課程回顧

在高中數學第一冊(龍騰版單元10、南一版3-2)提到三次函數的圖形。這一段是108課綱新加入的內容，讓不少學生吃盡苦頭。雖然國中時已經有處理二次函數的經驗，但三次函數複雜許多。

回想一下，我們當初是如何理解二次函數呢？

答案是「配方法」。透過配方，我們可以觀察出來，二次函數，本身是一個「線對稱圖形」。就以一般情況來說吧，考慮一般形式的二次函數$$y=f(x)=ax^2+bx+c$$配方後可寫成如下形式$$y=f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$ 因此 \(x=-\frac{b}{2a}\) 是此圖形的對稱軸。

然而，三次函數是否也有這樣的對稱性呢？

要回答這個問題之前，首先我們要先嘗試，三次函數是否也可以像二次函數一般「配方」呢？

沒問題，在課本中，就會看到整個配方過程，只是課本可能是以數字演示，而我們以一般的符號呈現如下，整個配方的過程必須熟悉和的立方公式：

$$
\begin{aligned}
y=f(x)&= a(x^3+\frac{b}{a}x^2)+cx+d \\
&= a(x^3+3x^2\cdot\frac{b}{3a}+3x(\frac{b}{3a}))^2+(\frac{b}{3a})^3 + (c-\frac{b^2}{3a})x+d-\frac{b^3}{27a^2}\\
&=a(x+\frac{b}{3a})^3+(c-\frac{b^2}{3a})(x+\frac{b}{3a})+(-\frac{b^3}{27a^2}+\frac{b^3}{9a^2}-\frac{bc}{3a}+d)\\
&= a(x+\frac{b}{3a})^3+p(x+\frac{b}{3a})+f(-\frac{b}{3a})
\end{aligned}
$$

這個配方結果，帶給我們兩個啟發：

第一：此三次函數的圖形對於點 \((-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))\) 對稱。

也就是說，對於任何的正數 \(h\)，點 \((-\frac{b}{3a}-h, f(-\frac{b}{3a}-h)) \) 與 點 \((-\frac{b}{3a}+h, f(-\frac{b}{3a}+h)) \) 的中點為 \((-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))\) 。課本內容對此性質做了詳細的介紹。

第二：早期的數學家，就是採用這個轉換方式，將三次方程式中的二次項係數消除。也就是說，設 $$y=x+\frac{b}{3a}$$則三次方程式可以改寫為 $$y^3+py=q$$的形式。

這是對於一般三次方程式求解的關鍵步驟。雖然消去三次方程式中的二次項係數不是新鮮事，但是相信有一些學生(包括以前的我)都是直接記下這個變數變換然後代回原本的方程式驗證，高中課本提醒了我們這種變數變換出現的原因。

對於三次方程式的根式解是由誰先寫出來的，在歷史上有過激烈的爭辯。1545年，義大利的醫生兼數學家Cardano在他出版的《大技術》一書中，公開了三次、四次方程式的求解過程。事實上，在他之前，已經有許多數學家對此做了努力。

首先，我們要先知道，這是個對於「負數」的意義都還不太確定的年代。在16世紀時，二次方程式的公式解對於當時的數學家而言是常識。但是一旦遇到根號裡面出現負數，就會被數學家視為無解。這就是我們國中階段所面臨的情況，「二次方程式的判別式小於0，則此方程式無解」。我在國中課堂上，仍然會讓學生知道，更精確得說，不是無解，而是無「實數解」。

在高中時，我們學到了圓與直線的關係，可以用代入消去法，將判斷兩個圖形的交點個數問題轉換為判斷二次方程式解的問題。一旦這個二次方程式出現無(實數)解，就是直線與圓沒有交點的情況。雖然現在看來這不是什麼很難接受的觀念，但在當時，數學家認為這是一種「不真實且虛幻」的情況，一直不想去面對。

就在這樣的年代，可想而知，解出三次方程式是件多麼了不起的事。即使在現代中學的數學課我們也只能解出特殊的三次方程式，並不知道如何推導三次方程式的根式解。

概述三次方程式的求解方法

三次方程式根式解的推導過程，網路上已有很多鉅細靡遺的資料可參考。我試著用口語化的方式，讓讀者更容易理解。

以上已經提到，經過合適的變數變換，可以將三次方程式中的二次項消除，得出以下形式的方程式$$x^3+cx=d$$

Cardano採用幾何證明告訴我們，先找到兩個數 \(u,v\)，使得 $$x=\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}$$ 接著，將此數三次方可得
$$\begin{aligned}
x^3=(\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v})^3 &= (u-v)-3\cdot\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}(\sqrt[3]{u}-\sqrt[3]{v}) \\
&= (u-v)-3\cdot\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}\cdot x
\end{aligned}$$ 移項整理 $$x^3+3\cdot\sqrt[3]{u}\cdot\sqrt[3]{v}\cdot x=u-v$$ 比較係數可得 $$u-v=d, \ uv=(\frac{c}{3})^3\tag{1}$$ 在第(1)式中，將 \(v\) 代換掉，可得出以下 \(u\) 的二次方程式 $$u^2-du-(\frac{c}{3})^3=0$$

使用二次方程式的公式解，可求得 $$u=\frac{d}{2}\pm\sqrt{(\frac{d}{2})^2+(\frac{c}{3})^3}$$ 看起來雖然有兩個解，但無論代入哪一個，最後 \(x\) 皆相同，如下所示：$$x=\sqrt[3]{\sqrt{(\frac{d}{2})^2+(\frac{c}{3})^3}+\frac{d}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{(\frac{d}{2})^2+(\frac{c}{3})^3}-\frac{d}{2}}$$ 這個公式相較於二次方程式的公式解確實複雜了不少，但還不算太難以記憶。

我們試著解看看以下方程式：$$x^3+6x=20$$

對應到以上公式的符號：\(c=6, d=20\)，接著找到其中一個解如下：$$x=\sqrt[3]{\sqrt{108}+10}-\sqrt[3]{\sqrt{108}-10}$$

可是，數學家邦貝利(R.Bombeli, 1526~1572) 在他的著作《代數學》中提到一個例子：$$x^3=15x+4$$ 他以Cardano的公式代入，得出以下解的形式：$$x=\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}$$ 在負數的意義還不太確定的十六世紀，這種情形很容易被視為不合理，而將此方程式視為不可解。然而，這個方程式卻可以被分解如下 $$x^3-15x-4=(x-4)(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3})=0$$ 這個方程式明明是有解的呀！

因此，我們可以猜測，這種三次方根 \(\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}\) 及 \(\sqrt[3]{\sqrt{-121}-2}\) 可以進一步化簡，就如同我們高一做的雙重根式的化簡一樣。

設 $$\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}=a+bi \tag{2}$$ 其中 \(i=\sqrt{-1}\)

將第(2)式等號兩邊同時\(3\)次方可得 $$2+11i=a^3+3a^2bi+3a(bi)^2+(bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i$$ 接著比較實部與虛部：
$$\begin{cases}
a^3-3ab^2=2 \\
3a^2b-b^3=11
\end{cases}$$ 得出 $$\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}=2+i$$ 同樣可得 $$\sqrt[3]{-\sqrt{-121}+2}=2-i$$ 因此 $$x=\sqrt[3]{\sqrt{-121}+2}+\sqrt[3]{-\sqrt{-121}+2}=2+i+2-i=4$$
一旦找到一個實數解，就可以將三次方程式降為二次方程式，接著找到另外兩個根。

此時，我們有個自然的提問：Cardano的公式可以找到其中一個解，那麼其他解要怎麼找呢？

為了不讓這篇文章過多技術性的操作，這裡就先不再詳述推導細節，如果同學有興趣，不妨Google關鍵字，三次方程式，可以找到一大堆資料。

接下來，我們來簡述一下解三次方程式這段有點爭議的歷史。

三次方程式公式解的優先權之爭

對十六世紀的數學家而言，二次方程式的公式解是常識，而三次方程式的公式解則是謀求職業發展與社會地位的秘密武器。

在1510年~1515年之間，義大利波隆大學的數學家費羅(Scirione dal Ferro, 1465-1526)提出了缺二次項的三次方程式 \(x^3+cx=d\)的代數解。當時他並未將此解法公開，而且嚴加保密，直到去世時，才將此解法傳給他的女婿納夫與一個學生費爾(Antonio Maria Fior)。

費爾原本將藉著解三次方程式謀求教職，豈料此時盛傳另一位數學教師塔爾塔利亞(Tartaglia,1499-1557)也會解三次方程式。當時(1535年)他們為此舉辦了一場比賽，比賽方法就是每個人向對方提出三十道題目，在40到50天之內解出最多題目者獲勝。結果塔爾塔利亞大獲全勝，他在2個小時之內就將費爾出的題目全部解出。

後來另一位數學家Cardano聽聞此事，用盡各種方法請求Tartaglia允許他在即將出版的書中披露3次方程式的解法，並承諾會歸功於Tartaglia。Tartaglia當然不願意，但Cardano利用他的贊助者，同時也是米蘭的統治者瓦斯托侯爵之名義，誘使Tartaglia與他碰面。Targaglia最後終於給出了「解法規則」，但是以曖昧不明的詩句形示表示，也沒有對解法的實證。

Cardano在助理Ferrari的幫助下，花了六年的時間，揣摩出那些詩句的意思，又擴展它們的含義，將十三種類型的三次方程式的解法完全呈現在《大技術》這本書中，並且以幾何的方式加以實證，甚至在後面幾章，在助理的協助下得到了四次方程式的公式解。

此書出版後的第二年，憤怒的Tartaglia出版了《新問題與發現》，前半部揭示了他發現的問題的解法，後半部則用來批評Cardano的數學能力及剽竊行為。但Cardano的助理Ferrari駁斥Tartaglia的說法，並且認為Cardano的解法應該歸功於之前的數學家費羅以及費爾才是。一翻論戰後，Tartaglia失去了教職，而Ferrari獲得了波隆納大學的教職。Tartaglia在往後的人生，一心報復Cardano，最後使盡一切手段與陰謀，讓Cardano遭到驅逐，並且破產，入獄，隱姓埋名過完一生。

在課堂上，我們花了很多時間在數學技術上的操作，但是課程安排的順序，未必是歷史發展的方式。當我們試著從歷史的脈絡中認識數學，也許可以從中獲得截然不同的體會。這篇文章就先寫到這邊。如果你對這類主題的文章有興趣，歡迎訂閱「高中數學數位學習電子報」，你會收到相關資訊通知。

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參考資料

• 龍騰版高中數學課本第一冊
• 追本數源 / 蘇惠玉 著 (推薦好書)
• 溫柔數學史：從古埃及到超級電腦 / 比爾．柏林霍夫, 佛南度．辜維亞 著 (推薦好書)

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