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前言

數學是一門深具挑戰性與美感的學科，它不僅僅是一系列數字和符號的組合，更是一種邏輯思考和問題解決的藝術。在這份考題分析中，我們將深入探討113年學測數A這份試卷，旨在啟發學生對數學的思考方式，培養學生的問題解決能力。

首先，我會依照課程目錄將此次考題分類，並且統計各冊佔比。接著我將一一剖析每個考題的背後邏輯，以及解決問題的可能途徑。這不僅有助於學生理解每個問題的本質，更有助於提升解題能力，使學生在未來面對各種數學挑戰時更加游刃有餘。

我們鼓勵你積極參與分析過程，思考不同的解題思維，並隨著逐題解釋一同深入了解每個問題的解決過程。這將有助於你建立堅實的數學基礎，同時培養你在數學領域中的創造性和靈活性。

祝你在本次分析中獲得豐富的收穫，並在數學的世界中不斷探索與成長。

試題比重分析

題型及試題內容分析

單選第1題：半衰期問題(易)

這一題很簡單，是標準的半衰期問題，設服用$t$小時後，體內殘留藥物為 $$f(t)=f(0)\cdot(\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}$$
那麼用$4$個小時後，藥物剩下$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$劑量，答案選(2)。

單選第2題：空間向量(易)

我也是常考題了，可以將圖形座標化：以$A$點為原點，射線$\overrightarrow{AB}$為正向$x$軸方向，直線$\overrightarrow{AE}$為正向$y$軸方向，如下圖所示。

接著，不妨假設此正方體的邊長為$1$，並標上各頂點座標：

計算 $$\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AG}=(0,1,1)\times (111) = (0,1,-1)$$
依序寫上各向量座標比較一下：

$$\begin{aligned} (1) \overrightarrow{AE} &= (0,0,1) \\ (2) \overrightarrow{BE} &= (-1,0,1) \\ (3) \overrightarrow{CE} &= (-1,-1,1) \\ (4) \overrightarrow{DE} &= (0,-1,0) \\ (5) \overrightarrow{OE} &= (0,-1,1) \\ \end{aligned}$$

只有向量$\overrightarrow{OE}$ 平行向量$\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AG}$，因此答案選(5)

單選第3題：多項式不等式(中等難度)

依題意 $$設 \ f(x) = a (x+7)(x+7-a)(x+7-2a)$$

$$\begin{aligned} f(0) > 0 & \Rightarrow a\cdot 7 \cdot (7-a) \cdot (7-2a) > 0 \\ & \Rightarrow a\cdot 7 \cdot (a-7) \cdot (2a-7) > 0 \\ & \Rightarrow a>7 \ \ or \ \ 0<a<\frac{7}{2} \end{aligned}$$

因此，$a=2$是唯一可能，答案選(1)。

單選第4題：三角函數的和角公式(中偏難)

這一題第一步，可以先用正弦的和角公式拆開整理如下：

$$sinx\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + cosx \cdot \frac{1}{2} = sinx + \frac{1}{2}$$

移項整理，並且將等式全部乘以2，可將式子改寫為
$$(\sqrt{3}-2)sinx+cosx=1$$
接著將三角函數疊合，並且有理化分母，再整理可得
$$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}sinx+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}cosx)=1 \tag{1}$$
其中， $$cos\frac{7}{12}\pi = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}, \ sin\frac{7}{12}\pi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$
再回到第(1)式 $$(\sqrt{6}-\sqrt{2})(sinxcos\frac{7}{12}\pi +cosxsin\frac{7}{12}\pi)=1$$ 利用和角公式合併：
$$sin(x+\frac{7}{12}\pi)=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=sin\frac{5}{12}\pi$$
在限制 $0\leq x < 2\pi$ 的情況下 $$x+\frac{7}{12}\pi = \frac{7}{12}\pi, 2\pi+\frac{5}{12}\pi$$
滿足原題意的 $x=0, \ \frac{11}{6}\pi$，因此答案選(2)

以上的寫法計算量有些龐大，可善用「變數變換」及「對稱性」，簡化計算過程：

先找出 $x+\frac{\pi}{6}$ 及 $sinx$ 的中點：
$$\frac{(x+\frac{\pi}{6})+x}{2} = x+\frac{\pi}{12}$$ 接著令 $y= x+\frac{\pi}{12}$，其中 $\frac{\pi}{12}\leq y < 2\pi+\frac{\pi}{12}$。此時方程式可改寫 $$sin(y+\frac{\pi}{12})=sin(y-\frac{\pi}{12})+\frac{1}{2}$$
利用和角公式展開
$$sinycos\frac{\pi}{12}+cosysin\frac{\pi}{12} = sinycos\frac{\pi}{12}-cosysin\frac{\pi}{12}+\frac{1}{2}$$
移項整理，並且將 $sin\frac{\pi}{12}$ 換成 $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$$cosy\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{4}\ \Longrightarrow \ cosy = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=cos\frac{\pi}{12}$$ 最後在限制範圍內解得 $$y=\frac{\pi}{12}, \ 2\pi-\frac{\pi}{12} \ \ 兩解$$ 因此答案選(2)

單選第5題：組合與中位數(中偏難)

這一題結合了中位數與組合的觀念，我將題意以下圖呈現可能會清楚一些：

設甲組的中位數為 $a$，乙組的中位數為 $a+1$，在 $a$ 之前有12個數字，$a+1$ 之前除了 $a$ 之外也有12個數字。
另外，在 $a$ 之後除了 $a+1$ 之外有12個數字，在 $a+1$ 之後也有12個數字。

也就是說，前面24個數字中(1~24)，必須被分成兩組各12個數，方法數為 $C^{24}_{12}$；
同樣道理，後面24個數字中(27~50)，必須被分成兩組各12個數，方法數為 $C^{24}_{12}$。

由於將數字分組被拆成兩個步驟，因此要用乘法原理，共有分法 $(C^{24}_{12})^2$ ，答案選 (4)。

單選第6題：三角測量(中偏難)

這種三角測量題的第一步就是要先將圖畫出來：

在 $\Delta ABC$ 中，先以餘弦定理算出 $\cos\theta$： $$cos\theta = \frac{7^2+9^2-9^2}{2\times 7 \times 9}= \frac{7}{18}$$

利用餘弦函數的半角公式 $$cos\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{18}}{2}}=\frac{5}{6}$$

在 $Delta ABQ$ 中，再針對 $\angle{BAQ}$ 用一次餘弦定理
$$\overline{BQ}=\sqrt{7^2+9^2-2\times 7\times 9\times \frac{5}{6}}=5$$ 因此答案選(3)

多選第7題：對數函數的圖形(易)

這一題是基礎題，唯一要注意的是選項(2)。

選項(1)：錯誤 $$y+\frac{1}{2}=log5+logx$$ 與 圖形 $\Gamma$ 不同。
備註：這個選項有一些爭議，$y+\frac{1}{2}$ = log(5x) 只是 $y=logx$ 平移的結果，那麼我們說這兩個圖形完全相同似乎也沒有問題，待後續大考中心的回覆。

選項(2)：錯誤 $$2y=2log|x|$$
要注意的是，真數 $x$ 上的次方是偶數次，當次方拿到前面時，記得要加上絕對值，避免真數為負的情形。
選項(3)：正確 $$3y=3logx$$
與選項(2)不同的是，真數 $x$ 上的次方是奇數次。由$x^3>0$，必定保證 $x>0$，因此真數不須再加絕對值。
選項(4)：正確 $$y=logx \Longleftrightarrow x=10^y$$
選項(5)：錯誤 $$x^3=(10^y)^3=10^{3y}$$ 因此答案選(3)(4)

多選第8題：等差數列與三角形的面積綜和題(中等難度)

選項(1)：由 $$n^2+(n+1)^2-(n+2)^2 = n^2-2n-3 = (n-3)(n+1)$$ 可知 $T_2$ 是鈍角三角形，此選項錯誤。

選項(2)：令 $T_n$ 的周長為 $S_n:=3n+3, n\geq 2$，故 $S_n$ 形成公差為 $3$ 的等差數列，此選項正確。

選項(3)：利用海龍公式可知 $$T_n \ 的面積 = \sqrt{\frac{3n+3}{2}\cdot\frac{n+3}{2} \cdot \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{2}}$$ 顯然隨 $n$ 增大而增大，此選項正確。

選項(4)：設 $T_5$ 三邊上的高分別為 $h_5，h_6，h_7$，則
$$5\cdot h_5 = 6\cdot h_6 = 7\cdot h_7 = 2\cdot T_5 \ 的面積:=2\Delta$$ 故
$$h_5=\frac{2\Delta}{5}， \ h_6=\frac{2\Delta}{6}， \ h_7=\frac{2\Delta}{7}$$ 不是等差數列，此選項錯誤。

選項(5)：因為 $$3^2+4^2=5^2 \ \ 且 \ \ 2^2+3^2<4^2$$ 所以 $T_3$ 的最大角為直角，$T_2$ 的最大角為鈍角，

因此 $T_3$ 的最大角應該小於 $T_2$ 的最大角，此選項錯誤。答案選 (2)(3)。

多選第9題：迴歸直線的基本觀念(中等難度)

迴歸直線的問題很好掌握，主要就兩個重點：
1. 迴歸直線必定過資料的算術平均數 2. 迴歸直線的斜率＝相關係數 × 兩資料標準差的比值。

選項(1)：
$$\begin{aligned} \overline{y_A} &= 2\overline{x_A} – 0.6 = 2\times 5.2 – 0.6 = 9.8 \\ \overline{y_B} &= 1.5\overline{x_B} + 0.4 = 1.5\times 6 + 0.4 = 9.4 \end{aligned}$$ 即 $\overline{y_A}>\overline{y_B}$，此選項錯誤。

選項(2)：分別從兩直線的斜率看出 $A$ 物種及 $B$ 物種的標準差。
$$\begin{aligned} 2 &= m_A = 0.6 \times \frac{\sigma_A^y}{0.3} \Rightarrow \sigma_A^y=1 \\ 1.5 &= m_B = 0.3 \times \frac{\sigma_B^y}{0.1} \Rightarrow \sigma_B^y=0.5 \end{aligned}$$
即 $A$ 物種的體重標準差大於 $B$ 物種的體重標準差。此選項錯誤。

選項(3)： $$|個體P的體重 – \overline{y_A}|=|8.6-9.8|=1.2>1$$ 此選項正確。

選項(4)：設 $P(5.6, 8.6)$，則
$$\begin{aligned} d(P,L_A) &= \frac{|2\times 5.6 – 8.6 -0.6|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \\ d(P,L_B) &= \frac{3\times 5.6 – 2\times 8.6 + 0.8}{\sqrt{13}}= \frac{0.4}{\sqrt{13}} \end{aligned}$$
因此 $$d(P,L_A)>d(P,L_B)$$ 此選項錯誤。

選項(5)：設 $P(5.6, 8.6)$、$A(\overline{x_A}, \overline{y_A})$、$B(\overline{x_B},\overline{y_B})$
$$\begin{aligned} \overline{PA}^2 &= 0.4^2 +1.2^2 \\ \overline{PB}^2 &= 0.4^2+ 0.8^2 \end{aligned}$$ 故 $$\overline{PA}^2>\overline{PB}^2$$ 此選項錯誤，答案選(3)。

多選第10題：平面向量(中等難度)

首先，我們先將圖畫出來看一下：

可以看出來，點$A$到 $x$ 軸的距離為$3$ “小於” 點$B$到 $x$ 軸的距離 $2\sqrt{3}$，此選項錯誤。

選項(2)：如下圖所示

直角$\Delta CDP$ 的內角$\angle{PCD}=60^{\circ}$，且$\overline{PD}=2\sqrt{3}$，故$\overline{PC}=4$，
此選項錯誤。

選項(3)：我們將圖形座標化如下：

因此向量 $$\overrightarrow{BA}=(7,3-2\sqrt{3})$$ 此選項正確。

選項(4)：先寫出點$P$的座標 $P(6,2\sqrt{3})$

$$\overline{AP}^2=3^2+(3-2\sqrt{3})^2=30-12\sqrt{3}\approx 9.24 < 10$$ 此選項錯誤。

選項(5)： $$m_{AP}=\frac{3-2\sqrt{3}}{9-6}=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}}>-\frac{1}{\sqrt{3}}$$ 此選項正確。因此答案選 (3)(5)

多選第11題：機率與二元一次聯立方程式綜合題(中偏難)

這一題是「二元一次聯立方程式」與「機率」的混合題，可以使用克拉瑪公式輔助解題。

按題意， $$a=1、2、3、4、5、6，b=1、2$$

選項(1)： $$p(a=b)=\frac{2}{C^6_2\cdot C^2_1}=\frac{1}{6}$$ 此選項錯誤。

選項(2)：此方程組無解的充要條件為 $$\frac{a}{1}=\frac{6}{b}\neq \frac{6}{1}$$ 即
$$ab=6，b\neq 1$$ 僅有 $a=3, b=2$ 唯一一種情形，因此機率 $$p=\frac{1}{12}$$ 此選項正確。

選項(3)：此方程組有唯一組的充要條件為 $$\frac{a}{1}\neq \frac{6}{b}$$ 即 $$ab\neq 6$$ 故
$$p(ab\neq 6) = 1-p(ab=6) = 1-\frac{2}{12}=\frac{5}{6}$$ 此選項正確。

選項(4)：硬幣出現反面，則 $b=2$；此方程組無解，則 $a\neq 3$，故
$$p(a\neq 3, b=2)=\frac{5}{12}$$

選項(5)： $$x=\frac{\Delta_x}{\Delta}>0$$ 其中
$$\Delta = \left|\begin{matrix} a & 6 \\ 1 & b \end{matrix}\right|\ , \Delta_x=\left|\begin{matrix} 6 & b \\ 1 & b \end{matrix}\right|$$ 即 $$\frac{6b-6}{ab-6}>0$$ 將 $b=2$ 代入可得 $$\frac{6}{2a-6}>0$$ 即 $$a>0$$
因此 $$p(x>0\ | \ b=2, a\neq 3)=p(a>3|b=2\ ,\ a\neq 3)=\frac{3/12}{5/12}=\frac{3}{5}$$ 此選項錯誤。
最後答案選(2)(3)

多選第12題：平面上的線性變換(中等難度)

選項(1)：
$$TA = \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right] , TB = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right] , TC = \left[\begin{matrix} -3 \\ 0 \end{matrix}\right]$$ 將這個圖形畫出來

因為 $$\sqrt{10}^2 + \sqrt{10}^2 – 6^2 <0$$ 所以 $\Gamma$ 是等腰鈍角三角形才對，此選項錯誤。

選項(2)：要判斷是否有點 $(x,y)$ 滿足
$$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$ 整理可得
$$\begin{cases} 3x = x \\ ax+y=y \end{cases}$$ 可解得 $$x=0$$ 因此在 $\Delta ABC$ 的邊上，只有兩點 $(0,0)、(0,1)$ 經 $T$ 變換後坐標不變。此選項正確。

選項(3)：先寫下經由轉換後三點的坐標如下：
$$TA = \left[\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}\right] , TB = \left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right] , TC = \left[\begin{matrix} -3 \\ -a \end{matrix}\right]$$

當 $a=0$ 時，$\Gamma$ 不會有部分落在第四象限。

選項(4)：按題意可知
$$T^{-1}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}= \frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ a & 1 & a \end{bmatrix}$$ 將等號兩邊同乘以 $T$ 可得
$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}= T\cdot\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \\ \frac{a}{3} & \frac{1}{3} & \frac{a}{3} \end{bmatrix}$$ 也就是說，可以找到一個三角形，三頂點分別為 $(\frac{1}{3},\frac{a}{3}),\ (0, \frac{1}{3}),\ (-\frac{1}{3}, \frac{a}{3})$ 經 $T$ 變換後為 $\Delta ABC$，此選項正確。

選項(5)： $$|\Gamma| = |T|\cdot \Delta ABC 的面積 = 3\times \Delta ABC 的面積$$ 即 $\Gamma$ 的面積為定值。

多選第13題：三元一次聯立方程式(易)

這一題非常簡單，依題意，可列出以下三元一次聯立方程式：
$$\begin{cases} 100A+400B+240C = 260(A+B+C) \\ 100A+400B = 280(A+B) \end{cases}$$

將以上方程式化簡可得
$$\begin{cases} 8A-7B+C=0 \tag{13.1} \\ 3A = 2B \end{cases}$$

設 $A=2r, B=3r$ 代入方程式 $(3.1)$ 可得 $$16r-21r+C=0$$ 解得 $$C=5r$$ 因此 $$A:B:C=2:3:5$$

選填第14題：多項式的除法(中等難度)

依除法原理列式如下：

$$設\begin{cases} f(x)=(x^2-2x+3)Q_1(x) + x+1 \\ g(x)=(x^2-2x+3)Q_2(x) + x-3 \\ h(x)=(x^2-2x+3)Q_3(x)-2 \end{cases}$$
接著計算
$$xf(x)+ag(x)+bh(x) \\ = (x^2-2x+3)(xQ_1(x)+aQ_2(x)+bQ_3(x))+x(x+1)+a(x-3)-2b$$
其中 $$x(x+1)+a(x-3)-2b = x^+(a+1)x-3a-2b$$ 可以被 $x^2-2x+3$ 整除。
因此
$$\begin{cases} a+1 = -2 \\ -3a-2b=3 \end{cases}$$
解得
$$\begin{cases} a=-3 \\ b=3 \end{cases}$$

選填第15題：期望值(中等難度)

首先，先確定有幾顆摸彩球：設共有 $n$ 顆摸彩球，則
$$\frac{10}{n}=\frac{0.4}{100} \Longrightarrow n=2500$$

接著，依題意及期望值的定義直接計算：
$$E=\frac{C^4_1}{2400}\times 5000 + \frac{C^5_1}{2400}\times 8000 = \frac{300}{12} = 25$$

選填第16題：平面向量的正射影長(中偏難)

這一題非常精彩，是這份考題中，兩道難題中的其中一題。不妨依題意先畫個簡圖如下：

這一題的關鍵在於，題目給的那兩個向量 $(2, -3)、(3,2)$ 互相垂直。
因此可以使用畢氏定理先求出向量$\overrightarrow{v}$ 的長度：
$$|\overrightarrow{v}|^2 = (|\overrightarrow{v}|-1)^2+(|\overrightarrow{v}-2|)^2 \tag{16.1}$$ 將方程式 (16.1) 展開整理後可得 $$|\overrightarrow{v}|^2-6|\overrightarrow{v}|+5=0$$
接著因式分解 $$(|\overrightarrow{v}|-1)(|\overrightarrow{v}|-5)=0$$
可解得 $$|\overrightarrow{v}|=5 \ 或\ 1 (不合)$$

接下來，將向量 $(4,7)$寫成向量 $(2,-3)$ 及 $(3,2)$ 的線性組合如下：
$$(4,7) = -(2,-3) + 2(3,2)$$
計算向量$\overrightarrow{v}$與向量$(4,7)$ 的內積
$$\begin{aligned} \overrightarrow{v}\cdot (4,7) &= -\overrightarrow{v} \cdot (2,-3) + 2\overrightarrow{v}\cdot (3,2) \\ &= -\sqrt{13}\cdot 4 +2\sqrt{13}\cdot 3 = 2\sqrt{13} \end{aligned}$$ 最後，我們就可以計算向量$\overrightarrow{v}$在向量$(4,7)$ 的正射影長了：
$$\frac{|\overrightarrow{v}\cdot (4,7)|}{\sqrt{65}}=\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{65}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

選填第17題：二元一次不等式經典試題(難)

這一題應該是整份試卷最難的一題了，連題目都不容易看懂，先畫個圖來觀察一下：

換個說法應該比較好理解一點：以 $P$ 點為圓心，$|x-y|$ 為半徑畫圓，
而這個圓必須落在正方形 $OABC$ (含邊界) 內：那麼這個半徑不能超過 $P$ 點至四條邊界的距離，

可列式如下：
$$\begin{cases} |x-y|\leq y \\ |x-y|\leq x \\ |x-y|\leq 1-y \\ |x-y|\leq 1-x \end{cases}$$
接著分情況討論如下：

情況1. $x=y$
$$\begin{cases} y \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \leq 1 \\ x \leq 1 \end{cases}$$ 圖形就是此正方程的對角線

情況2. $x-y>0$，將聯立方程式改寫如下
$$\begin{cases} x \leq 2y \\ y \geq 0 \\ x \leq 1\\ y \geq 2x-1 \end{cases}$$ 再將此圖形畫上去

情況3. $x-y<0$，再將聯立方程式改寫如下：
$$\begin{cases} x\geq 0 \\ 2x-y \geq 0 \\ x-2y \geq -1 \\ y \leq 1 \end{cases}$$
再畫圖

斜線部份是一個平行四邊形
$$面積 = \begin{Vmatrix} \frac{2}{3} &1 \\ \frac{1}{3} & 1 \end{Vmatrix}=\frac{1}{3}$$

題組第18題：兩向量的夾角(易)

題組題不難，可以輕鬆解決。

先畫個圖來看一下：

向量 $\overrightarrow{OQ}$ 平行平面 $E$ 的法向量 $(1,0,-1)$，因此 $$cos\alpha = \frac{(1,0,-1)\cdot(1,0,0)}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 答案選(4)

題組第19題：向量的內積(中等難度)

直接用內積的定義處理：
$$cos\theta = \frac{(a,b,c)\cdot (1,0,0)}{|\overrightarrow{OP}\cdot 1|}= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \tag{19.1}$$

因為 $\theta \leq \frac{\pi}{6}$ 且 餘弦函數在區間 $[0,\pi]$ 為遞減函數，所以
$$cos\theta \geq cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

因此式子 (19.1) 中， $$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$$
將不等式兩邊平方可得
$$\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{3}{4}$$ 移項整理可得
$$a^2\geq 3(b^2+c^2)$$ 得證。

題組第20題：二次函數求極值(中等難度)

因為 $P\in E:x-z=4$，則 $$a-c=4$$
承19題，將$b=0$ 代入不等式 $a^2 \geq 3(b^2+c^2)$ 中，並且將 $c$ 代換成 $a-4$ 可得，
$$a^2\geq 3c^2 \geq 3(a-4)^2 \tag{20.1}$$

將方程式(20.1)展開整理：
$$a^2-12a+24\leq 0 \tag{20.1}$$ 解不等式(20.1) 可得
$$6-2\sqrt{3}\leq a \leq 6+2\sqrt{3}$$

最後計算 $\overline{OP}^2$：
$$\overline{OP}^2=a^2+c^2=a^2+(a-4)^2=2a^2-8a+16=2(a-2)^2+8$$

將此二次函數的圖形畫出來看一下：

要注意討論範圍並沒有包含頂點，最小值發生在 $x=6-2\sqrt{3}$ 的地方，代入計算
$$\overline{OP}^2=2(4-2\sqrt{3})^2+8=64-32\sqrt{3}=64-2\sqrt{768}=(4\sqrt{3}-4)^2$$
因此， $$\overline{OP}\geq 4\sqrt{3}-4$$

這份詳解就寫到這邊，提供給有需要的人參考。
如果你對於高中數學學習相關主題有興趣，歡迎留下姓名與e-mail接收相關主題的訊息。

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筆者簡介

不要害怕追求夢想，因為只有在挑戰自己的極限時，才能發現自己更大的潛力。即使路途崎嶇，也請記得，每一步都是通往成功的踏板。