前言：當數字大到無法直觀時
在解決複雜問題時，我們常會感到無從下手。本週要探討的這道經典試題，
給了我們一個極佳的示範：當數字大到無法直觀處理時，我們該如何「退一步」，
從簡單的結構中看見通用的規律。
並且看到這道題背後隱藏著微積分中「自然底數」\( e \) 的秘密。
一、 問題重述：有限資源的最大化
讓我們將題目轉化為一個更直觀的情境。想像你手中有一個總值為 \(1000\) 的籌碼，
規則允許你將它拆分成任意數量的正整數 \( a_1, a_2, \cdots, a_n \)，
條件是總和必須守恆：\[ a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1000 \]
你的目標是，讓這些拆分出來的數字，
乘積（Product）達到最大：\[ P = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n \quad \text{最大化} \]
直覺告訴我們，如果拆成 \( 1000 \) 個 \( 1 \)，乘積是 \( 1 \)，這顯然是最差的策略。
如果完全不拆，乘積是 \( 1000 \)。那麼，最佳的策略是什麼？是拆成很多個 \( 2 \)？還是很多個 \( 10 \)？
那麼，最佳的策略是什麼？是拆成很多個 \(2\)？還是很多個 \(10\)？
二、 建立直觀：從「小樣本」找規律
解題心法：當參數使得分析變複雜時，暫時把它換成一個容易控制的量。
我們不要直接看 \(1000\)，我們先看數字比較小的時候，會發生什麼事？
總和為 4：
拆成 \( 1+3 \) \( \Longrightarrow \) 乘積 \(3\)
拆成 \( 2+2 \) \( \Longrightarrow \) 乘積 \(4\) （勝）
總和為 5：
拆成 \( 1+4 \) \( \Longrightarrow \) 乘積 \( 4 \) ( \(1\) ) 對乘積無貢獻，浪費了總和）
拆成 \( 2+3 \) \( \Longrightarrow \) 乘積 \( 6 \) （勝）
總和為 6：
拆成 \( 2+2+2 \) \( \Longrightarrow \) 乘積 \( 8 \)
拆成 \( 3+3 \) \( \Longrightarrow \) 乘積 \( 9 \) （勝）
從這些微小的實驗中，我們看見了結構的端倪：
含 \( 1 \) 的選項通常都會失敗，而 \( 3 \) 似乎比 \( 2 \) 更有優勢。
三、 嚴謹推導：優化策略的四個法則
為了達到最大效益，我們可以歸納出四個「這筆交易划不划算」的法則：
法則 1：拒絕 \( 1 \)
數字 \( 1 \) 在加法中佔用了額度，但在乘法中完全沒有貢獻（乘以 \( 1 \) 不變）。
\[ 1 \times a = a \quad < \quad 1 + a \]
所以，若分拆中出現 \( 1 \)，應將其加到其他任何數字上，乘積必會增加。
舉例說明，
您的目標數字 \( a = 9 \)
現在我們來驗證公式：\[1 \times a \quad < \quad 1 + a\]
情況 A：保留 \( 1 \)（分開算）
如果您決定將 \( 10 \) 拆成 \( 1 \) 和 \( 9 \) 兩個數。
- 總和檢查：\( 1 + 9 = 10 \) （符合規則）
- 乘積結果：\[1 \times 9 = 9\]
結果： 您的得分只有 \( 9 \) 分。因為 \( 1 \) 在乘法裡完全沒幫上忙。
情況 B：合併 \( 1 \)（加給對方）
如果您決定不拆出 \( 1 \)，而是把這個 \( 1 \) 直接加到 \( 9 \) 身上，變成一個單獨的數字 \( 10 \)。
乘積結果：\[9 + 1 = 10\]
結果： 您的得分變成了 \( 10 \) 分。
總和檢查：\( 10 = 10 \) （符合規則）
法則 2：拒絕大數（大於 \( 4 \)）
如果分拆出的數字 \( n \ge 5 \)，我們總是可以把它進一步拆成 \( 3 \) 和 \( n-3 \)。
讓我們比較拆分前後：\[ 3 \times (n-3) = 3n – 9 \]
當 \( n \ge 5 \) 時，\( 3n – 9 > n \) 恆成立。
這意味著，保留任何大於等於 \( 5 \) 的數字都是「不划算」的，拆散它會得到更大的利益。
法則 3：\( 4 \) 與 \( 2 \) 的等價性
對於 \( 4 \) 來說，\( 2+2=4 \) 且 \( 2 \times 2 = 4 \)。所以在策略上，
看到 \( 4 \) 可以直接視為兩個 \( 2 \)。這讓我們只需專注於 $ 2 $ 和 $ 3 $ 這兩個質因數的角力。
法則 4：\( 3 \) 比 \( 2 \) 更強大（關鍵）
這是解題的核心。如果我們手上有三個 \( 2 \)（和為 \( 6 \)），乘積是 \( 8 \)；
如果有兩個 \( 3 \)（和為 \( 6 \)），乘積是 \( 9 \)。
\[2 + 2 + 2 = 6 = 3 + 3\]
\[2 \times 2 \times 2 = 8 \quad < \quad 3 \times 3 = 9 \]
結論： 在組合成 \( 1000 \) 的過程中，
我們應該盡可能多用 \( 3 \)。
只有在剩下的餘數無法湊成 \( 3 \) 時，才勉強使用 \( 2 \)。
四、 最終解答：\( 1000 \) 的完美分拆
回到題目，我們要將 \( 1000 \) 盡可能拆成 \( 3 \)。 \[ 1000 \div 3 = 333 \dots 1 \]
這代表我們可以有 \( 333 \) 個 \( 3 \)，但還剩下一個 \( 1 \)。
根據 法則 \( 1 \)，我們不能留下 \( 1 \)。我們必須「犧牲」一個 \( 3 \)，將它與剩下的 \( 1 \) 合併： \[ 3 + 1 = 4 = 2 + 2 \]
所以，最佳配置不是 \( 333 \) 個 \( 3 \) 加一個 \( 1 \)，而是 \( 332 \) 個 \( 3 \) 加上兩個 \( 2 \)。
最大乘積為： \[ 3^{332} \times 2^2 \]
五、 數學史觀點：為什麼偏偏是 \( 3 \)？
在整數的世界裡，我們透過試誤法發現了 \( 3 \) 是最佳解。
但如果我們打破整數的限制，允許數字是小數（連續實數），
這道題的答案究竟會落在什麼位置？讓我們用微積分來一探究竟。
1. 建立連續函數模型
假設我們要將一個固定的總和 \( S \)（在本題為 \( 1000 \)），拆分成大小為 \( x \) 的若干份。
那麼，份數就是 \( \frac{S}{x} \)。
我們要最大化的乘積 \( P \) 可以寫成函數：\[P(x) = x^{\frac{S}{x}} = (x^{\frac{1}{x}})^S\]
由於總和 \( S \) 是一個正的常數，且冪函數是單調遞增的，
所以「最大化 \( P(x) \)」等價於「最大化底下的核心函數 \( f(x) \)」：
\[ f(x) = x^{\frac{1}{x}} \]
2. 對數微分法 (Logarithmic Differentiation)
這個函數的底數 \( x \) 和指數 \( \frac{1}{x} \) 都在變動，直接微分比較困難。
我們可以使用「對數微分法」，先對兩邊取自然對數（\( \ln \)），
把次方的變數「降維」下來變成乘法：
\[y = x^{\frac{1}{x}} \]
\[\ln y = \ln (x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \cdot \ln x = \frac{\ln x}{x}\]
接著，對 \( x \) 進行微分（使用連鎖律與商數微分公式）：
\[\frac{1}{y} \cdot y’ = \frac{(\ln x)’ \cdot x – \ln x \cdot (x)’}{x^2}\]
我們知道 \( (\ln x)’ = \frac{1}{x} \) 且 \( (x)’ = 1 \)，代入後得到：
\[\frac{y’}{y} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x – \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 – \ln x}{x^2}\]
\[y’ = y \cdot \left( \frac{1 – \ln x}{x^2} \right)\]
3. 尋找極值點 (Critical Point)
要找到函數的最高點，我們令導數等於 \( 0 \)：\[y’ = 0\]
因為 \( y = x^{1/x} \) 恆為正數，且分母 \( x^2 \) 恆正，所以導數為 \( 0 \) 的條件完全取決於分子：
\[1 – \ln x = 0\]
\[\ln x = 1\]
根據對數定義，這意味著 \( x \) 必須等於自然對數底數：
\[x = e \approx 2.71828…\]
4. 為什麼整數解選 3 而不是 2 ？
我們已經算出理論上的完美分割大小是 \( e \)（約 \( 2.718 \)）。
但因為題目限制必須是「整數」，我們只能選擇 \( e \) 左右兩邊最近的整數：\( 2 \) 或 \( 3 \)。
讓我們透過函數 \( f(x) = x^{1/x} \) 來比大小：
- 當 \( x = 2 \) 時：\( 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- 當 \( x = 3 \) 時：\( 3^{1/3} = \sqrt[3]{3} \approx 1.442 \)
顯然：
\[1.442 > 1.414 \quad \Longrightarrow \quad f(3) > f(2)\]
這就是為什麼在無法選用 \( e \) 的情況下，\( 3 \) 是數學上效率最高的整數選擇。
Gim 老師的學習心法：面對龐大難題時，高手都在做什麼？
解完這道題，你是否只學會了「要把數字拆成 \( 3 \)」？
如果是這樣，那就太可惜了。這道題真正的價值，在於它示範了一套有效的思維。
當你在考場上或生活中，遇到一個像 \( 1000 \) 這樣大到讓人恐慌、無從下手的「巨型問題」時，
請啟動以下三個思考步驟。這才是數學高手腦中真實運作的程式碼：
1. 參數縮放 (Parameter Scaling)：學會「降維打擊」
解題過程中「暫時把它換成一個容易控制的量」，這就是「降維打擊」。
- 一般人的反應：盯著 \( 1000 \) 發呆，試圖直接在大數字裡找靈感，結果大腦當機。
- 高手的反應：把 \( 1000 \) 縮小成 \( 4, 5, 6 \)。
- 「如果世界只有 \( 4 \) 那麼大，會發生什麼事？」
- 「如果只有 \( 5 \) 呢？」
- 「如果只有 \( 6 \) 呢？」
【給學生的建議】
下次遇到不會的難題，先問自己：「如果這個數字變得很小，我會不會做？」通常規律就藏在這些「迷你樣本」裡。
2. 建立篩選機制 (Filtering)：學會說「不」
在觀察小樣本時，我們不是在瞎猜，而是在尋找「什麼是無效的」。
在這題中，我們發現了兩個無效決策：
- 含有 \( 1 \) 的拆分是浪費的（法則 \( 1 \)）。
- 大於 \( 4 \) 的數字是笨重的（法則 \( 2 \)）。
【給學生的建議】
學習不只是記住「什麼是對的」，
更重要的是能夠邏輯清晰地解釋「為什麼別的方法是錯的」。
這就是批判性思維（Critical Thinking）的起點。
3. 歸納與推廣 (Generalization)：從特例到通則
一旦你在 \( 6 \) 的世界裡確認了「\( 3 \) 比 \( 2 \) 好」，
你就可以大膽地將這個結論推廣到 \( 1000 \)、\( 10000 \) 甚至無限大的世界。
這就是數學證明的力量：只要邏輯地基穩固，蓋出來的摩天大樓就不會倒。
結語：這不只是一道數學題
這道題其實是自然界運作法則的一個縮影。
從細胞分裂到複利成長，「最優化配置」往往都遵循著類似的 \( e \)（自然底數）規律。
希望這週的專欄能讓你明白，數學公式不是死背硬記的咒語，
而是我們觀察世界、化繁為簡的思考工具。
下次看到嚇人的大數字，別怕，試著把它「變小」看看，答案往往就在那裡等你。
