前言：高中數學課本內容回顧

在課堂上，我們已經知道如何證明 \(\sqrt{2}\) 是無理數。前些日子，我分享了一篇文章，標題為「關於歐拉數的探索之旅」，當中證明了歐拉數「\(e\)」是一個無理數。最近在教高一指對數時，有學生提出，為什麼可以確定\(log2\) 是無理數呢？因為課程緊湊，我當下沒有證明，但其實與證明\(\sqrt{2}\)是無理數同樣容易。同樣使用反證法，證明方式如下：

假設 \(log2\) 是有理數，因為 \(0<log2<1\)，所以存在兩個整數 \(p\)、\(q\) 滿足 \(p>q>0\)，使得 $$log2=\frac{q}{p}$$

將上式化為指數式 $$2=10^{\frac{q}{p}}$$接著將等式兩邊同時 \(p\)次方可得 $$2^p=10^q=2^q\times 5^q$$

接著等式兩邊同時除以 \(2^q\)可得 $$2^{p-q}=5^q$$但是 \(2^{p-q}\)是偶數，\(5^q\)是奇數，造成矛盾。

類似的問題：如何證明cos20度為無理數

在高中數學裡類似的問題：要如何證明 \(cos20^{\circ}\)是無理數呢？如果直接使用反證法，實在不知如何下手，所以要換另一種策略。

首先考慮三倍角公式 $$cos60^{\circ}=cos3\cdot 20^{\circ}=4cos^3{20^{\circ}}-3cos20^{\circ}$$

等號兩邊同乘以 \(2\)移項後，可知 \(cos20^{\circ}\) 是方程式 \(8x^3-6x-1=0\)的一根。

那麼我們只要能夠說明方程式 $$8x^3-6x-1=0$$不存在有理根即可。

然而，108課綱已經移除了一次因式檢驗法，那麼還有什麼方式可以說明方程式不存在有理根呢？我們同樣可以使用反證法來處理。

假設方程式 $$8x^3-6x-1=0$$ 存在有理根 \(x=\frac{A}{B}\)，其中 \(A, B\in Z\)，\(B\neq 0\)，且 \(gcd(A,B)=1\) ，將此有理根代入方程式可得 $$8\cdot(\frac{A}{B})^3-6(\frac{A}{B})-1=0$$ 等式兩邊同乘以\(B^3\)可得
$$8A^3-6AB^2-B^3=0 $$
移項提公因式
\begin{equation}
8A^3=6AB^2+B^3=B^2(6A+B) \tag{1}
\end{equation}

接著來討論兩種情形：
1. 整數 \(A\) 不含有質因數，此時 \(A\) 的值可能為 \(0, 1, -1\)
2. 整數 \(A\) 含有質因數 \(p\)

第 1 種情況，我們針對 \(A=0, 1, -1\) 分別討論如下：

若 \(A=0\)， 代入第(1)式可得 \(B^3=0\)，造成矛盾，此情形不會發生。
若 \(A=1\)， 代入第(1)式可得 \(8=B^2(6+B)\)，但是找不到整數 \(B\) 滿足 \(B^2(6+B)=8\)
若 \(A=-1\)，代入第(1)式可得 \(-8=B^2(-6+B)\)，但是找不到整數 \(B\) 滿足 \(B^2(-6+B)=-8\)

第 2 種情況，整數 \(A\) 有質因數 \(p\)

第(1)式中，左式 \(8A^3\) 可被質數 \(p\)整除，因此右式同樣可以被 \(p\) 整除。
然而，\(B^2(6A+B)\)被質數 \(p\) 除之後，與 \(B^3\) 同餘式，因此 \(B^3\) 亦可以被 \(p\) 整除，此時與 \(A、B\)互質矛盾。

由以上討論可知，方程式 $$8x^3-6x-1=0$$不存在有理根，因此 \(cos{20^{\circ}}\) 為無理數。

這篇文章就先寫到這邊，如果你對這方面的主題有興趣，歡迎訂閱「高中數學數位學習電子報」接收相關訊息。

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