數學是一門須要大量理解的科目，這已是老生常談。
然而，我觀察到不少學生學習數學的習慣，還是以拚命做題目為主。

做題目是學好數學必經的過程沒有錯。但是要問自己兩件事情，

第一，如果遇到題目不會寫，下一步要做什麼？

我觀察到很多學生的動作是，直接看詳解。甚至，將詳解放在旁邊，
遇到不會寫的題目，馬上看詳解，然後將詳解的解法記下來。

不知不覺，就淪為「記題目解法」的學習模式。

這會造成什麼後果？

最直接的影響就是，考試時，遇到稍微變化的題目，會不知所措。

為什麼？

因為沒有養成反覆思考推敲的習慣，而這個習慣對於學習數學尤其重要。

因此，看到一道題目不會寫，不妨先跳過這題，試著寫下一題。
如果發現，連續很多題都不太會寫，應該不是去看解法，
而是重新複習基本觀念以及範例。

如果只有極少數的題目不會寫，大多數題目都解得出來，
代表觀念沒有問題，而是這類題型的解法比較特殊。
此時，還是不要急著看詳解，先將題目記起來。
走路時想想、運動時想想、吃飯時想想、上廁所時想想…。

為什麼要這樣呢？

原因有三個，
第一，自己想出來的解法，才有助於發展出自己的解題策略，價值遠遠高過看出來的。
第二，我們在專注的狀態時，就像一個聚光燈，聚焦在一個小點上，此稱為「專注模式」，
在這個模式之下，思考較深入、清晰但範圍較小，不易找到想要的目標。
當我們在放鬆狀態時，就像房間的日光燈，不這麼亮，但照明範圍較大，此為「發散模式」，有助於搜尋。
第三，當我們在思考難題時，會一直反覆回想基本觀念、標準範例的做法、這有助於鞏固所學，忘得也比較慢。

那麼何時才是看詳解比較好的時機？

我認為，看詳解這個動作，應該是在跟作者交流，而不是依賴。
所以比較好的時機，就是可以提出自己觀點或解法的時候。

也就是說，即使沒有好的解法，用土法煉鋼的方式，也將題目解出來了。
即便如此，都優於直接看一個很美妙的解法。
此時，就可以看一下，這個作者是怎麼解的，吸收不同觀點。
甚至有些時候，也有可能自己的解法比作者的還好。

但是，有同學會反駁，如果都是這樣學，哪來得及準備考試呢？

是的，這是一個現實考量。

我認為可以用一個比較折衷的方式。也許沒辦法每一道難題都這樣處理，
但至少要有幾道難題是做這樣的練習。以現階段來說，的確會花不少時間，
但以長期來看，才是學好數學的根本。

第二、你是做一堆差不多的題目，還是一堆須要思考的題目？

做題目的目的，是要發展出自己的解題策略。
所以，如果一直反覆寫一堆差不多的題目，看起來好像寫了很多，實際上，效果通常極其有限。
比較好的方式，應該適量寫一些有變化的題目。

換句話說，就是要多寫一些高品質的題目，而不是寫一堆低層次的題目。

什麼是低層次的題目呢？

就是那種，你直接套個公式就出來的題目。這種題目在初學時，的確須要一些，
讓我們可以熟悉公式的使用方式。但如果學了一陣子，還在解這種題目，
除了不會進步之外，也是很乏味。

什麼是比較好的題目呢？

就是不能直接套公式，而是要從推導公式的方法或原理原則，才能做出來的題目。
或是，可以從多角度切入解出來的題目。

因此，學習數學的過程，不能只有背公式，而是要知道每個公式的由來。

整個學習過程，就是朝向一個目標邁進：構築出自己的解題策略。
而要構築出自己的解題策略，則必須深入思考與整合所學，讓自己產生感覺。

如果學習數學的過程，只是做一題記一題，就很像在一大片森林中撿小樹葉，
眼光只聚焦在每一片小樹葉，不僅撿不完，而且也看不到更大範圍美麗的風景。

所謂的大量刷題，應該是到了「基本功扎實，且能夠獨立思考」這個階段，
才會產生具體效用，不斷覆盤且提升自己的解題策略。

此時，遇到難題，每個高手就會用自己發展出來的解題策略，各自展現出不同的解法。
厲害的人，甚至可以用很多套方法解同一套題目。甚至，只用基本的定義與簡單的想法，
就輕易做出一道難題。

接下來，我舉一道同學容易卡關的「餘式定理」的題目來做示範：

第一題：設 \(n\) 為自然數，若 $$f(x)=x^n(x^2+ax+b) \ 被 (x-2)^2 \ 除之的餘式為\ 2^n(x-2)$$ 則 \(a, b\) 兩數分別為多少？

按照餘式定理，先令除式 \((x-2)^2\) 為 \(0\) 用以降次求餘式。
此時，\(x=2\)，因此 $$2^n(2^2+2a+b) = 0$$ 等號兩邊同時除以 \(2^n\) 再移項整理可得 $$2a+b=-4 \tag{1}$$ 然後不少同學就會卡在這裡了。接下來怎麼辦呢？

回到除法原理，列出來觀察一下：存在多項式 \(Q(x)\) 滿足 $$x^n(x^2+ax+b)=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2)\tag{*}$$ 寫到這裡，可以發現，其實也不用管餘式定理說什麼，
用除法原理就可以看出來 \(x=2\) 代入就可以讓等號右式為 \(0\) 因而得到第 (1) 式。

接著我們還須要一個等式，才可以解出 \(a, b\)。
但是另一個等式不知怎麼找，我們試著在第 (1) 式中，將 \(b=-4-2a\) 代回原式看看
$$x^n(x^2+ax-4-2a)=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2)$$ 將左式整理可得
$$x^n[(x^2-4)+a(x-2)]=(x-2)^2Q(x)+2^n(x-2) \tag{2}$$ 原來等號兩邊都有因式 \((x-2)\)，同時除之可得
$$x^2(x+2+a)=(x-2)Q(x)+2^n$$ 此時，再令 \(x=2\) 代入第(2)式可得 $$2^n(4+a)=2^n$$ 解得 \(a=-3\)，再代入第(1)式可得 \(b=2\)。

解出來了，回想一下整個解題過程，關鍵是什麼？

答案是，多項式 \(f(x)\) 有因式 \((x-2)\)，那麼如果一開始，就以長除法將多項式 \(x^2+ax+b\) 分解會如何呢？

我們發現，可以將多項式\(f(x)\) 直接分解為 $$f(x)=x^n(x-2)(x+a+2)+b+2a+4$$ 其中 $$b+2a+4=0$$

回到式子(*)，將 \(x=2\) 代入，就可解得 \(a=-3\)、進而得知 \(b=2\)。

對於高三已學過微積分的同學，可以試試將式子(*)兩邊微分：
$$nx^{n-1}(x^2+ax+b)+x^n(2x+a)=2(x-2)Q(x)+(x-2)^2Q'(x)+2^n$$ 接著再將 \(x=2\) 代入可得$$n\cdot 2^{n-1}\cdot (4+2a+b)+2^n(4+a)=2^n$$ 先將等式兩邊同時除以 \(2^{n-1}\) 可得$$n\cdot(4+2a+b)+2(4+a)=2$$ 將式子分類 $$(2a+b+4)n+2a+6=0$$ 因為 \(n\) 為任何正整數，所以 $$2a+b=-4, \ 2a+6=0$$ 最後解得 $$a=-3, b=2$$

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