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前言

111年學測數B題目難易適中，與數A形成極大落差。比較有挑戰性的部份在於文字量偏多，考生必須頂住壓力耐心閱讀，選擇題難度高於選填題與非選題。

整體而言，是一份用心命題的好題目。這篇文章，就帶讀者來看看這份考題，並且提供試題分析與解題方法。為明年準備學測的考生提供一個準備方向。

完整試題及參考解答下載

數學B試題；數學B解答

各單元比重統計

試題分析

單選第1題：絕對值不等式

試問有多少個整數 $x$ 滿足 $2|x|+x<10$？

13個
14個
15個
16個
無窮多個

當我們遇到絕對值時，必須設法去掉絕對值，這一題用兩種做法提供參考

《方法1》分段討論

情況1： $x\geq 0$
原方程式可以改寫為 $2x+x<10$，解方程式可得 $0\leq x<\frac{10}{3}$ — (1)

情況2：$x<0$
原方程式可以改寫為 $-2x+x<10$，解方程式可得 $-10<x<0$ — (2)

由(1)、(2)可得 $$-10<x<\frac{10}{3} — (3)$$
因此滿足(3)的整數共有13個。

《方法2》移項平方將問題改為解一元二次不等式

首先將 $x$ 移項至不等式的右側：$$0\leq 2|x|<10-x$$

因為 $2|x|$ 與 $10-x$ 皆為非負，所以將式子同時平方不影響不等式的方向：
$$4x^2<(10-x)^2$$
展開移項整理：$$3x^2+20x-100 =(3x-10)(x+10)<0$$
解得 $$-10<x<\frac{10}{3}$$
故 $x=-9、-8、-7、…、-1、0、1、2、3$ 共13個

單選第2題：數列

某燈會佈置變色閃燈，每次啟動後的閃燈顏色會依照以下的順序做週期性變換：藍-白-紅-白-藍 -白-紅-白-藍-白-紅-白…，每四次一循環，其中藍光每次持續5秒，白光每次持續2秒，而紅光每次持續6秒。假設換燈號的時間極短可被忽略，試選出啟動後第99至101秒之間的燈號。

皆為藍燈
皆為白燈
皆為紅燈
先亮藍燈再亮白燈
先亮白燈再亮紅燈

這一題要觀察規律，應該是要考「數列」的概念。

我們可以看出來：藍-白-紅-白四次閃燈為一個循環，經過時間 $5+2+6+2$ 秒
在90秒以內，經過幾個循環呢？$$99÷15=6…9$$
經過6個循環又9秒，其中
藍燈 5 秒 (第91秒~95秒) -> 白燈 2 秒 (第96秒~97秒) -> 紅燈 6 秒 (第98秒~103秒)
因此第99秒至101秒之間的燈號應該皆為「紅燈」。

單選第3題：排列組合

有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在3號大廈不設立基地台的情況下、有多少種設立基地台的選法方法？

這一題我以「反面」與「正面」觀點切入，提供讀者參考：

方法1：反面觀點

將「基地台不設立於相鄰兩棟大廈」的方式－「基地台不設立於相鄰兩棟大廈且3號大廈有設立基地台」的方式，計算過程如下：$$C^6_3-(1\times C^4_1+C^3_2)=20-7=13$$

方法2：正面觀點

我們分成兩個部份討論：
情況1：有一個設地台設立於1號或2號大廈；有兩個基地台設立於4號$\sim$ 8號大廈
我們分成以下兩個步驟計算

1號或2號大廈設立1個基地台：$C^2_1$
4號至8號大廈設立2個基地台且不相鄰$C^4_2$

$$C^2_1\times C^4_2=12$$

情況2：三個基地台皆設立於4號$\sim$ 8號大廈
直接計算得 $$C^3_3=1$$

將情況1與情況2合計，方法數共有 $12+1=13$ 種。

單選第4題：平面向量＋對數律基本題

在坐標平面上知向量 $\overrightarrow{PQ}=(log{\frac{1}{5}}, -10^{-5})$，其中點 $P$ 的坐標為 $(log\frac{1}{2}, 2^{-5})$。試選出正確的選項。

點 $Q$ 在第一象限
點 $Q$ 在第二象限
點 $Q$ 在第三象限
點 $Q$ 在第四象限
點$Q$ 位於坐標軸上

這一題非常簡單，首先利用向量加法寫出向量 $OQ$ 的坐標：

\begin{align}
\overrightarrow{OQ} &= \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ} \\
&= (log\frac{1}{2}, 2^{-5})+(log{\frac{1}{5}}, -10^{-5}) \\
&= (log{\frac{1}{2}}+log{\frac{1}{5}},2^{-5}-10^{-5})
\end{align}

其中 $$ log\frac{1}{2}+log\frac{1}{5}<0$$ 且 $$2^{-5}-10^{-5}>0$$
因此，點 $Q$ 在第二象限。

單選第5題：矩陣的運算

設矩陣
$$
A=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
$$

若
$$ A^7-3A=\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$

則 $a+b+c+d$ 之值為下列哪一個選項？

$-8$
$-5$
5
8
10

這一題是簡單的乘法運算題
$$A^2=\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
= 2I_2
$$

$A^7=((A^2)^3 \cdot A = (2I_2)^3 \cdot A=8A$
$$
A^7-3A= \begin{bmatrix}
8 & 8 \\
8 & -8
\end{bmatrix} –
\begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & -3
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
5 & 5 \\
5 & -5
\end{bmatrix}
$$

最後
$$a+b+c+d=5+5+5+(-5)=10$$

單選第6題：地球的緯度與經度題

假設地球為一半徑為 $r$ 的球體，有一質點自甲地沿著該地所在經線往北移動，抵達北極點時移動所經過的弧線之長度為 $\frac{7}{12}\pi r$。試問哪一個選項最可能是甲地的位置？

東經 $75^{\circ}$、北緯 $15^{\circ}$
東經 $30^{\circ}$、南緯 $75^{\circ}$
東經 $75^{\circ}$、南緯 $15^{\circ}$
西經 $30^{\circ}$、南緯 $75^{\circ}$
西經 $15^{\circ}$、南緯 $30^{\circ}$

這一題的關鍵在於，我們只能確定甲地所在位置的緯度，無法確定其經度。可以畫個示意圖來看看：

$$r\theta=\frac{7}{12}\pi r, \theta=\frac{7}{12}\pi=105^{\circ}$$
因此，甲在南緯 $15^{\circ}$

單選第7題：單點透視法

畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守
一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線
二、空間直線上點的相關位置必須和畫紙所畫的點的相關位置一致
三、空間直線上的任四個相異點的 $K$ 值畫紙所畫的四個點之 $K$ 值必須相同，其中 (K\) 值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點 $P_1, P_2, P_3, P_4$。如下圖。

其所對應的 $K$ 值定義為 $$K=\frac{\overline{P_1P_4}\times\overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}\times\overline{P_2P_4}}$$

今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點 $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4$ 描繪在畫紙上，其中 $\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}$。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪組最可能是該四點在畫紙上的坐標？

1, 2, 4, 8
3, 4, 6, 9
1, 5, 8, 9
1, 2, 4, 9
1, 7, 9, 10

這一題是在考閱讀理解能力，當中的數學只是基本的整數乘法與除法。依題意，我們要確認的這四點的 $K$ 值會是多少？計算如下：$$K=\frac{3\times 1}{2\times 2}=\frac{3}{4}$$

選項1：$K=\frac{7\times 2}{3\times 6}=\frac{7}{9}$
選項2：$K=\frac{6\times 2}{3\times 5}=\frac{4}{5}$
選項3：$K=\frac{8\times 3}{7\times 4}=\frac{6}{7}$
選項4：$K=\frac{8\times 2}{3\times 7}=\frac{16}{21}$
選項5：$K=\frac{9\times 2}{8\times 3}=\frac{3}{4}$

因此答案為5。

多選第8題：圓與直線的關係

有一射擊遊戲，將發射台設置於坐標平面的原點，並放置三個半徑為1的圓盤靶子，其圓心分別為 $(2,2), (4,6), (8,1)$。玩家選定一正數 $a$，並按下按鈕後，發射台將向點 $(1, a)$方向發射一道雷射光束(形成一射線)。假設雷射光束擊中靶子後可以穿透並繼續沿原方向前進(削過圓盤邊緣也視為擊中)。試選出正確的選項：

雷射光束落在通過原點且斜率為 $a$ 的直線上
若 $a=\frac{3}{2}$，則雷射光束會擊中圓心為 $(4, 6)$的圓盤靶子
玩家可以僅發射一道雷射光束就擊中三個圓盤靶子
玩家至少需要發射三道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子
玩家發射一道雷射光束後，若擊中圓心為 $(8,1)$的圓盤靶子，則 $a\leq\frac{16}{63}$

選項1：因為此光束通過 $(0, 0)$ 及 $(1, a)$，因此落在斜率為 $a$ 的直線上
選項2：當 $a=\frac{3}{2}$ 時，設 $B(4, 6)$。因為直線 $OA$ 的斜率與直線 $OB$ 的斜率皆為 $\frac{3}{2}$，因此直線 $OA$ 通過點 $B(4, 6)$。
選項3：如下圖所示

如圖所示，可知 $tan{\theta}=\frac{1}{8}$
$$tan{2\theta}=\frac{2tan{\theta}}{1-tan^2{\theta}}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{64}}=\frac{16}{63}$$

因此，$$L:16x-63y=0$$
經由簡單的計算可知$$d(A,L)>1,\ d(B,L)>1$$
即直線 $L$ 沒有通過圓 $A$ 與圓 $B$，因此不可能一道光束打中三圓盤靶子
選項4：至少要發射兩道雷射光束才可擊中三個圓盤靶子

選項5：如下圖，由選項3可知，直線 $L$ 的斜率為 $\frac{16}{63}$，故$$a\leq\frac{16}{63}$$

最後答案選1、2、5

多選第9題：三次函數的圖形

設$$f(x)=2x^3-3x+1$$下列關於函數 $y=f(x)$ 的圖形之描述，試選出正確的選項。

$y=f(x)$ 的圖形通過點 $(1, 0)$
$y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸只有一個交點
點 $(1, 0)$ 是 $y=f(x)$ 的圖形之對稱中心
$y=f(x)$ 的圖形在對稱中心附近會近似於一直線 $y=3x-3$
$y=3x^3-6x^2+2x$ 的圖形可由 $y=f(x)$ 的圖形經適當平移得到

今年數A也考了一題三次函數的圖形，然而數B這一題簡單許多。
選項1：因為 $f(1)=0$，所以 $y=f(x)$ 的圖形通過點 $(1, 0)$
選項2：可以直接因式分解：$$f(x)=(x-1)(2x^2+2x-1)=0$$
有三個相異實根 $x=1, \frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$，也就是說 $y=f(x)$ 的圖形與 $x$ 軸有三個交點
選項3：已知 $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 之對稱中心為 $(-\frac{b}{3a}, f(-\frac{b}{3a}))$，因此$$y=f(x)=2x^3-3x+1$$之對稱對中心為 $(0, f(0))=(0, 1)$
選項4：如下圖

$y=f(x)$ 的圖形在對稱中心 $(0, 1)$ 附近會近似於一直線：$y=3x-1$

選項5：因為 $x^3$ 的係數不同，因此形狀不同，無法經由平移重合。

多選第10題：一維數據分析

甲、乙兩班各有40位同學參加某次數學考試(總分為100分)，考試後甲、乙兩班分別以$$y_1=0.8x_1+20$$
和
$$y_2=0.75x_2+25$$
的方式來調整分數，其中$x_1, x_2$ 分別代表甲、乙兩班的原始考試分數，$y_1, y_2$ 分別代表甲、乙兩班調整後的分數。已知調整後兩班的平均分數均為 $60$ 分，調整後的標準差分別為 $16分$ 和 $15分$。試選出正確的選項。

甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數
甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高
甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高
若甲班 $A$ 同學調整後的分數比乙班 $B$ 同學調整後的分數高，則 $A$ 同學的原始分數比 $B$ 同學的原始分數高
若甲班調整後不及格(小於 $60$ 分) 的人數比乙班調整後不及格的人數多，則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多。

設 $\mu_{x_1}, \mu_{x_2}$ 分別是甲、乙兩班調整前的平均分數；$\mu_{y_1}, \mu_{y_2}$ 分別是甲、乙兩班調整後的平均分數。$\sigma_{x_1}, \sigma_{x_2}$ 分別是甲、乙兩班調整前的標準差；$\sigma_{y_1}, \sigma_{y_2}$ 分別是甲、乙兩班調整後的標準差。

由題目可知，$\sigma_{y_1}=16, \sigma_{y_2}=15$

依題意列式：
$$\begin{cases}
60 = \mu_{y_1} = 0.8 \mu_{x_1} + 20 — (1)\\
60 = \mu_{y_2} = 0.75 \mu_{x_2} + 25 — (2)
\end{cases}$$

選項1：因為 $$y_1-x_1=(0.8x_1+20)-x_1=20-0.2x_1\geq 20-20=0$$所以 $$y_1\geq x_1$$

選項2：由 (1)、(2) 式解得 $$\mu_{x_1}=50, \ \mu_{x_2}=\frac{140}{3}$$
因此 $$\mu_{x_1}>\mu_{x_2}$$

選項3：
$$\begin{cases}
16=\sigma_{y_1}=0.8\sigma_{x_1} — (3)\\
15=\sigma_{y_2}=0.75\sigma_{x_2} — (4)
\end{cases}$$

由 (3)、(4) 式可解得 $$\sigma_{x_1}=\sigma_{x_2}=20$$

選項4：設 $y_1>y_2$，即 $0.8x_1+20 > 0.75x_2+25$

移項整理：
\begin{align}
x_1 &> \frac{5}{4}\times\frac{3}{4}x_2+\frac{25}{4}\\
&=\frac{15}{16}x_2+\frac{25}{4} \\
\end{align}

接著

\begin{align}
x_1-x_2 &> \frac{15}{16}x_2+\frac{25}{4}-x_2 \\
&= -\frac{x_2}{16}+\frac{25}{4} \\
&\geq -\frac{100}{16}+\frac{25}{4}=0
\end{align}
因此 $$x_1>x_2$$

選項5：
由關係式 $$x_1=\frac{5}{4}(y_1-20), \ x_2=\frac{4}{3}(y_2-25)$$
可知
\begin{align}
x_1<50 &\Leftrightarrow y_1<60 \\
x_2<\frac{140}{3} &\Leftrightarrow y_2<60
\end{align}

僅能確定甲班調整前小於50分的人數多於乙班調整前小於 $\frac{140}{3}$ 分的人數。

多選第11題：平面向量的內積

考慮坐標平面上的點 $O(0, 0)、A、B、C、D、E、F、G$，如下圖所示：

其中 $B$ 點、$C$ 與 $D$ 點、$E$ 與 $F$ 點、$G$ 與 $A$ 點依序在一、二、三、四象限內。若 $\overrightarrow{V}$ 為坐標平面上的向量，且滿足
$$\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{OA}>0$$
及
$$\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{OB}>0$$
則 $\overrightarrow{V}$ 與下列哪些向量的內積一定小於 $0$？

$\overrightarrow{OC}$
$\overrightarrow{OD}$
$\overrightarrow{OE}$
$\overrightarrow{OF}$
$\overrightarrow{OG}$

由題意可知，向量 $\overrightarrow{V}$ 分別與向量 (\overrightarrow{OA}\)、向量 $\overrightarrow{OB}$ 夾銳角。而我們要找的是與向量 $\overrightarrow{V}$ 夾鈍角的向量。
首先我們先畫出 $\overrightarrow{V}$ 掃到的範圍如下圖所示：

經由觀察，我們可以看出來，向量 $\overrightarrow{OD}$ 與向量 $\overrightarrow{OE}$ 夾角為鈍角，因此選2、3

多選第12題：一元二次方程式根的判斷

設 $a、b、c$ 都是非零的實數，且二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的兩根都落在1和3之間。試選出兩根必定都落在 4和5之間的方程式：

$a(x-2)^2+b(x-2)+c=0$
$a(x+2)^2+b(x+2)+c=0$
$a(2x-7)^2+b(2x-7)+c=0$
$a(\frac{x+7}{2})^2+b(\frac{x+7}{2})+c=0$
$a(3x-11)^2+b(3x-11)+c=0$

這一題只是考「變數變換」的概念

設 $ax^2+bx+c=0$ 之兩根為 $\alpha、\beta$，且 $1<\alpha\leq\beta<3$

選項1：$a(x-2)^2+b(x-2)+c=0$ 之兩根為 $\alpha+2, \beta+2$，且 $$3<\alpha+2\leq \beta+2<5$$

選項2：$a(x+2)^2+b(x+2)+c=0$ 之兩根為 $\alpha-2, \beta-2$ 且 $$-1<\alpha-2, \beta-2<1$$

選項3：$a(2x-7)^2+b(2x-7)+c=0$ 之兩根為 $\frac{\alpha+7}{2}, \frac{\beta+7}{2}$，且 $$4<\frac{\alpha+7}{2}, \frac{\beta+7}{2}<5$$

選項4：$a(\frac{x+7}{2})^2+b(\frac{x+7}{2})+c=0$ 之兩根為 $2\alpha-7, 2\beta-7$，且$$-5<2\alpha-7, 2\beta-7<-1$$

選項5：$a(3x-11)^2+b(3x-11)+c=0$ 之兩根為 $\frac{\alpha+11}{3}, \frac{\beta+11}{3}$，且 $$4<\frac{\alpha+11}{3}, \frac{\beta+11}{3}<5$$

因此只有選項3、5符合題目要求。

選填第13題：指對數的運算

若 $x, y$ 為兩正實數，且滿足 $$x^{\frac{1}{3}}y^2=1—(1)$$ 及 $$2log y=1—(2)$$則 $$\frac{x-y^2}{10}=?$$

這一題是基本題，解法如下：

由第(1)式：$y^2=x^{\frac{1}{3}}$
由第(2)式：$log y^2=1$
\begin{cases}
x^{\frac{1}{3}}=y^2 \\
y^2=10
\end{cases}
\begin{cases}
x=10^3=1000 \\
y^2=10
\end{cases}

因此 $$\frac{x-y^2}{10}=\frac{1000-10}{10}=100-1=99$$

選填第14題：平面向量的內積

坐標平面上有一個半徑為$7$的圓，其圓心為 $O$ 點。已知圓上有 $A, B$ 兩點，且 $\overline{AB}=8$，則內積 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=?$

這一題是基本的向量內積運算題，解題方式可使用以下性質：在 $\Delta ABC$ 中，
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overline{AB}^2+\overline{AC}^2-\overline{BC}^2)$$

如下圖所示：

\begin{align}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} &=\frac{1}{2}(\overline{OA}^2+\overline{OB}^2-\overline{AB}^2) \\
&= \frac{1}{2}(7^2+7^2-8^2) = 17\\
\end{align}

選填第15題：貝氏定理標準題型

根據某國對失蹤輕航機的調查得知：失蹤輕航機中有 $70%$ 後來會被找到，在被找到的輕航機當中，有 $60%$ 裝設緊急定位傳送器；而沒被找到的失蹤輕航機當中，則有 $90%$ 未裝設緊急定位傳送器。緊急定位傳送器會在飛機失事墜毀時發送訊號，讓搜救人員可以定位。現有一架輕航機失蹤，若已知該機有裝設緊急定位傳送器，則它會被找到的機率為何？(化為最簡分數)

這一題是很標準貝氏定理的問題，畫個樹狀圖來看看吧：

因此
$$
P(被找到 | 有裝設) = \frac{70\%\times 60\%}{70\%\times 60\% + 30\%\times 10\%}
= \frac{42}{42+3} = \frac{14}{15}
$$

選填第16題：機率問題

袋中有藍、綠、黃三種顏色的球共10顆。今從袋中隨機抽取兩顆球(每顆球被抽中的機率相等)，若抽出的兩顆球皆為藍色的機率為 $frac{1}{15}$，皆為綠色的機率為 $\frac{2}{9}$，則從袋中隨機抽出兩球，此兩球為相異顏色的機率為何？(化為最簡分數)

這一題是機率基礎題，首先設藍球 $m$ 顆、綠球 $n$ 顆，則黃球有 $10-m-n$ 顆，依條件列式如下：
$$\frac{C^m_2}{C^{10}_2}=\frac{1}{15},\ \frac{C^{n}_2}{C^{10}_2}=\frac{2}{9}$$
接著整理一下：
$$\frac{m(m-1)}{90}=\frac{1}{15},\ \frac{n(n-1)}{90}=\frac{2}{9}$$

經由簡單的計算可求得：$m=3, n=5$
因此隨機抽出相異兩球的機率為 $$\frac{C^3_1C^5_1+C^3_1C^2_1+C^5_2C^2_1}{C^{10}_2}=\frac{15+6+10}{45}=\frac{31}{45}$$

選填第17題：排列組合

有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學，畢業後老師邀聚餐，餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快，照相時不想相鄰，而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側，則可能的排列方式共有幾種？

首先我們先設符號 $B_1, B_2, B_3$ 為三位男生，$G_1, G_2, G_3$ 為三位女生，$T$ 代表老師。依題意，設 $B_1, G_1$ 不相鄰且 $B_1, B_2, B_3$ 不完全在 $T$ 同側。
可以採用反面想法，將全部情況扣除 $B_1, G_1$ 相鄰或 $B_1, B_2, B_3$ 完全在 $T$ 同一側的方法，如以下文氏圖所示：

全部的排列數：$6!$ 種
$B_1, G_1$相鄰的排列數：$4\times 2!\times 4!$
$B_1, B_2, B_3$ 完全在 $T$ 同一側的排列數：$3!\times 3!\times 2!$

因此符合題意的排列數為 $$6!-4\times 2!\times 4!-3!\times 3!\times 2!=720-192-72=456$$

第貳部分、混合題或非選擇題 18-20題為題組

瘦長的塔因為年代久遠，塔身容易傾斜。在下方右圖中，以粗黑線條代表塔身，而塔身的長度稱為塔高，塔身與鉛直虛線的夾角 $\theta^{\circ}$ 稱為該塔的傾斜度 ($0\leq \theta<90$)，又塔頂至鉛直虛線的距離稱為該塔的偏移距離。

根據上述資料，試回答下列問題。

第18題

已知世界上傾斜度最高的摩天大樓坐落於阿布達比，其傾斜度達到 $18^{\circ}$，此傾斜度換算成弳(或弧度)為下列哪一個選項？(單選題，5分)

$\frac{\pi}{36}$
$\frac{\pi}{18}$
$\frac{\pi}{20}$
$\frac{\pi}{10}$
$\frac{\pi}{8}$

這一題只是「度」與「弧度」單位的轉換。
已知 $$1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$$，
因此$$18^{\circ}=\frac{18}{180}\pi=\frac{\pi}{10}$$
答案選(4)

第19題

中國虎丘塔、護珠塔與義大利的比薩斜塔是三座著名斜塔，它們的塔高分別為 $48、19$ 與 $57$ (公尺)，偏移距離分別為 $2.3、2.3$ 與 $4$ (公尺)，塔的傾斜度分別為 ${\theta_1}^{\circ}、{\theta_2}^{\circ}$ 與 ${\theta_3}^{\circ}$。試比較 $({\theta_1}^{\circ}、{\theta_2}^{\circ}$ 與 ${\theta_3}^{\circ}$ 三數的大小關係。(非選擇題，4分)

如下圖：

可以寫出三個角度的正弦值如下：
$$sin{\theta_1}^{\circ}=\frac{2.3}{48}, sin{\theta_2}^{\circ}=\frac{2.3}{19}, sin{\theta_3}^{\circ}=\frac{4}{57}$$
對於銳角而言，角度愈大，正弦值愈大。
因為 $$\frac{2.3}{48}<\frac{4}{57}<\frac{2.3}{19}$$
即 $$sin{\theta_1}^{\circ}<sin{\theta_3}^{\circ}<sin{\theta_2}^{\circ}$$
所以 $$\theta_1<\theta_3<\theta_2$$

第20題

假設有塔高相等的兩座鐵塔，它們的傾斜度 $\alpha^{\circ}, \beta^{\circ}$ 分別滿足
$$sin{\alpha^{\circ}}=\frac{1}{5}, \ sin{\beta^{\circ}}=\frac{7}{25}$$
已知兩座鐵塔的偏移距離相差20公尺，試求它們的塔頂到地面之距離相差多少公尺？(非選擇題，6分)

如圖所示：

設塔高 $h$ 公尺，則 $$20=hsin{\beta^{\circ}}-hsin{\alpha^{\circ}}=\frac{7}{25}h-\frac{1}{5}h=\frac{2}{25}h$$
解得：$h=250$ 公尺
因此塔頂到地面之距離相差 $$hcos{\alpha^{\circ}}-hcos{\beta^{\circ}}=250\cdot(\frac{2\sqrt{6}}{5}-\frac{24}{25})=100\sqrt{6}-240 \ (公尺)$$

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關於我

中學數學教師

研究興趣：數學分析領域、微分方程、數學教育
教學專業：國中數學、高中數學、高中數學類多元選修課、大學微積分。
近二十年教學經驗，善用數位化教材、線上教學。

教育就是從探索中找到自己的夢想，追逐夢想，進而不斷完備自我的過程。
夢想也許不容易實現，卻使人在這樣的過程中，修正、調整與改變，更多地認識自己，與自我價值的體現。

111年學測數學B試題分析與詳解：與數學A反差極大的一份考題

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