前言

在課堂上，老師在講解過程中，時常會問學生，是否已經懂了？

但是，什麼叫做懂？

有些學生會有這樣的困擾：為什麼明明「我認為」我懂了，但每次一遇到沒看過的題目，就是不知道如何下手？

或者，遇到小範圍的考試還可以應付，但遇到大範圍的考試就慘不忍睹？

我認為，會造成這個現象，是因為每個人認知的「懂」其實是有程度上的差異。

一個學生說的懂可能是在較淺層的位置，以致於在考試時，無法應付較深一層的考題。

我們可以去檢視一下，學生所說的懂，是只可以應付「一道題」抑或是「一大類」題目？

還有就是，是否具備對於學習內容詮釋的能力？

這一篇文章，我們就是要來探討，如何避免淺層學習？並且讓理解數學的層次再更深一層。

學習的四個層次

我們用問題來說明學習的四個層次

順帶一提，在歷史上，第一個將三角形ABC的三個角以A、B、C表示，而其對邊以a、b、c表示，使計算較為簡便的人就是有名的瑞士數學家Leonhard Euler。

層次一 如何做出這一題？

層次二 可以這樣做的原因是什麼？

這個題目本身就有強烈的暗示：三角形的角B的對應邊為8、角C的對應邊為5。

如此，我們會很自然想到正弦定理。

另外，因為三角形內角和為180度，因此可以將180度扣掉角B與角C得到角A。接著再用到三角函數角度的轉換得出角A的餘弦值為負「3倍角C的餘弦值」，然後可以用三倍角公式得出。

以上說明對於熟悉的人而言是顯而易見的，但對於初學者而言卻是重要的。

層次三 如何想到這樣做？還可以怎麼做？

上面的題目很明顯就是想讓學生練習正弦定理，我們可以為自己加一些限制，刺激思考：如果不用正弦定理，還可以怎麼做？

試著想想不同做法，是測試自己是否真的了解的好方法。

層次四 試著自己出題

題目的條件可以調整嗎？

題目的條件稍微調整為「給定求A的對邊長為10，角B的對邊長比角C的對邊長多4」，這樣還做得出來嗎？題目雖然問的是c，但可以算出角A的餘弦值嗎？

如果我們可以算出c，就知道三角形的三邊長，當然算出角A的餘弦值就不是問題。

還有其他解法嗎？我們可以試試上一題的第2種解法：

試想想，還有什麼方法呢？

學習習慣影響甚鉅

為什麼思考無法深入？

環境致使頻繁分心

學習數理，環境的營造非常重要。我們必須在一個安靜不被打擾的空間進行。

首先有兩件事情要特別注意：第一是3c產品的管控，要避免思緒一直被訊息打斷。

第二則是桌面最好維持乾淨整齊，如此可以避免桌面的雜物使自己分心。

錯誤的心態

前面提到的「思考的層次」，有為數不少的學生停留在第一層，因此總是抱怨，為什麼老師上課教的這麼簡單，考試卻這麼困難。

但真的是考試的題目比較難，上課教的例題比較簡單嗎？

其實真實的原因往往是「看老師解得很簡單」但「自己卻解得很複雜」。

因為通常老師已經在第四層的思考階段，而學生還停留在一、二層。

這不要緊，只要掌握住正確的方法，並且實踐就行了。

致使人們無法進步的原因往往在於不願意改變。

我曾經遇過一些學生，雖然我一再強調了解公式背後的原理與意涵十分重要，但他卻仍然堅持，公式只要背起來然後多做題目就行了。縱使他的成績始終差強人意，但他卻仍然不願意調整。

我也曾經在班上遇過學生當著全班同學說，數學只要一直算，把答案算出來就好，幹嘛管這麼多觀念和證明。

對於這樣的學生，已經不是學習方法的問題，而是個性與心態的問題，就不在這篇文章的討論範圍了。

錯誤的方法

不懂怎麼辦？那就先背下來吧。這是很多學生會採用的學習策略。

背起來似乎很快，但長期下來，傷害很大。因為數學的內容多到不可能背得完。

其中一個典型的例子就是，學生在解題時，將解答放在旁邊用看的，看完題目想一下，想不到就直接看解答。

這就是所謂淺層的學習過程，對於難度不高的國中數學也許還可以應付，到了高中很快就行不通了。而且必定難以體會學習數學中那種思考的樂趣。

問出好問題：問問題前的四個步驟

在社群很常遇到初學者，把一道基礎題po出來希望有人解說。這樣的學習方式是非常沒有效率且碎片化的。

如果學習數學，一直停留在學一題會一題的階段，必定事倍功半。

正確的方式應該是：學一個觀念後，會做整大類的題目。

步驟一 讀課本

初學者問問題前，課本是否已經看過了？是否有照著課本的引導，將「歷史背景」、「內容介紹」、「例題解說」、「隨堂練習」好好看過寫過一遍？

課本通常是教授與老師共同合作編寫，並且送交教育部審核通過的教材，已經架好學習階梯，容易自行閱讀，是強化觀念cp值很高的一本書。

捨棄課本，尋找補習班、家教、買參考書寫一堆難題，是捨本逐末的行為。

只要按照課本的邏輯循序學習，整體架構與觀念就會有一定的水準。

步驟二 專心聽老師講解

在正常情況下，大部份老師都是認真負責在教學，如果說課本是初步引導，那麼就要專心聽老師如何詮釋內容。

因此老師對於學習者真的非常重要，如果只是照本宣科，就會有學生認為我自己讀就好，為什麼上課要聽？

教小鳥怎麼飛一點意義也沒有，因為那是牠的本能。用在形容有些教學現場再貼切不過。

站在學生的立場，如果沒辦法在學校系統裡遇到適合的老師，我也不反對在教育市場裡另覓適合的老師。

正如「刻意練習」這本書提到的，你必須為自己找到一個好的教練，才有辦法實踐刻意練習，才能在學習中獲得實質性的進步。

關於詮釋課程內容，我舉幾個例子說明：

對於一名初學者，他會看到指數律的「形式」然後用這個形式來解題，這是第一層的理解。

上課時，老師會設法將學生推向第二層，首先提醒學生，「底數」與「指數」的條件：

你是否發現，底數為任何實數，範圍非常大，此時指數的要求很多，必須為正整數。

那麼為什麼我們的指數不能是一般的整數或是分數呢？

依照指數律的運算規則，當指數是負整數時，例如負1，就必須將該數倒數，如果底數是0就會出問題。

同樣的，按照指數律的運算規則，當指數是分數時，例如二分之一，那麼就會將底數開根號。萬一底數是負數的話，就會產生虛數，不在中學討論的範圍。並且可以順便告知學生，這是複變函數論的範疇，有興趣可自行找資料閱讀。(閱讀這篇文章的讀者可直接點連結進入觀看開放式課程)

因此，如果想要將指數的範圍擴大至一般的整數與有理數時，底數必定要做更嚴格的限制，魚與熊掌不可兼得是很自然的道理。

我們再來看一個例子：

這是早期數學家拉普拉斯所提出來的定義，當然近代機率的定義與此相差甚大。初學者不會注意到的關鍵字：機會均等

所謂的機會均等指的是，「相同要視為不同」，這是機率與排列組合一個很不一樣的地方。

例加：袋中有五顆球，其中2顆紅球、3顆白球，一次取出兩顆，則此兩顆球同色的機率是多少？

按照組合的觀點，就會問，2顆紅球是相同還是相異？3顆白球是3異還是2同1異還是3同？「組合」會著重在看到的狀態。

但機率沒有這個問題，無論球是否相同，它都佔了一個被選到的可能，因此我們都將其視為不同。

此時我們可以再回到上一節「樣本空間與事件」，提醒一下，這裡對於樣本空間與事件的定義並沒有「機會均等法則」的要求。機會均等法則是我們在談機率時才加上去的條件。

雖然中學數學不難，但就是有很多眉眉角角的細節，都有賴老師的詮釋與提醒。

步驟三 適量練習

完成以上兩個步驟，就可以好好練習題目加強觀念了。通常課本的題目較少且基本，學校會再買一本講義，這本講義的功能就是練習題目用的，每一題確實想過寫過。

然後不會做的題目不要急著看詳解，可以先放著，做看看其他題，如果其他題做得出來，就不用太擔心，也許只是一時沒有靈感，這種題目就可以先做記號之後可以寫進筆記本裡。

但如果發現，一連串的題目都不會，就要回去再把觀念、老師講解範例再重讀1~2遍。

步驟四 筆記整理

這個步驟做的人很少，但卻是非常重要的一個步驟。

筆記觀摩：【課程】豪豬教授的手寫筆記—熱統計物理2

什麼是帶得走的能力？我認為寫筆記是其中之一。

清大物理系林秀豪教授曾經說過一句話，讓我印象深刻，大意是：如果你連生產出一本筆記的能力也沒有，那你其實有很多事都不可能做得好。

筆記的用處有幾個：1. 將觀念做精鍊化的整理 2. 收錄好題目 3. 擴充相關主題的內容 4. 手寫筆記有助於思考與記憶。

如果想知道更多寫筆記的細節，可加入FB社團：搜索「我愛寫筆記」，目前已有五千多位社員，足見大家對於寫筆記擷取知識的重視與喜愛。

另外我再分享一個很棒的APP：notion

這個APP，有電腦版軟體、Android版、IOS版，且同個帳號可同步更新，而且免費，這是目前我用過最方便的數位筆記軟體。

有了以上的動作後，大部份的問題基本上都可以獲得解決，接下來就可以針對進階問題進行思考，如果苦思2天仍無對策，此時就可以尋求社團的協助，也比較能夠問出有價值的問題。

自主學習的練習：預習

108課綱強調培養學生自主學習的能力，這個能力非常重要，也是學校納入規劃要來協助學生的部份。

曾經看過一段話我覺得很棒

我們不一定要是那個領域的頂尖人物才能對他人有所幫助。無論你在該專業領域的哪個位置，都一定有比你好的人，也有比你差的人。而你創造的價值，自然能幫助到那些知識水平不如你的人。所謂的老師，有時候也只是那些比你先讀一段的人而已。

因此，預習也可以是一個人學習積極度的展現。

我曾經在國家理論中心擔任暑期研習生，當時師承中心科學家的啟發才知，原來優秀的人不依賴別人講課給他聽，而是自己事先探索閱讀，然後講給別人聽。雖然過程痛苦許多，但卻更為深刻且精實。

懂不懂？試著講給別人聽就知道了！

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