2022 年 9 月 27 日

高中數學常見問題統整

這個頁面主要整理高中數學社團或是ptt數學版以及教學現場學生提出的問題。因為很多問題是重複出現的,今年問過明年還會有人問,因此我將問題統整於此,並提供思路與解法。除了可以解答自己的疑惑之外,也可以看看別人問了什麼問題。

選題原則

  • 可一題多解
  • 有助於觀念釐清
  • 經典好題

常見問題整理

排列組合問題:全取排列

甲、乙、丙、丁、戊、己共六人排成一列,其中甲不排在第1、2位,乙不排在第2、3位,丙不排在第1、3位,且丁戊不相鄰的排列數有幾種?

排列組合問題:全取排列

甲、乙、丙、丁、戊共五人排成一列,則甲乙相鄰且甲丙分開的排列方式有幾種?

這一題不錯,可以試著從正面與反面切入。
《方法1》【取捨原理】甲乙相鄰 - 甲乙相鄰且甲丙相鄰
看到甲乙相鄰,則將其視為一體,其排列方式有\(4!\times 2! = 48\) 種
接著考慮 甲乙相鄰且甲丙相鄰的情形,此時甲、乙、丙的排列方式為 乙甲丙 或 丙甲乙
因此排列方式為 \(3!\times 2!=12\)種。
合計:\(48-12\) = \(36\) 種排法

《方法2》正面做法,從甲的位置來討論
情況1:甲排第1位或第5位,此時乙的位置也確定為第2或或第4位。因此丙必排中間與甲分開。排列方式有 $$C^2_1\times 1\times 3!=12 種$$

情況2:

  • 甲排第2、3、4位,因此3個位子選1個:\(C^3_1\)
  • 乙可以排甲的兩側:因此有兩個位子可以選:\(C^2_1\)
  • 因為丙要與甲分開,所以丙只有兩個位子可以選:\(C^2_1\)
  • 最後丁戊任意排列:2!

以上過程分四個步驟,依照乘法原理計算如下:$$C^3_1\times C^2_1\times C^2_1 \times 2!=24$$

將情況1與情況2合計:\(12+24=36\) 種

《方法3》先將甲乙視為一體,並且與丁、戊排列。因為丙不能與甲相鄰,因此可插入3個空隙。步驟如下:

  • 甲乙視為一體,與丁戊排列,方法數為 \(3!=6\) 種
  • 甲乙可以互換,方法數為 \(2!\) 種
  • 丙不與甲相鄰,有3個位子可選,方法數為 \(C^3_1\) 種

將以上3個步驟以乘法原理計算可得:$$3!\times 2! \times C^3_1 = 36 $$

第二冊

廣義角三角比與極座標

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