2022 年 10 月 2 日

高二數學第3A冊(108課綱)-數位教材+網路資源整合,適合學生自主學習

前言

這個頁面提供高中數學數位教材,方便學生自學使用。在此之前,我已經編寫了第一冊第二冊的部份,且以google搜尋關鍵字:高中數學第1冊、高中數學第2冊,皆能在第一頁找到這兩篇文章。

這一冊我做了兩個調整:一是我改採用龍騰版教材的目錄,原因很單純,因為我最常使用龍騰版的教材上實體課。另一則是,我採用了Masjax外掛程式編寫數學符號,因此將大幅降低圖片及網路上免費youtube影片的使用。

數位教材不可能完全取代實體課程,只能扮演輔助的角色。會想要編寫這一套教材的原因也有兩個,一是我個人備課時的紀錄,另一則是我想強化教材「觀念」及「歷史觀點」的部份並且分享「學習方法」、推廣數學科普書籍,避免初學者盲目大量演練題目,陷入見樹不見林的學習模式中。因此,這裡不會放一堆基礎例題供學生演練,而是從問題出發思考,如果有必要則會舉例說明。

由於我平常教學工作繁忙,這份教材將利用閒暇時間編寫,若你想獲得這份教材的更新通知,可於文章下方訂閱「高中數學學習資源電子報」。

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適合「自然組」或「商管學院」的學生

單元01 弧度量

弧度量的定義

習慣上,「角」的測量單位為「度」,相信同學們也用得很習慣了。在此我提出幾個問題作為我們這一節的學習目標:

1. 當我們寫\(30^{\circ}\)與\(30\) 所代表的意思是否相同?

我時常看到初學的學生會自動將「度」省略,這是常見的錯誤。一個粗淺的判斷,如果這兩者相同,那為何還要介紹「度」這個符號呢?數學家用字是很精準的,不可能如此累贅。因此,我們可以初步判斷,\(30^{\circ}\)與\(30\)是不一樣的。

2. \(30^{\circ}\)是實數嗎?

如果是的話,那麼\(30^{\circ}\)應該畫在數線的什麼位置呢?它算是有理數還是無理數呢?
類比一下,我們知道30是一個實數,但如果寫成「30公分」,我們似乎不會說「30公分」是一個實數。也就是說,前面的30表示實數,後面的「公分」是單位,並且我們知道這是用來測量「長度」的單位。
同樣道理,「\(30^{\circ}\)」是一個測量「角度」的量,我們不會說「\(30^{\circ}\)」是一個實數。

3. 如何描述清楚「角度」與「數字」的函數關係?並且畫出其函數圖形?

這便是我們接下來學習的重點。因為三角函數是定義在「角度」上的函數,我們要將其畫在坐標平面,則必須將角度畫在「\(x\)」軸上,但是角度不是實數要怎麼畫上去呢?
這便是這一節的目的,將「角度」與「實數」做對應,讓我們可以將角度畫在「\(x\)」軸上。
這個與角度對應的實數就是這一節要介紹的「弳」(又稱「弧度」)。

4. 如何定義「弳」?

首先我們來看一下半徑為 \(r\) 的圓,看看角度與長度要如何對應:

我們知道,圓一圈是「\(360^{\circ}\)」,圓周長是「\(2\pi\times r\)」
對於圓心角為 \(\theta^{\circ}\) 的弧長為
$$2\pi\times r\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}=(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}})\times r$$

由於我們關注的是「角度」,不會受到半徑大小的影響。因此\(\theta^{\circ}\) 會對應到實數\(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\)

我們便以實數 \(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\)來表示角度 \(\theta^{\circ}\)

也就是說$$1^{\circ}=\frac{\pi}{180}(弳)$$ 或是 $$1(弳)=(\frac{180}{\pi})^{\circ}$$

我們可以按按計算機,看看1弳大約是幾度:$$1弳=(\frac{180}{\pi})^{\circ}\approx 57.2958^{\circ}$$

將「度」與「弳」兩種單位快速換算是基本能力,初學應多加練習。

弧長與扇形面積

接下來我們來談談,如何計算扇形的弧長與面積。這部份在國中三年級的課程已有介紹,我們在高中階段試著用「弳」這個單位寫看看。如下圖所示,

用「弳」來表示扇形的「弧長」及「面積」,其形式看起來更為簡潔。近年大考命題會測試學生是否能夠清楚區分這兩種單位的差別。

以上觀念建立好了,接下來就可以好好演練題目了。這一節的題目有不少變化也不乏難題,請先將課本題目做熟後,再做其他延伸。

以弳為單位的三角比

接下來來談談三角比。這裡不是新的內容,只是換成不同的角度單位來表示而已。學生必須練習到能夠熟練地將「弳」自然地想到對應的位置,這一節大致如此。

學生在學習這一段內容時必須辨別「弳度」與「度」的三角比的差異,例如以下這道題目,有助於釐清觀念:

下列哪些不等式成立?
(1) \(sin{\pi}>sin{(\pi)^{\circ}}\)
(2) \(cos{\pi}>cos{\pi}^{\circ}\)
(3) \(cos{\pi}^{\circ}>sin{\pi}^{\circ}\)
(4) \(tan{\pi}>tan{\pi}^{\circ}\)
(5) \(sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}<\frac{\sqrt{3}}{2}\)

選項(1):首先,我們要思考 \(\pi\) 與 \(\pi^{\circ}\) 的差別是什麼呢?
\(\pi\) 對應到 \(180^{\circ}\)、\(\pi^{\circ}\approx 3.14^{\circ}\)
因此 $$sin{\pi}=0<sin{\pi^{\circ}}$$

選項(2):$$cos{\pi}=-1<0<cos{\pi^{\circ}}$$
選項(3):因為 \(0^{\circ}<\pi^{\circ}<45^{\circ}\),所以
$$cos{\pi^{\circ}}>sin{\pi^{\circ}}$$

選項(4):$$tan{\pi}=0<tan{\pi^{\circ}}$$
選項(5):因為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}=sin{\frac{\pi}{3}}\approx sin1.047\),且sin \(\frac{\sqrt{3}}{2}\approx sin0.866\)。又因為 \(y=sinx\) 在第一象限為遞增函數,所以 $$sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}<sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

單元02 三角函數的圖形

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