前言：高中數學課本內容回顧

在課堂上，我們已經知道如何證明 $\sqrt{2}$ 是無理數。前些日子，我分享了一篇文章，標題為「關於歐拉數的探索之旅」，當中證明了歐拉數「$e$」是一個無理數。最近在教高一指對數時，有學生提出，為什麼可以確定$log2$ 是無理數呢？因為課程緊湊，我當下沒有證明，但其實與證明$\sqrt{2}$是無理數同樣容易。同樣使用反證法，證明方式如下：

假設 $log2$ 是有理數，因為 $0<log2<1$，所以存在兩個整數 $p$、$q$ 滿足 $p>q>0$，使得 $$log2=\frac{q}{p}$$

將上式化為指數式 $$2=10^{\frac{q}{p}}$$ 接著將等式兩邊同時 $p$次方可得 $$2^p=10^q=2^q\times 5^q$$

接著等式兩邊同時除以 $2^q$可得 $$2^{p-q}=5^q$$ 但是 $2^{p-q}$是偶數，$5^q$是奇數，造成矛盾。

類似的問題：如何證明cos20度為無理數

在高中數學裡類似的問題：要如何證明 $cos20^{\circ}$是無理數呢？如果直接使用反證法，實在不知如何下手，所以要換另一種策略。

首先考慮三倍角公式 $$cos60^{\circ}=cos3\cdot 20^{\circ}=4cos^3{20^{\circ}}-3cos20^{\circ}$$

等號兩邊同乘以 $2$移項後，可知 $cos20^{\circ}$ 是方程式 $8x^3-6x-1=0$的一根。

那麼我們只要能夠說明方程式 $$8x^3-6x-1=0$$ 不存在有理根即可。

然而，108課綱已經移除了一次因式檢驗法，那麼還有什麼方式可以說明方程式不存在有理根呢？我們同樣可以使用反證法來處理。

假設方程式 $$8x^3-6x-1=0$$ 存在有理根 $x=\frac{A}{B}$，其中 $A, B\in Z$，$B\neq 0$，且 $gcd(A,B)=1$ ，將此有理根代入方程式可得 $$8\cdot(\frac{A}{B})^3-6(\frac{A}{B})-1=0$$ 等式兩邊同乘以$B^3$可得
$$8A^3-6AB^2-B^3=0$$
移項提公因式
$$\begin{equation} 8A^3=6AB^2+B^3=B^2(6A+B) \tag{1} \end{equation}$$

接著來討論兩種情形：
1. 整數 $A$ 不含有質因數，此時 $A$ 的值可能為 $0, 1, -1$
2. 整數 $A$ 含有質因數 $p$

第 1 種情況，我們針對 $A=0, 1, -1$ 分別討論如下：

若 $A=0$， 代入第(1)式可得 $B^3=0$，造成矛盾，此情形不會發生。
若 $A=1$， 代入第(1)式可得 $8=B^2(6+B)$，但是找不到整數 $B$ 滿足 $B^2(6+B)=8$
若 $A=-1$，代入第(1)式可得 $-8=B^2(-6+B)$，但是找不到整數 $B$ 滿足 $B^2(-6+B)=-8$

第 2 種情況，整數 $A$ 有質因數 $p$

第(1)式中，左式 $8A^3$ 可被質數 $p$整除，因此右式同樣可以被 $p$ 整除。
然而，$B^2(6A+B)$被質數 $p$ 除之後，與 $B^3$ 同餘式，因此 $B^3$ 亦可以被 $p$ 整除，此時與 $A、B$互質矛盾。

由以上討論可知，方程式 $$8x^3-6x-1=0$$ 不存在有理根，因此 $cos{20^{\circ}}$ 為無理數。

這篇文章就先寫到這邊，如果你對這方面的主題有興趣，歡迎訂閱「高中數學數位學習電子報」接收相關訊息。

數學到底要學來幹嘛？生活中又用不上…

不管三角函數、還是微積分、或是其他我們曾經學過的數學，為數不少的學生很早就確定，這些東西以後再也不會用到，認為現在學這麼多根本沒有必要。但是這樣的想法基本上忽略了一個重點，這個重點就是，我們在學習數學的過程中，大腦其實是進入一種狀態，一種設法解決問題的模式。學了什麼不重要，重要的是，我們為了解決問題時，絞盡腦汁，思考策略、學習新方法、改良舊方法、補足工具的過程。

未來，離開校園，也許我們不會再遇到數學問題，但是一定會遇到其他各式各樣的問題。當初，這個為了解決數學問題的思考磨練，就是我們可以帶得走的能力，也是一種無形且寶貴的資產。