課程回顧
高中數學第一冊介紹了「數系」,將數的家族做了簡單的分類,到了高三介紹了「複數」,擴充了我們對於數的認知。國中時,我們所遇到的所有數,都是「實數」。但是,一旦遇到某些特定的方程式,我們便找不到相對應的數表示其解。例如:x^2=-1
國中時,我們都稱這樣的方程式為無解。更一般地說,如果二次方程式ax^2+bx+c=0
在十六世紀時,義大利數學家卡丹諾(Girolamo Cardano, 1501~1576)研究三次方程式的公式解時,曾提出了一道問題:
將10分成兩個數,使其乘積為40
雖然卡丹諾對於這樣的數有所疑慮,但仍試著對其進行運算:
假設其中一個數為 x,則另一個數為 10-x,依題意可知 x(10-x)=40
x^2-10x+40=0
後來經過許多數學家的努力,設法賦予 \sqrt{-1} 的意義,直到數學家歐拉(1707~1783) 引入了虛數單位 i=\sqrt{-1}
後來數學家高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)更進一步證明了多項式方程式在複數系中都可以找到解。
有了複數的概念後,我們就可以將任何數表示成 a+bi
然而,在十九世紀末,有關複數的研究,大多走向了幾何解釋的道路。
其幾何表徵,就是將複數 a+bi 對應到直角坐標平面上的一個點 (a,b),而這個點與原點連線,
就可以用來表示平面上的有向線段(向量)。
a+bi \longleftrightarrow \ 點P(a,b) \ \longleftrightarrow \ 向量\overrightarrow{OP}=(a,b)
也就是說,複數 z=a+bi 可以看成是坐標平面上的向量 \overrightarrow{OP}=(a,b)
那麼,兩複數的運算所代表的幾何意義是什麼呢?
複數運算的幾何意義
首先,我們設兩複數為 z_1=a_1+b_1i 及 z_2=a_2+b_2i 在直角坐標平面上分別對應到向量 (a_1,b_1) 及 向量 (a_2,b_2),則
z_1+z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i

另外,兩複數相乘呢?z_1\cdot z_2 = (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i

設
(a_1, b_1) = (|z_1|cos\beta, |z_1|sin\beta), \ (a_2, b_2) = (|z_2|cos\alpha, |z_2|sin\alpha)
\begin{cases} a_1a_2-b_1b_2 = |z_1||z_2|cos\alpha cos\beta-|z_1||z_2|sin\alpha sin\beta = |z_1||z_2|cos(\alpha+\beta) \\ a_1b_2+a_2b_1=|z_1||z_2|sin\alpha cos\beta + |z_1||z_2|sin\alpha sin\beta = |z_1||z_2|sin(\alpha+\beta) \end{cases}

以上的操作方式,可以用來推導隸美弗定理,以及解出任何複數的 n 次方根,這在教科書中都有詳細的介紹。
接下來要問的是,如果是空間向量,是否可以用複數來表示呢?
四元數(Quaternion)的誕生
我們前面已經知道,給定某向量的坐標,如何用另一組坐標來表示此向量「伸縮及旋轉」後的結果。
但是這樣的想法,到了空間向量卻發生了困難。平面向量有2個分量,空間向量有3個分量。
愛爾蘭數學家漢彌爾頓(Sir William Wowan Hamilton, 1805-1865) 提出了解決方法:3個分量行不通,要有4個分量,
但必須犧牲乘法交換律才行。要將空間中的一個向量作旋轉,必須繞一個固定的軸,
而表示此固定軸的方向要有2個量(例如經緯度),向量繞軸旋轉的角度是1個量,長度的伸縮是1個量,
因此這樣的新數要有4個分量而非3個。
漢彌爾頓稱這樣的數為四元數(quarternions)。
任何四元素皆可表示成 d+ai+bj+ck
i^2 = j^2 = k^2 = -1
接下來以平面向量的做法,可以寫出兩空間向量的加減法,並且得知此運算所代表的幾何意義為平移。
那麼四元數的乘法又會如何呢?
設兩個四元數 u=d+ai+bj+ck, v=w+xi+yj+zk
\begin{aligned} uv &= (d+ai+bj+ck)(w+xi+yj+zk) \\ &= (dw-ax-by-cz) +i(aw+dx+bz-cy) + j(bw+dy+cx-az) + k(cw+dz+ay-bx) \end{aligned}
可以看出兩個四元數相乘後依然是四元數。如果令純量 d=0,就是我們所熟知的空間向量。
再由四元數的乘法可得 uv = -(ax+by+cz) +i(bz-cy) + j(cx-az) + k(ay-bx)
觀察「純量」與「向量」的部分,可以定義出向量的兩種乘積,分別是「內積」
\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = ax+by+cz
與「外積」
\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}=(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-bx)k
這一篇文章預設是給高中生作為課內知識的延伸學習,不宜過度論述及太多技術操作的細節,就先寫到這邊。
如果對這樣的主題有興趣想要更進一步了解,可參考另一篇文章:旋轉矩陣,當中就有提及三維空間的旋轉矩陣、歐拉角等相關主題。
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