【教學】從完美數的特殊形式談數學論證

前言

數論（英語：Number theory）是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質，被稱為「最純」的數學領域。

數學是科學的皇后，數論是數學的皇后
數學王子高斯

隨著課綱的更動，中學數學的數論內容也愈來愈少，印象中在七年級數學第1冊第2章，因數與倍數，最大公因數與最小公倍數，然後就沒了。

在這麼少的內容裡，我們學了什麼？

因數與倍數
常用倍數判別法
質數與質因數分解
標準分解式
公因數與最大公因數
求最大公因數的方法
公倍數與最小公倍數

這一篇文章，我們就來跳脫課綱，將內容稍微擴充一些，讓同學對於數論有多一些認識。先從107年臺南特招的一道題目開始吧：

「有一個正整數，它與$20$的最小公倍數比它的$7$倍還要多$1314$，則這個正整數會有多少個正因數？」

這是一道幾乎所有七年級學生都感到困難的問題，高中學生或是有興趣的讀者不妨自己先想想，再繼續往下閱讀喔！

為了方便說明，先設此正整數為 $a$，依題意可列出以下方程式 $$[a,20]=7a+1314$$由此等式可知 $$[a,20]>7a$$ 這個觀察會用到。

接著，我們知道「任何兩數的乘積等於其最大公因數乘以最小公倍數」，因此有以下關係式$$[a,20]=\frac{a\times 20}{(a,20)}$$

$a$ 與 $20$ 的最大公因數可以是多少呢？

如果，$(a,20)=1$，則$[a,20]=20a$；如果$(a,20)=2$，則$[a,20]=10a$，其它情況都不可能。(為什麼？留給讀者想一下喔)

情況1：若 $[a,20]=10a$，則 $$10a=7a+1314$$可解得 $$a=438$$
情況2：若 $[a,20]=20a$，則 $$20a=7a+1314$$此時$a$不是整數，不須考慮。

接著我們要想想，如何找出 $438$ 這個整數有多少個正因數呢？

首先先將這個數字寫成標準分解式：$$438=2\times3\times 73$$
因此共有 $$2\times 2\times 2 = 8 \ \ 個正因數$$

這一題就結束了。但我們這篇文章才要剛開始，我想再多問幾個問題。

問題1：$438$這個數字的正因數總和是多少呢？

這個問題有人知道，有人不知道。我直接說說一般的情況。

如果將一個整數寫成標準分解式：$$p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times … p_r^{a_r}$$
其中 $p_i, 1\leq i \leq r$ 皆為質數，$a_i, 1\leq i\leq r$ 皆為非負整數。

那麼其正因數個數為 $$(a_1+1)\times (a_2+1) \times … (a_r+1)$$其正因數的總和為
$$(1+p_1+p_1^2+…+p_1^{a_1})\times(1+p_2+p_2^2+…+p_2^{a_2})\times…\times(1+p_r+p_r^2+…+p_r^{a_r})$$

原因不難理解，在這裡就不贅述了。

完美數的出現

正因數總和與該整數之間有什麼關係嗎？

有一種數很特別，就是其正因數的總和會是其數字本身的2倍，這樣的數被稱為「完美數」(perfect number)。在博士熱愛的算式這部影片中，就有提到這樣的數字。

為了方便說明，我們以符號 $\sigma(n)$ 表示正整數 $n$ 的正因數總和。因此完美數 $n$ 滿足以下等式 $$\sigma(n)=2n$$

換句話說，一個完美數 $n$ 除了自己以外的正因數總和會等於自己。寫成符號就是 $$\sigma(n)-n=n$$

那麼有哪些數是完美數呢？同學可以試試，不難發現數字 $6$ 的正因數總和為 $12$，因此$6$是完美數。這應該是最小的完美數了。

下一個完美數是多少呢？

答案是 $28$，讀者不妨驗證看看。一直找下去，接下來是 $496$、$8128$。接下來會自然萌生幾個問題：

問題1：完美數是否有規律，能否寫出其一般式？
問題2：完美數是否一定是偶數呢？

問題2，至今仍然為開放性問題(open problem)，沒人知道答案。

問題1已經被解決，寫成定理如下：

設 $n$ 是一個正整數，那麼 $n$ 是一個偶完美數的充要條件為 $$n=2^{p-1}(2^p-1)$$ 其中 $2^p-1$是一個質數。

我們先來解決一個比較簡單的問題，如果 $2^p-1$ 是質數，那麼 $p$ 必定是質數。

假設 $p$ 是合數，可將其寫成 $p=a\times b$，其中 $a>1, b>1$，因此 $$2^p-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1=(2^a-1)((2^a)^{b-1}+(2^a)^{b-2}+…+2+1)$$因為 $2^p-1$是質數，且$(2^a)^{b-1}+(2^a)^{b-2}+…+2+1>1$，因此 $2^a-1=1$，即 $a=1$，造成矛盾。因此 $p$ 是質數。

附帶一提，形如 $2^p-1$的質數被稱為梅森質數。

接著進入這個定理的證明：假設 $n$ 是一個偶完美數，因此將其寫成 $$n=2^ab$$其中 $a,b$ 均為整數，且 $b$ 是一個奇數。那麼$$\sigma(n)=\sigma(2^ab)=\sigma(2^a)\sigma(b)=(\frac{2^{a+1}-1}{2-1})\sigma(b)=(2^{a+1}-1)\sigma(b)$$ 因為 $n$ 是完美數，因此 $$\sigma(n)=2n=2(2^ab)=2^{a+1}b$$結合以上兩式，可得
$$(2^{a+1}-1)\sigma(b)=2^{a+1}b\tag{1}$$
因此$$2^{a+1}|(2^{a+1}-1)\sigma(b)$$
因為 $2^{a+1}$ 與 $2^{a+1}-1$ 互質，所以 $$2^{a+1}|\sigma(b)$$故存在一個整數 $c$ 滿足 $$\sigma(b)=2^{a+1}c\tag{2}$$
利用第(2)式中的 $\sigma(b)$ 代入第(1)式可得 $$(2^{a+1}-1)2^{a+1}c=2^{a+1}b$$等號兩邊消去$2^{a+1}$可得$$(2^{a+1}-1)c=b\tag{3}$$
接著用反證法證明 $c=1$：

假設 $c>1$，那麼由第 (3) 式可知，$b$ 至少有3個不同的因數，分別為 $1、b、c$，因此 $$\sigma(b)\geq 1+b+c$$然而，$$\sigma(b)=2^{a+1}c=(2^{a+1}-1)c+b=b+c$$ 造成矛盾。因此 $c=1$。由第(3)式可得 $b=2^{a+1}-1$，由第(2)式可得 $\sigma(b)=2^{a+1}=b+1$

這裡要留意的是，$\sigma(b)=b+1$，表示 $b$ 是質數，因此 $$n=2^ab=2^a(2^{a+1}-1)$$其中 $2^{a+1}-1$是一個質數。

另一方面，假設 $n=2^{p-1}(2^p-1)$，其中 $p$ 與 $2^p-1$ 皆為質數。我們的目標是要去證明 $\sigma(n)=2n$

$$
\begin{aligned}
\sigma(n) &=\sigma(2^{p-1}(2^p-1)) \\
&=\sigma(2^{p-1})\sigma(2^p-1)) \\
&=(\frac{2^p-1}{2-1}) 2^p \\
&=(2^p-1)2^p \\
&=2^p(2^p-1) \\
&=2(2^{p-1}(2^p-1)) \\
&= 2n \end{aligned}$$

證明到此結束。這個證明有點難度又不會太難，很適合作為入門高等數學的練習。

有了對完美數的刻劃後，我們可以更容易找出幾個完美數：

當 $p=2$ 時，$$2\times(2^2-1)=6$$
當 $p=3$時，$$2^2\times(2^3-1)=28$$
當 $p=5$時，$$2^4\times(2^5-1)=496$$
當 $p=7$時，$$2^6\times(2^7-1)=8128$$
當 $p=11$時，$$2^{10}\times(2^{11}-1)=2096128$$
讀者不妨再找找，你可以找到多大的完美數呢？

這邊文章先寫到這邊，下篇文章見。