▋題目敘述

甲身上有50元，乙身上有30元，今兩人以投公正硬幣為賭， 
若得正面，甲給乙1元，若得反面，乙給甲1元，依此繼續進行， 
直到一方輸光為止，則最後甲輸光之機率為何？

▋釐清問題

甲有 50 元，乙有 30 元，兩人透過拋公平硬幣來賭錢。
若出現正面，甲給乙 1 元；若出現反面，乙給甲 1 元。
這個遊戲會一直進行下去，直到一方的錢變成 0 為止。

這是一個隨機試驗，每一步的輸贏都有機率$\frac{1}{2}$
且資金總和 $50+30=80$是固定的。

學生提問：「如果正面、反面輪流出現，那不是永遠玩不完嗎？」

的確，如果一直是正反交替，甲和乙的錢就會來來回回，
遊戲看起來會無止盡地進行下去。

但我們來想兩件事：

首先，這場賭局的總資金是固定的（80 元），
而且每次只有一塊錢轉移。

當甲的資金變成 0 元，或變成 80 元時，遊戲就會結束。

這兩個情況就是所謂的「吸收狀態」，一旦達到，就不會再變動。
只要我們一直賭下去，雖然可能會拖很久，
但最終一定會有人輸光，

再來，我們在這題中要關心的不是「玩多久」，
而是：「甲最後輸光的機率是多少？」

你可以把這個過程想成一個人站在 0 到 80 的樓梯上，
每次隨機往上或往下一階。

只要時間夠長，這個人最終一定會走到樓梯的最上端（乙輸光）或最下端（甲輸光）。
我們的目標，就是找出他最後走到樓梯最下端的機率。

▋我應該怎麼做？

第一步：設定狀態與總金額

▸甲和乙一共有 80 元。
▸遊戲進行中，我們只要追蹤「甲手上有幾元」即可。

所以我們可以設：
$X$：甲目前手上的金額（變數）

初始狀態：$X=50$

終止條件：
$X = 0$：甲輸光
$X = 80$：乙輸光

第二步：使用賭徒破產的機率公式

這是一個「公平賭局」（正反面機率都是 $\frac{1}{2}$)，
那麼甲輸光的機率就是乙的初始金額佔全部金額的比例：

$$\frac{30}{80}=\frac{3}{8}$$

那麼乙輸光的機率就是$\frac{5}{8}$

直觀來看，這是合理的：初始金額多的人輸的機率較低。

🔄 為什麼可以這樣算？

🎲 賭徒破產問題：問題設定

一個人開始時有 $a$ 元
對手有 $b$ 元
每次賭博，贏的機率是 $p$，輸的機率是 $q=1−p$
每次贏 / 輸 1 元
若任一方破產（即剩 0 元），遊戲結束
問：這個人最終破產的機率是？

令  $P_n$​：代表賭徒目前擁有 $n$ 元時，最終破產的機率

目標是求 $P_a$​：即一開始擁有 $a$ 元時的破產機率

📌 邊界條件（Boundary conditions）：

$P_0 = 1$：若一開始就沒錢，已破產，機率是 1

$P_{a+b} = 0$：若贏到把對手的錢都拿來（即達到 $a+b$ 元），

代表永不會破產 ⇒ 機率為 0

🔁 狀態轉移（遞迴式）

當賭徒目前有 $n$ 元時：

下一次可能有兩種情況：

贏1元 ⇒ 成為 $n+1$ 元（機率為 $p$）
輸1元 ⇒ 成為 $n−1$ 元（機率為 $q$）

此時遞迴式變成：

$$P_n = \frac{1}{2} P_{n+1} + \frac{1}{2} P_{n-1}$$

等號兩邊同乘以 $2$得

$$2P_n ​= P_{n+1}​+P_{n−1}$$ ​

這是線性差分方程，解法如下：

通解為：$P_n = An + B$

帶入邊界條件：

$$P_0 = 1 ⇒ B=1$$

另外，

$$P_{a+b} = 0 ⇒ A(a+b)+1 = 0  ⇒  A = -\frac{1}{a+b}$$

所以

$$P_n = 1 – \frac{n}{a+b}$$

特別地，若一開始有$a$ 元：

$$P_a = 1 – \frac{a}{a+b} = \frac{b}{a+b}$$

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