勘誤：6:24 若p、q兩點的中點為O，則稱P對O的對稱點為Q。

前言

各位同學大家好，今天我要來介紹高中數學第一冊：三次函數的圖形。
三次函數的次數雖然只比二次函數多一次，但其實複雜度比二次函數高了不少。因此這個部份也是大多數高一同學會感到困難的地方。

如果具備微積分的知識背景，在處理一些技術上的細節會容易許多。這個單元之所以會看起來有些複雜，是因為我們必須使用較初等的方式進行計算與討論。但學習數學，重要的還是要能夠體會當中的觀念與想法，而不只是在形式的細部上糾結。

因此這一篇文章希望能從觀念切入，協助同學快速掌握三次函數的精髓。

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溫故知新：關於二次函數的圖形

我們知道，二次函數的圖形是拋物線，開口可能向上或向下。如果開口向上，就會有一個最低點；如果開口向下，就會有一個最高點。這個最低點與最高點就是拋物線的頂點。

還記得我們是如何找出二次函數圖形的頂點嗎？答案是：配方法。

換句話說，經由配方法，我們可以看出二次函數的對稱性

那麼我們是否能以配方法，找到三次函數的最高點或最低點、甚至其對稱性呢？

我們的確可以用「配方法」針對三次函數進行整理，接著我們很自然地問了兩個問題：

問題1. 三次函數的圖形是否存在最高點或最低點？

問題2. 三次函數的圖形是否具有對稱性？

我們這一節就是要設法去回答這兩個問題。在回答問題之前，我們必須先對「對稱性」這個名詞先有明確的認識。

試回想，二次函數的圖形是哪一種對稱？答案是：軸對稱，意即它是對於「鉛直線」對稱的圖形。

然而，三次函數的圖形是何種對稱呢？我們可以從特例來猜猜答案：

也就是說，這個函數圖形是「點對稱」圖形。

這邊請同學注意一下，為什麼這個函數這麼容易看出是點對稱的？
答案是：因為它是「奇函數」，奇函數是點對稱圖形這件事是顯然的。

因此，如果我們考慮以下形式的三次函數，它當然也會是點對稱的：

然而是否一般的三次函數都會是點對稱呢？為了回答這個問題，我們先將名詞定義清楚：

何謂「點對稱圖形」與「對稱中心」？

對稱點

如果線段PQ的中點為O時，則稱點P對於點O的對稱點為Q。

點對稱圖形

已知有一個圖形G，若可以找到一點O，使得G上的任一點P，對於O點的對稱點Q也會落在G上，則稱此圖形G為點對稱圖形。此O點稱為對稱中心。

我們這一節的核心任務，就是要設法看出三次函數的圖形皆為點對稱圖形！

從特例觀察

一般三次函數的形式如下所示：

特例：b=0

此時這個函數的形式為：

這個函數已經很接近一般的形式了，它不是奇函數，因此我們無法馬上看出來它是點對稱的。但它仍然是容易的，因為它相當於是b=d=0的情況下所成的圖形向上平移d單位後的結果。因為b=d=0時，原圖形對稱於原點，因此這個圖形對稱於點(0,d)。

最後，我們要來處理一般的形式，此時就必須藉助「配方法」來看出其對稱性。

三次函數的配方法

二次函數的配方法，其目標是要將函數配成完全平方的形式；而三次函數的配方法，就是要將函數配成完全立方的形式，其過程如下所示：

這個式子是否讓你感到眼花潦亂了呢？

我們將符號簡化一下應該會好一些：

此時我們就可以看出，這個函數圖形是由特例b=0的圖形平移而得，因此仍然為點對稱圖形，其對稱中心為 (－q, r)

三次函數是否有最大值與最小值？

這個問題容易許多，我們只需要將最高次提出來即可看出，如下所示：

當x趨近於正無限大或負無限大時，

因此，$$f(x)\approx ax^3$$

此函數本身並不存在最大值或最小值。

再者，當a為正數時，此函數圖形的右端朝上；當a為負數時，此函數圖形的右端朝下。

三次函數的分類

因為一般三次函數皆為以下函數平移的結果

因此，我們只要針對此函數進行分類即可。

我們已知三次方係數a的正負值是決定函數最右端是上升或下降；因此這個函數圖形的特徵取決於p的正負值。我們可將a、p以數字代入觀察，進而得到以下分類：

詳細的解說請直接觀看教學影片喔。

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