前言
這個頁面整合高中數學免費資源，方便學生自學使用。在此之前，我已經編寫了第一冊及第二冊的部份，且以google搜尋關鍵字：高中數學第1冊、高中數學第2冊，皆能在第一頁找到這兩篇文章。
網路上有很多資源，可作為學習輔助使用。以下提供學習流程給學習者參考：
步驟1：上課時認真聽講，確實理解。
有些內容在課堂上聽不懂怎麼辦？此時可使用此頁面整理的資源加強並且釐清觀念。也可以參考均一教育平台高中數學課程頁面。
步驟2：完成單元練習。
課本或是參考書在每個單元之後，都會放一些練習題，一定要自己想過並且實際演練。不會做，可連到FB：高中數學討論區，將題目拍照後上傳。這個社團人數有12.8萬成員，有不少老師在裡面，通常提出的問題很快就會有人回應。以下建議問問題的方式提供參考：
問數學問題的注意事項：
- 明確的問題陳述：確保你清楚明確地陳述你的數學問題。描述問題的具體部分，包括你不理解的概念、方程式或步驟。
- 如果可能的話，提供相關的背景資訊，例如問題的來源、你的學習進度、先前的嘗試，以及你對問題的理解。這將有助於回答者更好地理解你的情況。
- 自己嘗試過：在尋求協助之前，試著自己解決問題。這不僅有助於提高你的數學能力，還可以幫助你更好地理解問題。
- 具體的問題：避免泛泛而談或過於模糊的問題。盡量提出具體、明確的問題，這樣回答者才能更容易理解你的需求並提供相應的協助。
- 尊重時間：如果你正尋求他人的幫助，請尊重他們的時間。確保你的問題準備充分，以便可以迅速得到解答，而不是要求他們從頭教授整個數學概念。
- 學習過程：不僅僅關注答案，也關注解決問題的過程。這將有助於你更好地理解和記住數學概念。
- 詢問多個資源：如果你在一個地方找不到滿意的答案，嘗試在不同的資源、網站或論壇尋找幫助。不同的角度和解釋方式可能有助於你更好地理解問題。
- 感謝和回饋：當你得到幫助時，不要忘記感謝回答者，並在有需要時提供回饋。這可以建立良好的學習社區和互惠關係。
總之，清晰的問題陳述、提供相關背景資訊、自己嘗試、尊重時間和學習過程都是尋求數學協助時應注意的要點，這樣你將更容易獲得有價值的幫助。
步驟3：測驗
測驗的部份，建議使用完整的考卷計時測驗，線上測驗的效果我覺得不好。
這份教材會持續編寫擴充，若你想獲得這份教材的更新通知，可於文章下方訂閱「高中數學數位學習電子報」。
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適合「自然組」或「商管學院」的學生
單元01 弧度量
弧度量的定義
網路免費資源：
習慣上，「角」的測量單位為「度」，相信同學們也用得很習慣了。在此我提出幾個問題作為我們這一節的學習目標：
1. 當我們寫\(30^{\circ}\)與\(30\) 所代表的意思是否相同？
我時常看到初學的學生會自動將「度」省略，這是常見的錯誤。一個粗淺的判斷，如果這兩者相同，那為何還要介紹「度」這個符號呢？數學家用字是很精準的，不可能如此累贅。因此，我們可以初步判斷，\(30^{\circ}\)與\(30\)是不一樣的。
2. \(30^{\circ}\)是實數嗎？
如果是的話，那麼\(30^{\circ}\)應該畫在數線的什麼位置呢？它算是有理數還是無理數呢？
類比一下，我們知道 \(30\) 是一個實數，但如果寫成「30公分」，我們似乎不會說「30公分」是一個實數。也就是說，前面的 \(30\) 表示實數，後面的「公分」是單位，並且我們知道這是用來測量「長度」的單位。
同樣道理，「\(30^{\circ}\)」是一個測量「角度」的量，我們不會說「\(30^{\circ}\)」是一個實數。
3. 如何描述清楚「角度」與「數字」的函數關係？並且畫出其函數圖形？
這便是我們接下來學習的重點。因為三角函數是定義在「角度」上的函數，我們要將其畫在坐標平面，則必須將角度畫在「\(x\)」軸上，但是角度不是實數要怎麼畫上去呢？
這便是這一節的目的，將「角度」與「實數」做對應，讓我們可以將角度畫在「\(x\)」軸上。
這個與角度對應的實數就是這一節要介紹的「弳」(又稱「弧度」)。
4. 如何定義「弳」？
首先我們來看一下半徑為 \(r\) 的圓，看看角度與長度要如何對應：
我們知道，圓一圈是「\(360^{\circ}\)」，圓周長是「\(2\pi\times r\)」
對於圓心角為 \(\theta^{\circ}\) 的弧長為
$$2\pi\times r \times \frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}= 2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\times r$$
由於我們關注的是「角度」，不會受到半徑大小的影響。因此\(\theta^{\circ}\) 會對應到實數\(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\)
我們便以實數 \(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\)來表示角度 \(\theta^{\circ}\)
也就是說$$1^{\circ}=\frac{\pi}{180}(弳)$$ 或是 $$1(弳)=(\frac{180}{\pi})^{\circ}$$
我們可以按按計算機，看看1弳大約是幾度：$$1弳=(\frac{180}{\pi})^{\circ}\approx 57.2958^{\circ}$$
將「度」與「弳」兩種單位快速換算是基本能力，初學應多加練習。
弧長與扇形面積
網路免費資源：
接下來我們來談談，如何計算扇形的弧長與面積。這部份在國中三年級的課程已有介紹，我們在高中階段試著用「弳」這個單位寫看看。如下圖所示，
用「弳」來表示扇形的「弧長」及「面積」，其形式看起來更為簡潔。近年大考命題會測試學生是否能夠清楚區分這兩種單位的差別。
以上觀念建立好了，接下來就可以好好演練題目了。這一節的題目有不少變化也不乏難題，請先將課本題目做熟後，再做其他延伸。
以弳為單位的三角比
接下來來談談三角比。這裡不是新的內容，只是換成不同的角度單位來表示而已。學生必須練習到能夠熟練地將「弳」自然地想到對應的位置，這一節大致如此。
學生在學習這一段內容時必須辨別「弳度」與「度」的三角比的差異，例如以下這道題目，有助於釐清觀念：
下列哪些不等式成立？
(1) \(sin{\pi}>sin{(\pi)^{\circ}}\)
(2) \(cos{\pi}>cos{\pi}^{\circ}\)
(3) \(cos{\pi}^{\circ}>sin{\pi}^{\circ}\)
(4) \(tan{\pi}>tan{\pi}^{\circ}\)
(5) \(sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}<\frac{\sqrt{3}}{2}\)
選項(1)：首先，我們要思考 \(\pi\) 與 \(\pi^{\circ}\) 的差別是什麼呢？
\(\pi\) 對應到 \(180^{\circ})、(\pi^{\circ}\approx 3.14^{\circ}\))
因此 $$sin{\pi}=0<sin{\pi^{\circ}}$$
選項(2)：$$cos{\pi}=-1<0<cos{\pi^{\circ}}$$
選項(3)：因為 \(0^{\circ}<\pi^{\circ}<45^{\circ}\)，所以
$$cos{\pi^{\circ}}>sin{\pi^{\circ}}$$
選項(4)：$$tan{\pi}=0<tan{\pi^{\circ}}$$
選項(5)：因為 \(\frac{\sqrt{3}}{2}=sin{\frac{\pi}{3}}\approx sin1.047，且sin (\frac{\sqrt{3}}{2})\approx sin0.866\)。又因為 \(y=sinx\) 在第一象限為遞增函數，所以 $$sin{\frac{\sqrt{3}}{2}}<sin{\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
單元02 三角函數的圖形
在各三角比都有定義的情形下，給定一個廣義角 \(x\)，\(sinx\)、\(cosx\)、\(tanx\) 的值都隨之唯一確定，因此都可以視為 (x) 的函數。依序稱為正弦函數、餘弦函數與正切函數。
要留意不可忽略這些函數的名稱，因為曾經就有大考題問某個角度的正切值是多少？
如果不知道正切值就是 \(tanx\)，那麼這一題即使會寫也答不上來。
繪製三角函數圖形的要點
- 要點1：必須熟悉象限角的三角函數值
- 要點2：觀察圖形的「定義域」、「值域」、「週期」、「振幅」、「對稱性」
- 要點3：圖形的平移與伸縮
網路資源
單元03 三角的和差角公式
這個單元有四個重點
重點1：什麼是「正弦」與「餘弦」函數的和差角公式，如何推導？
$$
\begin{aligned}
sin(\alpha\pm\beta) &= sin\alpha cos\beta\pm cos\alpha sin\beta \\
cos(\alpha\pm\beta) &= cos\alpha cos\beta\mp sin\alpha sin\beta
\end{aligned}
$$
網路資源
重點2：如何推導出「正切」函數的和差角公式？
網路資源
重點3：如何推導出「正弦」、「餘弦」、「正切」函數的二倍角公式？
以及「正餘弦」的半角、三倍角公式？
這裡的公式看似很多，其實本質就是「餘弦定理」以及「三角函數的轉換關係」，推導過程對於初學者是非常好的練習，切勿只是將公式背下來套用在題目上，而是要真正了解公式的來龍去脈，學習到公式的內涵本質而非只是表象的形式。
網路資源
重點4：如何使用以上公式解決問題？
公式的形式及推導熟悉後，可以藉由適量地練習一些題目強化觀念並且熟記公式。首先要先將課本的範例、習題做過一遍，如果心有餘力，可再另外採購題本提升自己的解題技巧。
單元04 正餘弦的疊合
這個單元主要介紹如何將正弦函數 \(y=sinx\) 及餘弦函數 \(y=cosx\) 複合成一個函數。我們處理的一般形式為 $$y=asinx+bcosx$$
學習要點1：如何將 \(y=asinx+bcosx\) 複合成以下形式
$$y=asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\theta)$$
其中 \(\theta\) 滿足 $$cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
學習要點2：探討 \(y=asinx+bcosx\) 極值及極值發生的位置(角度)
我們知道，
$$
\begin{aligned}
當 &x+\theta=2k\pi+\frac{\pi}{2} 時，y 有最大值 \sqrt{a^2+b^2} \\
當 &x+\theta=2k\pi+\frac{3\pi}{2} 時，y 有最小值-\sqrt{a^2+b^2}
\end{aligned}
$$
我們不妨先考慮 \(k=0\) 的情況：當 \(sinx=sin(\frac{\pi}{2}-\theta\)) 時，其函數值最大。
另一方面，當 \(sinx=sin(\frac{3\pi}{2}-\theta)\) 時，其函數值最小。
其中 $$sinx=sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
$$sinx=sin(\frac{3\pi}{2}-\theta)=-cos\theta=-\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
單元05 指數函數
課程內容
- 何謂指數函數？
- 如何描繪指數函數的圖形？
- 指數函數的圖形有何特徵？
- 指數函數有哪些應用？
指數方程式、指數不等式、指數函數在金融的應用 - 課外補充：如何證明e是無理數？
- 作業討論
單元06 指數與對數律
課程內容
- 什麼是對數，如何定義？
- 對數律與換底公式
公式推導與應用：換底公式 - 常用對數與科學記號
如何判斷一個很大的數是幾位數？ - 作業討論
單元07 對數函數
課程內容
- 什麼是對數函數？
- 如何描繪對數函數的圖形？
- 對數函數的圖形有何特徵？
- 對數函數有哪些應用呢？
- 作業討論
單元08 平面向量
課程內容
- 向量的表示法：「幾何表示法」與「座標表示法」
- 向量的加法與減法：坐標表示及其性質。
- 向量的係數積：定義及基本性質
- 向量的線性組合
- 向量的分點公式
- 作業討論
單元09 平面向量的運算
課程內容
- 什麼是向量的內積？為什麼要這樣定義呢？
- 何謂向量的正射影？
- 什麼是柯西不等式
課外補充：一般柯西不等式的證明 - 二階行列式的幾何意義為何？
單元10 二元一次聯立方程式
課程內容
- 什麼是加減消去法？
- 什麼是克拉瑪公式？
- 何謂二元一次聯立方程式的幾何意義？
- 二階行列式有哪些性質？
- 二元一次聯立方程式的向量觀點