試題＋簡答下載
前言
學測數B試題是針對未來低數學需求的大學選才參考而設計，所以原則上會較數A簡單。但是有些數B特有的單元，例如：平面上的比例(單點透視法、黃金比例)、地球經緯線(度)、圓錐曲線截痕的判斷，則必須特別留意。就我自己教學的經驗，這些單元主要是概念性的介紹，計算上是容易的。但是沒有建立觀念，會完全不知道從何判斷。
接下來針對題型分類，快速掃描這份試題內容。
這份試題有單選題7題、多選題5題、選填題5題、非選題為題組，有三個小題。
現在來說說單選題的部份：
第1題，單項式三次函數圖形的判讀，基礎觀念題。
第2題，二階矩陣的計算，簡易計算，基礎題。
第3題，三角測量題，圖示＋簡易計算，基礎題。
第4題，百分位數的判讀，中等難度。
第5題，條件機率常見考題，中等難度。
第6題，多項式除法，基礎題。
第7題，圓錐曲線截痕判斷，數B特有題，中偏難。
以上單選題的部份整體難易度中偏易，容易掌握。
多選題的部份
第8題，等差數列的應用問題，只要理解題意就能輕易判斷了，基礎題。
第9題，有理數與無理數在數線上的位置判斷，中等難度。
第10題，指數函數的應用問題，生活素養題，題目較長，要耐心閱讀，中等難度。
第11題，點與圓、直線與圓的位置關係判斷，需要分情況討論，中偏難，有鑑別度。
第12題，數B才有的單元，地球經緯線問題
以上多選題的部份難易度中偏難，考驗學生觀念是否清楚，計算是否細心。
選填題的部份
第13題，指對數的基本運算，基礎題。
第14題，這是排列組合與等差數列結合的常考題，只要用到等差中項的方式去想，非常容易。
第15題，平面向量內積的運算，基礎題。
第16題，常見的褶紙對稱問題，中偏難，有鑑別度。
第17題，計數原理的應用，應該是整份考題最難的一題，有鑑別度。
以上選填題難易度落差甚大，但是由簡單至困難編排，前三題大部份同學應該不會有太大的問題，後面兩題是同學是否能取得高分的關鍵。
非選題的部份
這種混合題是新課綱學測新增題型，牽涉到數B才有的單元：「單點透視法」，以及直線方程式、分點公式、平行線截比例線段，且素養導向，有鑑別度。
這份試卷整體難易度適中，著重生活化與應用，文字量較大，考驗同學的閱讀能力。
以上是快速瀏覽整份試卷，解題細節請繼續往下看「題型及試題內容分析」。
題型及試題內容分析
第1題：三次函數的圖形 – 基礎
依題意，可以令 \(y=kx^3\)，因此應該如選項(1)所繪製的圖形。
第2題：二階矩陣的乘法運算 – 基礎
這一題是考矩陣乘法的運算，基礎題，只要細心不要算錯即可，可看以下影片解說。
第3題：三角測量 – 基礎
這一題是基本的三角測量題，可繪製示意圖如下：
已知 \(\overline{AB}=150\)，在直角 \(\Delta ABC\) 中，$$\overline{BC}=\frac{150}{cos22^{\circ}}$$
因此答案選(4)
第4題：百分位數的判斷 – 中等
這一題是關於百位位數的基本觀念，首先我們可以先畫個示意圖比較好理解：
可以先估算一下第50百分位數所在的位置：\(29\times 50\%=14.5\)，也就是說前15名學生是不低於60分的。如果將前15名學生的分數各加5，可得 $$a=41, b=65, c=79, d=97$$
因此答案選(3)。
第5題：條件機率 – 中等
設 \(B\) 為甲抽到7號球的事件。我們依選項來看：
(1) 設 \(A\) 為某甲抽到球的號碼是奇數，則 $$P(B|A) = \frac{1}{50}$$
(2) 設 \(C\) 為某甲抽到球的號碼是質數，則 $$P(B|C) = \frac{1}{25}$$
(3) 設 \(D\) 為某甲抽到球的號碼是 7 的倍數，則 $$P(B|D) = \frac{1}{14}$$
(4) 設 \(E\) 為某甲抽到球的號碼不是 5 的倍數，則 $$P(B|E) = \frac{1}{80}$$
(5) 設 \(F\) 為某甲抽到球的碼號小於 10 的倍數，則 $$P(B|F) = \frac{1}{9}$$
由以上可知，\( P(B|F) \) 最大，因此答案選 (5)
第6題：多項式的除法 – 中等
誤看的情形如下：
因此可得 $$b-a^2=0, c-ab=-3, d-ac=-17$$
接著看 \(f(x)\) 除以 \(g(x)\) 的情形：
其中 $$p=\frac{a^2-b}{a}=0$$
因此答案選 (3)
第7題：圓錐曲線的截痕 – 中等
這一題是數B特有的題型，關於圓錐曲線截痕的判斷，要看「母線」與「軸」的夾角\(\alpha\)與「地板」與「軸」的夾角\(\beta\)範圍來判斷。分類如下：
如果 \(\beta=90^{\circ}\)，則此圖形為「一圓」。
如果 \(\beta=30^{\circ}\)，即「地板」與其中一條「母線」平行，則此截痕為「拋物線」。
如果 \(\beta<\alpha\)，則此截痕為「雙曲線」
如果 \(\beta>\alpha\)，則此截痕為「橢圓」。
此題的 \(\alpha=30^{\circ}\)、\(\beta=60^{\circ}\)，符合此情形，因此答案選 (4)
第8題：等差數列 – 中等
這一題依選項，可列出不同\(T\)值之下，撥放廣告的情形：
選項(1)：\(T=15\)時，15、30、45、60、…。即30分鐘後，某甲回到該處會看到 A廣告。
選項(2)：\(T=10\)時，10、20、30、40、…，即30分鐘後，某甲回到該處會看到 B廣告。
選項(3)：\(T=8\)時，8、16、24、32、…，即30分鐘後，某甲回到該處會看到 A廣告。
選項(4)：\(T=6\)時，6、12、18、24、30、…、即30分鐘後，某甲回到該處會看到 B廣告。
選項(5)：\(T=5\)時，5、10、15、20、25、30、…，30分鐘後，某甲回到該處會看到 A廣告。
由以上討論可知，答案選(2)、(4)
第9題：數與式 – 中等
這一題是綜合觀念題，我們逐個選項來看看：
選項(1)：因為 \(a, b, d\) 皆為有理數，\(c\) 為無理數。那麼我們將四數相加拆成兩部份：$$(a+b+d)+c$$
因此這個選項錯誤。
由有理數的封閉性可知，\(a+b+d \in Q\)
因為任何「有理數」＋「無理數」必定為有理數(可以用反證法論證)，因此 $$a+b+c+d \in Q^c$$
選項(2)：我們只要找個反例即可，如果 \(d=0\)，則 $$abcd=0 \in Q$$
因此，這個選項錯誤。
選項(3)：是否有可能找到 \(d\) 使得 $$|d-2\sqrt{10}|=2\sqrt{10}+6 ？$$
這個例子很好找，取\(d=-6\) 即可，因此這個選項正確。
選項(4)：首先先寫出點 \(A\) 及 點 \(B\) 的中點 $$\frac{6+\frac{20}{3}}{2}=\frac{19}{3}$$
接著比較 \(\frac{19}{3}\) 及 \(2\sqrt{10}\) 的大小，我們將這兩個數平方：
$$(\frac{19}{3})^2=\frac{361}{9}, (2\sqrt{10})^2=40$$
因為 \(\frac{361}{9} > 40\)，所以 $$\frac{19}{3}>2\sqrt{10}$$
即 點\(A\)和點\(B\)的中點位於點\(C\)的右邊，故此選項正確。
選項(5)：設數線上某點的座標為 \(x\)，由題意：$$|x-\frac{20}{3}|<8$$
去掉絕對值可得 $$-\frac{4}{3}<x<\frac{44}{3}$$
因為 \(x\) 為整數，故 $$x=-1, 0, 1, 2, …, 14$$
其中正整數有14個，負整數有1個，此選項正確。
因此答案選(3)、(4)、(5)
第10題：按比例成長模型 – 中等
選項(1)：按照規律，我們可以寫出在18點時，甲數量為 \(4X\)，乙數量為 \(8Y\)，且 \(4X=8Y\)，因此可得 $$X:Y=2:1$$
即\(X>Y\)，故選項(1)正確。
選項(2)：在13點時，甲的數量應該是 \(2^{\frac{1}{3}}X\)，此選項錯誤。
選項(3)：在15點時，乙的數量為 \(Y\cdot 2^{\sqrt{3}{2}}\)，此選項錯誤。
選項(4)：在19點時，乙的數量與甲的數量比值為 $$\frac{Y\cdot 2^{\frac{7}{2}}}{X\cdot 2^{\frac{7}{3}}}=2^{\frac{1}{6}}\neq 1.5$$
此選項錯誤。
選項(5)：在24點時，乙的數量與甲的數量比值為 $$\frac{Y\cdot 2^6}{X\cdot 2^4}=2$$
此選項正確。
因此答案選(1)、(5)
第11題：直線與圓的關係 – 中偏難
首先，依題意 \(\overline{PA}=a+c\)，將等號兩邊平方：$$(a-c)^2+(b-c)^2=(a+c)^2$$
整理上式可得：$$b^2+c^2-4ac-2bc=0$$
因為圓心與兩座標軸相切，因此 \(a=b\) 或 \(a=-b\)
如果 \(a=b\)，則 $$a^2+c^2-6ac=0$$
接著用二次方程式的公式解，可以寫出 \(a、c\) 的關係(要注意 \(a>c>0\))：$$a=(3+2\sqrt{2})c$$
如果 \(a=-b\)，則 $$a^2+c^2-2ac=0$$
上式剛好是一個完全平方式 \((a-c)^2=0\)，因此 \(a=c\) (不符合原題意)。
選項(1)：由以上討論可知 \(a=b\)，故此選項正確。
選項(2)：因為 \(a=b\)，所以點 \(P\) 位於直線 \(x-y=0\) 上。此選項錯誤。
選項(3)：因為 \(\overline{AP}=a+c>a\)，所以點 \(P\) 必在此圓外。此選項錯誤。
選項(4)：$$\frac{a+c}{b-c}=\frac{a+c}{a-c}=\frac{(3+2\sqrt{2})c+c}{(3+2\sqrt{2})c-c}$$
將以上分數的分子與分母整理並且約分再有理化分母後可得其值為 \(\sqrt{2}\)，此選項正確。
選項(5)：$$\frac{a}{c}=\frac{(3+2\sqrt{2})c}{c}=3+2\sqrt{2}$$
此選項錯誤。因此答案選(1)、(4)
第12題：空間的幾何概念 – 中偏難
關於地球經緯線與經緯度的判讀也是數B才有的內容。為了方便以下的討論，假設此球形地球儀的半徑為 \(R\)
選項(1)：東經\(0^{\circ}\) 和 \(180^{\circ}\) 這兩條經線皆為半徑 \(R\) 的半圓，因此其長度總和為赤道長度，正確！
選項(2)：北緯 \(45^{\circ}\) 線就是半徑為 \(Rcos45^{\circ}\) 的圓，其長度應為赤道長度的 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，此選項錯誤。
選項(3)：「由 A 沿赤道移動到 B 的最短路徑長」＝「由 D 沿東經 \(0^{\circ}\) 經線移動到北極點的路徑長」＝半徑 \(R\) 且圓心角為 \(60^{\circ}\) 的弧長 = \(\frac{\pi R}{3}\)。如下圖所示：
選項(4)：「由D沿北緯\(30^{\circ}\)線移動到 E 的路徑長」＝「半徑為\(Rcos30^{\circ}\)的半圓周長」＝\(\pi\cdot Rcos30^{\circ}\)。另外，「由 D 沿東經 \(0^{\circ}\)經線移動到北極點，再由北極點沿東經\(180^{\circ}\)經線移動到 E 的路徑長的總和」＝半徑 \(R\) 且圓心角為 \(\frac{2\pi}{3}\) 的弧長 ＝ \(R\cdot \frac{2\pi}{3}\)，如下圖所示：
此兩段長度不相等，故此選項錯誤。
(5) 設北點極為 \(N\)，接著座標化：$$A(R,0,0), C(0,R,0), N(0,0,R)$$
$$
\overrightarrow{NA}\cdot\overrightarrow{NB} = (R,0,-R) \cdot (0,R,-R) = R^2 \neq 0
$$
因此，\(\overrightarrow{NA}\) 與 \(\overrightarrow{NB}\) 不垂直，最後答案選 (1)、(3)。
第13題：指對與對數運算 – 基礎
這一題是基礎的對數運算題，首先我們將式子 \(ab^2=10^5\) 等號兩邊平方可得 \(a^2b^4=10^10\)，接著將兩個式子聯立如下：
$$\begin{aligned}
a^2b^4 &= 10^{10} — (1) \\
a^2b &= 10^3 — (2)
\end{aligned}$$
接著將兩式相除可得：$$\frac{(1)}{(2)}: b^3 = 10^7$$
將等號兩邊同時開3次方根可得 \(b = 10^{\frac{7}{3}}\)，接著兩邊取對數：$$log b=\frac{7}{3}$$
第14題：組合 – 中等
這一題很常見，用等差中項的觀念破題是不錯的選擇：$$a+c= 2b (偶數)$$
兩個數相加是偶數，有哪些可能呢？
可以「奇數＋奇數」或「偶數＋偶數」。
另外，奇數有10個，偶數有10個。因此兩種取法合計 $$C^{10}_2+C^{10}_2=90$$
第15題：平面向量的內積 – 中等
由這個圖可知 \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 與 \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 夾 \(15^{\circ}\)， \(\overrightarrow{P_2P_3}\) 與 \(\overrightarrow{P_4P_5}\) 夾 \(30^{\circ}\)，\(\overrightarrow{P_2P_3}\) 與 \(\overrightarrow{P_5P_6}\) 夾 \(45^{\circ}\)。
因此，$$\overrightarrow{P_2P_3}\cdot \overrightarrow{P_5P_6} = 2\cdot 2 \cdot cos45^{\circ} = 2\sqrt{2}$$
第16題：直線方程式的應用 – 中偏難
這一題我在影片中有提供兩種方法，文字解題的部份僅呈現我認為較佳的方法2。如下圖，經由座標化，可以先標出原點 \(O(0,0)\) 及 \(P(6,8)\)。
接著連接 \(\overline{OP}\)，並且可看出 \(\overline{OP}\) 與褶線 \(\overline{AB}\) 垂直。
只要能夠寫出直線 \(AB\) 的方程式，再算出直線 \(AB\) 與兩軸的交點 \(A, B\)，便可求出褶進去的三角形面積。
因為 \(\overline{OP}\perp\overline{AB}\)，所以直線\(OP\) 與 \(AB\) 斜率相乘為 \(-1\)。
直線 \(AB\) 的斜率 \(m_{AB}=\frac{-1}{m_{OP}}=-\frac{3}{4}\)，且通過直線 \(AB\) 及 \(OP\)的交點 \((3,4)\)。
因此直線 \(AB\) 的方程式為：\(3x+4y=25\)，因此點 \(A\) 與 \(B\) 的座標為 $$A(\frac{25}{3},0), B(0,\frac{25}{4})$$ $$\Delta ABP 面積＝\frac{1}{2}\cdot\frac{25}{3}\cdot\frac{25}{4}=\frac{625}{24}$$
第17題：加法原理與乘法原理 – 難
這一題應該是整份試卷中最難的一題，我們來分析一下：
情況1：有5個0，0 0 0 0 0，這個情況貢獻了4次連續兩個 0。
情況2：有4個0，0 0 0 0 X 或 X 0 0 0 0，這個情況貢獻了 \(3\times C^2_1\times 2 =12\) 次連續兩個0。
情況3：有3個 0，
第1類：【三個 0 相鄰】0 0 0 X X 或 X X 0 0 0 或 X 0 0 0 X，這個情況貢獻了 \(2\times 2^2\times 3 = 24\) 次連續兩個 0
第2類：【兩個 0 相鄰，1個 0 分開】0 0 X X 0 或 0 0 X 0 X 或 X 0 0 X 0 或 0 X 0 0 X 或 X 0 X 0 0 或 0 X X 0 0，這個情況貢獻了 \(1\times 2^2\times 6 = 24\)
情況4：有2個 0，__X__X__X__，4個空隙插入1個放入兩個0，這個情況貢獻了 \(C^4_1\times 2^3=32\)
所求＝\(4+12\times2+24\times 2+32 = 108\)，因此 $$a(5)=108$$
第18~20題(題組)
第18題：向量的係數積 – 中等
第19題：數與式、直線與圓 – 中等
第20題：分點公式 – 中等
從考題擬訂學習高中數B的策略
112年學測數B已分析完畢，藉由這些考題，提醒同學們在學習數B的課程內容時，可以採取以下策略：
1. 務必掌握基礎知識
數B本身就是對於低數學需求的學生而設計的，所以考題多以基礎觀念為主，大多數題目的計算都相當容易。因此，考生務必將課本的每個單元至少研讀過一遍，並寫完課本與習作附上的練習題。
2. 必須頻繁練習
數B考題雖然都以概念性為主，但是仍有不少的基礎計算。如果同學平日練習不足，考試時容易粗心算錯，或是計算太慢造成題目寫不完的情形。因此，建議修習數B的同學，只要學習基礎題型即可，並將學會的題目反覆演練，降低出錯的頻率。
3. 注重思維訓練
我知道有不少修習數B的同學，並不想花太多時間在數學的學習上面。可是這兩年數B的考題似乎也沒有想像中的簡單，甚至也會穿插1~2題難題。所以學習的過程中，還是要避免以背記為主的學習方式，試著多理解，對於考試成績的提升才會有所幫助，也比較不會浪費同學們寶貴的時間。
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