前言

八年級時，我們第一次學到了「畢氏定理」，這個定理告訴我們，一個直角三角形的兩股平方和等於斜邊的平方。文獻上記載，畢氏定理有超過三百多種的證明方式。其中，歐幾里德的風車證法堪稱經典。到了高一下學期，我們學到了三角比的應用之一：「餘弦定理」。這一篇文章，我們要從風車證法中，觀察餘弦定理修正項出現的原因。雖然證明過程相較課本教我們的方式複雜一些，也沒有這麼直觀，但卻更可以看出餘弦定理修正項與幾何的連結。

畢氏定理的證明方法：歐幾里德的風車證法

首先，我們考慮以下這個圖形：

其中\(\Delta ABC\)為直角三角形，且 \(\angle{ABC}=90^{\circ}\)，以其三邊長往外延展出三個正方形 \(ABGF\)、\(ACED\)、\(BCKH\)。

連接\(CF\)、\(BD\)，並且過\(B\)點做鉛直線，分別交\(\overline{AC}\)與\(\overline{DE}\)於\(I\)、\(L\)兩點(如下圖)。

稍微觀察一下，不難發現 \(\Delta ACF \cong \Delta ADB (SAS)\)，先來計算 \(\Delta ABD的面積\)

$$ \begin{aligned}
\Delta ABD面積 &= \overline{AD}\times h_1 \times \frac{1}{2} \\
&= 矩形ADLI的面積 \times \frac{1}{2}
\end {aligned}$$

另一方面，計算 \(\Delta ACF的面積\)

$$ \begin{aligned}
\Delta ACF的面積 &= \overline{AF}\times h_2 \times \frac{1}{2} \\
&= 正方形ABGF的面積 \times \frac{1}{2}
\end {aligned}$$ 因為 \(\Delta ABD面積\cong \Delta ACF的面積\)，所以 $$矩形ADLI的面積 = 正方形ABGF的面積$$

同理，$$矩形ILEC的面積=正方形BCKH的面積$$

因此，
$$\begin{aligned}
正方形ADEC的面積 &= 矩形 ADLI的面積 + 矩形ILEC的面積 \\
&= 正方形ABGF的面積 ＋ 正方形BCKH的面積
\end{aligned}$$ 亦即 $$\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2$$ 得證。

回顧課程：餘弦定理

什麼是餘弦定理？敘述如下：在 \(\Delta ABC\) 中，\(\angle A, \angle B,\angle C\) 的對邊長分別為 \(a,b,c\)，則
$$\begin{aligned}
a^2 &= b^2+c^2 -2bccosA \\
b^2 &= a^2+c^2 -2accosB \\
c^2 &= a^2+b^2 -2abcosC \\
\end{aligned}$$

目前教科書提供的證明，主要為代數操作，快速地來複習一下：

第一個方法，作\(BC\) 邊上的高 \(\overline{AD}\)。

在 \(\Delta ABD\)中，\(\overline{BD}=ccosB, \overline{AD}=csinB\)，

因此，在\(\Delta ACD\)中，\(\overline{CD}=a-ccosB\)，根據畢氏定理
$$\begin{aligned}
b^2 &= (a-ccosB)^2+(csinB)^2 \\
&= a^2+c^2-2accosB
\end{aligned}$$ 這是很簡單的代數證明。

另一個方式則是使用解析幾何，建立坐標系：以 \(B\) 為原點，\(\overleftrightarrow{BC}\) 為 \(x\) 軸。

標上3個頂點坐標後，寫出 \(A\)、\(C\)兩點的距離
$$\begin{aligned}
b^2&=\overline{AC}^2 \\
&=(a-ccosB)^2+(csinB)^2 \\
&= a^2+c^2(cos^2B+sin^2B)-2accosB \\
&= a^2+c^2-2accosB
\end{aligned}$$

從以上兩個證明，我們可以看出，餘弦定理的本質其實還是畢氏定理，修正項在代數運算的過程中自然出現了。接下來我們來看看歐幾里德的風車證法中，修正項的幾何意義。

餘弦定理的證明方法：歐幾里德的風車證法

考慮 \(0^{\circ}<\angle{B}<90^{\circ}\) (\(\angle{ABC}>90^{\circ}\)的情形留給讀者練習)，如下圖所示：

顯然，\(\Delta AFC \cong \Delta ABD (SAS)\)。

接著，分別計算 \(\Delta AFC\) 及 \(\Delta ABD\) 的面積

$$\begin{aligned}
\Delta AFC的面積 &= \overline{AF}\times h_1 \times \frac{1}{2}\\
&= 矩形 AFMJ的面積 \times \frac{1}{2}
\end{aligned} \tag{1}$$

$$\begin{aligned}
\Delta BAD 的面積 &= \overline{AD} \times h_2 \times \frac{1}{2} \\
&= 矩形ADLI的面積 \times \frac{1}{2} \end{aligned} \tag{2}$$
因為 \(\Delta AFC \cong \Delta ABD (SAS)\)，所以由第(1)式及第(2)式可知，\(矩形AFMJ的面積 = 矩形 ADLI的面積\)

同理，$$矩形CNOK的面積 = 矩形 ILEC的面積$$

從這裡可以看出，修正項就是指矩形\(BJMG\)及矩形\(BNOH\)的面積，其中
$$矩形BJMG=\overline{BG}\times\overline{BJ}=c\times acosB (如下圖，在\Delta BCJ中，\overline{BJ}=acosB)$$ $$矩形BNOH=\overline{BH}\times\overline{BN}=a\times ccosB (如下圖，在\Delta ABN中，\overline{BN}=ccosB)$$

$$\begin{aligned}
\overline{AC}^2=正方形ADEC的面積 &= 矩形ADLI的面積+矩形ILEC的面積 \\
&= 矩形AFMJ的面積+矩形CNOK的面積 \\
&= (正方形ABGF的面積-矩形BJMG的面積)\\
&+ (正方形BCKH的面積-矩形BNOH的面積)\\
&= (\overline{AB}^2-\overline{BC}\times\overline{AB}\times ccosB) + (\overline{BC}^2-\overline{BC}\times\overline{AB}\times cosB) \\
&=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2 -2\overline{BC}\times \overline{AB}\times cosB
\end{aligned}$$ 證畢。

餘弦定理我已經教了數十次，第一次看到這個證明，覺得很新鮮也很有趣。教科書的編排，往往是以學生容易學習與理解為主，不一定按照歷史脈絡與呈現當初數學家的原始思想，因此我時常鼓勵學生多閱讀課外書籍，不僅是為了考試，而是學習到知識的本質與內涵。

然而，在繁重的課業之下，大多數學生很難有時間閱讀整本書籍，因此採用單篇文章的形式，盡量以淺顯白話的方式書寫，方便學生們閱讀。

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