高中數學第二冊數位教材
hi，歡迎你來到這裡。在這個頁面，我將根據108課綱編寫一套以觀念為主的數位教材，除了有文字的解說，同時搭配網路現有教學資源。讓學生可以自學，觀看影片學習。
整個編寫方式是以部落格的形式呈現，所以盡可能少用符號，多講述觀念。同時還有製作目錄，讀者可以自行點選目錄看你想看的主題。看完後，再按「返回目錄」重新選主題。
另外，這不是單純的高中數學內容，還會加入數學史以及一些延伸題材，目的是不要完全受到課綱的限制，讓有興趣的學生學到該學的內容。
要特別注意的是，這些影片是以108課綱章節的順序選取，但錄製的內容不一定完全符合108課綱的要求，請務必對照課本使用，這只是一個輔助的學習方式，在學校還是要用心聽講，才能學到較完整的知識。
關於108課綱，可參考以下文章：
高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式
歡迎訂閱高中數學數位學習電子報
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第一章 數列與級數
1-1 數列與遞迴關係
何謂數列？
一堆數「依序」排成一列稱為數列，這裡指的「序」就是指這些數排列的規則。觀察數列規則並推理出某一項的值，是這個單元的學習重點。
等差數列
- 等差數列的一般項 – 均一教育平台
- 判斷一個數列是否為等差數列 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：求第n項 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：兩個數之間共有幾個m的倍數 – 均一教育平台
- 【例題】由等差數列一般項公式判斷公差 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：省錢問題 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：三角形的三內角 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：第幾項之後開始為負數 – 均一教育平台
- 等差中項 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：三項成等差，已知兩項和 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：已知五項成等差，求前兩項、後兩項和 – 均一教育平台
- 【例題】等差數列：兩組三個代數式成等差 – 均一教育平台
- 遞迴關係式：Shgsh Math 提供
等比數列
等比數列又名幾何數列，即一個數列滿足「後項除以前項為一非零定值」稱之。
如果a、b、c三項成等比數列，則b稱為a、c的等比中項，滿足b平方等於a乘以c。因此，這三個數的等差中項即為ac的平方根。
以下影片說明皆由均一教育平台錄製開放使用。
- 【觀念】等比數列
- 【觀念釐清】貌似等比數列的數列
- 【觀念釐清】等比數列與等比中項
- 【觀念釐清】等比數列的公比
- 【觀念釐清】檢查各項變化後的等比數列
- 【例題】求等比數列的公比與特定項
- 【例題】插入一些數使數列成為等比數列
- 【例題】等差與等比的混合
遞迴關係式
遞迴關係式，簡單來說，就是指一種用「遞推」的方式來定義數列的方程式。因此我們可以由遞迴關係式看到第n項與第n項之前的關係。
我們舉熟悉的例子來說，例如，等差數列的「後項」為「前項」加上公差，我們可以寫成以下形式
其中要注意的是，我們的第1項的足標為1，因此遞迴關係式中的足標n必須從2開始。
當然，由遞迴關係式，我們可以逐步寫出每一項，然而，與一般項的差別在於，遞迴關係式無法立即寫下其中一項(除非這一項很前面可一眼看出)。因此，遞迴關係式適合藉由電腦輔助重覆進行快速運算。
此時，我們很自然地問了個問題：要如何由遞迴關係式寫出數列的一般項？反過來問，如何由數列的一般項寫出此數列的遞迴關係式？當然第一個問題比第二個問題困難許多。我們可以由斐波那契數列當例子說明：
數學歸納法
當我們看到一個數列時，第一件事會做什麼呢？答案是，觀察其「規律」。看出規律後，再試著寫出其「遞迴關係式」或「一般項」。
然而，在我們還未寫下一般項之前，通常會先觀察前面幾項，然後再由前面幾項「猜測」可能的一般項。但是我們要如何確保我們的猜測是對的呢？
我們採用的策略是：數學歸納法，其實就是「骨牌效應」的概念。
想像一下，你要如何確保每個骨牌最終全部倒下？首先，第一個要先倒下，接著假設某一個倒下，我們要驗證它的下一個也會倒下。這就是數學歸納法的精神。
但是，數學歸納法扮演的角色只是「驗證」，而不是「推導」。如果要看清楚問題的本質，不能只滿足於驗證其正確性，還要設法了解為什麼會如此？
1-2 級數求和
我們將數列的每一項相加，就形成一個級數(series)。對於有限級數，要如何求出級數和，通常不是件容易的事。我們高中階段，只會處理一些簡單的級數，例如：等差級數、等比級數、平方和級數、立方和級數、等差等比混合型級數、分項對拆型級數。
當然，如果隨便寫一個數列，不一定總有方法寫出其級數和。因此，除非有必要，否則我們不會沒事隨便寫個數列去算級數和。以下是關於求級數和相關的教學影片，我是按照課本學習順序放上連結，歡迎多加利用。
- 級數基本概念及等差級數公式
- 等比級數及其例題
- 等差等比混合型級數的計算：PengTitus老師講解
- 求平方和的證法1：PengTitus老師講解
- 求平方和的證法2：PengTitus老師講解
- 求平方和的證法3：PengTitus老師講解
- PengTitus老師講解
- 求平方和的證法5：PengTitus老師講解
- 求平方和的證法6：Gim老師講解
- 級數立方和
補充說明，對於無窮級數，我們要先判斷這個級數是收斂或發散？對於級數的收斂或發散的判斷有很多方法，這部份在大學微積分有詳盡的說明。
第二章 排列組合與古典機率
排列組合與古典機率是高中數學的重頭戲，然而108課綱已將排列組合弱化至以古典機率所需的內容為主，並且刪除了重複組合，有興趣的讀者可點選連結學習。
2-1 邏輯、集合與計數原理
主題一 邏輯
這一節是為了排列組合做準備。首先介紹一些基本的邏輯概念：何謂命題(或敘述)？連接詞「且」、「或」的介紹、什麼是邏輯的狄摩根定律？「若p則q」命題，充份與必要條件。
邏輯是重要的，但在高中數學課程中並不怎麼受到重視，考題也較少。每次教到這個部份，通常不會有太多時間，簡單帶過之後就要進到集合與計數原理。因此，在這個頁面我希望能稍微講仔細一點，讓學生有比較清晰的認識。如果，想要更全面與進階的課程，可參考：臺大開放式課程：邏輯/共同教育中心 傅皓政
何謂命題(或敘述)？
凡是能判斷「對」或「錯」的語句，就稱為「命題」或是「敘述」。例如：
- 「在平面上的三角形內角和為180度」是正確的敘述。
- 「91是質數」是錯誤的敘述。
- 「太陽從西邊升起」是錯誤的敘述。
命題P的反面就稱為P的「否定敘述」，記作\(~P\)。
如果命題P為「真」，則命題~P則為「偽」；反之，命題\(P\)為「偽」，則命題\(~P\)則為「真」。
舉個例子來看看吧：
命題P：「在平面上的三角形內角和為180度」是正確的敘述。
命題~P：「在平面上的三角形內角和不為180度」是錯誤的敘述。
命題Q：「91是質數」是錯誤的敘述。
命題~Q：「91不是質數」是正確的敘述。
連接詞「且」與「或」
當我們在講述一件事時，很多時候一個敘述是不夠的，須要用到兩個敘述，此時就必須用連接詞連接。
首先，我們要能夠區分「且」與「或」的差別：
簡單來說，\(P\)且\(Q\)表示\(P\)與\(Q\)皆成立；\(P\)或\(Q\)表示\(P\)或\(Q\)成立即可。
我們用真假值表就一目瞭然了。
若\(P\)、\(Q\)皆為真，才能保證「\(P\)且\(Q\)」為真，否則為假。
若\(P\)真或\(Q\)真，即可保證「\(P\)或\(Q\)」為真；若\(P\)與\(Q\)皆為假，則「\(P\)或\(Q\)」為假。
補充說明：符號∧表示「且」；符號∨表示「或」
舉個例子來看看吧，以下這題是102年學測單選第1題
因為小文的成績不符合參選模範生的資格，所以他沒有滿足一或二這兩個條件。
另外，他的國文考了65分。
這一題學生容易犯的錯誤是，從選項往回推，但這樣做的方向是不對的。我們是希望由題目的條件推論到選項，而不是從選項推論到題目的條件，要小心。
如果小文沒有滿足條件一，那麼表示他的英文成績必定未達70分，數學成績隨意。因此選項(2)不對。
或者，
如果小文沒有滿足條件二，那麼表示他的數學成績不及格，英文成績隨意。因此選項(1)不對。
關於選項(3)，那個「但」其實就是「且」的意思，當然不對。
因為小文是沒有滿足條件一或條件二，因此應該選(5)。
邏輯的笛摩根定律
奧古斯塔斯·德摩根是19世紀英國數學家，他首先發現了在命題邏輯中存在著下面兩個關係：
～(Ｐ∧Ｑ) ≡～Ｐ∨～Ｑ；～(Ｐ∨Ｑ)≡～Ｐ∧～Ｑ
即
非（Ｐ且Ｑ）等價於（非Ｐ）或（非Ｑ）；非（Ｐ或Ｑ）等價於（非Ｐ）且（非Ｑ）
凡是被冠上名字的定理、定律，在該領域必定起了重大的作用。這個發現影響了喬治·布爾從事的邏輯問題代數解法的研究。其實我們上面舉的那一題102年學測試題單選題第1題就有用到迪摩根定律了，你發現了嗎？
因為小文不符合參選模範生的資格，意思就是否定(條件一且條件二)，也就是不符合條件一或不符合條件二。這就是迪摩根定律。
還有一個驗證迪摩根定律的方式，那就是真假值表。
我們可以很清楚地看到其等價關係。
【教學影片】什麼是邏輯?
「若P，則Q」命題
這是一個很常見的命題，其中P是命題的前提(或假設)，Q是命題的結論。
還記不記得國中的幾何證明題，是否都是以這種方式呈現呢？我們簡單列出幾個例子：
- 「若P點與A、B兩點等距，則P點必落在線段AB的中垂線上。」是正確的敘述
- 「若四邊形的對角線等長，則此四邊形為矩形。」是錯誤的敘述
- 「若三角形ABC為正三角形，則角A＝60度。」是正確的敘述
再來舉幾個同學剛學到的例子：
- 「若a、b為兩個非負實數，則兩數相加除以2(算術平均數)大於等於兩數相乘開根號(幾何平均數)」
- 「若a是有理數，b是無理數，則a＋b是無理數」
關於這個部份，可看看以下影片。
充份條件與必要條件
當命題「若\(P\)，則\(Q\)」是正確的，則稱P是Q的「充份條件」，記作「Q => P」，且稱\(Q\)是\(P\)的必要條件。
例如：
- 「若下雨，則地溼」。其中「下雨」是「地溼」的充份條件；「地溼」是「下雨」的必要條件。
- 「若A是菱形，則A是平行四邊形」，其中「A是菱形」是「A是平行四邊形」的充份條件；「A是平行四邊形」是「A是菱形」的必要條件。
另外，當命題「若\(P\)，則\(Q\)」與「若\(Q\)，則\(P\)」皆正確時，則稱\(P\)是\(Q\)的充要條件，或Q是P的充要條件，可記作
「\(P <=> Q\)」。在原文是這樣描述的，\(P\) if and only if \(Q\)，簡記為 \(P\) iff \(Q\)。
我們來舉幾個例子看看：
- P：A是正三形；Q：A是等腰三角形。其中P是Q的充份非必要條件。
- P：x是質數；Q：x是奇數。其中P是Q的非充份且非必要條件。
- P：x是實數；Q：x是有理數。其中P是Q的必要非充份條件。
- P：x平方等於1；Q：x等於正負1。其中P是Q的充份且必要條件(簡稱充要條件)。
邏輯的介紹就到這邊，讓我們來看看教學影片吧：
最後，有一道有趣的邏輯問題，供讀者想想：
A、B兩男士好奇地詢問C女士的年齡，C女士列出11個可能的答案：
35、36、38、42、45、46、51、55、57、61、62
接著C女士將她年齡的十位數告訴A男士，將她年齡的個位數告知B男士。
A男士說：「我不知道C的年齡，但我想B也不知道。」
B男士說：「我原本也不知道C的年齡，但現在也知道了。」
A男士說：「哦，那現在我也知道了。」
請問C女士的年齡是幾歲？
主題二 集合
什麼是集合？
這可不是一個好回答的問題，因為集合是很抽象的概念。我們在高中階段，盡可能舉具體的例子讓同學容易理解。
簡單來說，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認物件的匯集。構成集合的事物或物件稱作元素或是成員。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。
看到以上的定義，估計很少人可以馬上領會到什麼是集合。
我們可以舉一個簡單且生活化的例子來解釋，例如，某個班上有40位同學，每位同學有一個座號，不妨假設為1~40號。那麼1~40這40個數字，就構成了一個集合，每一位同學稱為此集合的一個元素。再者，在課堂中，有時候老師會讓同學分組討論，那麼每一組就形成一個比較小的集合，稱為子集合。
另外，在集合的性質方面，我們可以想像以下的情況：
- 在班上，通常每隔一段時間(通常是段考後)會換座位，順序變了，班上成員會改變嗎？
- 老師在點名時，喊了一位學生的名字，學生沒聽清楚，老師又喊了一次。那麼班上成員會改變嗎？
- 有時候老師叫同學的名字，有時候叫座號，那麼班上成員會改變嗎？由此可知，可以辨別即可，名稱不重要。如果恰巧班上有兩位同學姓名一樣，當然叫座號會比較適合。
- 一個學生，他有可能是班上的成員，否則便不是班上的成員，不會存在模稜兩可的情況。
由以上可知，集合中的元素，不計順序、不計重複、具有確定性。
雖然這不是個嚴謹的例子，但對於現階段的中學生入門，相信還是會有些幫助的。
說到集合，當然就是要提一下這位19世紀末20世紀初的德國數學家，康托(G.Cantor，德國，1845~1918)。
年輕的康托爾在27歲的時候，就在數學上表現出優秀的數學天賦，他用有理數列構造實數R，在數學發展歷史上，這是「前無古人」的創意。
我永遠也忘不了，以康托爾名字命名的集合：Cantor Set
這個要到大學的高等微積分課程才會介紹，有趣趣的資優生可點選Cantor Set連結參考。
關於集合比較細節的基本介紹，就請同學觀看以下影片學習囉，重點摘錄如下：
- 集合的表示法：列舉法、描述法
- 子集合、冪集合的介紹
- 集合的運算：何謂交集、聯集、差集
- 名詞解釋：什麼是宇集、補集？
集合的迪摩根定律
對比於邏輯的迪摩根定律，集合的版本如下：
這是兩個集合的迪摩根定律，但既然冠上名字，事情當然沒有這麼單純。事實上，對於n個集合，甚至是無窮多個集合，這個定律依然成立。
可以畫出文氏圖觀察，兩個集合的版本顯然成立。如果要較為嚴謹的論證，可以證明等號兩邊的集合互為對方的子集即可。
例如：如果\(x\)是「\(A\)交集\(B\)的補集」裡的一個元素，那麼\(x\)不在「\(A\)交集\(B\)」裡。換句話說，\(x\)不在\(A\)裡或不在\(B\)裡，因此得出\(x\)落在\(A\)的補集或\(B\)的補集裡。另一方面，如果\(x\)不在集合\(A\)裡面，或不在集合\(B\)裡面，那麼\(x\)必定不在集合\(A\)與\(B\)的交集裡。
主題三 計數原理
若將邏輯與集合比喻為排列組合的內功，那麼計數原理則像是排列組合的基本招式。大家都會數數，但怎麼數才會有效率，則是我們學習的重點。這裡介紹幾種計數方式：窮舉法、樹形圖、加法原理、乘法原理、一一對應原理、取捨原理。
窮舉法
顧名思義，所謂的窮舉法，就是將所有符合條件的方法或情形一一列舉出來的計數方法。這個方法看似麻煩、複雜、又相當費時。然而，在解決很多問題時，窮舉法卻又顯得特別簡單。當然，我們日常使用的窮舉法，都只能解決一些規模較小的問題，對於一些規模較大的問題，我們則要使用電腦輔助計算。
我們舉個簡單的例子來看看吧：
設A-BCD為一個四面體，有一隻螞蟻從A點出發，沿著稜邊走到B點，在每個頂點至多經過一次的條件下，共有幾種走法？
走法會有以下幾種：
- A -> B
- A -> C -> B
- A -> D -> B
- A -> D -> C -> B
- A -> C -> D -> B
提醒同學，我們在列舉時，要有系統且有次序地列舉，才可以避免少列或多列。
樹形(狀)圖
由以上的例子，我們亦可以將所有情形用樹形圖表呈現。關於窮舉法與樹形圖的基礎教學，可參考以下影片：
有興趣的同學可以試試以下例子：
將六個字母 a、a、b、b、c、c 排成一列。若規定第1位必須排a，且相同的字母不能相鄰，問共有多少種不同排法？
加法原理
若完成某件事的方法，依其性質可以分成k類，且第1類有m1種方法、第2類有m2種方法、…、第k類有mk種方法。則完成這件事的方法共有m1＋m2＋…＋mk種。
看完以上的敘述，你覺得關鍵字是什麼呢？有學生認為是「加法」；但是如果是加法，那與我們小學學的加法有什麼區別呢？因此，我認為加法並不是此原理的核心精神，而是「分類」！
為什麼很多人會認為加法原理很簡單，我們來看看課本一開始舉的例子：
若從甲地至乙地只有「公路」與「鐵路」兩種捷徑，其中公路3條，鐵路2條，則從甲地到乙地的路徑選擇共有多少種方法？
你發現了嗎？題目已經分類好了：公路與鐵路。我們只要將兩類的所有可能相加即可得出共有5種方法。因為這個問題已經將最關鍵的分類告訴我們了，當然很容易。
以下是關於加法原理基本觀念說明例：
讀者不妨試試以下這一題：
將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任兩袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有幾種？
這一題在考什麼？沒錯，它其實是在考加法原理，我們在數數時，發現不容易，因為還沒有分類，我們不知怎麼加才不會亂掉。
答案為55種，你做對了嗎？
以下是加法原理常見例題：
乘法原理
什麼是乘法原理？
若完成某件事要經過k個步驟，且第1個步驟有m1種方法、第2個步驟有m2種方法，…，第k個步驟有mk種方法，則完成這件事的 方法共有m1×m2×…×mk種。
你認為以上文字的關鍵字是什麼？
沒錯，就是分「步驟」。
初學者容易混淆「加法原理」與「乘法原理」的使用時機。分辨方式簡單來說就是，分「情況」則用「加法原理」；分「步驟」則用「乘法原理」。
以下是我認為不錯的教學影片：
下面是加法與乘法原理混合題，試試看吧！
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2-2 排列
排列的問題大致可分為以下幾類：1. 全取排列 2. 不全取排列 3. 不盡相異物的排列 4. 重複排列
全取排列
在日常生活中，相信大家都有排隊的經驗吧，想像一下有五個人正在排隊上公車，那麼這五個人所有可能的排序會有多少種？這就是全取排列的概念。同樣地，我們將人換成任何相異物，然後去計算會有多少種排法，也是如此。
當然不可能慢慢排，因此須要用到我們上一節學到的計數原理。如果有n件相異物排列，那麼我們可以想成有n個不同的箱子要放進這n件相異物，並且問放法有幾種？
第1個位子有n個選擇，第2個位子剩n－1個選擇，第3個位子剩n－2個選擇，依此類推…，我們可以想成要完成將物品放進這n個箱子，須要經過n個步驟，因此所有可能的放法有n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝n!種。
此時同學要去熟悉階層(!)符號並練習其運算操作。
不全取排列
顧名思義，就是我們只取部份的相異物(或人)進行排列。例如：有n個人要坐m個座位，人數不少於座位的情況下，則排列方式有幾種？如果人數與座位一致，那麼這就是全取排列。如果人數多於座位，則我們要先選出m個人，然後再排列，其排列方式有n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)種。
常見題型如下：
- 某歌手想從7首歌當中，選出3首歌在演唱會中依序表演，則安排的方案會有幾種？
- 從0、1、2、3、4、5這五個數字中，任取3個數字排列，則可以排成多少個三位數？
- 甲 、乙、丙、丁、戊五人排成一列依序上公車，若甲不排首位、乙不末位，則共有幾種排法？
不盡相異物的排列
前面討論的事物都是不相同的，現在我們來探討含有相同事物的排列。
我們舉個簡單的例子來看看：字母AAABB的排列方式有幾種？
首先我們知道，必定比五個完全相異的字母排列方式少，我們不妨將排列五個相異字母A1A2A3B1B2拆成兩個步驟進行：
步驟1：先排列AAABB，假設其排列數為X
步驟2：將A1、A2、A3與B1、B2各別排列
根據乘法原理，5! = X × 3!×2!，因此可得 X＝5!/3!×2!
一般的敘述如下：
不盡相異物排列常見題型如下：分球問題、有順序關係的排列、樓梯問題、信號問題、走捷徑問題。
以下影片有助於同學建立觀念：
有了基本觀念之後，可以試試以下幾道問題：
- 例題01有相同物的排列問題
- 例題02分球問題
- 例題03字母排列問題
- 例題04走捷徑問題
- 例題05有順序關係的直線排列
- 例題06走樓梯問題
- 例題07排數字問題(數字不全取)：只要注意0不能排首位即可。這類問題在數字不全取的情況下較常被命題。
- 例題08排數字問題(數字不全取)
重複排列
什麼是重複排列問題？我們舉個例子來看看吧。
一個密碼鎖，有四排數字，每1排數字有0~9這十個數字可供選擇，我們必須這四個數字正確且順序無誤才能打開這個鎖。
每一排有10個選擇，因此所有可能性有10×10×10×10＝10000種。
重複排列的問題可以想成「每一個位置可放一個以上的相異物」或「每一個位置可站一個以上的人」。
其他例子像是，坐船問題、倒酒問題、信投入郵筒問題等…皆是此類問題。
我們將以上例子的觀察寫成定義如下：
觀念解說可參考以下影片：
初學者在處理重複排列的問題時，容易混淆「底數」與「指數」應該放入什麼數字。有一個判斷方式提供參考：
我們將可以重複容納的稱為大，不能重複放置的稱為小。「大」放在底數，「小」放在指數。
舉幾個簡單的例子：
- 5封信件放入3個不同郵筒的放法有幾種？郵筒大，信件小，全部放法有3的5次方種。
- 6個人坐3艘船的坐法有幾種？船大，人小，全部坐法有3的6次方種。
- 4種不同酒倒入3個不同的酒杯，不能調酒倒法有幾種？酒大，酒杯小，全部倒法有4的3次方種。
常見例題如下：
2-3 組合與二項式定理
組合的基本概念
初學排列組合的同學，首先要能分辨「排列」與「組合」的差異是什麼？
用一句話概括就是，「差一個步驟」！也就是說，「排列」實際上是經過兩個步驟：1. 先選取 2. 再排列
而組合就是其中的第1個步驟。
因此，如果「從n件不同物中選取k件」排成一列，其排列數為P(n,k)；我們將「從n件不同物中選取k件」記作C(n,k)。因此由乘法原理可知 P(n,k)＝C(n,k)×k!
從這個定義，我們可以很輕易看出以下幾個性質：
- C(n,0)＝C(n,n)＝1：n個不同的物品，「完全不選」或是「全部都選」，其方法顯然各只有1種。
- C(n,k)＝C(n,n-k)：n個不同的物品，從中選取k個的意思就是有(n－k)個沒有被選到；換句話說，選取(n－k)個的意思就是有k個沒有被選到。因此選取k個的方法數與選取(n－k)個的方法數是一樣的。
- C(n,k)＝C(n－1, k－1)＋C(n－1, k)：這個等式稱為巴斯卡定理。這個定理有「代數」與「組合」證法。
代數證法沒什麼學問，就是依照組合符號的定義直接計算即可。組合證法也不難，想像一下，從n個人選出k個人，可以分成兩個情況，假設當中有一個人「甲」，我們在選的時候，甲可能被選中也可能不被選中。
如果甲被選中，則只剩下(n－1)個人再選出(k－1)個人。如果甲未被選中，則從剩下的(n－1)個人選k個人。將這兩種情況相加就是C(n,k)，因此證明出巴斯卡定理。
相關閱讀：
關於組合的基本觀念，可觀看以下影片學習：
關於二項式定理
二項式定理簡言之，就是描述了二項式的冪的代數展開：
為什麼要介紹二項式定理呢？比較粗淺的解釋是，組合符號可以用來表示展開後的各項係數。但是站在歷史的觀點，我們可以進一步問，這個定理是誰發現的？動機為何？這個定理有何用途？
一般認為是牛頓於西元1664年~1665年提出，因此又稱為「牛頓二項式定理」。上面提到二項式定理的係數可用來表示「巴斯卡三角形」。牛頓考慮的是廣義的二項式定理，即指數n是「分數」或「負數」的情形，但他並沒有給出證明。一直到1811年才由德國數學家高斯證明。
因此，我們學習的內容是原始問題的特例。
有興趣的讀者，可以參考另一篇文章，標題為「輕鬆談如何教學二項式定理？」。
2-4 古典機率
我們高中學習的機率為古典機率，是由法國數學家拉普拉斯(Pierre Simon, Marquis de Laplace,1749-1827)所定義。拉普拉斯不僅是數學家，同時也是一位天文學家，有法國牛頓之稱。
在日常生活中，隨機現象處處可見。所謂隨機現象是指，我們預期可能會發生，但無法確定是否發生的現象。
例如將一個銅板往上丟，我們可以預期正面或反面會朝上，但卻無法百分之百確定哪一面會朝上。我們買樂透，期待有可能會中獎，但卻無法確定是否會中獎。
我們可以感覺一下，一個銅板往上丟，其「正面朝上」的機會與「買樂透中頭獎」的機會何者較高？直觀來看，當然是前者。可是如果我們要比較，擲兩個公正骰子，「其點數和為4」的機會比較大還是「點數和為8」的機會比較大呢？
換句話說，能否將發生機會的高低，明確地量化，使我們清礎地知道某個「事件」發生的機會有多高(低)？
機率就是將隨機現象量化的工具
以下列出學習機率的順序，可依序點連結觀看影片學習：
何謂樣本空間與事件？
一項試驗中所有可能發生的結果所成的「集合」，稱為這個試驗的樣本空間。樣本空間中的每一個元素，稱為「樣本點」或簡稱為「樣本」。此集合內的「子集合」就稱為一個「事件」。僅含有一個樣本的事件稱為「基本事件」，樣本空間本身稱為「全事件」。
這個定義應該不難理解，舉個簡單的例子來說，投擲一顆骰子，觀察朝上的數字，那麼它的樣本空間就是{1,2,3,4,5,6}。每一個數字都是此樣本空間中的一個「樣本」。擲到偶數點的情況為2、4、6，此集合{2,4,6}就稱為一個事件。
這邊牽涉到不少名詞，你覺得名詞重不重要？
我有遇過一些學生時常說，我只要會算就好了，名詞不重要。但試想想，如果名詞沒有記的話，那麼聽課或討論時，要如何知道對方描述的是哪一件事？或是要如何很快讓對方了解你在說什麼？也許有人會說，我只要看到就知道了。沒錯，但如果每一件事情都是要寫出來才知道在講什麼，是不是比較沒有效率呢？
數學本身是一種語言，因此一定要將每個名詞的意思記清楚，這樣你在使用這個語言才會又快又精確。
古典機率的定義
設一試驗的樣本空間 S 之樣本點有有限多個。當 S 中每個樣本點出現的機會均等時，定義事件A發生的機率為[A的樣本點個數]及[S的樣本點個數]的比值。
這個定義最早是由法國數學家皮耶—西蒙·拉普拉斯(P.S.Laplace, 1749~1827)所提出，因此又稱為「拉普拉斯機率」
教科書對於這位數學家介紹不多，但他有另一個稱號，相信會讓大家印象較為深刻。
因為拉普拉斯於1799年出版了巨著《天體力學》，主要論述行星運動、行星形狀和潮汐，書中第一次提出了「天體力學」的學科名稱。該書是經典天體力學的代表著作，由於這部巨著的出版，拉普拉斯被譽為法國的牛頓。
法國18世紀後期到19世紀初數學界著名的三個人物：拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）和勒讓德（Legendre）。因為他們三位的姓氏的第一個字母為「L」，又生活在同一時代，所以人們稱他們為「三L」。
關於拉普拉斯給出的定義，你認為關鍵字是什麼？
答案是：「S 中每個樣本點出現的機會均等」，我們稱其為「機會均等法則」。用白話一點來說，所謂的機會均等法則就是要將相同的物件視為不同。這也是機率與排列組合不太一樣的地方。
排列組合重視結果呈現出來的「狀態」，而機率重視結果呈現的「方法數」。
例如：袋中有2顆相同白球、3顆相同黑球，則從中取出兩球皆為黑球的情況有幾種？若按照組合的觀點，應該就是1種，但若按照機率的觀點，會有3種。因為即使黑球一樣，但每一顆黑球皆占了一個被取到的機會。因此我們要將3顆黑球皆視為不同。
在這裡要注意的是，我們在計算機率時，才會將每個物件皆視為不同。如果只是要寫出樣本空間，那麼便沒有這樣的限制。以上述例子來說，其樣本空間應該是：{白白、黑白、黑黑}，但是如果要計算機率的話，其樣本空間就要寫成：{白1白2、白1黑1、白1黑2、白1黑3、白2黑1、白2黑2、白2黑3、黑1黑2、黑2黑3、黑1黑3}
機率的性質
由機率的定義，可得出以下性質：
- 任何「空事件」的機率為0，任何「全事件」的機率為1
- 任何事件的機率，其數值介於0、1之間(含0、1)
- 某事件的餘事件的機率＝1－此事件的機率：反面做法
- 取捨原理
我們將以上敘述用數學符號表示如下：
附帶一提，如果兩事件A、B為互斥事件(即A與B的積事件為空事件)，則其和事件的機率為其個別機率相加。
關於機率的問題很多，我們來看看以下幾題，建議先想過後再點入連結看解說喔！
機率相關題型
2-5 數學期望值
期望值是「平均」的概念。舉個例來說，我們通常是如何計算學期成績呢？
假設某校規定：平時成績佔了20%，第一次期中考佔了25%、第二次期中考佔了25%，期末考佔了30%，如果有一位同學平時成績得80分，第一次期中考得70分、第二次期中考得75分，期末考得85分，那麼他的學期成績應該是幾分呢？
學期成績＝80×20%＋70×25%＋75×25%＋85×30%:＝m1×p1＋m2×p2＋m3×p3＋m4×p4＝77.75
換句話說，按照這個比重計算，我們可以期望該生的學期成績為77.75分。
我們再來看看另一個例子：
擲一顆公正骰子，已知擲出1、2、3點可得10元；擲出4、5點可得20元；擲出6點可得50元，求擲骰子一次所得金額的期望值為何？
按照定義，期望值＝10×1/2＋20×1/3＋50×1/6＝20(元)
如何解讀？
我們擲這一顆公正骰子，獲得的平均金額為20元，因此期望值也可以解讀為「長期期待值」。這部份留待我們學到了「隨機變數」描述起來會更為清楚。
第三章 數據分析
數據是統計學家的原料，是我們用來解釋事實的數字。所有統計問題所牽涉到的，不外乎蒐集、描述及分析數據，或者思考要如何蒐集、描述及分析數據。
一維數據分析
眾數、中位數、算術平均數、加權平均數、幾何平均數
透過統計，可以從眾多數據中取得關鍵指標，來代表整體數據的特性。一種指標是呈現出資料集中的程度，稱為「均量」，例如：眾數、中位數、算術平均數、加權平均數、幾何平均數、百分位數、四分位數，前三項在國中已學過，我們會略為複習並且做更精確的計算
另一種指標，則是呈現出資料分散的程度，稱為「差量」，例如：全距、四分位距、變異數、標準差，前兩項國中為國中課程內容。
這類以單一的數值來代表整體數據特性的分析，稱為一維數據分析。
接下來，同學可以先看以下影片複習「眾數」、「中位數」、「算術平均數」的基礎內容。
- 什麼是一群數據的「眾數」、「中位數」、「算術平均數」？如何計算？
- 使用「眾數」、「中位數」、「算術平均數」的優缺點為何？
複習完「眾數」、「中位數」、「算術平均數」，並且搭配例題練習之後，接下來我們要來學習「加權平均數」與「幾何平均數」。其中「加權平均數」相信同學們並不陌生，因為這是用來計算學期成績的方式，我前面也有以此來說明期望值為「平均」的概念。
另一方面，「幾何平均數」通常用來計算變化率的平均值。舉個例來說吧，假設某公司去年的營業額比前年成長60%，而今年的營業額比去年衰退60%，那麼這兩年平均成長率是多少？
如果用算術平均數的概念來寫：[60%+(－60%)]÷2＝0，然後將其解讀為持平，這樣是合理的嗎？
事實上，今年的營業額為(1－60%)(1＋60%)＝64%，營業額剩下了原本的64%，顯然已經衰退了。
那麼應該如何計算呢？假設平均成長率為r，則(1＋r)(1＋r)＝(1－60%)(1＋60%)，
r＝「(1－60%)(1＋60%)開根號」再減1
按照這樣的想法，我們可以寫成以下一般的形式：
以下是關於「加權平均數」與「幾何平均數」的教學影片，可觀看學習：
「百分位數」與「四分位數」
「百分位數」原本是國中舊課綱國三的課程，現在是高中108課綱加進來的內容，可以想成是「中位數」概念的推廣。試回想，什麼是中位數呢？
中位數就是將數據分成兩等分，其中「中位數」為其等分點：
至少有50%的數據小於或等於中位數，且至少有50%的數據大於或等於它。
那麼百分位數，就是將數據分成100等分，其中有99個等分點，依大小順序排列：P1、P2、P3、…、P99
其中Pk稱為第k百分位數，k為介於1與99之間的整數。
至少有k%的數據小於或等於Pk，且至少有(100-k)%的數據大於或等於Pk。
因此第k百分位數的計算方式如下：
可搭配以下影片，做幾道例題會更清楚喔：
接下來我們來介紹「四分位數」，顧名思義，就是將數據四等分，其中有三個等分點Q1(第一四分位數)< Q2(第二四分位數) < Q3(第三四分位數)；也就是說，Q1＝P25、Q2＝P50、Q3＝P75，其中Q2就是中位數。
變異數與標準差
以上，我們已經介紹完用以代表整體數據「集中程度」的「均量」，接下來我們來介紹用以量化整體數據「分散程度」的「差量」。我們在國中學過的差量為「全距」與「四分位距」。到了高中階段，我們要來介紹「變異數」與「標準差」。這兩個統計量的定義方式如下：
首先，觀察到「變異數」為「標準差」的平方。
為什麼要這樣定義？
既然我們要看數據的分散程度，所以將每個數據與算術平均數比較，計算其差值(此稱為離均差)，並將個別數值相加。但是如此就必須處理絕對值的代數運算，這是比較麻煩的。因此，我們改將每個差值平方後再相加。
為了避免數值太大，我們將此n個數值平均。即為變異數。將變異數開根號，則為標準差。
另外，要提醒同學的是，除了要記熟「變異數」與「標準差」的原始公式之外，也要知道它們展開後的形式：
其推導方式如下：
推導方式不難，就是使用乘法公式，以及觀察到「算術平均數」×「總次數」＝總和
建議同學，一定要試著將書蓋住，自己獨立推出公式。會推導的好處是，一方面可以記得比較熟，另一方面是萬一忘了可以自己再推出來。
以下是網路上現有的解說影片，同學不妨參考學習。
試試以下這題：數乙106年多選7
這是一道不錯的練習題，首先我們先依據題目將條件列出：
選項(1)，只要將自然75分、社會80分代入求出平均及標準差即可：
選項(2)：與選項(1)一樣，直接將自然、社會兩科成績代入即可。
選項(3)：自然、社會兩科成績總和170分。我們考慮一個比較極端的情況，自然100分，社會70分，如此會造成標準差超過5分。
選項(4)：同樣的，我們考慮一個較極端的情形，自然與社會皆滿分，則標準差會超過5分。
選項(5)：這是正確的，因此要證明，不能舉例子。
數據的伸縮與平移
老師提問：如果將原本的數據經由「伸縮」與「平移」之後，那麼「算術平均數」及「標準差」會如何變化呢？會考慮這個問題的原因是，有時候我們採用不同的單位來描述同一組數據，那麼不同單位對於「平均數」及「標準差」將造成什麼樣的影響，便是一個很自然的問題。
在推導這個結果之前，我們可以先感覺一下：如果有2個數，分別是1，3，那麼其平均數為2，標準差為1。
現在同乘以2倍加上1，則平均數與標準差會如何改變呢？同學應該可以很容易看出來，平均數變為原來的2倍再加1，而標準差變為原本的2倍。也就是說，加減多少，對於標準差是不會有影響的。
數據標準化
給定任何的數據，都會對應到一組「算術平均數」及「標準差」。為了讓不同數據易於比較，我們可以做一個特殊的伸縮及平移變換，使得這些數據的「算術平均數」及「標準差」一致。其變換方式如下：
不難驗證，經由這樣的變換，所有數據的算術平均數均變為0，標準差均變為1。
關於此結果的推導方式，可觀看以下影片學習：(0~8:50數據的伸縮及平移變換；8:51~數據的標準化)
二維數據分析
前面我們介紹了一維數據分析的「均量」及「差量」，伸縮及平移、標準化數據。接下來我們要來介紹二維數據分析。顧名思義，一維數據分析是針對一組數據(的均量及差量)進行分析；而二維數據分析，則是針對兩組數據的關係進行分析。
用來量化兩組數據關係的量稱為「相關係數」，而「迴歸直線」則是用來預測兩組數據走向的工具。
相關係數
兩組資料的相關性可以分為以下三種：正相關、零相關、負相關。
而「正相關」或「負相關」又可依據其相關程度區分為：完全相關(理想狀態)、高度相關、中度相關、低度相關。我們可以用「散布圖」來觀察兩組資料的相關性，但不夠客觀。也不精確，因此採用「相關係數」進行量化。
相關係數的定義方式如下：
為什麼是這樣定義呢？我們可以畫出一條橫軸及縱軸，通過座標：(x的算術平均數、y的算術平均數)
分子的部份可以度量資料分散在1、3象限多一點，還是2、4象限多一點？然後我們將這一個數字取平均值(除以n)，接著再除以x與y的標準差，如此可以使該值落在區間 [－1, 1]。
另一方面，這樣做的好處是，可以減少不同測量單位的數據對圖形的影響，也使圖形分布更加明顯。
為了讓公式易於記憶，我們可以將其改寫成以下形式：
其中
有時候為了計算方便，也可以寫成展開後的樣子：
相關係數在計算上，要善用伸縮與平移的技巧：
關於相關係數的定義，可參考以下教學影片：
迴歸直線
在散佈圖上，我們可以觀察到數據分佈的情形。一般來說，這些資料都不會落在同一條直線上，但是，我們可以針對每一組數據，找到一條直線，使得這些點與這條直線的「鉛直線段長度」平方和為最小。這樣的一條直線，稱為「最佳直線」或「迴歸直線」。寫出的形式如下：
在推導這個公式之前，我們可以先觀察，這條直線必定通過x、y的算術平均數。但是那個斜率為什麼會長成那樣呢？這就得透過最小平方法，經由配方看出來。當然如果會一點微積分，可以簡化不少計算。
建議初學者不用急著推導公式，可以先從演練題目，將公式記熟後，再回來學習如何推導。我認為對於準備考試來說，這是比較有效益的做法。
以下影片是關於迴歸直線的介紹與推導：
第四章 三角比的性質與應用
三角比是高中數學的重頭戲，是人們為了做測量而發展出來的一門學問。如今，三角比已廣泛應用在許多科學領域，例如航空、建築、工程、航海、測繪學…等。
簡單來說，三角比是一個關於角度的函數，用來表示n邊形的邊角關係。包括了「正弦函數」、「餘弦函數」、「正切函數」、「餘切函數」、「正割函數」、「餘割函數」。而且這六個三角函數之間有著特別的關係，稱為三角恆等式。
首先，我們先來問一個問題，既然三角函數是探討n邊形的邊角關係，那為何要叫做「三角函數」，而不叫做「四角函數」、「五角函數」或「六角函數」…？
試想想，任意的多邊形，是不是可被切割成更小的單元？沒錯，那個更小的單元就是三角形。因此，如果我們可以掌握三角形的邊角關係，就可以以此為基礎探討多邊形的邊角關係。
然而，三角形有各式各樣的形狀，其邊角關係還是相當複雜，因此我們將其切割成更小的單元，簡化其邊角關係。那個更小的單元，就是直角三角形。
因此，我們針對直角三角形定義其邊角關係就單純許多了。
銳角三角比的定義
以上符號sin、cos、tan分別為sine、cosine及tangent的縮寫。由於螺旋式的課程架構，另外三個三角函數cot(餘切)、sec(正割)、csc(餘割)，要留待之後的課程才會介紹。
對於108課綱的安排，歡迎參考我整理的另一篇文章：高中數學108課綱「課程」與「考試」分析、各版本整理及考生的因應方式
為什麼會取這樣的名稱呢？理由很簡單，會叫做弦，就是與圓的弦有關；會叫做切，就是與圓的切線有關；會叫做割，就是與圓的割線有關。不妨參考以下的影片說明：
有了定義之後，可以練習寫下特殊角(30度、45度、60度)的三角比試試：
提問：15度、75度、18度、22.5度的三角比要如何求呢？
三角比的基本關係式
銳角三角比的關係式有以下幾種：餘角關係、平方關係、商數關係，依課本內容只有以下三種
相信很多老師教到這段應該會很不自在，有一種沒有把事情講完的缺憾。因為只介紹三個三角函數，所以一些關係式便無法呈現出來。
因此，有興趣知道較完整內容的同學可參考以下影片
三角測量(平面、銳角)
這個部份，我們要來介紹，使用三角比來解決測量問題。事實上，就是因為有測量的需求，三角學才得以蓬勃發展。例如：古代埃及測量金字塔高度、或是天文學家使用三角學測量地球的大小，進而繪製成地圖。
在此補充一點，我們中學所接觸的三角學，主要在歐氏空間上(曲率為0)討論，事實上，曲面上的三角學提供了更一般的理論架構，在數學的其中一個分枝「微分幾何」會有較詳盡的說明。
在處理三角測量的問題時，必須先依題意描繪圖形，再使用三角學理論進行計算。因此，將「文字」化為「圖形」是不少學生初學時會遇到的困難，尤其在面對空間圖形時更為明顯(學生容易於平面與空間圖形上造成混淆)。
做測量問題之前，要先知道相關術語如下：
仰角與俯角、方位
觀察高處目標時，視線與水平線的夾角，稱之為「仰角」；
觀察低處目標時，視線與水平線的夾角，稱之為「俯角」。
方位：東、西、南、北、東30度北，西70度南，東北、西南、…。
廣義角三角比與極坐標
廣義角是什麼？
至目前為止，我們考慮的角度介於 \(0^{\circ}\sim 180^{\circ}\)，並且僅定義銳角的三角函數並考慮其性質。接下來我們要將角度的概念進行推廣。
試想想，角度是如何產生的？相信大家都有坐過摩天輪的經驗，隨著時間推移，摩天輪會緩緩轉動，你要如何描述自己所在的位置呢？
是不是從上車處當作起始點，然後看看「轉」了多少？另外，摩天輪可以「逆時針旋轉」或是「順時針旋轉」。
從摩天輪的例子不難想像，旋轉角度不受限於 \(0^{\circ}\sim 180^{\circ}\)，並且可以有方向性。這就是我們推廣角度的方法。
如下圖所示：
旋轉時，必須先固定一邊 \(OA\)，稱為「始邊」，接著可以依逆時針方向旋轉(如圖(a))，或是依順時針方向旋轉(如圖(b))。根據定義，依逆時針方向旋轉的角度為「正的角度」；依順時針方向旋轉的角度為「負的角度」。這個定義容易理解，我們可以想成，從 \(OA\) 出發，一開始往上為「正」、往下則為「負」。
旋轉後停住的邊 \(OB\)，稱為「終邊」。
由以上方式定義的角度稱為「廣義角」。
如果兩個角度，其始邊與終邊相等，則稱此兩個角度互為「同界角」。換句話說，如果兩個角度相差 \(360^{\circ}\) 的整數倍，那麼這兩個角度便是「同界角」。
看到這裡，可以先做一些基本練習再繼續看下去，
為了可以清楚描述角度並定義三角函數，我們將角的始邊放在 \(x\) 軸的正向上，而角的終邊可能落在第一、二、三、四象限，此時這個角分別稱為第一、二、三、四象限角。如果終邊恰好落在 \(x\) 軸或 \(y\) 軸上，則此角度稱為「象限角」。
如何定義廣義角的三角比？
如上圖所示，在終邊上，任取一點異於原點 \(O\) 的點 \(P(x,y)\)，並且通過 \(P\) 點作 \(x\) 軸的垂直線，設垂足為 \(Q\)，此時 \(x\)與 \(y\) 分別表示 \(\Delta OPQ\) 的鄰邊與對邊。要特別注意的是，\(x, y\) 會隨著不同象限而有不同的正負號，而斜邊 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) 恆為正。
有了以上的設置，接著就可以去定義各三角比了：
$$ sin{\theta}=\frac{y}{r}, \ cos{\theta}=\frac{x}{r}, \ tan{\theta}=\frac{y}{x} $$
三角函數雖然有很多公式，但我認為最重要的是定義。只要定義清楚了，很多的公式都可以輕易推出來。因此學習三角函數的過程，基本動作就是熟記定義以及推導，並且記憶一些基本公式。另外一些較為特殊的公式，不必強迫自己一定要記下來。當然對於記憶力特好的人，能記起來當然也是不錯啦。
接著我們來看看廣義三角比有哪些性質。
三角比的性質
從歐幾里德的風車證法看「餘弦定理」的幾何修正項
課程回顧
八年級時，我們第一次學到了「畢氏定理」，這個定理告訴我們，一個直角三角形的兩股平方和等於斜邊的平方。文獻上記載，畢氏定理有超過三百多種的證明方式。其中，歐幾里德的風車證法堪稱經典。到了高一下學期，我們學到了三角比的應用之一：「餘弦定理」。這一篇文章，我們要從風車證法中，觀察餘弦定理修正項出現的原因。雖然證明過程相較課本教我們的方式複雜一些，也沒有這麼直觀，但卻更可以看出餘弦定理修正項與幾何的連結。
畢氏定理的證明方法：歐幾里德的風車證法
首先，我們考慮以下這個圖形：
其中\(\Delta ABC\)為直角三角形，且 \(\angle{ABC}=90^{\circ}\)，以其三邊長往外延展出三個正方形 \(ABGF\)、\(ACED\)、\(BCKH\)。
連接\(CF\)、\(BD\)，並且過\(B\)點做鉛直線，分別交\(\overline{AC}\)與\(\overline{DE}\)於\(I\)、\(L\)兩點(如下圖)。
稍微觀察一下，不難發現 \(\Delta ACF \cong \Delta ADB (SAS)\)，先來計算 \(\Delta ABD的面積\)
$$ \begin{aligned}
\Delta ABD面積 &= \overline{AD}\times h_1 \times \frac{1}{2} \\
&= 矩形ADLI的面積 \times \frac{1}{2}
\end {aligned}$$
另一方面，計算 \(\Delta ACF的面積\)
$$ \begin{aligned}
\Delta ACF的面積 &= \overline{AF}\times h_2 \times \frac{1}{2} \\
&= 正方形ABGF的面積 \times \frac{1}{2}
\end {aligned}$$ 因為 \(\Delta ABD面積\cong \Delta ACF的面積\)，所以 $$矩形ADLI的面積 = 正方形ABGF的面積$$
同理，$$矩形ILEC的面積=正方形BCKH的面積$$
因此，
$$\begin{aligned}
正方形ADEC的面積 &= 矩形 ADLI的面積 + 矩形ILEC的面積 \\
&= 正方形ABGF的面積 ＋ 正方形BCKH的面積
\end{aligned}$$ 亦即 $$\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2$$ 得證。
回顧課程：餘弦定理
什麼是餘弦定理？敘述如下：在 \(\Delta ABC\) 中，\(\angle A, \angle B,\angle C\) 的對邊長分別為 \(a,b,c\)，則
$$\begin{aligned}
a^2 &= b^2+c^2 -2bccosA \\
b^2 &= a^2+c^2 -2accosB \\
c^2 &= a^2+b^2 -2abcosC \\
\end{aligned}$$
目前教科書提供的證明，主要為代數操作，快速地來複習一下：
第一個方法，作\(BC\) 邊上的高 \(\overline{AD}\)。
在 \(\Delta ABD\)中，\(\overline{BD}=ccosB, \overline{AD}=csinB\)，
因此，在\(\Delta ACD\)中，\(\overline{CD}=a-ccosB\)，根據畢氏定理
$$\begin{aligned}
b^2 &= (a-ccosB)^2+(csinB)^2 \\
&= a^2+c^2-2accosB
\end{aligned}$$ 這是很簡單的代數證明。
另一個方式則是使用解析幾何，建立坐標系：以 \(B\) 為原點，\(\overleftrightarrow{BC}\) 為 \(x\) 軸。
標上3個頂點坐標後，寫出 \(A\)、\(C\)兩點的距離
$$\begin{aligned}
b^2&=\overline{AC}^2 \\
&=(a-ccosB)^2+(csinB)^2 \\
&= a^2+c^2(cos^2B+sin^2B)-2accosB \\
&= a^2+c^2-2accosB
\end{aligned}$$
從以上兩個證明，我們可以看出，餘弦定理的本質其實還是畢氏定理，修正項在代數運算的過程中自然出現了。接下來我們來看看歐幾里德的風車證法中，修正項的幾何意義。
餘弦定理的證明方法：歐幾里德的風車證法
考慮 \(0^{\circ}<\angle{B}<90^{\circ}\) (\(\angle{ABC}>90^{\circ}\)的情形留給讀者練習)，如下圖所示：
顯然，\(\Delta AFC \cong \Delta ABD (SAS)\)。
接著，分別計算 \(\Delta AFC\) 及 \(\Delta ABD\) 的面積
$$\begin{aligned}
\Delta AFC的面積 &= \overline{AF}\times h_1 \times \frac{1}{2}\\
&= 矩形 AFMJ的面積 \times \frac{1}{2}
\end{aligned} \tag{1}$$
$$\begin{aligned}
\Delta BAD 的面積 &= \overline{AD} \times h_2 \times \frac{1}{2} \\
&= 矩形ADLI的面積 \times \frac{1}{2} \end{aligned} \tag{2}$$
因為 \(\Delta AFC \cong \Delta ABD (SAS)\)，所以由第(1)式及第(2)式可知，\(矩形AFMJ的面積 = 矩形 ADLI的面積\)
同理，$$矩形CNOK的面積 = 矩形 ILEC的面積$$
從這裡可以看出，修正項就是指矩形\(BJMG\)及矩形\(BNOH\)的面積，其中
$$矩形BJMG=\overline{BG}\times\overline{BJ}=c\times acosB (如下圖，在\Delta BCJ中，\overline{BJ}=acosB)$$ $$矩形BNOH=\overline{BH}\times\overline{BN}=a\times ccosB (如下圖，在\Delta ABN中，\overline{BN}=ccosB)$$
$$\begin{aligned}
\overline{AC}^2=正方形ADEC的面積 &= 矩形ADLI的面積+矩形ILEC的面積 \\
&= 矩形AFMJ的面積+矩形CNOK的面積 \\
&= (正方形ABGF的面積-矩形BJMG的面積)\\
&+ (正方形BCKH的面積-矩形BNOH的面積)\\
&= (\overline{AB}^2-\overline{BC}\times\overline{AB}\times ccosB) + (\overline{BC}^2-\overline{BC}\times\overline{AB}\times cosB) \\
&=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2 -2\overline{BC}\times \overline{AB}\times cosB
\end{aligned}$$ 證畢。
餘弦定理我已經教了數十次，第一次看到這個證明，覺得很新鮮也很有趣。教科書的編排，往往是以學生容易學習與理解為主，不一定按照歷史脈絡與呈現當初數學家的原始思想，因此我時常鼓勵學生多閱讀課外書籍，不僅是為了考試，而是學習到知識的本質與內涵。
然而，在繁重的課業之下，大多數學生很難有時間閱讀整本書籍，因此採用單篇文章的形式，盡量以淺顯白話的方式書寫，方便學生們閱讀。
