【觀念數學系列】如何提升數學理解的層次?

前言

在課堂上,老師在講解過程中,時常會問學生,是否已經懂了?

但是,什麼叫做懂?

有些學生會有這樣的困擾:為什麼明明「我認為」我懂了,但每次一遇到沒看過的題目,就是不知道如何下手?

或者,遇到小範圍的考試還可以應付,但遇到大範圍的考試就慘不忍睹?

我認為,會造成這個現象,是因為每個人認知的「懂」其實是有程度上的差異。

一個學生說的懂可能是在較淺層的位置,以致於在考試時,無法應付較深一層的考題。

我們可以去檢視一下,學生所說的懂,是只可以應付「一道題」抑或是「一大類」題目?

還有就是,是否具備對於學習內容詮釋的能力?

這一篇文章,我們就是要來探討,如何避免淺層學習?並且讓理解數學的層次再更深一層。

學習的四個層次

我們用問題來說明學習的四個層次

順帶一提,在歷史上,第一個將三角形ABC的三個角以ABC表示,而其對邊以abc表示,使計算較為簡便的人就是有名的瑞士數學家Leonhard Euler

層次一 如何做出這一題?

層次二 可以這樣做的原因是什麼?

這個題目本身就有強烈的暗示:三角形的角B的對應邊為8、角C的對應邊為5。

如此,我們會很自然想到正弦定理。

另外,因為三角形內角和為180度,因此可以將180度扣掉角B與角C得到角A。接著再用到三角函數角度的轉換得出角A的餘弦值為負「3倍角C的餘弦值」,然後可以用三倍角公式得出。

以上說明對於熟悉的人而言是顯而易見的,但對於初學者而言卻是重要的。

層次三 如何想到這樣做?還可以怎麼做?

上面的題目很明顯就是想讓學生練習正弦定理,我們可以為自己加一些限制,刺激思考:如果不用正弦定理,還可以怎麼做?

試著想想不同做法,是測試自己是否真的了解的好方法。

層次四 試著自己出題

題目的條件可以調整嗎?

題目的條件稍微調整為「給定求A的對邊長為10,角B的對邊長比角C的對邊長多4」,這樣還做得出來嗎?題目雖然問的是c,但可以算出角A的餘弦值嗎?

如果我們可以算出c,就知道三角形的三邊長,當然算出角A的餘弦值就不是問題。

還有其他解法嗎?我們可以試試上一題的第2種解法:

試想想,還有什麼方法呢?

學習習慣影響甚鉅

為什麼思考無法深入?

環境致使頻繁分心

學習數理,環境的營造非常重要。我們必須在一個安靜不被打擾的空間進行。

首先有兩件事情要特別注意:第一是3c產品的管控,要避免思緒一直被訊息打斷。

第二則是桌面最好維持乾淨整齊,如此可以避免桌面的雜物使自己分心。

錯誤的心態

前面提到的「思考的層次」,有為數不少的學生停留在第一層,因此總是抱怨,為什麼老師上課教的這麼簡單,考試卻這麼困難。

但真的是考試的題目比較難,上課教的例題比較簡單嗎?

其實真實的原因往往是「看老師解得很簡單」但「自己卻解得很複雜」。

因為通常老師已經在第四層的思考階段,而學生還停留在一、二層。

這不要緊,只要掌握住正確的方法,並且實踐就行了。

致使人們無法進步的原因往往在於不願意改變。

我曾經遇過一些學生,雖然我一再強調了解公式背後的原理與意涵十分重要,但他卻仍然堅持,公式只要背起來然後多做題目就行了。縱使他的成績始終差強人意,但他卻仍然不願意調整。

我也曾經在班上遇過學生當著全班同學說,數學只要一直算,把答案算出來就好,幹嘛管這麼多觀念和證明。

對於這樣的學生,已經不是學習方法的問題,而是個性與心態的問題,就不在這篇文章的討論範圍了。

錯誤的方法

不懂怎麼辦?那就先背下來吧。這是很多學生會採用的學習策略。

背起來似乎很快,但長期下來,傷害很大。因為數學的內容多到不可能背得完。

其中一個典型的例子就是,學生在解題時,將解答放在旁邊用看的,看完題目想一下,想不到就直接看解答。

這就是所謂淺層的學習過程,對於難度不高的國中數學也許還可以應付,到了高中很快就行不通了。而且必定難以體會學習數學中那種思考的樂趣。

問出好問題:問問題前的四個步驟

在社群很常遇到初學者,把一道基礎題po出來希望有人解說。這樣的學習方式是非常沒有效率且碎片化的。

如果學習數學,一直停留在學一題會一題的階段,必定事倍功半。

正確的方式應該是:學一個觀念後,會做整大類的題目。

步驟一 讀課本

初學者問問題前,課本是否已經看過了?是否有照著課本的引導,將「歷史背景」、「內容介紹」、「例題解說」、「隨堂練習」好好看過寫過一遍?

課本通常是教授與老師共同合作編寫,並且送交教育部審核通過的教材,已經架好學習階梯,容易自行閱讀,是強化觀念cp值很高的一本書。

捨棄課本,尋找補習班、家教、買參考書寫一堆難題,是捨本逐末的行為。

只要按照課本的邏輯循序學習,整體架構與觀念就會有一定的水準。

步驟二 專心聽老師講解

在正常情況下,大部份老師都是認真負責在教學,如果說課本是初步引導,那麼就要專心聽老師如何詮釋內容。

因此老師對於學習者真的非常重要,如果只是照本宣科,就會有學生認為我自己讀就好,為什麼上課要聽?

教小鳥怎麼飛一點意義也沒有,因為那是牠的本能。用在形容有些教學現場再貼切不過。

站在學生的立場,如果沒辦法在學校系統裡遇到適合的老師,我也不反對在教育市場裡另覓適合的老師。

正如「刻意練習」這本書提到的,你必須為自己找到一個好的教練,才有辦法實踐刻意練習,才能在學習中獲得實質性的進步。

關於詮釋課程內容,我舉幾個例子說明:

對於一名初學者,他會看到指數律的「形式」然後用這個形式來解題,這是第一層的理解。

上課時,老師會設法將學生推向第二層,首先提醒學生,「底數」與「指數」的條件:

你是否發現,底數為任何實數,範圍非常大,此時指數的要求很多,必須為正整數。

那麼為什麼我們的指數不能是一般的整數或是分數呢?

依照指數律的運算規則,當指數是負整數時,例如負1,就必須將該數倒數,如果底數是0就會出問題。

同樣的,按照指數律的運算規則,當指數是分數時,例如二分之一,那麼就會將底數開根號。萬一底數是負數的話,就會產生虛數,不在中學討論的範圍。並且可以順便告知學生,這是複變函數論的範疇,有興趣可自行找資料閱讀。(閱讀這篇文章的讀者可直接點連結進入觀看開放式課程)

因此,如果想要將指數的範圍擴大至一般的整數與有理數時,底數必定要做更嚴格的限制,魚與熊掌不可兼得是很自然的道理。

我們再來看一個例子:

這是早期數學家拉普拉斯所提出來的定義,當然近代機率的定義與此相差甚大。初學者不會注意到的關鍵字:機會均等

所謂的機會均等指的是,「相同要視為不同」,這是機率與排列組合一個很不一樣的地方。

例加:袋中有五顆球,其中2顆紅球、3顆白球,一次取出兩顆,則此兩顆球同色的機率是多少?

按照組合的觀點,就會問,2顆紅球是相同還是相異?3顆白球是3異還是2同1異還是3同?「組合」會著重在看到的狀態。

但機率沒有這個問題,無論球是否相同,它都佔了一個被選到的可能,因此我們都將其視為不同。

此時我們可以再回到上一節「樣本空間與事件」,提醒一下,這裡對於樣本空間與事件的定義並沒有「機會均等法則」的要求。機會均等法則是我們在談機率時才加上去的條件。

雖然中學數學不難,但就是有很多眉眉角角的細節,都有賴老師的詮釋與提醒。

步驟三 適量練習

完成以上兩個步驟,就可以好好練習題目加強觀念了。通常課本的題目較少且基本,學校會再買一本講義,這本講義的功能就是練習題目用的,每一題確實想過寫過。

然後不會做的題目不要急著看詳解,可以先放著,做看看其他題,如果其他題做得出來,就不用太擔心,也許只是一時沒有靈感,這種題目就可以先做記號之後可以寫進筆記本裡。

但如果發現,一連串的題目都不會,就要回去再把觀念、老師講解範例再重讀1~2遍。

步驟四 筆記整理

這個步驟做的人很少,但卻是非常重要的一個步驟。

筆記觀摩:【課程】豪豬教授的手寫筆記—熱統計物理2

什麼是帶得走的能力?我認為寫筆記是其中之一。

清大物理系林秀豪教授曾經說過一句話,讓我印象深刻,大意是:如果你連生產出一本筆記的能力也沒有,那你其實有很多事都不可能做得好。

筆記的用處有幾個:1. 將觀念做精鍊化的整理 2. 收錄好題目 3. 擴充相關主題的內容 4. 手寫筆記有助於思考與記憶。

如果想知道更多寫筆記的細節,可加入FB社團:搜索「我愛寫筆記」,目前已有五千多位社員,足見大家對於寫筆記擷取知識的重視與喜愛。

另外我再分享一個很棒的APP:notion

這個APP,有電腦版軟體、Android版、IOS版,且同個帳號可同步更新,而且免費,這是目前我用過最方便的數位筆記軟體。

有了以上的動作後,大部份的問題基本上都可以獲得解決,接下來就可以針對進階問題進行思考,如果苦思2天仍無對策,此時就可以尋求社團的協助,也比較能夠問出有價值的問題。

自主學習的練習:預習

108課綱強調培養學生自主學習的能力,這個能力非常重要,也是學校納入規劃要來協助學生的部份。

曾經看過一段話我覺得很棒

我們不一定要是那個領域的頂尖人物才能對他人有所幫助。無論你在該專業領域的哪個位置,都一定有比你好的人,也有比你差的人。而你創造的價值,自然能幫助到那些知識水平不如你的人。所謂的老師,有時候也只是那些比你先讀一段的人而已。

因此,預習也可以是一個人學習積極度的展現。

我曾經在國家理論中心擔任暑期研習生,當時師承中心科學家的啟發才知,原來優秀的人不依賴別人講課給他聽,而是自己事先探索閱讀,然後講給別人聽。雖然過程痛苦許多,但卻更為深刻且精實。

懂不懂?試著講給別人聽就知道了!

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