2022 年 7 月 2 日

高二數學第3A冊(108課綱)-數位教材+網路資源整合,適合學生自主學習

前言

這個頁面是由臺北市私立延平中學數學科陳志和老師所編寫的數位教材,提供給學生自學使用。在此之前,我已經編寫了第一冊第二冊的部份,且以google搜尋關鍵字:高中數學第1冊、高中數學第2冊,皆能在第一頁找到這兩篇文章。

這一冊我做了兩個調整:一是我改採用龍騰版教材的目錄,原因很單純,因為我最常使用龍騰版的教材上實體課。另一則是,我採用了Masjax外掛程式編寫數學符號,因此將大幅降低圖片及網路上免費youtube影片的使用。

數位教材不可能完全取代實體課程,只能扮演輔助的角色。會想要編寫這一套教材的原因也有兩個,一是我個人備課時的紀錄,另一則是我想強化教材「觀念」及「歷史觀點」的部份並且分享「學習方法」,避免初學者盲目大量演練題目,陷入見樹不見林的學習模式中。因此,這裡不會放一堆基礎例題供學生演練,而是我認為有助於學生思考或是釐清觀念的問題為主。

由於我平常教學工作繁忙,這份教材將利用閒暇時間編寫,若你想獲得這份教材的更新通知,可於文章下方訂閱「高中數學學習資源電子報」。

適合「自然組」或「商管學院」的學生

單元01 弧度量

弧度量的定義

習慣上,「角」的測量單位為「度」,相信同學們也用得很習慣了。在此我提出幾個問題作為我們這一節的學習目標:

1. 當我們寫\(30^{\circ}\)與\(30\) 所代表的意思是否相同?

我時常看到初學的學生會自動將「度」省略,這是常見的錯誤。一個粗淺的判斷,如果這兩者相同,那為何還要介紹「度」這個符號呢?數學家用字是很精準的,不可能如此累贅。因此,我們可以初步判斷,\(30^{\circ}\)與\(30\)是不一樣的。

2. \(30^{\circ}\)是實數嗎?

如果是的話,那麼\(30^{\circ}\)應該畫在數線的什麼位置呢?它算是有理數還是無理數呢?
類比一下,我們知道30是一個實數,但如果寫成「30公分」,我們似乎不會說「30公分」是一個實數。也就是說,前面的30表示實數,後面的「公分」是單位,並且我們知道這是用來測量「長度」的單位。
同樣道理,「\(30^{\circ}\)」是一個測量「角度」的量,我們不會說「\(30^{\circ}\)」是一個實數。

3. 如何描述清楚「角度」與「數字」的函數關係?並且畫出其函數圖形?

這便是我們接下來學習的重點。因為三角函數是定義在「角度」上的函數,我們要將其畫在坐標平面,則必須將角度畫在「\(x\)」軸上,但是角度不是實數要怎麼畫上去呢?
這便是這一節的目的,將「角度」與「實數」做對應,讓我們可以將角度畫在「\(x\)」軸上。
這個與角度對應的實數就是這一節要介紹的「弳」(又稱「弧度」)。

4. 如何定義「弳」?

首先我們來看一下半徑為 \(r\) 的圓,看看角度與長度要如何對應:

我們知道,圓一圈是「\(360^{\circ}\)」,圓周長是「\(2\pi\times r\)」
對於圓心角為 \(\theta^{\circ}\) 的弧長為
$$2\pi\times r\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}=(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}})\times r$$

由於我們關注的是「角度」,不會受到半徑大小的影響。因此\(\theta^{\circ}\) 會對應到實數\(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\)

我們便以實數 \(2\pi\times\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}}\)來表示角度 \(\theta^{\circ}\)

也就是說$$1^{\circ}=\frac{\pi}{180}(弳)$$ 或是 $$1(弳)=(\frac{180}{\pi})^{\circ}$$

我們可以按按計算機,看看1弳大約是幾度:$$1弳=(\frac{180}{\pi})^{\circ}\approx 57.2958^{\circ}$$

將「度」與「弳」兩種單位快速換算是基本能力,初學應多加練習。

弧長與扇形面積

接下來我們來談談,如何計算扇形的弧長與面積。這部份在國中三年級的課程已有介紹,我們在高中階段試著用「弳」這個單位寫看看。如下圖所示,

用「弳」來表示扇形的「弧長」及「面積」,其形式看起來更為簡潔。近年大考命題會測試學生是否能夠清楚區分這兩種單位的差別。

以上觀念建立好了,接下來就可以好好演練題目了。這一節的題目有不少變化也不乏難題,請先將課本題目做熟後,再做其他延伸。

以弳為單位的三角比

接下來來談談三角比。這裡不是新的內容,只是換成不同的角度單位來表示而已。學生必須練習到能夠熟練地將「弳」自然地想到對應的位置,這一節大致如此。

單元02 三角函數的圖形

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