前言

對於數學老師而言，有兩件十分具有挑戰性的事，一是提升學生的興趣，另一則是縮小學生間的程度落差。
在提升興趣方面，我會試著在課堂中融入小遊戲，並且搭配Youtube影片。數學本身是有趣的，之所以令人感到乏味，
是因為考試導向，為了提升成績，過多機械式的重複演練所致。

因此，在「數學老師來不及告訴你的事」系列文章中，我試著跳脫教科書，從問題出發，以歷史觀點來解釋。
這一篇文章，是我在教授七年級數學時，遇到學生的提問及觀察學生的思考方式再搭配一些閱讀所衍生出的心得。

「零」對於七年級學生來說並不陌生，但是「零」是數字這樣的觀念算是歷史中的一個重大事件，經過了數百年才被接受。
也就是說，學生被迫要在很短的時間內接受人類思維躍進的一個障礙，從這個角度去理解，
就不必太過苛責為何有些學生對某些觀念總是不懂，他們的確需要多一些時間消化與吸收。

接下來，我們就先進到數學教室，聊聊「零」的故事吧！

數學課堂：溫故「零」是什麼？

我們知道，「零」既不是正整數，也不是負整數，而是「中性數」。我們所稱的自然數就是正整數。
為什麼「零」不能算自然數呢？當然就是因為它不自然。

還記不記得我們小時候數數時，一定是從「1」開始數，而不是從「0」開始：
1個蘋果、2個蘋果、3個蘋果…
如果我們這樣數：0個蘋果、1個蘋果、2個蘋果、3個蘋果…，是不是很奇葩呢？

「零」是任何「非零」整數的倍數。
要留意的是，在做除法運算時，「零」不可以放在除數。
在寫分數時，「零」不可以放在分母
在以指數表示時，我們知道任何「非零數」的零次方必定為 \(1\)。那麼零的零次方為什麼沒有意義呢？

此時我們就發現「零」真的很特別，遇到它，好像就會產生例外。
有些學生甚至會混淆：$$\frac{a}{0} \ 無意義\ \ ， \ \frac{0}{a}=0$$ 其中 \(a\neq 0\)

以白話來說，
0 個蘋果給 5 個人分，每人分幾個？當然都沒有分到就是 0 個，很好理解。
5 個蘋果給 0 個人分，每人分幾個？有學生說 0 個，不對，根本就沒有人呀！

還是不懂，沒關係，我們來操作一個不完全嚴謹的代數，反正先說服你再說：

如果 \(\frac{0}{5}=0\)，用等量乘法公理可知，\(0 = 5 \times 0\)，合理。
如果 \(\frac{5}{0}=0\)，用等量乘法公理可知，\(5 = 0 \times 0\)，造成矛盾。

同樣的操作，我們也來看看分子分母皆為「零」的情況：
$$
\frac{0}{0}=x \Longrightarrow 0 = 0\times x
$$ \(x\) 無論是多少都可以耶！

雖然 \(\frac{a}{0}\) 及 \(\frac{0}{0}\) 我們現階段都稱其為無意義，其實本質上是有差異的。
如果以高等數學的角度來說，取極限後，前一種情況稱為極限不存在；後一種情況稱為「不定型」，
上述提到的 \(0^0\) 也是不定型的一種。也就是說，這種型式可能不存在，也可能存在，
但是這個數我們不確定是多少，必須進一步化簡才能得知，這就進入了微積分的世界。

\(0\) 就是不存在嗎？

這是學生時常會誤用的說法，還有另一個誤用詞則是「無解」。

首先，\(0\) 與不存在是兩碼子事，在七年級的課堂上，我很喜歡用生活化的比喻：
全班同學都離開教室去上體育課，此時教室 \(0\) 個人，但是這個班還是存在呀！

換個說法，\(0\) 是一個數字，但「不存在」是一個概念而不是數字。

另外，當我說到，分母是 \(0\)時，我們稱其為無意義。此時就有學生發問，無意義可以說無解嗎？
不對，是否有解是針對方程式而言，而不是對某個量的描述。

「零」的歷史

0是一種數字嗎？

這個看似常識的問題，其實困擾了數學家許久。起初，\(0\) 尚未當成一個數字，而只是代表一個空位記號，
此概念是在九世紀時，阿拉伯學者阿爾.花刺子模的兩本著作：「算術」、「解方程式」 所提及，
並且在12世紀時，譯成拉丁文傳至歐洲。

印度人花了很長一段時間才在歐洲建立 \(0\) 是數字的概念。然而，十六、十七世紀時，
一些非常重要的數學家還是不願意接受 \(0\) 可作為方程式的一根。

一直到了十八世紀，\(0\) 的地位才由「空位符號」變為「數字」，
這成為撬開代數學大門的關鍵，到了十九世紀，數學家們將數目系統節構一般化，
進而形成近世代數的環論與體論，零成為一個特殊元素的原型：\(0\) 加上一個數目使得數目不變，
即抽象系統中所定義的「加法單位元」；另外，\(0\) 乘上一個數目結果為 \(0\)。

「零」與解方程式的技巧

十七世紀早期，英國的數學家Thomas Harriot(1560~1621)，提出一個解代數方程式簡單卻有威力的技巧，
就是將多項式的所有項都搬至等號的一邊，因此方程式形如「某多項式＝\(0\)」，再求其解就容易許多，
此即Thomas Harriot原理。

原來我們在課堂上習以為常的操作是從這裡來的，我們要求學生短時間內接受並且活用，
殊不知，這可是在Thomas Harriot那個年代方程式論的重大進步。

另外，在課堂上，還有一個讓學生一時想不通的觀念，就是方程式 \(f(x)=0\)
表示函數 \(y=f(x)\) 與 \(x\) 軸相交的地方，這是將Thomas Harriot原理與「笛卡兒」的坐標幾何連結的結果，
即使方程式的根無法精確地解出，圖形仍可提供它的解一個好的近似值。這使得Thomas Harriot原理變得更有威力。

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