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在中學的數學課堂上，最常聽到的三句話是什麼？
分別是：我又粗心算錯、這題爆開就好、這次考試會很難嗎？
來談談學生們所謂的「爆開」是什麼意思。
其實就是懶得思考，拚命算就對了。
去年我在七年級的課堂上，隨便出了一道題，\(3^{100}\) 是多少？
結果竟然有幾位學生不顧我的阻止，嘗試將其乘開…。
可喜的是，他們展現出驚人的耐心，做一件不是這麼有趣的事。
但也讓我不禁擔心，他們往後遇到難題，是不是也總是用如此蠻力處理。
而少了細心思考。
畢竟，所有有價值且高層次的數學，都是被拚命想出來，或是拚命想與計算出來的，
而不是無思想的情況下拚命計算出來的。
說白一點，\(3^{100}\) 即使算出來，會增長你的智慧嗎？
我想是否定的。
不信的話，不妨試試以下這道題目：
給定正數 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，證明：$$\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{b^3+c^3+d^3}{b+c+d}+\frac{c^3+d^3+a^3}{c+d+a}+\frac{d^3+a^3+b^3}{d+a+b}\geq a^2+b^2+c^2+d^2 \tag{*}$$
不要急著往下看，先爆開吧…(暈)。
這篇文章，我要藉由以上這一道題目，姑且稱為問題(*) 好了。
解釋解題中的一個重要技巧：
不失一般性，轉換問題，考慮一個特殊情況，再推廣成一般的情形。
數學中，不失一般性「WLOG, Without Loss Of Generality 」是一個常用的術語，用來簡化證明或討論過程。
它的意思是，當我們處理某個問題時，可以假設某些特定條件成立，而不會影響結論的普遍性。
舉幾個我們在中學中會遇到的問題：
稠密性：對於任何兩個相異有理數 \(a\)、\(b\)，必定存在一點 \(c\in Q\) 在 \(a\)、\(b\) 之間。
敘述很清楚，但是為了更精確的表達，在開頭之處，我們會先寫：
不失一般性，假設 \(a<b\)，然後再接著論述。
反正兩數相異，必定一大一小，假設 \(a<b\) 或 \(a>b\) 是不影響一般情況的，
因此只需考慮一種情況即可，不需兩種都寫出來。
再回想一題，在學計數原理時遇到的：
「用25根牙籤可以排出幾個不全等的三角形？」
首先，可以先假設，這個三角形的三邊長分別有 \(a\) 根、\(b\) 根、\(c\) 根牙籤，並且 $$a+b+c=25$$
三邊長的長短不確定，接著就可以「不失一般性」假設 \(a\geq b\geq c\)。
這個情況處理完，這一題就完成了，不用再討論其他順序。
這就是不失一般性的精神。
再來一個例子，假設我們需要證明某個二次函數 $$f(x)=ax^2+bx+c$$ 在某個區間的單調性，我們可以「不失一般性」地假設 \(a>0\)。
因為如果 \(a<0\)，我們可以考慮 \(-f(x)\) 的單調性，這不會影響一般性的結論。
「考慮特殊情形，但不影響一般的結果」就是「不失一般性」論述的精髓。
所以遇到難題別總想著爆開，你有另一個選擇：不失一般性，先轉換簡化後的問題，解決，再推廣。
回到問題(*)，由對稱性，不失一般性，只須證明 $$\frac{x^3+y^3+z^3}{x+y+z}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$$ 此題得證。
即使如此，還是很複雜，再來一次「不失一般性」：
假設 \(x+y+z=1\)，只要此情況解決了，一般情況也解決了。
為什麼？
這是縮放比例(scaling)的技巧，還記不記得，我們證明算幾不等式時也曾經用過這一招。
如果 \(x+y+z \neq 1\)，那麼可以令 $$X=\frac{x}{x+y+z},\ Y=\frac{y}{x+y+z},\ Z=\frac{z}{x+y+z}$$問題可轉換為 $$X^3+Y^3+Z^3\geq \frac{X^2+Y^2+Z^2}{3}$$
因此，我們接著只要考慮以下問題即可：設 \(x>0\)、\(y>0\)、\(z>0\) 而且 \(x+y+z=1\) 時，$$證明：\ x^3+y^3+z^3\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}$$
要怎麼證明呢？
有沒有覺得這個形式有點眼熟？是不是很像柯西不等式？
藉由柯西不等式可知 $$(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)\geq (x^2+y^2+z^2)^2$$
還差一點，我們只要證明 $$(x^2+y^2+z^2)^2\geq \frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)$$ 即可。
令 \(x^2+y^2+z^2=A\)，將兩式相減看看：\(A^2-\frac{1}{3}A=A\cdot (A-\frac{1}{3})\)
也就是說，我只要證明 \(A\geq \frac{1}{3}\) 即可。
再用一次柯西不等式：$$(x^2+y^2+z^2)(1^2+1^2+1^2)\geq (x+y+z)^2$$
因為 \(x+y+z=1\)，所以 $$x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3}$$ 得證。
你有沒有發現，這個不等式似乎可以推廣成更一般的形式：設 \(x_i>0\)，\(1\leq i\leq n\)，\(k\) 為非負整數
要如何證明：$$\frac{x_1^k+x_2^k+…+x_n^k}{n}\leq \frac{x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+…+x_n^{k+1}}{x_1+x_2+…+x_n} \ ?$$
我們用數學歸納法做一次：
當\(k=0\) 時，左右 \(=\) 右式 \(=1\)，顯然成立。
假設對於所有小於 \(k\) 的非負整數，此不等式成立。
藉由縮放比例(scaling)的技巧，不失一般性，可假設 $$x_1+x_2+…+x_n=1$$
再用柯西不等式：$$(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+…+x_n^{k+1})(x_1^{k-1}+x_2^{k-1}+…+x_n^{k-1})\geq (x_1^k+x_2^k+…+x_n^k)^2$$
因此 $$\begin{aligned}
\frac{x_1^k+x_2^k+…+x_n^k}{n}&\leq \sqrt{x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+…+x_n^{k+1}}\times \sqrt{\frac{x_1^{k-1}+x_2^{k-1}+…+x_n^{k-1}}{n^2}}\\
&\leq \sqrt{x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+…+x_n^{k+1}}\times\sqrt{\frac{x_1^k+x_2^k+…+x_n^k}{n}} \ \ (歸納法假設)
\end{aligned}$$
將不等式兩邊同時除以 \(\sqrt{\frac{x_1^k+x_2^k+…+x_n^k}{n}}\) 可得 $$\sqrt{\frac{x_1^k+x_2^k+…+x_n^k}{n}}\leq \sqrt{x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+…+x_n^{k+1}}$$
最後去根號即得證。
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