2021 年 1 月 24 日

【影片教學】高一數學:三次函數的圖形

勘誤:6:24 若p、q兩點的中點為O,則稱P對O的對稱點為Q。

前言

各位同學大家好,今天我要來介紹高中數學第一冊:三次函數的圖形。
三次函數的次數雖然只比二次函數多一次,但其實複雜度比二次函數高了不少。因此這個部份也是大多數高一同學會感到困難的地方。

如果具備微積分的知識背景,在處理一些技術上的細節會容易許多。這個單元之所以會看起來有些複雜,是因為我們必須使用較初等的方式進行計算與討論。但學習數學,重要的還是要能夠體會當中的觀念與想法,而不只是在形式的細部上糾結。

因此這一篇文章希望能從觀念切入,協助同學快速掌握三次函數的精髓。

相關閱讀:如何學好高中數學?破除學習迷思,建立正確觀念

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溫故知新:關於二次函數的圖形

我們知道,二次函數的圖形是拋物線,開口可能向上或向下。如果開口向上,就會有一個最低點;如果開口向下,就會有一個最高點。這個最低點與最高點就是拋物線的頂點。

還記得我們是如何找出二次函數圖形的頂點嗎?答案是:配方法。

換句話說,經由配方法,我們可以看出二次函數的對稱性

那麼我們是否能以配方法,找到三次函數的最高點或最低點、甚至其對稱性呢?

我們的確可以用「配方法」針對三次函數進行整理,接著我們很自然地問了兩個問題:

問題1. 三次函數的圖形是否存在最高點或最低點?

問題2. 三次函數的圖形是否具有對稱性?

我們這一節就是要設法去回答這兩個問題。在回答問題之前,我們必須先對「對稱性」這個名詞先有明確的認識。

試回想,二次函數的圖形是哪一種對稱?答案是:軸對稱,意即它是對於「鉛直線」對稱的圖形。

然而,三次函數的圖形是何種對稱呢?我們可以從特例來猜猜答案:

也就是說,這個函數圖形是「點對稱」圖形。

這邊請同學注意一下,為什麼這個函數這麼容易看出是點對稱的?
答案是:因為它是「奇函數」,奇函數是點對稱圖形這件事是顯然的。

因此,如果我們考慮以下形式的三次函數,它當然也會是點對稱的:

然而是否一般的三次函數都會是點對稱呢?為了回答這個問題,我們先將名詞定義清楚:

何謂「點對稱圖形」與「對稱中心」?

對稱點

如果線段PQ的中點為O時,則稱點P對於點O的對稱點為Q。

點對稱圖形

已知有一個圖形G,若可以找到一點O,使得G上的任一點P,對於O點的對稱點Q也會落在G上,則稱此圖形G為點對稱圖形。此O點稱為對稱中心

我們這一節的核心任務,就是要設法看出三次函數的圖形皆為點對稱圖形!

從特例觀察

一般三次函數的形式如下所示:

特例:b=0

此時這個函數的形式為:

這個函數已經很接近一般的形式了,它不是奇函數,因此我們無法馬上看出來它是點對稱的。但它仍然是容易的,因為它相當於是b=d=0的情況下所成的圖形向上平移d單位後的結果。因為b=d=0時,原圖形對稱於原點,因此這個圖形對稱於點(0,d)。

最後,我們要來處理一般的形式,此時就必須藉助「配方法」來看出其對稱性。

三次函數的配方法

二次函數的配方法,其目標是要將函數配成完全平方的形式;而三次函數的配方法,就是要將函數配成完全立方的形式,其過程如下所示:

這個式子是否讓你感到眼花潦亂了呢?

我們將符號簡化一下應該會好一些:

此時我們就可以看出,這個函數圖形是由特例b=0的圖形平移而得,因此仍然為點對稱圖形,其對稱中心為 (-q, r)

三次函數是否有最大值與最小值?

這個問題容易許多,我們只需要將最高次提出來即可看出,如下所示:

當x趨近於正無限大或負無限大時,

因此,

此函數本身並不存在最大值或最小值。

再者,當a為正數時,此函數圖形的右端朝上;當a為負數時,此函數圖形的右端朝下。

三次函數的分類

因為一般三次函數皆為以下函數平移的結果

因此,我們只要針對此函數進行分類即可。

我們已知三次方係數a的正負值是決定函數最右端是上升或下降;因此這個函數圖形的特徵取決於p的正負值。我們可將a、p以數字代入觀察,進而得到以下分類:

詳細的解說請直接觀看教學影片喔。

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作者簡介

本文作者畢業於國立中央大學數學研究所博士班,目前為中學數學教師,已有近二十年高中數學教學經驗;在工作之餘喜愛閱讀與寫作,鑽研高等數學,曾經擔任清大數學系總助教,協助學生通過微積分、線性代數入學考試。

另外也熱衷於涉獵各種領域,包括投資理財、網路行銷、親子教育、…因為興趣廣泛,因此自稱為「斜槓教師」。歡迎來到斜槓教師的教育學習網

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