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前言

數學是一門深具挑戰性與美感的學科,它不僅僅是一系列數字和符號的組合,更是一種邏輯思考和問題解決的藝術。在這份考題分析中,我們將深入探討113年學測數A這份試卷,旨在啟發學生對數學的思考方式,培養學生的問題解決能力。

首先,我會依照課程目錄將此次考題分類,並且統計各冊佔比。接著我將一一剖析每個考題的背後邏輯,以及解決問題的可能途徑。這不僅有助於學生理解每個問題的本質,更有助於提升解題能力,使學生在未來面對各種數學挑戰時更加游刃有餘。

我們鼓勵你積極參與分析過程,思考不同的解題思維,並隨著逐題解釋一同深入了解每個問題的解決過程。這將有助於你建立堅實的數學基礎,同時培養你在數學領域中的創造性和靈活性。

祝你在本次分析中獲得豐富的收穫,並在數學的世界中不斷探索與成長。

試題比重分析

題型及試題內容分析

單選第1題:半衰期問題(易)

這一題很簡單,是標準的半衰期問題,設服用t小時後,體內殘留藥物為f(t)=f(0)\cdot(\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}
那麼用4個小時後,藥物剩下(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}劑量,答案選(2)。

單選第2題:空間向量(易)

我也是常考題了,可以將圖形座標化:以A點為原點,射線\overrightarrow{AB}為正向x軸方向,直線\overrightarrow{AE}為正向y軸方向,如下圖所示。

接著,不妨假設此正方體的邊長為1,並標上各頂點座標:

計算 \overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AG}=(0,1,1)\times (111) = (0,1,-1)
依序寫上各向量座標比較一下:

\begin{aligned} (1) \overrightarrow{AE} &= (0,0,1) \\ (2) \overrightarrow{BE} &= (-1,0,1) \\ (3) \overrightarrow{CE} &= (-1,-1,1) \\ (4) \overrightarrow{DE} &= (0,-1,0) \\ (5) \overrightarrow{OE} &= (0,-1,1) \\ \end{aligned}

只有向量 \overrightarrow{OE} 平行向量 \overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AG},因此答案選(5)

單選第3題:多項式不等式(中等難度)

依題意 設 \ f(x) = a (x+7)(x+7-a)(x+7-2a)

\begin{aligned} f(0) > 0 & \Rightarrow a\cdot 7 \cdot (7-a) \cdot (7-2a) > 0 \\ & \Rightarrow a\cdot 7 \cdot (a-7) \cdot (2a-7) > 0 \\ & \Rightarrow a>7 \ \ or \ \ 0<a<\frac{7}{2} \end{aligned}

因此,a=2是唯一可能,答案選(1)。

單選第4題:三角函數的和角公式(中偏難)

這一題第一步,可以先用正弦的和角公式拆開整理如下:

sinx\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + cosx \cdot \frac{1}{2} = sinx + \frac{1}{2}

移項整理,並且將等式全部乘以2,可將式子改寫為
(\sqrt{3}-2)sinx+cosx=1
接著將三角函數疊合,並且有理化分母,再整理可得
(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}sinx+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}cosx)=1 \tag{1}
其中,cos\frac{7}{12}\pi = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}, \ sin\frac{7}{12}\pi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
再回到第(1)式 (\sqrt{6}-\sqrt{2})(sinxcos\frac{7}{12}\pi +cosxsin\frac{7}{12}\pi)=1 利用和角公式合併:
sin(x+\frac{7}{12}\pi)=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=sin\frac{5}{12}\pi
在限制 0\leq x < 2\pi 的情況下 x+\frac{7}{12}\pi = \frac{7}{12}\pi, 2\pi+\frac{5}{12}\pi
滿足原題意的 x=0, \ \frac{11}{6}\pi,因此答案選(2)

以上的寫法計算量有些龐大,可善用「變數變換」及「對稱性」,簡化計算過程:

先找出 x+\frac{\pi}{6}sinx 的中點:
\frac{(x+\frac{\pi}{6})+x}{2} = x+\frac{\pi}{12} 接著令 y= x+\frac{\pi}{12},其中 \frac{\pi}{12}\leq y < 2\pi+\frac{\pi}{12}。此時方程式可改寫 sin(y+\frac{\pi}{12})=sin(y-\frac{\pi}{12})+\frac{1}{2}
利用和角公式展開
sinycos\frac{\pi}{12}+cosysin\frac{\pi}{12} = sinycos\frac{\pi}{12}-cosysin\frac{\pi}{12}+\frac{1}{2}
移項整理,並且將 sin\frac{\pi}{12} 換成 \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
cosy\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{4}\ \Longrightarrow \ cosy = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=cos\frac{\pi}{12} 最後在限制範圍內解得 y=\frac{\pi}{12}, \ 2\pi-\frac{\pi}{12} \ \ 兩解 因此答案選(2)

單選第5題:組合與中位數(中偏難)

這一題結合了中位數與組合的觀念,我將題意以下圖呈現可能會清楚一些:

設甲組的中位數為 a,乙組的中位數為 a+1,在 a 之前有12個數字,a+1 之前除了 a 之外也有12個數字。
另外,在 a 之後除了 a+1 之外有12個數字,在 a+1 之後也有12個數字。

也就是說,前面24個數字中(1~24),必須被分成兩組各12個數,方法數為 C^{24}_{12}
同樣道理,後面24個數字中(27~50),必須被分成兩組各12個數,方法數為 C^{24}_{12}

由於將數字分組被拆成兩個步驟,因此要用乘法原理,共有分法 (C^{24}_{12})^2 ,答案選 (4)。

單選第6題:三角測量(中偏難)

這種三角測量題的第一步就是要先將圖畫出來:

\Delta ABC 中,先以餘弦定理算出 \cos\thetacos\theta = \frac{7^2+9^2-9^2}{2\times 7 \times 9}= \frac{7}{18}

利用餘弦函數的半角公式 cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{18}}{2}}=\frac{5}{6}

Delta ABQ 中,再針對 \angle{BAQ} 用一次餘弦定理
\overline{BQ}=\sqrt{7^2+9^2-2\times 7\times 9\times \frac{5}{6}}=5 因此答案選(3)

多選第7題:對數函數的圖形(易)

這一題是基礎題,唯一要注意的是選項(2)。

選項(1):錯誤y+\frac{1}{2}=log5+logx 與 圖形 \Gamma 不同。
備註:這個選項有一些爭議,y+\frac{1}{2} = log(5x) 只是 y=logx 平移的結果,那麼我們說這兩個圖形完全相同似乎也沒有問題,待後續大考中心的回覆。

選項(2):錯誤2y=2log|x|
要注意的是,真數 x 上的次方是偶數次,當次方拿到前面時,記得要加上絕對值,避免真數為負的情形。
選項(3):正確 3y=3logx
與選項(2)不同的是,真數 x 上的次方是奇數次。由x^3>0,必定保證 x>0,因此真數不須再加絕對值。
選項(4):正確y=logx \Longleftrightarrow x=10^y
選項(5):錯誤 x^3=(10^y)^3=10^{3y} 因此答案選(3)(4)

多選第8題:等差數列與三角形的面積綜和題(中等難度)

選項(1):由 n^2+(n+1)^2-(n+2)^2 = n^2-2n-3 = (n-3)(n+1) 可知 T_2 是鈍角三角形,此選項錯誤。

選項(2):令 T_n 的周長為 S_n:=3n+3, n\geq 2,故 S_n 形成公差為 3 的等差數列,此選項正確。

選項(3):利用海龍公式可知 T_n \ 的面積 = \sqrt{\frac{3n+3}{2}\cdot\frac{n+3}{2} \cdot \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}} 顯然隨 n 增大而增大,此選項正確。

選項(4):設 T_5 三邊上的高分別為 h_5,h_6,h_7,則
5\cdot h_5 = 6\cdot h_6 = 7\cdot h_7 = 2\cdot T_5 \ 的面積:=2\Delta
h_5=\frac{2\Delta}{5}, \ h_6=\frac{2\Delta}{6}, \ h_7=\frac{2\Delta}{7} 不是等差數列,此選項錯誤。

選項(5):因為 3^2+4^2=5^2 \ \ 且 \ \ 2^2+3^2<4^2 所以 T_3 的最大角為直角,T_2 的最大角為鈍角,

因此 T_3 的最大角應該小於 T_2 的最大角,此選項錯誤。答案選 (2)(3)。

多選第9題:迴歸直線的基本觀念(中等難度)

迴歸直線的問題很好掌握,主要就兩個重點:
1. 迴歸直線必定過資料的算術平均數 2. 迴歸直線的斜率=相關係數 × 兩資料標準差的比值。

選項(1):
\begin{aligned} \overline{y_A} &= 2\overline{x_A} – 0.6 = 2\times 5.2 – 0.6 = 9.8 \\ \overline{y_B} &= 1.5\overline{x_B} + 0.4 = 1.5\times 6 + 0.4 = 9.4 \end{aligned}\overline{y_A}>\overline{y_B},此選項錯誤。

選項(2):分別從兩直線的斜率看出 A 物種及 B 物種的標準差。
\begin{aligned} 2 &= m_A = 0.6 \times \frac{\sigma_A^y}{0.3} \Rightarrow \sigma_A^y=1 \\ 1.5 &= m_B = 0.3 \times \frac{\sigma_B^y}{0.1} \Rightarrow \sigma_B^y=0.5 \end{aligned}
A 物種的體重標準差大於 B 物種的體重標準差。此選項錯誤。

選項(3):|個體P的體重 – \overline{y_A}|=|8.6-9.8|=1.2>1 此選項正確。

選項(4):設 P(5.6, 8.6),則
\begin{aligned} d(P,L_A) &= \frac{|2\times 5.6 – 8.6 -0.6|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\ d(P,L_B) &= \frac{3\times 5.6 – 2\times 8.6 + 0.8}{\sqrt{13}}= \frac{0.4}{\sqrt{13}} \end{aligned}
因此 d(P,L_A)>d(P,L_B) 此選項錯誤。

選項(5):設 P(5.6, 8.6)A(\overline{x_A}, \overline{y_A})B(\overline{x_B},\overline{y_B})
\begin{aligned} \overline{PA}^2 &= 0.4^2 +1.2^2 \\ \overline{PB}^2 &= 0.4^2+ 0.8^2 \end{aligned}\overline{PA}^2>\overline{PB}^2 此選項錯誤,答案選(3)。

多選第10題:平面向量(中等難度)

首先,我們先將圖畫出來看一下:

可以看出來,點Ax 軸的距離為3 “小於” 點Bx 軸的距離 2\sqrt{3},此選項錯誤。

選項(2):如下圖所示

直角\Delta CDP 的內角\angle{PCD}=60^{\circ},且\overline{PD}=2\sqrt{3},故\overline{PC}=4
此選項錯誤。

選項(3):我們將圖形座標化如下:

因此向量 \overrightarrow{BA}=(7,3-2\sqrt{3}) 此選項正確。

選項(4):先寫出點P的座標 P(6,2\sqrt{3})

\overline{AP}^2=3^2+(3-2\sqrt{3})^2=30-12\sqrt{3}\approx 9.24 < 10 此選項錯誤。

選項(5):m_{AP}=\frac{3-2\sqrt{3}}{9-6}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}>-\frac{1}{\sqrt{3}} 此選項正確。因此答案選 (3)(5)

多選第11題:機率與二元一次聯立方程式綜合題(中偏難)

這一題是「二元一次聯立方程式」與「機率」的混合題,可以使用克拉瑪公式輔助解題。

按題意,a=1、2、3、4、5、6,b=1、2

選項(1):p(a=b)=\frac{2}{C^6_2\cdot C^2_1}=\frac{1}{6} 此選項錯誤。

選項(2):此方程組無解的充要條件為 \frac{a}{1}=\frac{6}{b}\neq \frac{6}{1}
ab=6,b\neq 1 僅有 a=3, b=2 唯一一種情形,因此機率 p=\frac{1}{12} 此選項正確。

選項(3):此方程組有唯一組的充要條件為 \frac{a}{1}\neq \frac{6}{b}ab\neq 6
p(ab\neq 6) = 1-p(ab=6) = 1-\frac{2}{12}=\frac{5}{6} 此選項正確。

選項(4):硬幣出現反面,則 b=2;此方程組無解,則 a\neq 3,故
p(a\neq 3, b=2)=\frac{5}{12}

選項(5):x=\frac{\Delta_x}{\Delta}>0 其中
\Delta = \left|\begin{matrix} a & 6 \\ 1 & b \end{matrix}\right|\ , \Delta_x=\left|\begin{matrix} 6 & b \\ 1 & b \end{matrix}\right| \frac{6b-6}{ab-6}>0b=2 代入可得 \frac{6}{2a-6}>0a>0
因此 p(x>0\ | \ b=2, a\neq 3)=p(a>3|b=2\ ,\ a\neq 3)=\frac{3/12}{5/12}=\frac{3}{5} 此選項錯誤。
最後答案選(2)(3)

多選第12題:平面上的線性變換(中等難度)

選項(1):
TA = \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right] , TB = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right] , TC = \left[\begin{matrix} -3 \\ 0 \end{matrix}\right] 將這個圖形畫出來

因為 \sqrt{10}^2 + \sqrt{10}^2 – 6^2 <0 所以 \Gamma 是等腰鈍角三角形才對,此選項錯誤。

選項(2):要判斷是否有點 (x,y) 滿足
\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} 整理可得
\begin{cases} 3x = x \\ ax+y=y \end{cases} 可解得 x=0 因此在 \Delta ABC 的邊上,只有兩點 (0,0)、(0,1)T 變換後坐標不變。此選項正確。

選項(3):先寫下經由轉換後三點的坐標如下:
TA = \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right] , TB = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right] , TC = \left[\begin{matrix} -3 \\ -a \end{matrix}\right]

a=0 時,\Gamma 不會有部分落在第四象限。

選項(4):按題意可知
T^{-1}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}= \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ a & 1 & a \end{bmatrix} 將等號兩邊同乘以 T 可得
\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}= T\cdot\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ \frac{a}{3} & \frac{1}{3} & \frac{a}{3} \end{bmatrix} 也就是說,可以找到一個三角形,三頂點分別為 (\frac{1}{3},\frac{a}{3}),\ (0, \frac{1}{3}),\ (-\frac{1}{3}, \frac{a}{3}) T 變換後為 \Delta ABC,此選項正確。

選項(5):|\Gamma| = |T|\cdot \Delta ABC 的面積 = 3\times \Delta ABC 的面積 \Gamma 的面積為定值。

多選第13題:三元一次聯立方程式(易)

這一題非常簡單,依題意,可列出以下三元一次聯立方程式:
\begin{cases} 100A+400B+240C = 260(A+B+C) \\ 100A+400B = 280(A+B) \end{cases}

將以上方程式化簡可得
\begin{cases} 8A-7B+C=0 \tag{13.1} \\ 3A = 2B \end{cases}

A=2r, B=3r 代入方程式 (3.1) 可得 16r-21r+C=0 解得 C=5r 因此 A:B:C=2:3:5

選填第14題:多項式的除法(中等難度)

依除法原理列式如下:

設\begin{cases} f(x)=(x^2-2x+3)Q_1(x) + x+1 \\ g(x)=(x^2-2x+3)Q_2(x) + x-3 \\ h(x)=(x^2-2x+3)Q_3(x)-2 \end{cases}
接著計算
xf(x)+ag(x)+bh(x) \\ = (x^2-2x+3)(xQ_1(x)+aQ_2(x)+bQ_3(x))+x(x+1)+a(x-3)-2b
其中 x(x+1)+a(x-3)-2b = x^+(a+1)x-3a-2b 可以被 x^2-2x+3 整除。
因此
\begin{cases} a+1 = -2 \\ -3a-2b=3 \end{cases}
解得
\begin{cases} a=-3 \\ b=3 \end{cases}

選填第15題:期望值(中等難度)

首先,先確定有幾顆摸彩球:設共有 n 顆摸彩球,則
\frac{10}{n}=\frac{0.4}{100} \Longrightarrow n=2500

接著,依題意及期望值的定義直接計算:
E=\frac{C^4_1}{2400}\times 5000 + \frac{C^5_1}{2400}\times 8000 = \frac{300}{12} = 25

選填第16題:平面向量的正射影長(中偏難)

這一題非常精彩,是這份考題中,兩道難題中的其中一題。不妨依題意先畫個簡圖如下:

這一題的關鍵在於,題目給的那兩個向量 (2, -3)、(3,2) 互相垂直。
因此可以使用畢氏定理先求出向量\overrightarrow{v} 的長度:
|\overrightarrow{v}|^2 = (|\overrightarrow{v}|-1)^2+(|\overrightarrow{v}-2|)^2 \tag{16.1} 將方程式 (16.1) 展開整理後可得 |\overrightarrow{v}|^2-6|\overrightarrow{v}|+5=0
接著因式分解 (|\overrightarrow{v}|-1)(|\overrightarrow{v}|-5)=0
可解得 |\overrightarrow{v}|=5 \ 或\ 1 (不合)

接下來,將向量 (4,7)寫成向量 (2,-3)(3,2) 的線性組合如下:
(4,7) = -(2,-3) + 2(3,2)
計算向量\overrightarrow{v}與向量(4,7) 的內積
\begin{aligned} \overrightarrow{v}\cdot (4,7) &= -\overrightarrow{v} \cdot (2,-3) + 2\overrightarrow{v}\cdot (3,2) \\ &= -\sqrt{13}\cdot 4 +2\sqrt{13}\cdot 3 = 2\sqrt{13} \end{aligned} 最後,我們就可以計算向量\overrightarrow{v}在向量(4,7) 的正射影長了:
\frac{|\overrightarrow{v}\cdot (4,7)|}{\sqrt{65}}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{65}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}

選填第17題:二元一次不等式經典試題(難)

這一題應該是整份試卷最難的一題了,連題目都不容易看懂,先畫個圖來觀察一下:

換個說法應該比較好理解一點:以 P 點為圓心,|x-y| 為半徑畫圓,
而這個圓必須落在正方形 OABC (含邊界) 內:那麼這個半徑不能超過 P 點至四條邊界的距離,

可列式如下:
\begin{cases} |x-y|\leq y \\ |x-y|\leq x \\ |x-y|\leq 1-y \\ |x-y|\leq 1-x \end{cases}
接著分情況討論如下:

情況1. x=y
\begin{cases} y \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \leq 1 \\ x \leq 1 \end{cases}圖形就是此正方程的對角線

情況2. x-y>0,將聯立方程式改寫如下
\begin{cases} x \leq 2y \\ y \geq 0 \\ x \leq 1\\ y \geq 2x-1 \end{cases} 再將此圖形畫上去

情況3. x-y<0,再將聯立方程式改寫如下:
\begin{cases} x\geq 0 \\ 2x-y \geq 0 \\ x-2y \geq -1 \\ y \leq 1 \end{cases}
再畫圖

斜線部份是一個平行四邊形
面積 = \begin{Vmatrix} \frac{2}{3} &1 \\ \frac{1}{3} & 1 \end{Vmatrix}=\frac{1}{3}

題組第18題:兩向量的夾角(易)

題組題不難,可以輕鬆解決。

先畫個圖來看一下:

向量 \overrightarrow{OQ} 平行平面 E 的法向量 (1,0,-1),因此 cos\alpha = \frac{(1,0,-1)\cdot(1,0,0)}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} 答案選(4)

題組第19題:向量的內積(中等難度)

直接用內積的定義處理:
cos\theta = \frac{(a,b,c)\cdot (1,0,0)}{|\overrightarrow{OP}\cdot 1|}= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \tag{19.1}

因為 \theta \leq \frac{\pi}{6} 且 餘弦函數在區間 [0,\pi] 為遞減函數,所以
cos\theta \geq cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}

因此式子 (19.1) 中,\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}
將不等式兩邊平方可得
\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{3}{4} 移項整理可得
a^2\geq 3(b^2+c^2) 得證。

題組第20題:二次函數求極值(中等難度)

因為 P\in E:x-z=4,則 a-c=4
承19題,將b=0 代入不等式 a^2 \geq 3(b^2+c^2) 中,並且將 c 代換成 a-4 可得,
a^2\geq 3c^2 \geq 3(a-4)^2 \tag{20.1}

將方程式(20.1)展開整理:
a^2-12a+24\leq 0 \tag{20.1} 解不等式(20.1) 可得
6-2\sqrt{3}\leq a \leq 6+2\sqrt{3}

最後計算 \overline{OP}^2
\overline{OP}^2=a^2+c^2=a^2+(a-4)^2=2a^2-8a+16=2(a-2)^2+8

將此二次函數的圖形畫出來看一下:

要注意討論範圍並沒有包含頂點,最小值發生在 x=6-2\sqrt{3} 的地方,代入計算
\overline{OP}^2=2(4-2\sqrt{3})^2+8=64-32\sqrt{3}=64-2\sqrt{768}=(4\sqrt{3}-4)^2
因此,\overline{OP}\geq 4\sqrt{3}-4

這份詳解就寫到這邊,提供給有需要的人參考。
如果你對於高中數學學習相關主題有興趣,歡迎留下姓名與e-mail接收相關主題的訊息。

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筆者簡介

不要害怕追求夢想,因為只有在挑戰自己的極限時,才能發現自己更大的潛力。即使路途崎嶇,也請記得,每一步都是通往成功的踏板。