前言

在國中數學第四冊、高中數學第二冊介紹數列的定義時,都會舉一個有趣的例子:$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … $$
接著讓學生觀察其規則後,寫出下一項。然而,這是個有著豐富且深刻內涵的數列,在課堂上礙於進度壓力,無法緩下來解說,實在可惜。網路上資料琳瑯滿目,又講得太深太廣,沒有老師的引領,學生難以理解。我去年在學校開設多元選修課時,特別將此主題納入授課大綱,搭配一些youtube影片,解說此數列的歷史與大自然巧妙的關聯性,增添課程的趣味。只是當時為了提到「費氏數列」與「黃金比例」的關聯,太快引入極限的概念,學生不免感到吃力。

因此,這一篇文章,我又重新整理了一次,由淺入深編排,希望可以將內容修飾成適合國中生、高中生甚至大一學生閱讀的材料。並且錄製成影片解說,彌補文字敘述的不足之處。

費氏數列起源

費氏數列,又稱為費波那契數列,是由意大利數學家費波那契(Leonardo Fibonacci, 1175-1250)在他的《算盤書》中提出。他描述免子生長的數目,以下述規則繁衍:

  • 第一個月初有一對剛誕生的免子
  • 第二個月之後(第三個月初) 牠們才可以生育,並且於每個月生下一對免子
  • 免子永不死去

按照此規則

  • 第一個月有1對免子A1
  • 第二個月仍只有1對免子A1 (尚無法生育)
  • 第三個月會有2對免子 (第1對免子A1及其生下的第2對免子A2)
  • 第四個月會有3對免子(第1對免子A1及其生下的第2、3對免子A2、A3)
  • 第五個月會有5對免子(第1對免子A1及其生下的第2、3、4對免子A2、A3、A4,第2對免子生下的第1對免子A21)
  • 依此規則下去…。

費氏數列中的數稱為「費氏數」

圖片來源:維基百科

從一道題目開始

知道費氏數列的由來後,我們可以試著思考以下這一道題目:

在費氏數列的前2021項中,有幾項被3除與被7除之後所得的餘數相同?

這個問題在國中的課堂上,引起不少學生的興趣。我接著跟他們說,只要能在放學前想出來,學習表現加10分。正所謂重賞之下必有勇夫,竟然真的有一些學生兩節課後提出正確的解答。

在解釋這一題的解法之前,我順便介紹一個符號:$$a\equiv b \ mod\ p$$
這個式子的意思是,兩個整數 \(a\)、\(b\) 被整數 \(p\) 除之所得的餘數相同。換句話說就是 \(p\) 整除 \(a-b\),符號可記為 $$ p \ |\ a-b $$

我們多列幾個費氏數來觀察一下:$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …$$

接著列出被3除的餘數 (mod3)

$$1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, …$$

有發現了嗎?原來被3除之後的餘數是有週期性的:\(1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0\),每八個數一個循環。

然後再看一下被7除的餘數 (mod7)

$$1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, …$$

被7除之後的餘數也有週期性:\(1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0\),每十六個數一個循環。

接著再觀察一下,這些數當中有哪幾項是相同的?

原來,每一個16項的循環中,會有7項相同。那麼我們就要去估算一下,2021項當中有幾個循環,並且剩下幾項呢?

$$2021÷16=126…5$$

有126個循環,剩下的5項中有3項相同。因此 $$126\times 7 + 3 = 885$$
總共有 \(885\) 項。

從這一道題目,我們似乎可以隱約感受到,費氏數列被任何整數除完後,其「餘數數列」必定具有週期性,留給有興趣的同學去探索,在中學的課堂上就先在此打住。

對於費氏數列的觀察

接下來,我們來觀察費氏數列的前 \(n\) 項和:

$$\begin{aligned}
S_1 &= 1 &=1 \\
S_2 &= 1+1 &=2 \\
S_3 &= 1+1+2 &=4 \\
S_4 &= 1+1+2+3 &=7\\
S_5 &= 1+1+2+3+5 &=12\\
S_6 &= 1+1+2+3+5+8 &=20\\
S_7 &= 1+1+2+3+5+8+13 &=33\\
& ……
\end{aligned}$$

可以看到,每項 \(S_n\) 與 \(F_{n+2}-1\) 是一致的:

$$\begin{aligned}
S_1 &= 1 &=1 &= 2-1 \\
S_2 &= 1+1 &=2 &= 3-1 \\
S_3 &= 1+1+2 &=4 &= 5-1\\
S_4 &= 1+1+2+3 &=7 &= 8-1\\
S_5 &= 1+1+2+3+5 &=12 &= 13-1\\
S_6 &= 1+1+2+3+5+8 &=20 &=21-1\\
S_7 &= 1+1+2+3+5+8+13 &=33 &= 34-1\\
& ……
\end{aligned}$$

在等式的最右側再次出現了連續的費氏數,可以簡單驗證一下:
$$\begin{aligned}
S_n &= F_1+F_2+F_3+F_4+F_5+F_6+F_7+F_8+……+F_n \\
&= (F_3-F_2)+(F_4-F_3)+(F_5-F_4)+(F_6-F_5)+……(F_{n+2}-F_{n+1}) \\
&= F_{n+2}-F_2 = F_{n+2}-1
\end{aligned}$$

再試試偶數項相加:$$F_2+F_4+F_6+…+F_{2n}=? $$
$$\begin{aligned}
F_2+F_4+F_6+…+F_{2n} &= F_1+(F_2+F_3)+(F_4+F_5)+…+(F_{2n-2}+F_{2n-1}) \\
&= F_{2n+1}-1
\end{aligned}$$

那麼奇數項相加又會如何呢?$$F_1+F_3+F_5+…+F_{2n-1}=?$$

同樣的驗證方式:
$$\begin{aligned}
&F_1+F_3+F_5+F_7+……+F_{2n-1} \\
&= F_1+(F_1+F_2)+(F_3+F_4)+(F_5+F_6)+…+(F_{2n-3}+F_{2n-2}) \\
&= F_1+(F_{2n}-1) \\
&= F_{2n}
\end{aligned}$$

至此已經完成費氏數列第一部份的介紹,對於中學生而言,能夠有如此程度的理解,應該就好很多了。
但是課本礙於課綱與篇幅限制,不可能說太多,因此以此篇文章作為學生的閱讀材料,希望有助於提升學習興趣。

最後,放上數感實驗室錄製的影片,可搭配課堂講授使用。

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