差距，在升學主義掛帥講求效率的教學環境中，要做到作者所提到的理想非常困難。即便如此，我們心中仍然不應沒有理想。

在教學現場，即便無法將數學的內涵完整呈現，但至少我們心中仍然應該掛念，什麼才是真正應該追尋的目標。

數學的趣味不在於「與生活產生聯結」

教改一直設法「要讓數學變有趣」，以及「與孩子們的生活產生關連」。

然而真實的數學本來就遠超過我們所能了解的有趣，其驕傲之處就在於可以與我們的生活完全無關，這就是為什麼它如此有趣的原因。

教科書為了讓內容變得「有趣」與「關連」的目的，而編寫的一些生活故事，但如果少了與歷史相互呼應，那麼這樣的故事就會顯得牽強而做作。

數學都是從歷史脈絡產生，並因而獲得意義。

因此，我們所要追尋的，應該是有歷史觀點的數學。

並且要了解， 不論是否具有實用性，數學都是在問題背景之下發展出來的，然後從那個背景衍生出它們的意義。它也可以說是一套歷史文化傳承下的產物。

做數學的真實心境

做數學就是與模式遊戲、注意觀察事物、做出猜測、尋找正反例、被激發去發明和探索製作出論證並分析論證，然後提出新的問題

在教育現場，我們很容易因為考試的需要而讓學生大量練習很多差不多的題目。不可否認，這樣做可以協助學生熟悉課程內容，但如果過度使用，可能會讓學生感到無聊且乏味。

想法從何而來？我怎麼知道要畫哪條輔助線？那我要問你了，畫家又是怎麼知道哪裏畫上一筆？靈感、經驗、嘗試錯誤、運氣、這就是藝術，創造出那些思想的美麗小詩，創造出那些純粹理性的詩篇。

我能夠從「無」當中創造出全然簡單的美麗，並且在這個過程中改變了我自己，這不正是藝術嗎？

這裡道出了真正做數學時應有的心理感受。它是一種能夠從「無」當中創造出「有」的過程，並且在這個過程中改變了我們自己。

換句話說，做數學是一種豐富且迷人的想像力探索過程。從一個自然的問題出發，進行發明與發現，這不是件輕鬆的事情。

因此，如果學生遇到一道不會的題目很快就看解答，就無法產生這樣的心智探索過程。做這道題的收穫充其量就是看懂這道題的解法，自己很難有什麼改變。

構思比事實重要

我們在教學上將焦點集中在「什麼」，排除掉「為什麼」，數學被迫降格為一個殼子。數學不是在「真相」裏，而是在說明、論證之中。

我們可以背記一些公式或是有趣的事實。但背記這些不是為了套題目，就像學習字彙必須要記憶一樣，是為了幫助我們創造更豐富、更微妙的藝術作品。

例如：三角形是長方形面積一半這個「事實」並不重要，重要的是，以輔助線來切割的這個巧妙構思，以及這個構思可能激發出其他美妙的構思，進而引導出在其他問題上的創造性突破，光是事實的陳述絕不可能給你這些的。

數學是一門理科，著重在說理。學生在這個過程中要試著提出自己的問題、自己猜測與發現、嘗試錯誤、經歷創造性的挫折、產生靈感、拼湊出他們的解釋和證明，這才是真正學習數學的過程。

我們要避免的是，一個問題被提出來後，同時也被解答了，學生無事可做。學校裡的數學，最主要的問題出在沒有「問題」。

然而，大家所認為在數學課堂裏的問題，就是那些枯燥的「習題」。

這裏有一個題型，這裏是解答它的方法。這個會出現在考試裏，今天的家庭作業是習題1-35題。

什麼是真正符合人類天性的提問？

• 一個立方體的對角線，其長度為何？
• 質數是無止盡的嗎？
• 無限大是一個數字嗎？
• 在一個平面上用對稱的方式舖磁磚的方法有幾種？

一個好的問題是你不知道「如何」解決的。這也使它成為一個好的謎題，一個吸引人的磁鐵。

我們學習東西是因為它現在吸引我，而不是為了將來可能有用。但這卻正好是我們要孩子學習數學的原因！

我們在這些小孩的數學課程裏該做些什麼呢？

玩遊戲呀！教導他們西洋棋、象棋、圍棋、五子棋和跳棋，…讓他們處於須要需要推論推理的情境。不要擔心符號和技巧，協助他們成為積極主動，有創造力的數學思考家！

學習數學，重點在於想法，而不是一再操弄符號與重複演算。

其中最重要的事實就是：數學是人類為了樂趣所做出來的一個藝術型態，它是一種探索的過程。而這些都是來自於自己解決問題，而不是被告知該如何解決！玩遊戲就是自然引發解決問題的動機。

因此，所謂做數學的意思是， 與模式玩遊戲、注意觀察事物、尋找正例和反例、被激發去發明與探索、製作出論證並分析論證、然後提出新的問題。

結論

數學一直是很多學生學習的障礙，因此三不五時就會有人在問，為什麼我要學數學？學數學有什麼用？

這本書直接給了答案。做數學本質上就是玩遊戲，並且能夠使人從過程中獲得心理上的滿足。

數學是由人們製作出想像的模式和節構，然後研究它們並嘗試為它們的行為做出適當甚至漂亮的說明。而這全都是為了某種純粹的智性美學。

尤其，純數學完全沒有實際或是經濟的價值，而是一種完全天真及愉悅的心智活動。藉由它，使我們得以與自己的心智對話。

因此，學習數學本身就是一件持續反饋的過程，它不是以實用性為考量，既然制度要求學生要學數學，這是無法改變的事實，也無法逃避，希望在看完這本書的介紹後，能幫助讀者對數學有較正確的認知，調整好自己再出發吧！