在三角形ABC中，如何求出三內角的正弦值、餘弦值、正切值、餘切值和的極值，這四個問題牽涉到和差化積、二倍角公式、柯西不等式、算幾不等式與凸函數的特性、相信對這四個問題的統合與理解，有助於學習者分辨相似問題之間的差異，並學習運用所學解決問題的方法。

題目敘述

1. 三角形ABC中，求cosA+cosB+cosC 之最大值
2. 三角形ABC中，求sinA+sinB+sinC 之最大值
3. 銳角三角形ABC中，求tanA+tanB+tanC 之最小值
4. 銳角三角形ABC中，求cotA+cotB+cotC 之最小值

問題分析

在解這道題目之前，首先，先想想有什麼三角恆等式可以使用？

第一、正餘弦函數的「和差化積」與「積化和差」

其實這個公式就是和角與差角公式，並且再做一些符號上的代換而已。第一次學習的人都應該要推導過，然後再將其結果記熟並應用在解決問題上面。

附帶一提，對於公式有兩種很極端的現象，一種人是太過依賴公式，只要提到數學就將公式劃為等號。

另一種人是，不背公式，想要每次做題時重新推導。其實這兩種都不是很好，歡迎參考以下文章：(迷思1)學好數學 = 背公式？

「和差化積」與「積化和差」的推導

解說視頻：年獸老師的高中數學教室

第二、正切函數恆等式

tanA+tanB+tanC = tanAtanBtanC

這個恆等式只要將角C換成180度－(角A＋角B)，再搭配正切函數的和角公式即可推出。詳細的推導過程請見以下錄製的視頻。

第三、餘切函數恆等式

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA =1

推導過程同「正切值恆等式」再搭配「餘切值的和角公式」來處理即可。

第一題解析

問題1：三角形ABC中，求cosA+cosB+cosC 之最大值

第二題解析

問題2：三角形ABC中，求sinA+sinB+sinC 之最大值

這一題我提供兩個方法供大家參考。

方法一：柯西不等式 + 和差化積 + 餘弦值的二倍角公式

方法二：利用正弦函數的特性：當角度在0到180度以內，正弦函數圖形凹口向下。

第三題解析

問題3：銳角三角形ABC中，求tanA+tanB+tanC 之最小值

第四題解析

問題4：銳角三角形ABC中，求cotA+cotB+cotC 之最小值

接下來我們來解釋第四題，首先要用到這個恆等式：
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA =1

因為三個角皆為銳角，因此三個餘切值皆為正數，那麼此三個餘切值之和的平方愈小，則表示其和愈小。換句話說，我們要求cotA+cotB+cotC 之最小值，就先看看cotA+cotB+cotC 平方之最小值為何。

上述恆等式將是這題的破題關鍵。詳細過程請見以下視頻：

提出問題

問題A：為什麼問題1、2的角度沒有任何限制，而問題3、4必須限制為銳角三角形？

問題B：為何1、2題是求最大值，3、4題是求最小值？
那麼1、2題是否能求出最小值，3、4題是否能求出最大值？

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