前言
這個頁面提供高中數學數位教材，方便學生自學使用。在此之前，我已經編寫了第一冊及第二冊的部份，且以google搜尋關鍵字：高中數學第1冊、高中數學第2冊，皆能在第一頁找到這兩篇文章。
這一冊我做了兩個調整：一是我改採用龍騰版教材的目錄，原因很單純，因為我最常使用龍騰版的教材上實體課。另一則是，我採用了Masjax外掛程式編寫數學符號，因此將大幅降低圖片的使用。
數位教材不可能完全取代實體課程，只能扮演輔助的角色。會想要編寫這一套教材的原因也有兩個，一是我個人備課時的紀錄，另一則是我想強化教材「觀念」及「歷史觀點」的部份並且分享「學習方法」、推廣數學科普書籍，避免初學者盲目大量演練題目，陷入見樹不見林的學習模式中。因此，這裡不會放一堆基礎例題供學生演練，而是從問題出發思考，如果有必要則會舉例說明。
由於我平常教學工作繁忙，這份教材將利用閒暇時間編寫，若你想獲得這份教材的更新通知，可於文章下方訂閱「高中數學數位學習電子報」。
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適合「自然組」或「商管學院」的學生
單元01 弧度量
弧度量的定義
習慣上，「角」的測量單位為「度」，相信同學們也用得很習慣了。在此我提出幾個問題作為我們這一節的學習目標：
1. 當我們寫(30^{circ})與(30) 所代表的意思是否相同？
我時常看到初學的學生會自動將「度」省略，這是常見的錯誤。一個粗淺的判斷，如果這兩者相同，那為何還要介紹「度」這個符號呢？數學家用字是很精準的，不可能如此累贅。因此，我們可以初步判斷，(30^{circ})與(30)是不一樣的。
2. (30^{circ})是實數嗎？
如果是的話，那麼(30^{circ})應該畫在數線的什麼位置呢？它算是有理數還是無理數呢？
類比一下，我們知道30是一個實數，但如果寫成「30公分」，我們似乎不會說「30公分」是一個實數。也就是說，前面的30表示實數，後面的「公分」是單位，並且我們知道這是用來測量「長度」的單位。
同樣道理，「(30^{circ})」是一個測量「角度」的量，我們不會說「(30^{circ})」是一個實數。
3. 如何描述清楚「角度」與「數字」的函數關係？並且畫出其函數圖形？
這便是我們接下來學習的重點。因為三角函數是定義在「角度」上的函數，我們要將其畫在坐標平面，則必須將角度畫在「(x)」軸上，但是角度不是實數要怎麼畫上去呢？
這便是這一節的目的，將「角度」與「實數」做對應，讓我們可以將角度畫在「(x)」軸上。
這個與角度對應的實數就是這一節要介紹的「弳」(又稱「弧度」)。
4. 如何定義「弳」？
首先我們來看一下半徑為 (r) 的圓，看看角度與長度要如何對應：
我們知道，圓一圈是「(360^{circ})」，圓周長是「(2pitimes r)」
對於圓心角為 (theta^{circ}) 的弧長為
$$2pitimes rtimesfrac{theta^{circ}}{360^{circ}}=(2pitimesfrac{theta^{circ}}{360^{circ}})times r$$
由於我們關注的是「角度」，不會受到半徑大小的影響。因此(theta^{circ}) 會對應到實數(2pitimesfrac{theta^{circ}}{360^{circ}})
我們便以實數 (2pitimesfrac{theta^{circ}}{360^{circ}})來表示角度 (theta^{circ})
也就是說$$1^{circ}=frac{pi}{180}(弳)$$ 或是 $$1(弳)=(frac{180}{pi})^{circ}$$
我們可以按按計算機，看看1弳大約是幾度：$$1弳=(frac{180}{pi})^{circ}approx 57.2958^{circ}$$
將「度」與「弳」兩種單位快速換算是基本能力，初學應多加練習。
弧長與扇形面積
接下來我們來談談，如何計算扇形的弧長與面積。這部份在國中三年級的課程已有介紹，我們在高中階段試著用「弳」這個單位寫看看。如下圖所示，
用「弳」來表示扇形的「弧長」及「面積」，其形式看起來更為簡潔。近年大考命題會測試學生是否能夠清楚區分這兩種單位的差別。
以上觀念建立好了，接下來就可以好好演練題目了。這一節的題目有不少變化也不乏難題，請先將課本題目做熟後，再做其他延伸。
以弳為單位的三角比
接下來來談談三角比。這裡不是新的內容，只是換成不同的角度單位來表示而已。學生必須練習到能夠熟練地將「弳」自然地想到對應的位置，這一節大致如此。
學生在學習這一段內容時必須辨別「弳度」與「度」的三角比的差異，例如以下這道題目，有助於釐清觀念：
下列哪些不等式成立？
(1) (sin{pi}>sin{(pi)^{circ}})
(2) (cos{pi}>cos{pi}^{circ})
(3) (cos{pi}^{circ}>sin{pi}^{circ})
(4) (tan{pi}>tan{pi}^{circ})
(5) (sin{frac{sqrt{3}}{2}}<frac{sqrt{3}}{2})
選項(1)：首先，我們要思考 (pi) 與 (pi^{circ}) 的差別是什麼呢？
(pi) 對應到 (180^{circ})、(pi^{circ}approx 3.14^{circ})
因此 $$sin{pi}=0<sin{pi^{circ}}$$
選項(2)：$$cos{pi}=-1<0<cos{pi^{circ}}$$
選項(3)：因為 (0^{circ}<pi^{circ}<45^{circ})，所以
$$cos{pi^{circ}}>sin{pi^{circ}}$$
選項(4)：$$tan{pi}=0<tan{pi^{circ}}$$
選項(5)：因為 (frac{sqrt{3}}{2}=sin{frac{pi}{3}}approx sin1.047)，且sin (frac{sqrt{3}}{2}approx sin0.866)。又因為 (y=sinx) 在第一象限為遞增函數，所以 $$sin{frac{sqrt{3}}{2}}<sin{frac{pi}{3}}=frac{sqrt{3}}{2}$$
單元02 三角函數的圖形
在各三角比都有定義的情形下，給定一個廣義角 (x)，(sinx)、(cosx)、(tanx) 的值都隨之唯一確定，因此都可以視為 (x) 的函數。依序稱為正弦函數、餘弦函數與正切函數。
要留意不可忽略這些函數的名稱，因為曾經就有大考題問某個角度的正切值是多少？
如果不知道正切值就是 (tanx)，那麼這一題即使會寫也答不上來。
繪製三角函數圖形的要點
- 要點1：必須熟悉象限角的三角函數值
- 要點2：觀察圖形的「定義域」、「值域」、「週期」、「振幅」、「對稱性」
- 要點3：圖形的平移與伸縮
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單元03 三角的和差角公式
這個單元有四個重點
重點1：什麼是「正弦」與「餘弦」函數的和差角公式，如何推導？
begin{aligned}
sin(alphapmbeta) &=sinalpha cosbetapm cosalpha sinbeta \
cos(alphapmbeta) &=cosalpha cosbetamp sinalpha sinbeta
end{aligned}
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重點2：如何推導出「正切」函數的和差角公式？
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重點3：如何推導出「正弦」、「餘弦」、「正切」函數的二倍角公式？
以及「正餘弦」的半角、三倍角公式？
這裡的公式看似很多，其實本質就是「餘弦定理」以及「三角函數的轉換關係」，推導過程對於初學者是非常好的練習，切勿只是將公式背下來套用在題目上，而是要真正了解公式的來龍去脈，學習到公式的內涵本質而非只是表象的形式。
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重點4：如何使用以上公式解決問題？
公式的形式及推導熟悉後，可以藉由適量地練習一些題目強化觀念並且熟記公式。首先要先將課本的範例、習題做過一遍，如果心有餘力，可再另外採購題本提升自己的解題技巧。
單元04 正餘弦的疊合
這個單元主要介紹如何將正弦函數 (y=sinx) 及餘弦函數 (y=cosx) 複合成一個函數。我們處理的一般形式為 $$y=asinx+bcosx$$
學習要點1：如何將 (y=asinx+bcosx) 複合成以下形式
$$y=asinx+bcosx=sqrt{a^2+b^2}sin(x+theta)$$
其中 (theta) 滿足 $$costheta=frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}, sintheta=frac{b}{sqrt{a^2+b^2}}$$
學習要點2：探討 (y=asinx+bcosx) 極值及極值發生的位置(角度)
我們知道，
begin{aligned}
當 &x+theta=2kpi+frac{pi}{2} 時，y 有最大值 sqrt{a^2+b^2} \
當 &x+theta=2kpi+frac{3pi}{2} 時，y 有最小值-sqrt{a^2+b^2}
end{aligned}
我們不妨先考慮 (k=0) 的情況：當 (sinx=sin(frac{pi}{2}-theta)) 時，其函數值最大。
另一方面，當 (sinx=sin(frac{3pi}{2}-theta)) 時，其函數值最小。
其中 $$sinx=sin(frac{pi}{2}-theta)=costheta=frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}$$
$$sinx=sin(frac{3pi}{2}-theta)=-costheta=-frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}$$
單元05 指數函數
課程內容
- 何謂指數函數？
- 如何描繪指數函數的圖形？
- 指數函數的圖形有何特徵？
- 指數函數有哪些應用？
指數方程式、指數不等式、指數函數在金融的應用 - 課外補充：如何證明e是無理數？
- 作業討論
單元06 指數與對數律
課程內容
- 什麼是對數，如何定義？
- 對數律與換底公式
公式推導與應用：換底公式 - 常用對數與科學記號
如何判斷一個很大的數是幾位數？ - 作業討論
單元07 對數函數
課程內容
- 什麼是對數函數？
- 如何描繪對數函數的圖形？
- 對數函數的圖形有何特徵？
- 對數函數有哪些應用呢？
- 作業討論
單元08 平面向量
課程內容
- 向量的表示法：「幾何表示法」與「座標表示法」
- 向量的加法與減法：坐標表示及其性質。
- 向量的係數積：定義及基本性質
- 向量的線性組合
- 向量的分點公式
- 作業討論
單元09 平面向量的運算
課程內容
- 什麼是向量的內積？為什麼要這樣定義呢？
- 何謂向量的正射影？
- 什麼是柯西不等式
課外補充：一般柯西不等式的證明 - 二階行列式的幾何意義為何？
單元10 二元一次聯立方程式
課程內容
- 什麼是加減消去法？
- 什麼是克拉瑪公式？
- 何謂二元一次聯立方程式的幾何意義？
- 二階行列式有哪些性質？
- 二元一次聯立方程式的向量觀點