勘誤:6:24 若p、q兩點的中點為O,則稱P對O的對稱點為Q。
前言
各位同學大家好,今天我要來介紹高中數學第一冊:三次函數的圖形。
三次函數的次數雖然只比二次函數多一次,但其實複雜度比二次函數高了不少。因此這個部份也是大多數高一同學會感到困難的地方。
如果具備微積分的知識背景,在處理一些技術上的細節會容易許多。這個單元之所以會看起來有些複雜,是因為我們必須使用較初等的方式進行計算與討論。但學習數學,重要的還是要能夠體會當中的觀念與想法,而不只是在形式的細部上糾結。
因此這一篇文章希望能從觀念切入,協助同學快速掌握三次函數的精髓。
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溫故知新:關於二次函數的圖形
我們知道,二次函數的圖形是拋物線,開口可能向上或向下。如果開口向上,就會有一個最低點;如果開口向下,就會有一個最高點。這個最低點與最高點就是拋物線的頂點。
還記得我們是如何找出二次函數圖形的頂點嗎?答案是:配方法。
換句話說,經由配方法,我們可以看出二次函數的對稱性
那麼我們是否能以配方法,找到三次函數的最高點或最低點、甚至其對稱性呢?
我們的確可以用「配方法」針對三次函數進行整理,接著我們很自然地問了兩個問題:
問題1. 三次函數的圖形是否存在最高點或最低點?
問題2. 三次函數的圖形是否具有對稱性?
我們這一節就是要設法去回答這兩個問題。在回答問題之前,我們必須先對「對稱性」這個名詞先有明確的認識。
試回想,二次函數的圖形是哪一種對稱?答案是:軸對稱,意即它是對於「鉛直線」對稱的圖形。
然而,三次函數的圖形是何種對稱呢?我們可以從特例來猜猜答案:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-6-1024x190.jpg)
也就是說,這個函數圖形是「點對稱」圖形。
這邊請同學注意一下,為什麼這個函數這麼容易看出是點對稱的?
答案是:因為它是「奇函數」,奇函數是點對稱圖形這件事是顯然的。
因此,如果我們考慮以下形式的三次函數,它當然也會是點對稱的:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-7.jpg)
然而是否一般的三次函數都會是點對稱呢?為了回答這個問題,我們先將名詞定義清楚:
何謂「點對稱圖形」與「對稱中心」?
對稱點
如果線段PQ的中點為O時,則稱點P對於點O的對稱點為Q。
點對稱圖形
已知有一個圖形G,若可以找到一點O,使得G上的任一點P,對於O點的對稱點Q也會落在G上,則稱此圖形G為點對稱圖形。此O點稱為對稱中心。
我們這一節的核心任務,就是要設法看出三次函數的圖形皆為點對稱圖形!
從特例觀察
一般三次函數的形式如下所示:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-4.jpg)
特例:b=0
此時這個函數的形式為:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-8.jpg)
這個函數已經很接近一般的形式了,它不是奇函數,因此我們無法馬上看出來它是點對稱的。但它仍然是容易的,因為它相當於是b=d=0的情況下所成的圖形向上平移d單位後的結果。因為b=d=0時,原圖形對稱於原點,因此這個圖形對稱於點(0,d)。
最後,我們要來處理一般的形式,此時就必須藉助「配方法」來看出其對稱性。
三次函數的配方法
二次函數的配方法,其目標是要將函數配成完全平方的形式;而三次函數的配方法,就是要將函數配成完全立方的形式,其過程如下所示:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-9-1024x285.jpg)
這個式子是否讓你感到眼花潦亂了呢?
我們將符號簡化一下應該會好一些:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-10.jpg)
此時我們就可以看出,這個函數圖形是由特例b=0的圖形平移而得,因此仍然為點對稱圖形,其對稱中心為 (-q, r)
三次函數是否有最大值與最小值?
這個問題容易許多,我們只需要將最高次提出來即可看出,如下所示:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-13.jpg)
當x趨近於正無限大或負無限大時,
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-14.jpg)
因此,$$f(x)\approx ax^3$$
此函數本身並不存在最大值或最小值。
再者,當a為正數時,此函數圖形的右端朝上;當a為負數時,此函數圖形的右端朝下。
三次函數的分類
因為一般三次函數皆為以下函數平移的結果
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-7-1.jpg)
因此,我們只要針對此函數進行分類即可。
我們已知三次方係數a的正負值是決定函數最右端是上升或下降;因此這個函數圖形的特徵取決於p的正負值。我們可將a、p以數字代入觀察,進而得到以下分類:
![](http://family.infobox.com.tw/wp-content/uploads/2020/12/snap-16.jpg)
詳細的解說請直接觀看教學影片喔。
作者簡介
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有別於傳統的背一背算一算教學
從觀念切入果然還是比較根本
感謝版主的教學方式與詳細影片
版主的教學很棒 擺脫了傳統教條式的教學方式 讓我們可以吸收更快 相信之後的學生一定可以有更佳的學習效果 非常感謝分享 大推
謝謝喔!